第五章统计指数习题答案

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统计学原理简答题答案

《统计学原理》简答题答案第一章总论1.统计一词有几种含义？它们之间的关系？答：三种。

统计工作、统计资料、统计学。

（1）统计工作：即统计实践活动，是指从事统计业务的机关、单位利用科学的统计方法，搜集、整理分析和提供有关客观现象的数据资料、研究数据的内在特征，并预测事物的发展方向等一系列工作过程的总称。

（2）统计资料：是统计实践过程的取得的各项数据资料以及和它相联系的其他资料的总称。

（3）统计学：统计工作和统计资料的关系是统计活动即过程和统计成果的关系，统计工作和统计学的关系是统计实践和统计理论的关系2.社会经济统计的特点有哪些？答：社会经济统计是社会现象的一种调查分析活动，它具有以下特点：a)数量性 b)总体性 c)变异性 d）社会性3.什么是统计总体、统计单位、标志、变异、变量和变量值？并举例说明。

答：（1）统计总体，简称总体，是指客观存在的在同一性质基础上结合起来的许多个别事物的整体。

例如，研究某班学生的情况时，该班全体学生就是一个统计总体。

（2）统计单位，是指构成统计总体的个别事物。

例如，以我国全部普通高等院校为总体，每一个普通高等院校就是总体单位。

（3）标志，是指总体单位所共同具有的某种属性或特征。

例如，工人作为总体单位，他们都具备性别、工种、文化程度、工会、工资等属性或特征。

（4）变异是变动的标志，具体表现在各个单位的差异，包括量（数值）的变异和质（性质、属性）的变异。

如：性别表现为男、女，这是属性变异；年龄表现为18岁、25岁、28岁等这是数值上的变异。

（5）变量，就是可变的数量标志。

例如，商业企业的职工人数、商品流转额、流动资金占用额等数量标志，在各个商业企业的具体表现都是不尽相同的，是一个变动的量，这些变动的数量标志就称作变量。

（6）变量值，就是变量的具体表现，也就是变动的数量标志的具体表现。

例如，企业的职工人数是一个变量，甲企业职工人数100人，乙企业职工人数150人，丙企业职工人数200人等等，100人、150人、200人都是职工人数这个变量的变量值（标志值）。

第五章习题

一、判断题1、统计指数是综合反映社会经济现象总变动方向及变动幅度的相对数（）2、加权指数是计算总指数广为采用的方法，个体指数也是一种加权数（）3、利用指数体系理论，可以反映被研究现象的变动趋势（）4、同度量因素在综合指数的编制中只起到过渡或媒介作用（）5、用综合指数法编制总指数，可以使用非全面资料，所以也有代表性误差。

（）6、使用非全面资料条件下，平均指数法可以理解为是综合指数法的一种变形形式（）7、指数体系是进行因素分析的前提（）8、指数因素分析法的一个重要作用是分析在分组条件下，总平均数受各组平均水平和次数结构变动的影响方向和程度。

（）9、可变组成指数=固定组成指数/结构影响指数（）10．帕氏价格指数的分子与分母之差表明计算期实际销售的商品由于价格变化而增减了多少销售额。

（）11. 拉氏价格指数的分子与分母之差说明消费者为了维持基期的消费水平或购买同基期一样多的商品，由于价格的变化将会增减多少实际开支。

（）12.以基期总值加权的调和平均指数最为常用，以计算期总值加权的调和平均指数最为常用。

13.价格降低后，同样多的人民币可多购商品15%，则价格指数应为85%。

14.某商店商品销售额报告期和基期相同，报告期商品价格比基期提高了10%，那么报告期销售量比基期减少了9%。

二、单选题1、按指数的性质不同，指数可分为（）①个体指数和总指数②简单指数和加权指数③数量指标指数和质量指标指数④动态指数和静态指数2、运用编制统计指数的方法主要目的在于（）①建立指数体系②进行因素分析③解决复杂社会经济现象综合变动情况④研究事物变动的趋势和规律3、综合指数法是计算总指数的（）①唯一的方法②最科学的方法③重要方法之一④最不理想的方法4、用综合指数法编制总指数的关键问题之一是（）①确定被比对象②确定同度量因素及其固定时期③确定对比基期④计算个体指数5、在由三个指数所组成的指数体系中，两个因素指数的同度量因素通常（）①都固定在基期②都固定在报告期③一个固定在基期，一个固定在报告期④采用基期和报告期交叉６、某厂生产费用今年比去年增长50％，产量比去年增长25％，则单位成本比去年上升①25％②37.5％③20％④12.5％７、某机关的职工工资水平今年比去年提高了5％，职工人数增加了2％，则该企业工资总额增长了（）①10％②7.1％③7％④11％８、劳动生产率可变组成指数为134.2%，职工人数结构影响指数为96.3％，所以劳动生产率固定组成指数为（）①139.36％②129.23％③71.76％④39.36％９、某商店商品销售额报告期和基期相同，报告期商品价格比基期提高了10％，那么报告期商品销售量比基期（）①提高10％②减少了9％③增长了5％④上升了11％10、单位成本报告期比基期下降8％，产量增长8%，在这种条件下，生产总费用（）①增加了②减少了③没有变化④难以确定11．某企业报告期产量比基期增长了10%，生产费用增长了8%，则产品单位成本降低了（）。

