常微分方程在马尔萨斯模型中的应用

常微分方程在马尔萨斯模型中的应用看过马尔萨斯《人口论》的人，都会知道是在讲人口中生活资料与人口增

长的问题。其中，他把自己所发现的人口规律归结为三点：1.人口增长必然被生活资料所限制；2.只要生活资料增长，人口一定会坚定不移地增长，除非受到某些非常有力而又显著的抑制的阻止；3.这些抑制，以及那些遏制人口的优势力量，并使其结果与生活资料保持同一水平的抑制，全部可归结为道德的节制、罪恶和贫困。

据马尔萨斯的观点，认为人类的贫困与罪恶并非来源于制度，而是来源于人口增长与食物增长的差异。从“两个公理”出发的：“第一，食物为人类生存所必需。第二，两性间的情欲是必然的，且几乎会保持现状。”马尔萨斯断言，在这两个前提之下，人口的增殖比生活资料的增长要快。正常情况下，人口每25年以几何级数率增加，而生活资料只以算术级数率增长，因而人口增长势必有超过生活资料增长的趋势。

我认为，这个是有缺陷的。他认为人类的贫穷与罪恶并非来源制度，而是来源于人口增加与食物增长的差异。我认为人心的贪欲是罪恶的来源，因为现实中有些人并不贫穷，但是他们还是很拼命去赚钱，这个，并且有些时候会在违法的情况下去获得收入，难道这个不是制度吗？一个国家的制度好坏，会影响国家的罪恶程度。

还有，虽然现在还没有资料可以证实或者证伪“生活资料以算术级数率增长，人口几何级数率增加”，但是会有些缺陷。人口增长，确实带来很大问题。由于人口的快速增长，土地有限，必然导致粮食产量达不到平衡人口增长，固然会导致贫穷。但我感觉人口不会是个算术级数率增长，可人口增长和生活资料的增长必须保持平衡真的是不可缺少的。

在马尔萨斯看来，既然两性间的情欲必然存在，不能消灭，那么只有财产私有制和个人担负起养育子女的责任才可能使人们自制，不致妄行纵欲、生育过多的子女。

可是我觉得这个是错误的，在改革开放以后，中国人口还是高速增长，虽然都是个人担负起养育子女的责任，但大家感觉人多就是力量，就是可以产生很多财富，结果是孩子越多，生活过大约艰辛。或者说，这个中国特有的现状，但是

非洲或者其他发展中或者贫穷的国家，人口增长真的很快。如人口增长模式中可知，高低高模式（过渡型，基本特点：高出生率，低死亡率，高自然增长率。），只要分布：农业社会和大多数发展中国家）。所以，我认为这个理论是不正确的。

据马尔萨斯说：“一国的幸福取决于什么？其实，并非绝对取决于其贫富、历史的长短和人口的疏密，而是取决于食物增长的速度，取决于每年食物的增长同每年人口向平衡的程度。”

我却认为，这个是不完美的。因为人是有精神的，不是说物质的幸福才是幸福，不是说食物多才是幸福。比如说，食物增长了，但是人们付出的劳动时间增加，辛苦劳累，这个虽增加很多食物，但是对于增加食物的期望值与幸福度是在减少的。所以，我认为是不完全对。

据马尔萨斯书中所说，工业的收入，仅仅是劳动产品增加造成的，不是土地产品的增加造成的，增加不会转会成食物。人民的食物不可能增加，对于国家是不利的。

他也是在全球的背景下考虑这个问题，但我觉得是有缺陷的。因为全球的经济条件下，国家可以进口食物，食物价格会增长，但不会比劳动活动的经济利益增加的快。因为根据国家贸易比较优势理论，可以知道两优取其重，两劣取其轻。所以不必担心食物会被垄断，然后无限的上涨。我认为，非食物性的生产劳动，是有利于人口的增长。因为，耕种的减少，但是技术的提升，还有现在的无土栽培技术，非食物生产是对农业影响不大。就如现在，农村不再是说要很多人耕种，因为机器可以代替人工，解放一部分生产力，给工业带来好处。

然后，马尔萨斯好像在人口论中不怎么支持工业，感觉非农业的生产都会带来人口的贫穷与罪恶。比如说，中国的财富显然会增加，其土地年产品和劳动年产品的交换价值逐年提高，然而供养劳动者的实际基金却将保持不变，甚或减少，因此，中国财富的增长与其说会改善穷人的生活境况，还不如说会是穷人的生活境况恶化。

我觉得，这样的思想是不正确的。工业是可以带来财富的增加，然后人民可以根据自己财富购买生活所需产品，虽然其中会带来或者说一定会带来通货膨胀。但财富的增加相当大一部分可以抵消这样的消极经济结果。制造业确实是功劳很大，就如几次工业革命，就明白其中的道理。

下面来说说常微分方程，17世纪，常微分方程与微积分相伴而生，微积分

是她的母体，生产生活实践是她生命的源泉。至18世纪上半叶，人们的目光主要放在常微分方程的“求解”上，常微分方程处于实域解析理论阶段.工业革命带来的数学繁荣促进了常微分方程的成长，先探讨解的存在与唯一性而不是一味求解。奇点理论，边值解，形式级数解、自守函数论先后出现，使常微分方程成长为一个数学分支，步入了复域解析阶段。从19世纪后半叶开始，不解方程而确定解的性质的定性理论开始建立，数学思想方法再次实现了大的进步，朝着解析方法、几何方法、数值方法3个主要方向扩展.随着伯克霍夫(美)提出拓扑动力系统(1927年)，将一般定性理论进行了抽象和升华，逐渐发展成微分动力系统.300 多年来，常徽分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的16、17世纪，成长于生产实践和数学的发展进程，表现出强大的生命力和活力，蕴涵着丰富的数学思想方法。

模型化是通过研究模型来揭示原型形态、本质、特征的科学思维方法。它可以有目的地集中研究认识对象的主要结构和关系，抓住事物中的主要矛盾以及矛盾的主要方面，具有科学性和极强的可重复操作性，同时，模型化也是实践决定认识的一次飞跃过程。常微分方程自诞生之初，就是模型化的产物，尤其在实域解析理论阶段表现得特别充分。常微分方程早期多研究机械、电学系统，之后逐渐加强与其它学科的渗透支援，理论开始丰富和深化即使是20世纪30年代，蓬勃发展的无线电技术中的孤立等幅振荡，也极大她促进了极限环的研究。丰富了常微分方程的理论.时至今日:放射性元素的衰变模型、人口乃至生态系统的模型、医学方面的传染病模型、气象学中的洛仑兹模型、军事方面的军备竞赛湘作战模型等，给我们展示了常微分方程模型化的壮阔画卷.随着常微分方程的不断发展，常微分方程模型也逐渐现代化，在确定连续模型的基础上，从静态优化的微分法模型向动态模型、平衡与稳定状态模型及动态优化模型发展，对于复杂的实际问题,要建立一个较准确的描述它的状态的微分方程是件很困难的事,因为它不仅涉及到多种数学概念与方法,而且还涉及到该问题所属的实际学科的许多知识,有时甚至还要靠实验的帮助,才能建立起较能反映实际、而在数学上又有可能处理的方程来。但我们这里谈的是建立一阶常微分方程,难度自然就大大降低了(有的还是要在某些理想化的条件下) 。然而,对于初学者来说,要顺利、准确地列出方程还是有个学习与摸索的过程。为叙述上的方便,我们把实际问题粗略