数学建模第四章差分方程方法
第四章差分方程建模
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(2)的通解
情况1 若特征方程（3）有n个互不相同的实根
1
，
,…,
n ,则齐次方程（2）的通解为
t C11 C n tn (C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（3）的k重根，通解中对应 k 1 t (C1 C k t ) 于λ的项为
出下一个点的一个坐标分量，并确认它在哪条曲线上，就可以画出这个点；有时
或者可由前两个点决定下一个点的一个坐标分量），也就是通过直观、几何形 式，把我们关心的变量的所有可能取值表示出来。
这里采用的方法是，引入两条曲线，因为在曲线上如果知道了 一个分量，就可以作出另一个分量。可见几何形式表示有关系 的变量是既方便又有意义的。
满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数， 则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差 分方程 易见
yt sin 与 yt cos 均是它的特解，而 2 2 yt c1 sin t c2 sin t 2 2则为它的通解，其 中c1，c2为两个任
m A0 (1 r ) [(1 r ) k 1], k 0,1,2,... r
k
这就是差分方程（4）的解。把已知数据 A0 , r 代 入 A12n 0 中，可以求出月还款额。例如： m 444 .356 A 10000 , r 0.0052125 ,n 2 时，可以求出： 元。 • 模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改 变、目标的改变、某些特殊结果等。如果 令 Ak A ，则 A m ，并且
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
(完整版)差分方程的常见解法
(完整版)差分方程的常见解法差分方程的常见解法差分方程是数学中的一种重要方程类型，常用于描述离散事件系统的发展规律。
在求解差分方程时，我们可以采用以下几种常见的解法。
1. 直接求解法直接求解法是最简单且常用的差分方程求解方法之一。
它的基本思想是通过观察差分方程的规律，找到解的形式，并通过代入验证得到确切的解。
举例来说，对于一阶线性差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，我们可以猜测解的形式为$y_n = c\lambda^n$，其中$c$和$\lambda$为待定常数。
将此解代入方程，再通过已知条件解得$c$和$\lambda$的值，从而得到原差分方程的解。
2. 特征方程法特征方程法是一种常用于求解线性齐次差分方程的方法。
对于形如$y_{n+2} = ay_{n+1} + by_n$的差分方程，我们可以通过构造特征方程来求解。
具体步骤是，我们将差分方程中的项移动到一边，得到$y_{n+2} - ay_{n+1} - by_n = 0$。
然后，假设解的形式为$y_n =\lambda^n$，将其代入方程，得到特征方程$\lambda^2 - a\lambda - b = 0$。
解这个特征方程，得到特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$，然后通解的形式为$y_n = c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n$，其中$c_1$和$c_2$为待定常数。
3. Z 变换法Z 变换法是一种广泛应用于差分方程求解的方法，特别适用于线性时不变差分方程。
该方法的基本思想是将差分方程转化为代数方程，并利用 Z 变换的性质求解。
对于差分方程$y_{n+1} = ay_n + b$，通过取 Z 变换，我们可以得到转化后的方程$Y(z) = azY(z) + b \frac{1}{1 - z^{-1}}$，其中$Y(z)$代表$y_n$的Z 变换。
然后，将方程整理，求解得到$Y(z)$，再通过反 Z 变换将其转换为差分方程的解$y_n$。
数学建模之差分方程
差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。
其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。
所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。
数学建模之差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
第4章差分模型(数学建模)
A n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.15 0.175 0.1875 0.19375 0.196875 0.1984375 0.1992187 5 0.1996093 8 0.1998046 9 0.1999023 4
B
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时 每小时去掉处理 污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理 池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？ 天后处理池中将留下百分之几的污物？ 池中剩余的污物的 。 天后处理池中将留下百分之几的污物 要多少时间才能把污物的量减少一半？ 要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间 ，需要多少时间？
你每个月买车最多能支付475美元，利用系统动力 美元， 你每个月买车最多能支付 美元 学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？ 学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？
4.2 用差分方程近似描述变化
例4.3.酵母培养物的增长 表中数据是从酵母培养物的增 长的实验中收集来的 从图中看到可令:△pn =kpn 从图中看到可令 △ K=0.5,则pn+1=1.5pn
以小时计 的时间n 的时间 0 1 2 3 4 5 6 7
300 250 200 150 系列1
观察到的酵母 生物量pn 生物量 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 257.3
第4讲 差分方程方法(new)PPT课件
征根都有 i 1(i 1,2,, n) 。
对于一阶线性常系数非齐次差分方程组
x(k 1) Ax(k) B(k 0,1,2,)
的情况同样给出。
11
2020年11月23日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
3.二阶线性常系数差分方程的平衡点
二阶线性常系数齐次差分方程的一般形式为
则 x* 也是一阶线性差分方程 xk1 f (x*)(xk x*) f (x*)
的平衡点. 故平衡点 x* 稳定的充要条件是 f (x* ) 1 。
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
1. 微分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n 1) ，且 a x0 x1 xn1 b，试求函数的导数值 f (xk )(k 1,2,, n) 。
二 差分方程的平衡点及其稳定性
4.一阶非线性差分方程的平衡点
一阶非线性差分方程的一般形式为
xk1 f (xk ),k 0,1,2,
其中 f 为已知函数，其平衡点定义为方程 x f (x) 的解 x* 。
事实上：将 f (xk ) 在 x* 处作一阶的台勒展开有
xk1 f (x* )( xk x* ) f (x* )
, n)
14
2020年11月23日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f (x) 在点 xk 处的函数值 f (xk )(k 0,1,, n) ，