统计学(哈尔滨商业大学)知到章节答案智慧树2023年

统计学（哈尔滨商业大学）知到章节测试答案智慧树2023年最新第一章测试1.总体的同质性是指总体中的各个单位在所有标志上都相同。

（）参考答案:错2.离散变量的数值包括整数和小数。

（）参考答案:错3.形成统计总体的必要条件是差异性。

（）参考答案:错4.对某地工业企业的设备进行全面调查，则此次调查的总体单位是（）。

参考答案:每个工业企业5.构成统计总体（）。

参考答案:只能有一个指标6.某企业有180名职工，将他们每个人的工资总额相加除以180，这是（）。

参考答案:对180个变量值求平均7.统计总体的特征有（）。

参考答案:同质性;客观性;差异性8.统计有三种含义，其中最基础的是（）。

参考答案:统计活动9.全国人口普查中（）。

参考答案:年龄是变量;全部男性人口数是指标;全国人口数是统计总体;每个人是总体单位10.研究某企业全体工人的有关情况，则可变标志是（）。

参考答案:性别;籍贯;工龄;工资第二章测试1.对数据进行计量的量度层次中，最低的层次是( )。

参考答案:定类尺度2.我国的人口普查每10年进行一次，因此它是一种经常性调查方式。

（）参考答案:错3.检查产品寿命应使用哪种调查方法( )。

参考答案:抽样调查4.有意识地选取几十块麦地来估算某县小麦总产量，这种调查方式属于（）。

参考答案:典型调查5.统计分组对总体而言是“合” ，对总体单位而言是“分”。

（）参考答案:错6.按某一标志分组的结果表现为（）。

参考答案:组内同质性，组间差异性7.按离散变量分组形成的变量数列（）。

参考答案:既可以是单项式数列，也可以是组距式数列8.各组次数除以本组组距，称为（）。

参考答案:次数密度9.按年龄分组的人口死亡率表现为（）。

参考答案:U型分布10.统计表的左右两端习惯上均不划线，采用开口式。

（）参考答案:对第三章测试1.当标志值较小的一组其权数较大时，则算术平均数（）。

参考答案:接近标志值较小的一组2.若甲单位的平均数比乙单位的平均数小，但甲单位的标准差比乙单位的标准差大，则（）。

第五章统计学课后答案

第十章一、选择题1。

某企业计划要求本月每万元产值能源消耗率指标比去年同期下降5％，实际降低了2。

5％，则该项计划的计划完成百分比为（ D ）。

A. 50。

0% B 97。

4% C. 97.6% D. 102。

6%2.下列指标中属于强度相对指标的是( A ）。

A.产值利润率 B。

基尼系数C。

恩格尔系数 D。

人均消费支出3. 下列指标中属于狭义指数的是（ A )。

A。

某地区本月社会商品零售量为上月的110%B。

某地区本月能源消耗总量为上月的110%C.某地区本月居民收入总额为上月的110％D。

某地区本月居民生活用水价格为上月的110%4。

若为了纯粹反映价格变化而不受销售量结构变动的影响，计算价格总指数时应该选择的计算公式是( A ）。

A。

拉氏指数 B.帕氏指数 C。

马埃指数 D.理想指数5. 与帕氏质量指标综合指数之间存在变形关系的调和平均指数的权数应是( B ).A。

q0p0 B. q1p1 C。

q1p0 D. q0p16. 为了说明两个地区居民消费水平之间的差异程度，有关指数的计算最好采用( C ).A。

拉氏指数 B.帕氏指数 C。

马埃指数 D.理想指数7. 同样数量的货币,今年购买的商品数量比去年减少了4%，那么可推断物价指数为( D ）。

A。

4。

0％ B。

104％ C。

4。

2% D. 104。

2%8.某公司报告期新职工人数比重大幅度上升，为了准确反映全公司职工劳动效率的真实变化，需要编制有关劳动生产率变化的（ B ）。

A.总平均数指数 B。

组平均数指数C。

结构影响指数 D.数量指标综合指数9.某地区报告年按可比价格计算的工业总产值为基年工业总产值的110%,这个指数是一个( C)。

A。

总产值指数 B。

价格指数C。

工业生产指数 D.静态指数10。

我国深证100指数将基期价格水平定为1000。

若某周末收盘指数显示为1122，此前一周末收盘指数显示为1100,即表示此周末收盘时股价整体水平比一周前上涨了（ A ）。

概率论与数理统计(茆诗松)课后第五章习题参考答案

第五章统计量及其分布习题5.11．某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查．（1）该项研究的总体是什么？（2）该项研究的样本是什么？解：（1）总体是该地区的全体用户；（2）样本是被访查的电话用户．2．某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适．3．设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p 未知，每m 件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n 盒产品中每一盒的不合格品数；总体的分布为X ~ b (m , p )，x m x qp x m x X P −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==}{，x = 0, 1, …, n ，样本的分布为nn x m x n x m x x m x n n q p x m q p x m q p x m x X x X x X P −−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====L L 2211212211},,,{ ∑∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−=∏ni tni tx mn x ni i q px m 111．4．为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m 条鱼，而涂有红漆的鱼则有k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？解：设鱼塘里有N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为Nn ，而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为m k，估计mk N n ≈，故估计出鱼塘里大概有kmnN ≈条鱼；总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼． 5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n 件产品测其使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布．解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n 件电容器的寿命；总体的分布为X ~ e (λ )，p (x ) = λ e λ x ，x > 0，样本的分布为11212(,,,)e e e enin i x x x x n n p x x x λλλλλλλλ=∑=⋅=L L ，x i > 0．6．美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．习题5.21．以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图．解：经验分布函数0,138,0.1,138149,0.3,149153,()0.5,153156,0.8,156160,0.9,160169,1,169.n x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩ 作图略．2．下表是经过整理后得到的分组样本组序 1 2 3 4 5分组区间 (38,48] (48,58] (58,68] (68,78] (78,88] 频数 3 4 8 3 2试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数0,37.5,0.15,37.547.5,0.35,47.557.5,()0.75,57.567.5,0.9,67.577.5,1,77.5.n x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩3．假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为1572，最小观测值为738，则组距为15727381406d −=≈，区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.95 (1295,0.96672 0.066671435]13651 0.03333150516 (1435,1575]合计30 1（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间频率0~10 0.1010~20 0.2420~3030~40 0.1840~50 0.14 （1）试将频率分布表补充完整．（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率10] 5 25 0.1 0.11 (0,20] 15 60 0.24 0.342 (10,30] 25 85 0.34 0.683 (20,40] 35 45 0.18 0.864 (30,50] 45 35 0.14 15 (40,合计250 1（2）上班所需时间在半小时以内有25 + 60 + 85 = 170人．5．40种刊物的月发行量（单位：百册）如下：5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 45081208 3852 618 3008 1268 1978 7963 20483077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 22801223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为353，最小观测值为14667，则组距为d = 1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1700] 850 9 0.225 0.2251 (0,25509 0.225 0.453400]2 (1700,42505 0.125 0.5755100]3 (3400,59504 0.1 0.6756800]4 (5100,76504 0.1 0.7758500]5 (6800,1 0.025 0.893506 (8500,10200]1 0.025 0.825110507 (10200,11900]3 0.075 0.9127508 (11900,13600]4 0.1 11445015300]9 (13600,合计30 1（2）作图略．6．对下列数据构造茎叶图472 425 447 377 341 369 412 399400 382 366 425 399 398 423 384418 392 372 418 374 385 439 408429 428 430 413 405 381 403 479381 443 441 433 399 379 386 387 解：茎叶图为34 135369, 6377, 2, 4, 9382, 4, 5, 1, 1, 6, 7399, 8, 2400, 5, 3412, 9, 8, 8, 3, 9425, 5, 3, 8, 9, 8439, 0, 3447, 3, 14546472, 97．根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下：40.6 39.6 37.8 36.2 38.838.6 39.6 40.0 34.7 41.738.9 37.9 37.0 35.1 36.737.1 37.7 39.2 36.9 38.3试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735. 136.2, 7, 937.0, 1, 738. 639.6, 6, 240.6, 8, 041.742.43.844.9, 545. 4习题5.31．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．解：样本均值3)41654(101=+++++=L x ；样本方差7778.3])34()31()36()35()34[(91222222≈−+−++−+−+−=L s ；样本标准差9437.17778.3≈=s ．2．证明：对任意常数c , d ，有11()()()()()()n niiiii i x c y d x x y y n x c y d ==−−=−−+−−∑∑．证：∑∑==−+−−+−=−−ni i i n i i i d y y y c x x x d y c x 11)]())][(()[())((∑=−−+−−+−−+−−=ni i i i i d y c x d y x x y y c x y y x x 1)])(())(())(())([())(()()()()())((111d y c x n x x d y y y c x y y x x ni i ni i ni i i −−+−−+−−+−−=∑∑∑===))(())(())((00))((11d y c x n y y x x d y c x n y y x x ni i i ni i i −−+−−=−−+++−−=∑∑==．3．设x 1 , …, x n 和y 1 , …, y n 是两组样本观测值，且有如下关系：y i = 3 x i − 4，i = 1, …, n ，试求样本均值x和y 间的关系以及样本方差2x s 和2y s 间的关系．解：4343431)43(111111−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−==∑∑∑∑====x x n n x n x n y n y ni i n i i n i i n i i ； 212121229(19)]43()43[(11)(11x n i i n i i n i i ys x x n x x n y y n s =−−=−−−−=−−=∑∑∑===． 4．记∑==n i i n x n x 11，∑=−−=n i i n x x n s 122)(11，n = 1, 2, …，证明 )(1111n n n n x x n x x −++=++，21221)(111n n nn x x n s n n s −++−=++．证：)(111111111111111111n n n n n n n i i n i i n x x n x x n x n n x n x n n n x n x −++=+++=++⋅+=+=+++=+=+∑∑； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=−=++=+=++∑∑21112112121))(1()(1)(1n n n i n i n i n i n x x n x x n x x n s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+−−+−=++=∑2122112)()1(1)1()()(1n n n n n i n i x x n n x x x x n 2122112)(111)(1)(11)1(1n n n n n n i n i x x n s n n x x n n x x n n n −++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−−=++=∑．