数学模型(差分方程)

差分方程模型
1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划——节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长
1.1差分方程
给定一个数列 h(0), h(1), h(2),L , h(n),L ，如果 h(n) 和数列中在 它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 n0 的整数
z2 X (z) z 3zX (z) 2 X (z) 0
z
z
z
X (z)


z2 3z 2 z 1 z 2
对上式求Z的反变换得：
x(k) (1)k (2)k
这就是所求方程的解。
二、常系数线性非齐次差分方程的求解 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) f (n) (n k, k 1,L ) (3)
得 c1 1, c2 1, 故所求问题的解为
an 2n 1
方法二 对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解an 1, 故通解为 an A 2n 1, 由初始条件 a1 1 得
所求问题的解为
an 2n 1
例7 求差分方程 an 2an1 3 的通解。
Z[ax1(k) bx2 (k)] aX1(z) bX 2 (z),
其中 a, b为常数，收敛域为 X1(z), X2 (z) 的公共收敛域。
(2)平移性
设 Z[x(k)] X (z) ，则
N 1
a. Z[x(k N )] zN [X (z) x(k)zk ] k 0
线性非齐次微分方程的特解的方法。
例5 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2n 的通解。 解：对应的齐次差分方程的特征方程为
x2 4x 4 0
特征根为 x1 x2 2,所以对应的齐次差分方程的通解为
an* (c1 c2 n) 2n
由所给非齐次差分方程的右端，可设其特解为
所以当且仅当 | a | 1时，方程（5）的平衡点（从而方程（4）的
平衡点）才是稳定的。
对于n 维向量 x(k)和n n 常数矩阵A构成的方程组
x(k 1) Ax(k) 0
其平衡点稳定的条件是矩阵A特征根 | i | 1,i 1, 2,L , n. 2.二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程
的解。 解：令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程求变换得：
Z[x(k 2) 3x(k 1) 2x(k)] 0
Z[x(k 2)] 3Z[x(k 1)] 2Z[x(k)] 0
z2[ X (z) x(0) x(1) z1 ] 3z[ X (z) x(0)] 2 X (z) 0
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x4 x3 3x2 5x 2 0
其根为：x1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
h1(n) (c1 c2n c3n2 )(1)n, h2 (n) c4 2n
故通解为
h(n) h1(n) h2 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n c4 2n
同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小
兔也按此规律繁殖。设第n月末共有 h(n) 对兔子，试建立关于h(n)
的差分方程。
解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外 一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
特别地 Z[x(k 1)] z[X (z) X (0)]

令l k N

证 ：Z[x(k N )] x(k N ) zk
x(l) zlN z N x(l) zl
k 0
lN
lN

N 1
N 1
=z N [ x(l) zl x(l) zl ] z N [ X (z) x(k) zk ]
称为差分方程（1）的特征方程。
方程（2）的k个根 q1, q2 ,L , qk 称为差分方程（1）的特征根。
定理1 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1,L )
的特征根 q1, q2 ,L , qk 互不相同，则该差分方程的通解为：
h(n) c1q1n c2q2n L ck qkn
其中 c1 , c2 ,L , ck 为任意常数。
定理2 设 q1, q2 ,L , qt 是差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) 0 ak 0 (n k,k 1,L )
对应的齐次差分方程的通解为
an* A 2n
观察有特解 an 3, 故通解为 an A 2n 1,
三、差分方程的平衡点及稳定性
1.一阶线性差分方程的平衡点及稳定性
一阶线性常系数差分方程
xk1 axk b, k 0,1,L , (4)
的平衡点由
x ax
b 解得，为 x*
1.几个常用离散函数的变换
(1)单位脉冲函数

(k
)

1, k 0, k
0 0
的Z变换为

Z[ (k)] (k) zk [1 zk ]k0 1 k 0
(2)单位阶跃函数
U (k )

0, k p 0 1, k 0
Leabharlann Baidu
的变换为


Z[U (k)] U (k) zk zk
l0
l0
k 0
N
b. Z[x(k N )] zN [X (z) x(k)zk ] k 1
特别地
Z[x(k 1)] z1[ X (z) x(1)z]
证：