b
且在[a,b]上可积，试求 f (x) 在[a,b] 上的积分值 f (x)dx 。 a
对应代数方程:
k a1k1 a2k2 ak 0
数学建模中的差分法
用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解
t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
( x0 , y0 ) (1,2)
第一组点： x1 x0 f (t0 , x0 , y0 )t x0 (3x0 x0 y0 )t 1 (3 2) 0.1 1.1
xk 1 axk b, k 0,1,2,, (1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
b . 即平衡点为 x 1 a
当k 时，xk x , 则称 x 是稳定的， 否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk 1 axk b,
k 0,1,2,,
例1 从 t 0 出发并取 t 0.1 ，求下列初值问题 的近似解。
1 x, x x(0) 1
解
t0 0, x0 1 t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
x1 x0 f (t0 , x0 )t x0. (1 x0 )t 1 (1 1) 0.1 1.2
西北大学数学系
二阶差分
(xt ) xt 1 xt xt 2 xt 1 xt 1 xt
2 xt xt 2 2xt 1 xt
同理，可定义三阶差分等。 二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。 差分的性质：
(cxt ) cxt ( xt yt ) xt yt
(1)
b b xk 1 axk b , 1 a 1 a
b ab xk 1 axk , 1 a 1 a
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பைடு நூலகம்
Fn
{
Fn 定义为fibonacci数列。
Fn Fn1 Fn2 F 1 F2 1
1.差分方程的解法
常系数线性齐次差分方程的解法
形如： an b1an1 b2an2
的差分方程，称为
bk ank 0
(1)
an
的k阶常系数线性齐次差分方程，其中
bi
为常数，
例： 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月长成 成兔，同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对 小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共有 Fn 对 兔子，试建立关于 Fn 的差分方程。
解: 因第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月留 下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的 F 小兔数等于前月末的兔数，所以
k
bk 0, n k ，方程:
k 1
x b1 x
bk 0
(2)
称为差分方程（1）的特征方程，其根称为特征根。
例:求Fibonacci数的通项:
{
Fn Fn1 Fn2 F1 F2 1
解 : 差分方程的特征方程为：
x x 1 0
2
特征根:
1 5 1 5 x1 与x2 2 2
2 2
联立解得:
1 1 c1 , c2 5 5
故
n n 1 1 5 1 5 Fn 5 2 2
常系数线性非齐次差分方程的解法 定义：形如 an b1an1 b2an2
(
bk ank f n
在实际中许多变量是离散变化的，如人 口.商品件数.生产周期等，而离散的运算具有可 操作性，差分方程正是联系连续变量与离散的 一座桥梁（如摩尔.库仑）。差分方程主要用来 解决离散型问题。
对一数列，把数列中的 an 和前面的 ai(0≤i ≤n) 关联起来的方程叫做差分方程，差分方程也叫做 递推关系。
b1 ,
, bk 为常数，b k
0, f n 0, n k
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程 常系数线性非齐次差分方程
an b1an1 b2an2
对应的齐次差分方程为
bk ank f n
an b1an 1 b2 an 2
xm xm 1 ( 1)e rt x0
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
在研究人口或种群数量的实际增长情况时，有时采 用离散化的时间变量更为方便。例如，有些种群具 有相对较为固定的繁殖期，按时段统计种群数量更 接近种群的实际增长方式。人口增长虽无这种特征， 但人口普查不可能连续统计，任何方式的普查都只 能得到一些离散时刻的人口总量（指较大范围的普 查）。这样，如何建立人口问题的离散模型的问题 十分自然地提了出来。
2.差分方程的平衡点与稳定性 对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k
(1)
则称xn = x (n)是差分方程(1)的解, 包含k个任意常数的解 称为(1)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时称为(1)的初始条件, 通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(1)的特 解. 若x0, x1, … , xk -1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 ) 的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(1)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(1)的平衡点. 又对差分方程(1)的任意由初始条件确定的解 xn= x(n)都 有 xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的. 一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠-1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当|a|＜1 时, b/(a +1)是稳定的平衡点.
如何预报人口的增长
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 今年人口 x0, 年增长率 r x(t) ~时刻t的人口, 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t t ) x(t ) rt x(t )
dx rx, x(0) x0 dt
x(t ) x0 e
rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
n n
是互异的，所以，得通解:
1 5 1 5 Fn c1 c 2 2 2
由初始条件
F1 1, F2 1 得
1 5 1 5 c1 2 c2 2 1 1 5 1 5 c1 2 c2 2 1
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dt
dx/dt
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm
x xm xm/2 x0
0
xm/2
xm x
x (t )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
bk an k 0
定理： 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方 程的通解加上非齐次方程的特解，即
其中
a an是非齐次差分方程的特解。
an
an a an
* n
* n 是对应齐次差分方程的通解，
如何求非次差分方程的特解
一般来说，差分方程的求解是困难的，实际中往往不 需要求出差分方程的一般解，只需要研究它的平衡点 及其稳定性即可。