5．从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，样本均值分别为1x , 2x ，样本方差分别为21s , 22s ，将两组样本合并，其均值、方差分别为x , s 2，证明：12nx mx x n m+=+，)1)(()(1)1()1(22122212−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n s ．证：m n x m x n x x m n x x m n x m j j n i i m j j n i i ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∑∑∑∑====211211121111； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−+=∑∑==m j jn i i x x x x m n s 1221212()(11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−+−−+=∑∑==221222211211)()()()(11x x m x x x x n x x m n m j j n i i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−−+=221222221121)1()1(11m n x m x n x m s m m n x m x n x n s n m n 2212222122221)()()(111)1()1(m n x x mn x x nm m n m n s m s n +−+−⋅−++−+−+−=)1)(()(1)1()1(2212221−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n ． 6．设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为s A ，样本极差为R A ，样本中位数为m A ．现对样本中每一个观测值施行如下变换：y = ax + b ，如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数．解：b x a b x n a nb x a n b ax n y n y A ni i n i i n i i n i i B +=+⋅=+=+==∑∑∑∑====11111)(1)(11；A n i A i n i A i n iB i B s a x x n a b x a b ax n y y n s ||)(11||)(11)(11121212=−−⋅=−−+−=−−=∑∑∑===； R B = y (n ) − y (1) = a x (n ) + b − a x (1) − b = a [x (n ) − x (1)] = a R A ；当n 为奇数时，b am b ax y m A n n B +=+==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+5.021215.0，当n 为偶数时，b am b x x ab ax b ax y y m A n n n n n n B +=++=+++=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛5.01221221225.0][2][21][21，故m B 0.5 = a m A 0.5 + b ．7．证明：容量为2的样本x 1 , x 2的方差为2212)(21x x s −=．证：221212221221222112)(214)(4)(])2()2[(121x x x x x x x x x x x x s −=−+−=+−++−−=． 8．设x 1 , …, x n 是来自U (−1, 1) 的样本，试求)(X E 和Var(X ．解：因X i ~ U (−1, 1)，有0211)(=+−=i X E ，3112)11()(Var 2=+=i X ，故0)(1)1()(11===∑∑==ni i n i i X E n X n E X E ，n n nXnX n X ni in i i 31311)(Var 11Var )(Var 2121=⋅⋅==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==． 9．设总体二阶矩存在，X 1 , …, X n 是样本，证明X X i −与)(j i X X j ≠−的相关系数为 − (n − 1) − 1．证：因X 1 , X 2 , …, X n 相互独立，有Cov (X l , X k ) = 0，（l ≠ k ），则),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov X X X X X X X X X X X X j i j i j i +−−=−−)(Var ),1(Cov )1,(Cov 0X X X nX n X j j i i +−−= 22221111)(Var )(Var 1)(Var 1σσσσnn n n X X n X n j i −=+−−=+−−=，且)1,(Cov 21),(Cov 2)(Var )(Var )(Var 22i i i i i X nX n X X X X X X −+=−+=−σσ)(Var 1212222X X nn n n j −=−=−+=σσσσ，故11111)(Var )(Var ),(Cov ),(Corr 222−−=−⋅−−=−⋅−−−=−−n nn n n n X X X X X X X X X X X X j i j i j i σσσ． 10．设x 1 , x 2 ,…, x n 为一个样本，∑=−−=ni i x x n s 122)(11是样本方差，试证： 22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<．证：因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11x n x n x x n s n i i n i i ，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========<n i n j j i n i n j j n i n j i n i n j j i j i n i n j j i j i j i x x x x x x x x x x x x 1111211211221122221)2(21)(21)( 221212111212)1(2221221s n n x n x n x n x n x n x x x n x n n i i n i i n i n j j i n j j n i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑∑∑∑∑======，故22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 11．设总体4阶中心矩ν4 = E [X − E (X )]4存在，试对样本方差∑=−−=ni i X X n S 122(11，有 2442442442)1(3)1()2(2)1()()Var(−−+−−−−−=n n n n n S σνσνσν，其中σ 2为总体X 的方差．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=∑=21222)()(Var )1(1)Var(µµX n X n S n i i⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑∑==])(Var[)(,)(Cov 2)(Var )1(12212122µµµµX n X n X X n n i i n i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−−=∑∑==22122122)Var())(,)Cov((2)Var()1(1µµµµX n X X n X n n i i n i i ，因E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)4 = ν4，则)(})({}])([)({)Var(441224122412σνσνµµµ−=−=−−−=−∑∑∑===n X E X E X ni ni i i ni i ，因E (X i − µ) = 0，221)Var()(σµnX X E ==−，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立，则∑∑==−−−−−=−−ni i i ni i X E X E X X E X X 12222122})()(])()[({))(,)Cov((µµµµµµ∑∑==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−=ni nk k i n X n X E 1222121)(1)(σσµµ∑∑=≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−+−=n i i k k i i n X E X E X E n1422421)()()(1σµµµ)(11])1([144142242σνσσσν−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅+=∑=n n n nni ，且224122421)(1])([)()Var(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−=−∑=σµµµµn X n E X E X E X n i i42221441)()(24)(1σµµµn X X X E n j i j i n i i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑∑<= 42221441)()(6)(1σµµµn X E X E X E n j i j i ni i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=∑∑<= 42443424444222442)3(11])1(3[11261σσνσσνσσσνn n n n n n n n n n n +−=−−+=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+=，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−⋅−−−=4244324444222)3(1)(12)()1(1)Var(σσνσνσνn n n n n n n S⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−−−−=444444422)3(1)(2)()1(1σσνσνσνn n n 2442442444444442)1(3)1()2(2)1()()3(1)2(2)()1(1−−+−−−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−=n n n n n n n n σνσνσνσνσνσν． 12．设总体X 的3阶矩存在，设X 1 , X 2 ,…, X n 是取自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，试证：nS X 32),Cov(ν=，其中ν3 = E [X − E (X )]3．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−=−=∑=21222)()(11,Cov ),Cov(),Cov(µµµµX n X n X S X S X n i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=∑=))(,Cov())(,Cov(11212µµµµX X n X X n n i i ，因0)()(=−=−µµi X E X E ，E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)3 = ν3，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立，则∑∑∑∑====−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−n i i i ni i n k k ni i X X n X X n X X 1212112))(,Cov(1)(,)(1Cov ))(,Cov(µµµµµµ331231])()()([1ννµµµ=⋅=−−−−=∑=n nX E X E X E n n i i i i ，且31232)(1)()()())(,Cov(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−−=−−∑=n i i X n E X E X E X E X X µµµµµµ323313313311)(1)(1ννµµn n n X E n X E n n i i n i i =⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∑∑==，故n nn n n n n S X 333232111111),Cov(νννν=−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=． 13．设1X 与2X 是从同一正态总体N (µ, σ 2)独立抽取的容量相同的两个样本均值．试确定样本容量n ，使得两样本均值的距离超过σ 的概率不超过0.01．解：因µ==)()(21X E X E ，nX X 221)Var()Var(σ==，1X 与2X 相互独立，且总体分布为N (µ, σ 2)，则0)(21=−=−µµX X E ，n n n X X 222212)Var(σσσ=+=−，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−n N X X 2212,0~σ，因01.0222212}|{|21≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=>−n n X X P σσσ，有995.02≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φn ，5758.22≥n ，故n ≥ 13.2698，即n 至少14个．14．利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在 (0.4, 0.6) 间的概率至少为0.9．如何才能更精确的计算这个次数？是多少？解：设⎩⎨⎧=,,0,,1次反面朝上第次正面朝上第i i X i 有X i ~ B (1, 0.5)，且正面朝上的频率为∑==ni i X n X 11，则E (X i ) = 0.5，Var (X i ) = 0.25，且5.0(=X E ，n X 25.0)(Var =，由切比雪夫不等式得n nX P X P 2511.025.01}1.0|5.0{|}6.04.0{2−=−≥<−=<<，故当9.0251≥−n时，即n ≥ 250时，9.0}6.04.0{≥<<X P ；利用中心极限定理更精确地计算，当n 很大时∑==ni i X n X 11的渐近分布为正态分布25.0,5.0(n N ，则)2.0()2.0()25.05.04.0(25.05.06.0()4.0()6.0(}6.04.0{n n nnF F X P −Φ−Φ=−Φ−−Φ=−=<<9.01)2.0(2≥−Φ=n ，即95.0)2.0(≥Φn ，64.12.0≥n ，故当n ≥ 67.24时，即n ≥ 68时，9.0}6.04.0{≥<<X P ．