数学建模-常微分方程模型及差分模型共49页文档
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微分方程模型(数学建模)
利用模拟近似法建模
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
常微分方程模型
yx
y
M0 M
o
α0
x
β
θ
dy (tanα0 )x + y = . 因而得到 y x 满足的微分方程 dx x (tanα0 ) y
三、本讲习题
作业 习题1.1, 1, 2.
莱布尼兹 (Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646-1716)
德国数学家、自然科学家、哲学家。1646 年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于 汉诺威。 他的研究涉及逻辑学、数学、力学、地质学、法学、历史、 语言及神学等多种领域，其目的是寻求一种可以获得知识和创造 发明的普遍方法。在数学中以独立创立微积分学而著称，所发表 之论文从几何学的角度论述微分法则，得到微分学的一系列基本 结果，是较早的微积分文献。1686年他又发表第一篇积分学论 文，可以求出原函数。这两篇文献均早于牛顿首次发表的微积分 结果(1687)，但他开始从事研究的时间要晚近10年，因此数学史 上将他二人并列做为微积分的创立者。莱布尼兹于1694年进一 步补充了积分结果。他创设的数学符号非常优良，对微积分的发 展有极大影响，直到现在仍在使用。
y = g.
例 3 弹簧振子:设质量为 m 的弹簧振子作水平自由
例3 振动,见右图.弹簧的弹性系数为 k ,阻力与速度成正
比,阻尼系数为 .
用 x t 表示振子当前所处的位置,并 假设弹簧松弛时振子所处的位置 为x
0 .那么振子在时刻 t 受到的
dx
′) x ( tkx(t 源自 ox (t )解: 设坐标原点为 M 0. 设曲线 的方程为 y
过点 M x, y 的切线与 x 轴的 夹角 满足 tan θ = dy . dx 按照夹角关系,有 α 0 = θ β
一阶常微分方程-高阶常微分方程-方程组-差分方程-偏微分方程模型
计可以通过
dN / dt r sN , s r
N
进行线性拟合。其中
Nm
dN / dt N / t
。而
模型的检验也可以通过这两个参数的估计
量与一个实际的人口数量之间进行比较加
以检验。
（5） 阻滞增长模型不仅能够大体上描述人 口及许多物种的变化规律，而且在社会经
济领域中有广泛的应用，如耐用消费品的 销售量也可以用此模型来描述。
新技术推广模型
一项新技术如何在有关企业中推广,是 人们最为关心的问题,也就是说,一旦一家企 业采用了一项新技术,那么行业中的其他企 业将以怎样的速度采用该技术？哪些因素 将影响到技术的推广？下面我们在适当的 条件下讨论此问题。
记p(t)为t 时刻采用该技术的企业数。并
设 p(t)连续可微。假设未采用该技术者之所 以决定采用该技术，是因为其已知有的企 业采用了该技术并具有成效。即是以“眼 见为实”作为决策依据的,亦即“示范效应” 在起作用。
增长率递增的现象），但是随着人口数的 增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的 现象。再考虑到环境适应程度的制约，想 象人口的增长不可能超过某个度。
（2）对于其中常数增长率r 的估计可以使用 拟合或者参数估计的方法得到。
（3）在实际情况下，可以使用离散的近似 表达式 N (t) N0 (1 r)t 作为人口的预测表 达式。
在式 (1) 中，设
A A0ert ( A0 , r 0)
即自发支出有一个常数增长率r ，则式 (2) 的
解为
Y (t)
(
A0
r)
e t
Y0
(
A0
r)
e
t
由此可见：
(1)当
r
常 微 分 方 程 模 型 选 讲
14
解模
di
dt
i (1 i )
i ( 0 ) i0
d i (1
i
i)
=
d
t
i ( 0 ) i 0
t
1ln1i-i
-ln i0 1-i0
i(t)
1
1
1 i0
1et
15
解的图像
1
i(t)
ddti i(1 i) i
i(0)
i 0
23
参数解释：
di
i(1
i)
i
dt
i(0) i0
(一天平均有多少
比例的病人可以治愈)
~ 日传染率：平
均一个病人一天传 染给几个健康人得 病
1/ ~感染期
/
~ 感染期内每天平均每个病人传染的人
k， i x
>> int('1/k/x/(1-x)') 1/k*log(x)-1/k*log(-1+x) >>solve('t=1/k*log(x)-
1/k*log(-1+x)') 1/(-1+exp(t*k))*exp(t*k) >> solve('t=1/k*log(x)-
t
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
9
问题1：模型中的如何确定？
di i
dt
di dt
i
i(t2)-i(t1)
(t2-t1)i(t*) 用已知的数据估计未知的参数
微分方程模型
当 σ > 1 表示传染病的日接触率>日治愈率, 表示传染病的日接触率>日治愈率, i(t)>0,反映传染病在蔓延, i(t)>0,反映传染病在蔓延,感染人数不断上 升; 如SARS这类高传染性的传染病,日接触率 SARS这类高传染性的传染病, 远大于日治愈率, i(t)→1,反映传染病迅速 远大于日治愈率, i(t)→1,反映传染病迅速 爆发; 爆发; 当 σ ≤ 1 表示传染病的日接触率≤日治愈率, 表示传染病的日接触率≤日治愈率, i(t)=0,反映传染病传染受到控制; i(t)=0,反映传染病传染受到控制;
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
10379-数学建模-常微分方程模型
微分方程模型人们在研究物体的运动、热量或声波的传播、电路中电压与电流的变化等物理现象，以及人口增长的预测，血药浓度的变化，交通流量的控制以及生态、环境、经济管理等过程中，作为研究对象的函数，要和函数的导数一起，用一个符合其内在规律的方程来描述，这就是微分方程，微分方程是用数学方法分析客观对象变化规律的有力工具，是一类重要的数学模型。