令lk N

Z[x(k N)] x(k N) zk
x(l) zlN zN x(l) zl
k 0
lN
lN

1
N
zN [ x(l) zl x(l) zl ] zN[X (z) x(k) zk ]
l0
lN
k 1
例4.求齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) 0 x(0) 0, x(1) 1
n 都有效，则称这个方程为差分方程。
例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在 桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上， 但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小 盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为an , 试建 立关于 an 的差分方程。
解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要 移动 an1 次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动 1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要
移动an1 次，于是得差分方程：
aa1n
2an1 1
1
例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L akh(n k) 0 (n k, k 1,L ) (1)
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 ,L , ak
是常数，且 ak 0. 方程 xk a1 xk 1 a2 xk 2 L ak 0 (2)
代入初始条件有
c1 c4 1
c1c1 2cc
2 2
c3 2c4 0 4c3 4c4 1
c1 3c 2 9c3 8c4 2
解之得:
7
1
2
c1 9 ,c 2 3 ,c3 0,c4 9
故所求初值问题的特解为：
h(n) ( 7 1 n)(1)n 2 2n
an A n2 2n
代入原方程得 A 1 , 故所求方程的通解为
2
an

(c1

c2

n) 2n

1 2

n2

2n
有些非齐次差分方程还可以化为齐次方程求解或用观察法求特解
例6
求解汉诺塔问题：aa1n
2an1 1
1
解：方法一 由 an 2an1 1 得 an1 2an2 1 两试相减得
的差分方程称为k阶常系数线性非齐次差分方程，其中 a1 , a2 ,L , ak
是常数，且 ak 0, f (n) 0. 定理4 方程（3）的通解等于它对应的齐次差分方程（1）的通
解加上它本身的一个特解，即
h(n) h*(n) h(n)
其中 h*(n) 是（1）的通解，h(n) 是（3）的一个特解。 注意：求常系数线性非齐次差分方程的特解可参照求常系数
z
(| z |f 1)
k0
k0
z 1
(3)单边指数函数 f (k) ak (a f 0且a 1) 的变换为

Z[ak ] ak zk
z
(|z| f a)
k 0
za
2. Z变换的性质
(1)线性性
设 Z[x1(k)] X1(z), Z[x2 (k)] X2 (z),则
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) L ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1,L )
的特征根出现一对共轭复根 x1,2 i和k-2个不同实根 x3 ,L , xk
则差分方程的通解为：
h(n) c1 n cos n c2 n sin c3x3n L ck xkn
的特征方程相异的根，且 qi (i 1,2,L ,t) 是特征方程的 mi 重根，则该
差分方程的通解为：
t
h(n) h1(n) h2 (n) L ht (n) hi (n)
i1
其中 h1(n) (c1 c2n L cmi nmi1)qin
定理3 设差分方程
xk2 a1xk1 a2xk 0 (6)
的平衡点 x* 0 的稳定性.(6)的通解为
xk c11k c2k2
93
9
二 .常系数线性差分方程的Z变换解法
设有离散函数（数列）x(k),(k 0,1, 2,L ) ，则 x(k) 的Z变换
定义为

X (z) Z[x(k )] x(k ) zk
k 0

其中z是复变量，因此级数 x(k) zk 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X (z) 的Z反变换记作 x(k) Z 1[X (z)]
其中 2 2 , arctan .
例3.设初始值为h(0) 1,h(1) 0,h(2) 1,h(3) 2 ，求差分方程
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 (n 4,5,L )
an 3an1 2an3 0
其特征方程为 x2 3x 2 0, 特征根为 x1 1, x2 2, 故通解为 an c1c2 2n
由 a1 1及an 2an1 1 知 a2 3, 将 a1 1, a2 3 代入an c1c2 2n
b ,当k 1 a
时，若xk
x*,
则平衡点是稳定的，否则 x* 是不稳定的。
易知，可以用变量代换将（4）的平衡点的稳定性问题转换为
xk1 axk 0, k 0,1,L , (5)
的平衡点 x* 0的稳定性问题。而方程（5）的解为 xk (a)k x0 , k 1, 2,L