15．从指数总体Exp (1/θ ) 抽取了40个样品，试求X 的渐近分布．解：因θ==)((X E X E ，2401)(Var )(Var θ==n X X ，故X 的渐近分布为)401,(2θθN ．16．设X 1 , …, X 25是从均匀分布U (0, 5) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因25)()(==X E X E ，1211225)05()(Var )(Var 2=×−==n X X ，故X 的渐近分布为)121,25(N ． 17．设X 1 , …, X 20是从二点分布b (1, p ) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因p X E X E ==)((，20)1()(Var )(Var p p n X X −==，故X 的渐近分布为20)1(,(p p p N −．18．设X 1 , …, X 8是从正态分布N (10, 9) 中抽取的样本，试求样本均值X 的标准差．解：因89)(Var )(Var ==n X X ，故X 的标准差为423)(Var =X ． 19．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值为计算样本均值，其计算公式是][2])[()2]([)1]([αααααn n X X X X n n n n −+++=−++L ，其中0 < α < 1/2是切尾系数，X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n ) 是有序样本．现我们在高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 10 16 15 5 8 取α = 1/16，试计算其切尾均值．解：因n α = 1，且有序样本为4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 26，故切尾均值8571.12)20865(216116/1=++++−=L x ． 20．有一个分组样本如下：区间组中值频数 (145,155) 150 4 (155,165) 160 8 (165,175) 170 6 (175,185) 180 2试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度．解：163)2180617081604150(201=×+×+×+×=x ；2338.9]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(1912222=×−+×−+×−+×−=s ；因81]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20122222=×−+×−+×−+×−=b ， 144]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20133333=×−+×−+×−+×−=b ，14817]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20144444=×−+×−+×−+×−=b ，故样本偏度1975.02/3231==b b γ，样本峰度7417.032242−=−=b b γ．21．检查四批产品，其批次与不合格品率如下：批号批量不合格品率1 100 0.052 300 0.063 250 0.04 4 150 0.03试求这四批产品的总不合格品率．解：046875.0)03.015004.025006.030005.0100(8001=×+×+×+×=p ． 22．设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X (1) 和X (4) 的分布．解：因总体分布函数为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,54,43,53,32,52,21,51,1,0)(x x x x x x x F则F (1) (x ) = P {X (1) ≤ x } = 1 − P {X (1) > x } = 1 − P {X 1 > x , X 2 > x , X 3 > x , X 4 > x } = 1 − [1 − F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625624,43,625609,32,625544,21,625369,1,0x x x x x x且F (4) (x ) = P {X (4) ≤ x } = P {X 1 ≤ x , X 2 ≤ x , X 3 ≤ x , X 4 ≤ x } = [F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625256,43,62581,32,62516,21,6251,1,0x x x x x x故X (1) 和X (4) 的分布为6251625156256562517562536954321)1(P X ； 6253696251756256562515625154321)4(PX ． 23．设总体X 服从几何分布，即P {X = k } = pq k − 1，k = 1, 2, …，其中0 < p < 1，q = 1 − p ，X 1, X 2, …, X n 为该总体的样本．求X (n ) , X (1)的概率分布．解：因k k kj j q qq p pqk X P −=−−==≤∑=−11)1(}{11，k = 1, 2, …，故n k n k ni i ni i n n n q q k X P k X P k X P k X P k X P )1()1(}1{}{}1{}{}{111)()()(−==−−−=−≤−≤=−≤−≤==∏∏；且nk k n ni i ni i q q k X P k X P k X P k X P k X P −=>−−>=>−−>==−==∏∏)1(11)1()1()1(}{}1{}{}1{}{．24．设X 1 , …, X 16是来自N (8, 4) 的样本，试求下列概率（1）P {X (16) > 10}；（2）P {X (1) > 5}．解：（1）1616161)16()16()]2810([1)]10([1}10{1}10{1}10{−Φ−=−=≤−=≤−=>∏=F X P X P X P i i = 1 − [Φ(1)]16 = 1 − 0.841316 = 0.9370；（2）3308.09332.0)]5.1([285(1[)]5(1[}5{}5{16161616161)1(==Φ=−Φ−=−=>=>∏=F X P X P i i ． 25．设总体为韦布尔分布，其密度函数为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−mmm x mx m x p ηηηexp ),;(1，x > 0, m > 0, η > 0．现从中得到样本X 1 , …, X n ，证明X (1) 仍服从韦布尔分布，并指出其参数．解：总体分布函数mm mmx xt xmt xt mm xt t mtt t p x F ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===∫∫∫ηηηηηηe1e d ed ed )()(00010，x > 0，则X (1) 的密度函数为111(1)11()[1()]()eeemmmmx x x m m m n n n mmmxmnxp x n F x p x n ηηηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−−−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−=⋅==，故X (1) 服从参数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛m n m η,的韦布尔分布． 26．设总体密度函数为p (x ) = 6 x (1 − x ), 0 < x < 1，X 1 , …, X 9是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布．解：总体分布函数3203223)23(d )1(6d )()(x x t t t t t t t p x F xxx−=−=−==∫∫，0 < x < 1，因样本容量n = 9，有样本中位数)5(215.0x x m n ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，其密度函数为)1(6)231()23(!4!4!9)()](1[)]([!4!4!9)(432432445x x x x x x x p x F x F x p −⋅+−−⋅=−⋅=． 27．证明公式∫∑−−=−−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛110)1()!1(!!)1(p r n r rk k n k dx x x r n r n p p k n ，其中0 ≤ p ≤ 1．证：设总体X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，X 1, X 2, …, X n 为样本，X (1), X (2), …, X (n )是顺序统计量，则样本观测值中不超过p 的样品个数服从二项分布b (n , p )，即最多有r 个样品不超过p 的概率为∑=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=>rk kn k r p p k n p X P 0)1()1(}{，因总体X 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(x x x x x F则X (r + 1)的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−+.,0,10,)1()!1(!!)()](1[)]([)!1(!!)(111其他x x x r n r n x p x F x F r n r n x p r n r r n r r 故∫∑−−+=−−−−=>=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)1(0)1()!1(!!}{)1(p r n r r rk kn k dx x x r n r n p X P p p k n ． 28．设总体X 的分布函数F (x )是连续的，X (1), …, X (n )为取自此总体的次序统计量，设ηi = F (X (i ))，试证：（1）η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量；（2）1)(+=n iE i η，)2()1()1()Var(2++−+=n n i n i i η，1 ≤ i ≤ n ；（3）ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−2)1(2)1(2)1(2)1(22212111n a a n a a n a a n a a 其中11+=n i a ，12+=n j a ．注：第（3）问应要求i < j ．解：（1）首先证明Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，因分布函数F (x )连续，对于任意的y ∈ (0, 1)，存在x ，使得F (x ) = y ，则F Y ( y ) = P {Y = F (X ) ≤ y } = P {F (X ) ≤ F (x )} = P {X ≤ x } = F (x ) = y ，即Y = F (X )的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y可得Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，即F (X 1), F (X 2), …, F (X n )是均匀分布总体U (0, 1)的样本，因分布函数F (x )单调不减，ηi = F (X (i ))，且X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n )是总体X 的次序统计量，故η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量；（2）因均匀分布U (0, 1) 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他y y p Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y则ηi = F (X (i ))的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−.,0,10,)1()!()!1(!)()](1[)]([)!()!1(!)(11其他y y y i n i n y p y F y F i n i n y p i n i Y in Y i Y i即ηi 服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即Be (a , b )，其中a = i ，b = n − i + 1，故1)(+=+=n i b a a E i η，)2()1()1()1()()Var(22++−+=+++=n n i n i b a b a ab i η，1 ≤ i ≤ n ；（3）当i < j 时，(ηi , ηj )的联合密度函数为z y Y Y j n Y i j Y Y i Y ij z p y p z F y F z F y F j n i j i n z y p <−−−−−−−−−−=I )()()](1[)]()([)]([)!()!1()!1(!),(111011I )1()()!()!1()!1(!<<<−−−−−−−−−−=z y j n i j i z y z y j n i j i n ，则∫∫∫∫−−−+∞∞−+∞∞−−⋅−−−−−=⋅=1001)1()()!()!1()!1(!),()(z j n i j i ij j i dy z z y z y dz j n i j i n dydz z y p yz E ηη，令y = zu ，有dy = zdu ，且当y = 0时，u = 0；当y = z 时，u = 1，则∫∫⋅−−=−⋅−−−−−−−1101)()()1()1()(zdu zu z zu z z dy z z y z y i j i j n zj n i j ij n j j n j i j i j j n z z j i j i i j i B z z du u u z z z −+−+−−−−−−=−+⋅−=−⋅−=∫)1(!)!1(!),1()1()1()1(1111，即∫−+−−−−−−−=101)1(!)!1(!)!()!1()!1(!)(dz z z j i j i j n i j i n E jn j j i ηη )1,2(!)!1(!)!()!1()!1(!+−+−−⋅−−−−=j n j B j i j i j n i j i n)2)(1()1()!2()!()!1(!)!1(!)!()!1()!1(!