数学建模差分方程模型资料

数学建模中的差分方程模型

数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。

在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。

本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。

差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。

这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。

例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。

差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。

一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。

此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。

以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。

设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。

我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。

差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。

1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。

2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。

3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。

4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。

2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。

2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。

3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。

4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。

随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。

有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。

例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。

这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。

有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。

但是，往往都需要用计算机求数值解。

这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。

7.数学建模-差分方程法

pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2

pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增长）模型。其形式是： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚了购房人一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(

数学建模之差分方程

差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。

一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。

其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。

所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。

第4章差分模型(数学建模)

A n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.15 0.175 0.1875 0.19375 0.196875 0.1984375 0.1992187 5 0.1996093 8 0.1998046 9 0.1999023 4
B
0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
4.3 动力系统的解法
储蓄存单an=1.01an-1 ,n=1,2,3,…a0=10000 容易解得 an=10000（1.01）n 一般 an=ran-1 有 an=a0r n
例 4.5污水处理
一家污水处理厂通过去去掉污水中所有的污物来处理未经处理的污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时每小时去掉处理污水，以生产有用的肥料和清洁水。该处理过程每小时去掉处理池中剩余的污物的12%。1天后处理池中将留下百分之几的污物？天后处理池中将留下百分之几的污物？池中剩余的污物的。天后处理池中将留下百分之几的污物要多少时间才能把污物的量减少一半？要多少时间才能把污物的量减少一半？要把污物减少到原来的 10%，需要多少时间，需要多少时间？
你每个月买车最多能支付475美元，利用系统动力美元，你每个月买车最多能支付美元学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？学模型来决定你应该买哪家公司的汽车？
4.2 用差分方程近似描述变化
例4.3.酵母培养物的增长表中数据是从酵母培养物的增长的实验中收集来的从图中看到可令:△pn =kpn 从图中看到可令 △ K=0.5,则pn+1=1.5pn
以小时计的时间n 的时间 0 1 2 3 4 5 6 7
300 250 200 150 系列1
观察到的酵母生物量pn 生物量 9.6 18.3 29.0 47.2 71.1 119.1 174.6 257.3

第16章差分方程模型——【数学建模讲义精】

-192-第十六章差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。

下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。

§1 差分方程1.1 差分方程简介规定t 只取非负整数。

记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y −=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ+++12122)(为t y 的二阶差分。

类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。

由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。

差分方程也可以写成不显含差分的形式。

例如，二阶差分方程02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+−++t t t y y y 。

满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。

类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。

若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。

称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1）为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。

其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为（2）的解，则)2(2)1(1t tt y c y c y +=也是方程（2）的解，其中21,c c 为任意常数。

若)1(t y 是方程（2）的解，)2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。

方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I ）先求解对应的特征方程00110=+++−a a a n n L λλ （3）（II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。

数学模型(差分方程)

定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k

其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )

1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k

x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)

数学建模中的差分法

用Euler法求出前三次逼近，初始条件为
t0 0, x0 1, y0 2, t 0.1
解
t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
( x0 , y0 ) (1,2)
第一组点： x1 x0 f (t0 , x0 , y0 )t x0 (3x0 x0 y0 )t 1 (3 2) 0.1 1.1
xk 1 axk b, k 0,1,2,, (1)
满足方程 x ax b 的解，称为上方程的平衡点。
b . 即平衡点为 x 1 a

当k 时，xk x , 则称 x 是稳定的，否则是不稳定的。
西北大学数学系
xk 1 axk b,
k 0,1,2,,
例1 从 t 0 出发并取 t 0.1 ，求下列初值问题的近似解。
1 x, x x(0) 1
解
t0 0, x0 1 t1 t0 t 0.1
t2 t1 t 0.2 t3 0.3
x1 x0 f (t0 , x0 )t x0. (1 x0 )t 1 (1 1) 0.1 1.2
西北大学数学系
二阶差分
(xt ) xt 1 xt xt 2 xt 1 xt 1 xt
2 xt xt 2 2xt 1 xt
同理，可定义三阶差分等。二阶及二阶以上的差分称为高阶差分。差分的性质：
(cxt ) cxt ( xt yt ) xt yt
(1)
b b xk 1 axk b , 1 a 1 a
b ab xk 1 axk , 1 a 1 a

《数学建模》课件：第7章差分方程模型(投影版)

求得的方程的解
x=x =
b
n
称为该差分方程的平衡点（奇解）。
ai
i0
若记该差分方程的一般解（通解）为 xk，它若满足：lkim xk x，
则称 x 是稳定的，否则，称 x 是不稳定的。
6. 特征方程
称代数方程： an n an1 n1 a1 a0 0
为差分方程 an xkn a1xk1 a0xk b 对应的特征方程。
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
P1 P2 P3 P0
xk x0 , yk y0 P1 P2 P3 P0
P0是稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g 曲线斜率
P4
P0
K f Kg
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
P0是不稳定平衡点
y
P3 f
根据导数的定义：
f
'(xk )
lim =
x xk
f
(x) f (xk ) x xk
lim = f (x) f (xk ) lim = f (x) f (xk )
x xk
x xk
x xk-
x xk
于是，当分割足够细时，用差商代替微商，则得到如下差分公式：
向前差分：
f
'(xk )
数学建模
第七章差分方程模型
数学建模
第七章差分方程与代数方程模型
主讲教师：邵红梅
数学建模
第七章差分方程模型
差分方程稳定性理论简介
一、差分方程
所谓n阶差分方程，简单地说，是指对于一个点列 xk ，把它的前n+1项