建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来分析实际现象，并加以检验，虽然又是可以利用微积分方法求出某些微分方程的解分析，但实际上大量的微分方程都不能获得它们的解析表达式；即使有时能获得解细节，其表达式也非常复杂，难以讨论其性质，因此必须通过数值求解的方法算出微分方程在某些离散点处的近似解，进而分析微分方程所反映的客观规律。
1实例及其数学模型 1.1 海上缉私问题 海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c 海里处有一艘走私船争议一定速度象征北方向行驶，缉私艇立即以最大速度前往拦截，用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船，建立任一时刻缉私艇的位置和缉私艇航线的数学模型，确定缉私艇追上走私船的位置，求出追上的时间。
模型 建立直角坐标系如图4.1，设在0=t 时刻缉私艇发现走私船，此时缉私艇的位置在),0,0(o ，走私船的位置在)0,(c .走私船以速度a 平行与y 轴正向行使，缉私艇以速度b 安指向走私船的方向行驶)(a b >。
在任意时刻t 缉私艇位于),(y x p 点，而走私船到达Q ),(at c 点，直线PQ 与缉私停航线（图4.1种曲线）相切，切线与x 轴正向夹角为α。
缉私艇在y x ,方向的速度分别为,sin ,cos ααb dtdyb dt dx ==有直角三角形PQR 写出αsin 和αcos 的表达式，得到微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+--=.)()()(,)()()(2222y at x c y at b dt dy y at x c x c b dt dx（1） 初始条件为.0)0(,0)0(==y x这就是缉私艇位置（)(),(t y t x ）的数学模型，但是有方程（1）无法得到)(),(t y t x 的解细节，需要用数值算法求解，我们将在4.3节继续讨论这个问题。
数学建模-微分方程模型.pptx
2019年11月8
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
谢谢你的阅读
1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
谢谢你的阅读
2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
谢谢你的阅读
51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
谢谢你的阅读
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
谢谢你的阅读
29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
数学建模－ 微分方程模型
xx 同济大学数学科学学院
谢谢你的阅读
1
一、什么是微分方程？
最最简单的例子
2019年11月8
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2
引例 一曲线通过点（1，2），且在该曲线任一点
M( x ,y )处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。
解 若设曲线方程为 y f (x)，(1)
2019年11月8
谢谢你的阅读
51
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假定： r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
2019年11月8
x0
谢谢你的阅读
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
53
模型的参数估计
用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm
• 利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）
1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5
CO2的通入量 2000 dt 0.03, CO2的排出量 2000 dt x(t),
2019年11月8
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29
CO2的改变量 CO2的通入量 CO2的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x(t),
数学建模竞赛课件---微分方程模型
微分方程在生物学、物理学、化学和经济学等领域都有广泛的应用。它们可以用于模拟生物生长、物体 运动、热传导和经济增长等现象。
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。
案例分析
通过几个具体案例，展示微分方程在建模竞赛中的应用。包括鱼的增长模型、自由落体问题、热传导问 题和稳定的经济增长模型。
结语
微分方程是数学建模竞赛中必不可少的工具，对于解决复杂问题具有重要作 用。通过系统学习和实践，可以掌握微分方程的解法和应用。
一阶微分方程
一阶微分方程是最基本的微分方程类型之一，包括可分离变量、齐次线性、 一阶线性和变量分离法等。掌握这些求解方法可以解决许多实际问题。
高阶微分方程
高阶微分方程是一阶微分方程的延伸，包括齐次线性、非齐次线性、常系数 和变系数等类型。熟练掌握这些求解方法可以应对更加复杂的建模问题。
微分方程在建模中的应用
数学建模竞赛课件---微分 方程模型
本课件介绍微分方程模型在数学建模竞赛中的重要性和应用。内容包括微分 方程的定义、分类、解法，以及在生物学、物理学、是数学中的重要工具，可用于描述自然现象和科学问题。它们分为 常微分方程和偏微分方程，并可以按类型进行分类。了解微分方程的解法对 于建模竞赛至关重要。