+++=+−+⋅−−⋅−−−−=n n j i n j n j j i j i j n i j i n ，可得)2()1()1(11)2)(1()1()()()(),Cov(2++−+=+⋅+−+++=−=n n j n i n j n i n n j i E E E j i j i j i ηηηηηη，因11+=n i a ，12+=n j a ，则2)1()2()1()1(),Cov(212+−=++−+=n a a n n j n i j i ηη，且2)1()2()1()1()Var(112+−=++−+=n a a n n i n i i η，2)1()2()1()1()Var(222+−=++−+=n a a n n j n j jη，故ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2)1(2)1(2)1(2)1()Var(),Cov(),Cov()Var(22212111n a a n a a n a a n a a j j i j i i ηηηηηη． 29．设总体X 服从N (0, 1)，从此总体获得一组样本观测值x 1 = 0, x 2 = 0.2, x 3 = 0.25, x 4 = −0.3, x 5 = −0.1, x 6 = 2, x 7 = 0.15, x 8 = 1, x 9 = −0.7, x 10 = −1．（1）计算x = 0.15（即x (6)）处的E [F (X (6))]，Var[F (X (6))]；（2）计算F (X (6))在x = 0.15的分布函数值．解：（1）根据第28题的结论知1)]([)(+=n iX F E i ，)2()1()1()](Var[2)(++−+=n n i n i X F i ，且n = 10，故116)]([)6(=X F E ，2425121156)](Var[2)6(=××=X F ；（2）因F (X (i ))服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即这里的F (X (6))服从贝塔分布Be (6, 5)，则F (X (6))在x = 0.15的分布函数值为∫−⋅=15.00456)1(!4!5!10)15.0(dx x x F ，故根据第27题的结论知0014.085.015.0101)1(!4!5!10)15.0(501015.00456=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−⋅=∑∫=−k k k k dx x x F ． 30．在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数m 0.5的渐近分布．（1）p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ；（3）⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p （4）||e 2)(x x p λλ−=．解：样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅)(41,5.025.0x p n x N ，其中p (x )是总体密度函数，x 0.5是总体中位数，（1）因p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1，有35.025.003205.023)23()1(6)(5.05.05.0x x x x dx x x x F x x −=−=−==∫，则x 0.5 = 0.5，有nn p n 91)5.05.06(41)5.0(4122=×××=⋅，故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 91,5.0；（2）因⎭⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ，有0.5 = F (x 0.5) = F (µ)，则x 0.5 = µ ，有n n p n 2ππ2141)(41222σσµ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=⋅，故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2π,2σµ；（3）因⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 有25.00205.05.05.02)(5.0x x xdx x F x x ====∫，则215.0=x ，有n n p n 8121241214122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛××=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅，故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 81,21；（4）因||e 2)(x x p λλ−=，有0.5 = F (x 0.5) = F (0)，则x 0.5 = 0，有2221241)0(41λλn n p n =⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⋅，故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛21,0λn N ．31．设总体X 服从双参数指数分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=.,0;,exp 1)(µµσµx x x x F其中，−∞ < µ < +∞，σ > 0，X (1) ≤ … ≤ X (n )为样本的次序统计量．试证明)(2)1()1()(−−−−i i X X i n σ服从自由度为2的χ 2分布（i = 2, …, n ）．注：此题有误，讨论的随机变量应为)(2)1()1()(−−+−i i X X i n σ．证：因(X (i − 1), X (i ))的联合密度函数为z y i n i i i z p y p z F y F i n i n z y p <−−−−−−=I )()()](1[)]([)!()!2(!),(2)1( z y in i z y z y i n i n <<−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−−=µσµσσµσσµσµI exp 1exp 1exp exp 1)!()!2(!2z y i n i z y y i n i n <<+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσI exp exp 1exp )!()!2(!122，则T = X (i ) − X (i − 1)的密度函数为∫+∞∞−−⋅⋅+=dy t y y p t p i i T 1),()()1(∫∞++−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσdy t y y y i n i n i n i 122exp exp 1exp )!()!2(!∫∞+−+−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=µσµσσµσµσσy d y y t i n i n i i n i n exp )(exp 1exp exp )!()!2(!2112∫−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=−+−+−012112)()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i i n i n σσσ∫−+−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=1021)1()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i n i i n σσ )1,2()1(exp )!()!2(!−+−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=i i n B t i n i n i n σσ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−+−=−+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=σσσσt i n i n n i i n t i n i n i n )1(exp 1!)!2()!1()1(exp )!()!2(!，t > 0，可得T i n X X i n S i i σσ2)1()(2)1()1()(+−=−+−=−的密度函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=2exp 21)1(22exp 1)1(2)1(2)(s i n s i n i n s i n p s p T S σσσσ，s > 0，故)(2)1()1()(−−+−=i i X X i n S σ服从参数为21的指数分布，也就是服从自由度为2的χ 2分布． 32．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (5)为容量为5的取自此总体的次序统计量，试证)4()2(X X 与X (4)相互独立．z −证：因总体X 的密度函数和分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x F 则(X (2), X (4))的联合密度函数为)4()2(I )()()](1[)]()([)]([!1!1!1!5),()4()2(1)4(1)2()4(1)2()4()2(24x x x p x p x F x F x F x F x x p <−−⋅⋅=103)4(3)2(3)4(2)4(5)2(102)4(2)2(3)4(3)2(3)4(3)2()4()2()4()2(I )1)((1080I 33)1)((120<<<<<<−−=⋅⋅−−=x x x x x x x x x x x x x x x ，设)4()2(1X X Y =，Y 2 = X (4)，有X (2) = Y 1Y 2，X (4) = Y 2，则(X (2), X (4))关于( Y 1 , Y 2 )的雅可比行列式为21221)4()2(1),(),(y y y y y x x J ==∂∂=，且0 < X (2) ≤ X (4) < 1对应于0 < Y 1 < 1, 0 < Y 2 < 1，可得(Y 1 , Y 2 )的联合密度函数为210,10323213222521221242121I )1]()([)(1080||),(),(y y y y y y y y J y y y p y y p y y ⋅−−=⋅=<<<<103211210315121I )1(I )1(1080<<<<−⋅−=y y y y y y ，由于(Y 1 , Y 2 , …, Y n )的联合密度函数p ( y 1 , y 2)可分离变量，故)4()2(1X X Y =与Y 2 = X (4)相互独立．33．（1）设X (1)和X (n )分别为容量n 的最小和最大次序统计量，证明极差R n = X (n ) − X (1)的分布函数∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n x F n R n )()]()([)(1其中F ( y )与p ( y )分别为总体的分布函数与密度函数；（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布Exp (λ)时，样本极差R n 的分布．注：第（1）问应添上x > 0的要求．解：（1）方法一：增补变量法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221，对于其函数R n = X (n ) − X (1)，增补变量W = X (1)，⎩⎨⎧−==.;y z r y w 反函数为⎩⎨⎧+==.;r w z w y 其雅可比行列式为11101==J ，则R n 的密度函数为∫+∞∞−>−+−+−=dw r w p w p w F r w F n n r p r n R n 02I )()()]()()[1()(，故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫∫∞−+∞∞−>−∞−+−+−==x r n x R R dw r w p w p w F r w F n n dr dr r p x F n n 02I )()()]()()[1()()(∫∫+∞∞−∞−>−+−+−=xr n dr r w p w p w F r w F n n dw 02I )()()]()()[1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn dr r w p w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn r w dF w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫+∞∞−−−+−⋅−=x n w F r w F n dw w p n n 01)]()([11)()1(∫+∞∞−−−+=dw w p w F x w F n n )()]()([1 ∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n n )()]()([1，x > 0；方法二：分布函数法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221，故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞∞−+∞−=≤−==xy n n n R dz z y p dy x X X R P x F n ),(}{)(1)1()(∫∫+∞∞−+−−−=xy yn dz z p y p y F z F dy n n )()()]()([)1(2∫∫+∞∞−+−−⋅−=xy yn z F d y F z F y p dy n n )]([)]()([)()1(2∫∫+∞∞−−+∞∞−+−−+=−−⋅⋅−=dy y p y F x y F n y F z F n y p dy n n n x y y n )()]()([)]()([11)()1(11，x > 0；（2）因指数分布Exp (λ)的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x λλ ⎩⎨⎧≤>−=−.0,0;0,e 1)(x x x F x λ故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞−−−+−+∞∞−−⋅−−−=−+=01)(1e )]e 1()e 1[()()]()([)(dy n dy y p y F x y F n x F y n y x y n R n λλλλ101011)e 1()(e 1)e 1(e )1()e 1()(e −−+∞−−−+∞−−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=−⋅−=∫n x n y n x y n x n y n n d n λλλλλλ，x > 0．34．设X 1 , …, X n 是来自U (0, θ ) 的样本，X (1) ≤ … ≤ X (n ) 为次序统计量，令)1()(+=i i i X X Y ，i = 1, …, n − 1，Y n = X (n ) ，证明Y 1 , …, Y n 相互独立．。

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案1．用切比雪夫不等式估计下列各题的概率．(1)废品率为03.0，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率；(2)200个新生儿中，男孩多于80个而少于120个的概率(假设男孩和女孩的概率均为5.0)．解：(1)设X 为1000个产品中废品的个数，则X ～)1000,03.0(B ，有30)(=X E ，1.29)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)3040303020()4020(-<-<-=<<X P X P )103010(<-<-=X P )1030(<-=X P 709.0101.2912=-≥．(2)设X 为200个新生儿中男孩的个数，则X ～)200,5.0(B ，有100)(=X E ，50)(=X D ，由切比雪夫不等式，得)10012010010080()12080(-<-<-=<<X P X P )2010020(<-<-=X P )20100(<-=X P 87205012=-≥．2．一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X ，估计)1810(<<X P ．解：设i X 为该骰子掷第i 次出现的点数，则61)(==k X P i ，6,,2,1 =i ，6,,2,1 =k ．27)654321(61)(=+++++=i X E ，691)654321(61)(2222222=+++++=i X E ，35)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，4,3,2,1=i ．因为4321X X X X X +++=，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，故有14)(=X E ，335)(=X D ．由切比雪夫不等式，得)1418141410()1810(-<-<-=<<X P X P )4144(<-<-=X P )414(<-=X P 271.0433512=-≥．3．袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g ，标准差为10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于5.20kg 的概率．解：设i X 为一袋袋装茶叶的净重，X 为一盒茶叶的净重，由题可知∑==2001i i X X ，100)(=i X E ，100)(=i X D ，200,,2,1 =i ．因为1X ，2X ，…，200X 相互独立，则20000)()(2001==∑=i i X E X E ，20000)()(2001==∑=i i X D X D ．)()(20500)()(()20500(2001X D X E X D X E X P X P i i ->-=>∑=)1020020000205001020020000(⋅->⋅-=X P )2251020020000(>⋅-=X P 由独立同分布的中心极限定理，1020020000⋅-X 近似地服从)1,0(N ，于是0002.0)5.3(1)2251020020000(=Φ-≈>⋅-X P ．4．有一批建筑用木桩，其80%的长度不小于3m ．现从这批木桩中随机取出100根，试问其中至少有30根短于3m 的概率是多少？解：设X 为100根木桩中短于3m 的根数，则由题可知X ～)2.0,100(B ，有20)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)30(1)30(<-=≥X P X P )42030(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 0062.0)5.2(1=Φ-=．5．某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布．现随机选取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件寿命总和大于1920h 的概率．解：设i X 为第i 只电器元件的寿命，由题可知i X ～)01.0(E ，16,,2,1 =i ，且1X ，2X ，…，16X 相互独立，则100)(=i X E ，10000)(=i X D ．记∑==161i i X X ，则1600)()(161==∑=i i X E X E ，160000)()(161==∑=i i X D X D ．))()(1920)()(()1920(X D X E X D X E X P X P ->-=>)400160019204001600(->-=X P )8.04001600(>-=X P ，由独立同分布的中心极限定理，1600-X 近似地服从)1,0(N ，于是2119.0)8.0(1)8.04001600(=Φ-=>-X P ．6．在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为计算误差在区间]105,105[55--⨯⨯-上服从均匀分布)，现有1200个数相加，求产生的误差综合的绝对值小于03.0的概率．解：设i X 为每个数值的误差，则i X ～)105,105(55--⨯⨯-U ，有0)(=i X E ，1210)(8-=i X D ，1200,,2,1 =i ．从而0)()(12001==∑=i i X E X E ，61200110)()(-===∑i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，X 近似地服从)10,0(6-N ，于是)03.0(<X P ))()(03.0)()((X D X E X D X E X P -≤-=12101200003.0121012000(44--⋅-≤⋅-=X P 9974.01)3(2=-Φ=．7．某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8.0．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．(1)若实际上此药对这种病的治愈率是8.0，问接受这一断言的概率是多少？(2)若实际上此药对这种病的治愈率是7.0，问接受这一断言的概率是多少？解：设X 为100个服用此药的病人中治愈的个数，(1)由题可知X ～)8.0,100(B ，则80)(=X E ，16)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 48075(1))()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 8944.0)25.1(=Φ=．(2)由题可知X ～)7.0,100(B ，则70)(=X E ，21)(=X D ，由棣莫弗—拉普拉斯定理，得)75(1)75(≤-=>X P X P 217075(1)()((1-Φ-=-Φ-=X D X E X 1379.0)09.1(1=Φ-=．8．一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表：X678910P 05.005.01.03.05.0求：(1)在100次射击中环数介于900环与930环之间的概率是多少？(2)超过950环的概率是多少？解：设X 为100次射击中所得的环数，i X 为第i 次射击的环数，则∑==1001i i X X ，15.9)(=i X E ，95.84)(2=i X E ，2275.1)]([)()(22=-=i i i X E X E X D ，100,,2,1 =i ．由1X ，2X ，…，100X 相互独立，得915)()(1001==∑=i i X E X E ，75.122)()(1001==∑=i i X D X D ．由独立同分布的中心极限定理，75.122915-X 近似地服从)1,0(N ，于是(1))930900(≤≤X P ))()(930)()()()(900(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=75.12291593075.12291575.122915900(-≤-≤-=X P )75.1221575.122915(≤-=X P 823.01)35.1(2=-Φ≈．(2))950(>X P ))()(950)()((X D X E X D X E X P ->-=75.122915950)()((->-=X D X E X P 001.0)1.3(1=Φ-≈．9．设有30个电子元件1A ，2A ，…，30A ，其寿命分别为1X ，2X ，…，30X ，且且都服从参数为1.0=λ的指数分布，它们的使用情况是当i A 损坏后，立即使用1+i A (29,,2,1 =i )．求元件使用总时间T 不小于350h 的概率．解：由题可知i X ～)1.0(E ，30,,2,1 =i ，则10)(=i X E ，100)(=i X D ．记∑==301i i X T ，由1X ，2X ，…，30X 相互独立，得300)()(301==∑=i i X E T E ，3000)()(301==∑=i i X D T D ．))()(350)()(()350(T D T E T D T E T P T P ->-=>30103003503010300(⋅->⋅-=T P )91.03010300(>⋅-≈T P ，由独立同分布的中心极限定理，3010300⋅-T 近似地服从)1,0(N ，于是1814.0)91.0(1)91.03010300(=Φ-=>⋅-T P ．10．大学英语四级考试，设有85道选择题，每题4个选择答案，只有一个正确．若需要通过考试，必须答对51道以上．试问某学生靠运气能通过四级考试的概率有多大？解：设X 为该学生答对的题数，由题可知X ～41,85(B ，则25.21)(=X E ，9375.15)(=i X D ，85,,2,1 =i ．由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，近似地有9375.1525.21-X ～)1,0(N ，得)8551(≤≤X P ))()(85)()()()(51(X D X E X D X E X X D X E P -≤-≤-=)9375.1525.21859375.1525.219375.1525.2151(-≤-≤-=X P 0)45.7()97.15(=Φ-Φ=．即学生靠运气能通过四级考试的概率为0．。

统计学课后习题答案第五章指数

第五章指数一﹑单项选择题1.广义的指数是指反映A.价格变动的相对数B.物量变动的相对数C.总体数量变动的相对数D.各种动态相对数2.狭义的指数是反映哪一总体数量综合变动的相对数？A.有限总体B.无限总体C.简单总体D.复杂总体3.指数按其反映对象范围不同,可以分为A.个体指数和总指数B.数量指标指数和质量指标指数C.定基指数和环比指数D.平均指数和平均指标指数4.指数按其所表明的经济指标性质不同可以分为A.个体指数和总指数B.数量指标指数和质量指标指数C.定基指数和环比指数D.平均指数和平均指标指数5.按指数对比基期不同,指数可分为A.个体指数和总指数B.定基指数和环比指数C.简单指数和加权指数D.动态指数和静态指数6.下列指数中属于数量指标指数的是A.商品价格指数B.单位成本指数C.劳动生产率指数D.职工人数指数7.下列指数中属于质量指标指数的是A.产量指数B.销售额指数C.职工人数指数D.劳动生产率指数8.由两个总量指标对比所形成的指数是A.个体指数B.综合指数C.总指数D.平均指数9.综合指数包括A.个体指数和总指数B.数量指标指数和质量指标指数C.定基指数和环比指数D.平均指数和平均指标指数10.总指数编制的两种基本形式是A.个体指数和综合指数B.综合指数和平均指数C.数量指标指数和质量指标指数D.固定构成指数和结构影响指数11.数量指标指数和质量指标指数的划分依据是A.指数化指标性质不同B.所反映的对象范围不同C.所比较的现象特征不同D.指数编制的方法不同12.编制综合指数最关键的问题是确定A.指数化指标的性质B.同度量因素及其时期C.指数体系D.个体指数和权数13.编制数量指标指数的一般原则是采用下列哪一指标作为同度量因素A.基期的质量指标B.报告期的质量指标C.报告期的数量指标D.基期的数量指标14.编制质量指标指数的一般原则是采用下列哪一指标作为同度量因素A.基期的质量指标B.报告期的质量指标C.报告期的数量指标D.基期的数量指标15.销售量指数中的指数化指标是A.销售量B.销售额C.销售价格D.数量指标16.单位产品成本指数中的同度量因素是A.单位产品成本B.总成本C.产量D.质量指标17.在由三个指数所组成的指数体系中,两个因素指数的同度量因素通常A.都固定在基期B.一个固定在基期,另一个固定在报告期C.都固定在报告期D.采用基期和报告期的平均18.拉氏指数的同度量因素时期固定在A.基期B.报告期C.假定期D.任意时期19.派氏指数的同度量因素时期固定在A.基期B.报告期C.假定期D.任意时期20.Σp1q1￣Σp0q1表明A.由于销售量的变化对销售额的影响B.由于价格的变化对销售额的影响C.由于销售量的变化对价格的影响D.由于价格的变化对销售量的影响21.Σp0q1￣Σp0q0表明A.由于价格的变化对销售额的影响B.由于销售量的变化对价格的影响C.由于销售量的变化对销售额的影响D.由于价格的变化对销售量的影响22. Σp0q1/Σp0q0表示A.价格水平不变的条件下,销售量综合变动的程度B.在报告期价格的条件下,销售量综合变动的程度C.综合反映多种商品物价变动程度D.综合反映商品销售额变动程度19.零售物价增长3%,零售商品销售量增长6%,则零售商品销售额增长A.9%B.9.18%C.18%D.2.91%24.若产量增加,而生产费用不变,则单位成本指数A.减少B.增加C.不变D.无法确定25.某企业生产费用报告期比基期增长了50%，产品产量增长了25%，则单位成本增长了A.25%B.2%C.75%D.20%26.若工资总额增长10%，平均工资下降5%，则职工人数A.增长15%B.增长5%C.增长15.8%D.下降5%27.假如播种面积报告期比基期下降5%，而平均亩产量却增长5%，则总产量报告期比基期A.增长B.下降C.没有变化D.无法确定28.平均指数是计算总指数的另一种形式,其计算基础A.数量指标指数B.质量指标指数C.综合指数D.个体指数29.综合指数和平均指数的联系表现在A.在一般条件下,两类指数间有变形关系B.在权数固定条件下,两类指数间有变形关系C.在一定权数条件下,两类指数间有变形关系D.在同度量因素固定条件下, 两类指数间有变形关系30.若将加权算术平均数指数变形为综合指数所用的特定权数是A.基期总额B.报告期总额C.假定期总额D.固定权数31.若将加权调和平均数指数变形为综合指数所用的特定权数是A.基期总额B.报告期总额C.假定期总额D.固定权数32.按个体价格指数和报告期销售额计算的价格指数是A.综合指数B.平均指标指数C.加权算术平均指数D.加权调和平均数指数33.按个体产量指数和基期总产值计算的产量指数是A.综合指数B.平均指标指数C.加权算术平均指数D.加权调和平均数指数34.因素分析法的方法论基础是A.指标体系B.指数体系C.综合指数D.总指数35.我国现行的零售物价指数的编制主要采用A.个体指数的形式B.综合指数变形的平均指数形式C.综合指数形式主义D.固定权数的算术平均数指数形式36.某市1991年社会商品零售额为12000万元,1995年增加到15600万元.这四年中零售物价指数提高4%，则商品零售量指数为A.80%B.130%C.104%D.125%37.在指数体系中,总变动指数(对象指数)等于各因素指数A.之和B.之差C.之积D.之商38.在指数体系中,总变动绝对差额等于各因素变动绝对差额A.之和B.之差C.之积D.之商39.由两个平均指标对比所形成的指数是A.平均数指数B.个体指数C.综合指数D.平均指标指数40.固定构成指数反映A.总体结构变动对总体平均指标变动的影响B.总体各组水平变动对总体平均指标变动的影响C.总体平均指标的综合变动D.总体总量指标的综合变动41.结构影响指数的计算公式为42.已知劳动生产率可变构成指数为134.2%,职工人数结构影响指数为96.3%,则劳动生产率固定构成指数为A.139.36%B.129.73%C.71.76%D.39.36%43.某厂1997年单位产品成本比1996年提高了5.8%，产品产量结构影响指数为96%,则该厂总平均单位成本A.提高1.57%B.提高1.8%C.下降4%D.下降9.26%44.两个不同时期的加权算术平均数对比所形成的指数称为A.加权算术平均指数B.加权调和平均指数C.可变构成指数D.综合指数二、多项选择题1.指数按照其所表明的指标性质不同可以分为A.个体指数B.总指数C.组指数D.数量指标指数E.质量指标指数2.综合指数包括A.总指数B.平均指数C.数量指标指数D.质量指标指数E.平均指标指数3.下列指数中属于数量指标指数的有A.销售量指数B.职工人数指数C.产量指数D.销售价格指数E.单位成本指数4.下列指数中属于质量指标指数的有A.销售价格指数B.销售额指数C.单位成本指数D.劳动生产率指数E.可变构成指数5.同度量因素的作用有A.平衡作用B.权数作用C.媒介作用D.同度量作用E.比较作用6.编制综合指数的一般原则是A.数量指标指数以基期质量指标为同度量因素B.数量指标指数以报告期质量指标为同度量因素C.质量指标指数以基期数量指标为同度量因素D.质量指标指数以报告期数量指标为同度量因素A.质量指标指数和数量指标指数都采用基期的对应指标为同度量因素111000000110110111000111....f f x f f x D f f x f f x C f f x f f x B f f x f f x A ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑7.编制综合指数要掌握的两个要点是A.引进同度量因素对复杂经济现象总体进行综合B.确定指数化因素C.将同度量因素固定，消除同度量因素变动的影响D.选择编制指数的方法E.明确指数的经济意义8.已知某商业企业基期销售额为100万元，报告期销售额比基期增长14%，又知道以基期价格计算的报告期假定销售额为112万元，则通过计算可以知道A.销售量增长12%B.价格增长12%C.由于价格变化使销售额增加2万元D.由于销售量变化使销售额增加12万元E.由于销售量变化使销售额增加20万元9.公式Σp1q1￣Σp0q1的经济意义是A.综合反映销售额变动的绝对额B.综合反映价格变动的绝对额C.综合反映销售量变动的绝对额D.综合反映价格和销售量共同变动的绝对额E.综合反映由于多种价格变动而增减的销售额10.下列公式中属于拉氏指数的有A.∑p1q∑p0q0 B.∑q1p1 ∑q0p1 C.∑p1q1 ∑p0q1 D.∑q1p0 ∑q0p0 E.∑q1p1 ∑q0p011.下列公式中属于派氏指数的有A.∑p1q∑p0q0 B.∑q1p1 ∑q0p1 C.∑p1q1 ∑p0q1 D.∑q1p0 ∑q0p0 E.∑q1p1 ∑q0p012.加权算术平均数指数是一种A.总指数B.综合指数C.平均数指数D.平均指标指数E.个体指数加权平均数13.平均指数和综合指数的联系和区别表现为A.在解决复杂总体不能直接同度量问题的思想不同B.在运用资料的条件上不同C.综合指数是先综合后对比,而平均指数是先对比后综合D.在经济分析中的具体作用也有区别E.在一定的权数条件下,两类指数间有变形关系14.作为综合指数变形的平均指数应用的一般法则为A.数量指标指数必须采用基期总量指标为权数的加权算术平均指数的形式B.数量指标指数必须采用报告期总量指标为权数的加权算术平均指数的形式C.质量指标指数必须采用基期总量指标为权数的加权调和平均指数的形式D.质量指标指数必须采用报告期总量指标为权数的加权调和平均指数的形式E.数量指标指数和质量指标指数所采用权数的时期可以采用不同时期15.在指数体系中,指数之间的数量对等关系表现在A.总量指数(对象指数)等于其因素指数的连乘积B.总量指数(对象指数)等于其因素指数的代数和C.总量指数(对象指数)等于其因素指数的比值D.总量指数的绝对增减额等于其因素指数绝对增减额的连乘积E.总量指数的绝对增减额等于其因素指数绝对增减额的代数和16.平均指标指数体系包括哪些指数？A.数量指标指数B.质量指标指数C.可变构成指数D.固定结构指数E.结构影响指数17.在指数体系中,同度量因素的选择标准是A.经济含义合理B.数学等式成立C.计算方法简便D.计算资料易取E.对比基期固定18.可变构成指数可以分解为A.数量指标指数B.质量指标指数C.固定结构指数D.结构影响指数E.平均指标指数19.可变构成指数体系的关系表现为A.可变构成指数等于结构影响指数乘以固定结构指数B.固定结构指数等于结构影响指数乘以可变构成指数C.固定结构指数等于可变构成指数除以结构影响指数D.可变构成指数等于固定结构指数除以结构影响指数E.结构影响指数等于可变构成指数除以固定结构指数20.运用指数体系进行因素分析时可以A.对总量指标进行因素分析B.对平均指标进行因素分析C.对相对指标进行因素分析D.从相对数方面进行因素分析E.从绝对数方面进行因素分析21.指数因素分析按指标表现形式不同可分为A.总量指标变动因素分析B.相对指标变动因素分析C.平均指标变动因素分析D.简单现象因素分析E.复杂现象因素分析22.适用于非全面资料编制的总指数是A.数量指标综合指数B.质量指标综合指数C.算术平均数指数D.调和平均数指数E.平均指标指数23.设表示产量；P表示价格，则在实际工作中下列式子哪些是正确的？A.∑p1q1∑p0q0 B.∑q1p1 ∑q1p0 C.∑p0q1 ∑p0q0 D.∑q0p1 ∑q0p0 E.∑q1p1 ∑q0p1三、填空题1.从狭义上讲,指数是表明数量综合变动的相对数。

统计学习题集第五章相关与回归分析

统计学习题集第五章相关与回归分析(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--所属章节：第五章相关分析与回归分析1■在线性相关中，若两个变量的变动方向相反，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之减少，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之增加，则称为（）。

答案：负相关。

干扰项：正相关。

干扰项：完全相关。

干扰项：非线性相关。

提示与解答：本题的正确答案为：负相关。

2■在线性相关中，若两个变量的变动方向相同，一个变量的数值增加，另一个变量数值随之增加，或一个变量的数值减少，另一个变量的数值随之减少，则称为（）。

答案：正相关。

干扰项：负相关。

干扰项：完全相关。

干扰项：非线性相关。

提示与解答：本题的正确答案为：正相关。

3■下面的陈述中哪一个是错误的（）。

答案：相关系数不会取负值。

干扰项：相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量。

干扰项：相关系数是一个随机变量。

干扰项：相关系数的绝对值不会大于1。

提示与解答：本题的正确答案为：相关系数不会取负值。

4■下面的陈述中哪一个是错误的（）。

答案：回归分析中回归系数的显着性检验的原假设是：所检验的回归系数的真值不为0。

干扰项：相关系数显着性检验的原假设是：总体中两个变量不存在相关关系。

干扰项：回归分析中回归系数的显着性检验的原假设是：所检验的回归系数的真值为0。

干扰项：回归分析中多元线性回归方程的整体显着性检验的原假设是：自变量前的偏回归系数的真值同时为0。

提示与解答：本题的正确答案为：回归分析中回归系数的显着性检验的原假设是：所检验的回归系数的真值不为0。

5■根据你的判断，下面的相关系数值哪一个是错误的（）。

答案：。

干扰项：。

干扰项：0。

提示与解答：本题的正确答案为：。

6■下面关于相关系数的陈述中哪一个是错误的（）。

答案：数值越大说明两个变量之间的关系越强，数值越小说明两个变量之间的关系越弱。

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------
甲
150
180
8
乙
200
240
5
丙
400
450
15
----------------------------------------------------
-
要求:a.计算销售量指数.
b.计算价格指数和销售额指数.
c.试从相对数和绝对数两方面简要分析销售额变动所受的因素影
响.
商品名称
p0q0
单位
按不同时期计算的销售额
A
件
200
B
个
200
C
斤
1000
300 150 1200
450 300 1050
合计 —
1400
1650
1800
售额总指数：销售额变化的绝对额为（元）
（2）价格总指数即：三种商品报告期价格比基期价格上涨9％。（3）销售量总指数即：三种商品报告期销售量比基期增加18％。
标的综合变动方向和程度 ② 分析现象总体变动中受各个因素变动的影
响程度。包括现象总体总量指标和平均指标的变动受各个因素变动的影
响程度分析； ③ 利用连续编制的指数数列，对复杂现象总体长时间发
展变化趋势进行分析。 3、什么是同度量因素？有什么作用？答：同度量因素是指使若干由于度量单位不同不能直接相加的指标，过渡到可以加总和比较而使用的媒介因素。其作用有二：一是同度量作用，二是权数作用。 4、简述指数体系的概念和作用。
34
乙
吨
46
54
12
12
丙
台
60
60
68
62
要求： ⑴计算价格总指数和产量总指数及产值总指数； ⑵从相对量和绝对量上简要分析产量及价格的变动对产值变动的影响。
．解：（1），即：三种产品报告期价格比基期价格下降7％。即：三种产品报告期数量比基期上升3％。
，
即：三种产品报告期总产值比基期下降4％。）相对数方面：由于价格的变化使总产值下降7％，由于产量的变化使总产值上升3％，最终由于价格和产量
2、 ABCE 3、 ABD 4、 BD 5、CD
7、 AB
8、 CD 9 、 ABDE 10、ABC
11、ABD 12、ABDE 13、 AE
三、判断题
1、 √ 2、 × 3、 √ 4、 √ 5、√
6、 √ 7、× 8、 √ 9、 √
10、√
四、填空题
1、平均数指数 2、个体指数、总指数 3、广义、狭义、
狭义 4、质量指标、数量指标 5、连乘积、之和 6、同度量
作用、权数 7、基期、报告期 8、可变构成、固定构成、结构
影响
五、复习思考题
1、什么是指数？指数有哪些类型？
答：
统计指数的概念有广义和狭义两种理解。广义指数是泛指
社会经济现象数量变动的比较指标，即用来表明同类现象在不同空间、
不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数。狭义指数仅指反映不能
答：指数体系是指由三个或三个以上具有内在联系的指数构成的有一定数量对等关系的整体。
指数体系的作用：（1）指数体系是因素分析的基本依据。（2）指数体系可以进行指数之间的相互推算。六、计算题
1、某企业生产的产品产量和产品价格资料下表所示。某企业生产的产品产量和产
品价格资料
产品名称
基期报告期
10
15
5
10
20
15
销售量
基期报告期
20
30
40
30
50
70
要求：根据所给资料：（1）计算全部商品的销售额指数，并说明销售变化的绝对额是多少。（2）用综合指数法计算全部商品的销售价格指数。（3）用综合指数法计算全部商品的销售量指数。
解：根据已知数据，计算有关数据列表如下：
商品种类
计量单位
产量
基期
报期
单价（元）
告基期
报告期
甲
件
880
1056
35
乙
台
600
660
80
丙
吨
400
520
70
根据资料计算：（1）个体产量指数；（2）个体价格指数；（3）三种产品产量总指数；（4）由于三种产品产量变动，而使总产量增加或减少的绝对额；（5）三种产品价格总指数；（6）由于三种产品价格的变动，而使总产值增加或减少的绝对额。
直接相加的复杂社会经济现象在数量上综合变动情况的相对数。例如，
要说明一个国家或一个地区商品价格综合变动情况，由于各种商品的经
济用途、规格、型号、计量单位等不同，不能直接将各种商品的价格简
单对比，而要解决这种复杂经济总体各要素相加问题，就要编制统计指
数综合反映它们的变动情况。
指数的类型：
（1）按其反映对象范围的不同分为：个体指数和总指数
甲
150
200 乙
丙
400
合
750
计
a.销售量指数:
p1q1 Kpq(%) Kp0q0
108
180
162
105
240
210
115
450
460
---
870
832
由于销售量变动而增加的销售额： 832 — 750 = 82年（万元）
b. 价格指数：
销售额指数：
116% = 110。93% × 104。57% 120万元 = 82万元 + 38万元
1、（1）个体产量指数和（2）个体价格指数
产品名个体产量指数个体价格指数
称
Q1/Q0
P1/P0
甲 1056/880=1．2 40/35=1． 143
乙 660/600=1． 90/80=1．
1
125
丙 520/400=1．3 84/70=1．2
某企业生产的产品产量和产品价格资料
产量
单
产品名计量单
解：（1）三种产品产值总指数：
（2）三种商品的产量总指数：
价使销售额增加了由于商品价格上升了15.51%，使销售额增加了
6、某工业企业甲、乙、丙三种产品的产量及其价格资料如下：
产品名称甲
计量单位套
产量
基期
报告期
30
32
价格（万元）
基期
报告期
36
（%）
值（万元）
值（万元）
甲
件
102.86
315
360
乙
件
114.29
175
208
丙
吨
120.00
48
72
合计
-
-
538
640
要求：从绝对数和相对数两个方面，分析该企业的价格变动对生产总值的影响。（10分）
解：三种产品的价格指数
由于价格变动对生产总值影响的绝对数=640-592=48（万元
5、某企业三种产品有关资料如下：
元）
所以，由于产量增加使得总产值增加235万元。
11、某商店三种商品的销售资料如下:
_______________________________________________________
商品
销售额（万元）
今年销售量
名称
去年今年
比去年增长
%
----------------------------------------------------
3、某商品在两个市场出售资料
商
第一季
第
品度
二季度
单价（元/ 公斤）
X0
销售量（公斤）
f0
单价（元/公斤）
X1
销售量（公斤）
f1
甲
2.90
600
2.85
500
乙
3.20
400
3.15
1000
合计
—— 1000
——
1500
==
=
=100.99%
--=
三者关系：
相对数分析：绝对数分析：
产品名称
单位
单位成本（元）
基期
报告期
产量
基期
报名期
甲
套
6
8
400
500
乙
个
8
10
500
600
丙
件
12
15
160
200
要求：运用指数体系对该企业三种产品的总成本变动进行因素分析。（10分）解： 4、某企业2007年和2008年生产情况如下：
产品
计量单位
价格个体指数 2007年生产总 2008年生产总
2、已知某商业企业三种商品的价格和销售量资料如下表所示。
商品名称
某商业企业三种商品的价格和销售量资料
价格（元）
计量单
位
2005年
2006年
（p0）（p1）
2005年
（q
甲乙双丙
25 140 件 0.6 双
28
5000
160
800
0.6
1000
根据资料计算分析三种商品销售额的变动及原因。
10、某印染厂产值和产量资料如下表所示：（10分）
根据表中有关数据可以计算：
（1）销
上年实际产值本年实际产值产量本年比上
产品种类（万元）
（万元）年增长%（）
甲
200
240
25
乙
450
485
110
丙
250
480
140
合计
1000