差分方程模型
差分方程模型
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加 • 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
称如下形式的差分方程
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t b ( t ) (1)
为n 阶常系数线性差分方程， 。其对应的齐次方程为
a 0 y n t a1 y n t 1 a n y t 0 (2)
差分方程解的理论和微分方程解的理论类似。
§1 差分方程
1.1 差分方程简介
规定t只取非负整数。yt为y在t点的取值，则称 y t y t 1 y t 为yt的一阶向前差分，简称差分，称 2 y t ( y t ) y t 1 y t y t 2 2 y t 1 y t 为yt的二阶差分。 由 t、 yt及yt的差分给出的方程称为 yt的差分方程，其中含 yt的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以 写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
差分方程模型
因 f ( n ) = 2 中, 2 是 2 重根,故设特解为 a n
n
= A ⋅ n 2 ⋅ 2n
n n 2 n −1 代入得 A = 1 2 , 故通解为 a n = c1 2 + c 2 n ⋅ 2 + n ⋅ 2
n −1 n 方法 2(化齐) an − 4an −1 + 4a n− 2 = 2 , 2( a n −1 − 4a n− 2 + 4a n −3 ) = 2 ⋅ 2
105 是平衡点，不稳定.
若 a 0 = 100000 ⇒ c = 0 , 则 ∀ n , a n = 100000
5 若 a0 > 10 ,
5 若 a 0 < 10 ,
c > 0,
c < 0,
则 an → +∞ 则 an → −∞
2. 二阶方程的平衡点及稳定性 只 须 讨 论 齐 次 方 程 a n − aa n −1 + ban − 2 = 0 ; 对 非 齐 次 方 程
x1 = u + iv 和相异的 k − 2 个根 x3 , L, x k , 则差分方程的通解 x = u − iv 2
为： an = c1 ρ cos nθ + c2 ρ sin nθ + c3 x3 + L + ck xk .
n n n n
定义 2
( b1 , b2 ,L, bk 为常数， bk ≠ 0 , f ( n) ≠ 0 , n ≥ k ) 的差分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程。称
形如 a n + b1a n −1 + b2 a n− 2 + L + bk an − k = f (n)
差分方程模型
第7章 差分方程模型在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。
有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。
本章将主要讨论差分方程模型。
7.1市场经济中的蛛网模型在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。
这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。
生产者看到有利可图，有重操旧业。
这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。
在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。
在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。
本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。
蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。
同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设()k k y f x = (1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。
下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2)这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
差分方程模型
′( x * ) < 1 f f ′( x ) > 1
*
xk +1 = bx k (1 xk ) 的平衡点及其稳定性
平衡点 x = f ( x) = bx(1 x) 稳定性
f ′( x * ) < 1
b = r +1
另一平衡 点为 x=0
1 x =1 b
*
f ′( x * ) = b (1 2 x * ) = 2 b
现 象
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量;yk~第k时段商品价格 时段商品数量; 第 时段商品价格 第 时段商品数量 消费者的需求关系 生产者的供应关系
y
需求函数
yk = f ( xk )
t z t = ( c 1 + c 2 t + + c d t d 1 ) λ 1 + c d +1 λ td +1 + + c p λ tp
– 有相等实根场合λ1=…= λd 有相等实根场合λ
– 复根场合λ1=a+bi=rei, λ2=a-bi=re-i 复根场合λ
t z t = r t ( c 1 e it + c 2 e it ) + c 3 λ 3t + + c p λ p t = r t ( c 1 c o s t + c 2 s in t ) + c 3 λ 3t + + c p λ p
β ~ 价格上涨 单位 (下时段 供应的增量 价格上涨1单位 下时段 单位, 下时段)供应的增量 α ~ 消费者对需求的敏感程度 β ~ 生产者对价格的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β 小, 有利于经济稳定
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差分方程模型数学建模讲座一、关于差分方程模型简单的例子1. 血流中地高辛的衰减地高辛用于心脏病。
考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平上的剂量处方。
假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可建立模型如下：设某病人第n 天后血流中地高辛剩余量为n a ， 则1.05.01+=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程) n n n n a a a a 5.01−=−=∆+2. 养老金问题对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款， 直到提尽为止。
月利息为1℅，月提款额为1000元，则可建模型如下：设第n 月的存款额为n a ，则100001.11−=+n n a a (一阶非齐次线性差分方程)3. 兔子问题（Fibonacci 数）设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时(即第三个月)开始,每月初产雌雄各一的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n 月末共有n F 对兔子，则建模如下：==+=−−12121F F F F F n n n (二阶线性差分方程初值问题) 34232143212211F F F F F F F F F F ≠+=+ 注意上月新生的小兔不产兔(因第n 月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的为1−n F ， 另一部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)4．车出租问题A ，B 两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。
A ， B 两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。
分析历史记录数据得出：n x ： 第n 天营业结束时A 公司的车辆数 n y ：第n 天营业结束时B 公司的车辆数则 +=+=++n n n nn n y x y y x x 7.04.03.06.011 (一阶线性差分方程组)(问题模型可进一步推广)二 差分方程的解法类比: 差分方程是数列间关系; 微分方程是函数间关系 定义1. 形如02211=++++−−−k n k n n n a b a b a b a L 的差分方程，称为}{n a 的k 阶常系数线性齐次差分方程，其中i b 为常数，0≠k b 且k n ≥. 02211=++++−−k k k k b x b x b x L 称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。
定理1（单根情形）若特征方程恰有k 个相异的特征根k x x x ,,,21L ，则差分方程的通解为 nk k n n n x c x c x c a +++=L 2211.例1 求解兔子问题 ==+=−−12121F F F F F n n n解：差分方程的特征方程为 012=−−x x特征根 251,25121−=+=x x 通解为 nnn c c F−+ +=25125121, 由初始条件 121==F F 得: = −++=−++)2(1251251)1(1251251222121c c c c 解得 −==515121c c 故−− +=nn n F 25121551定理 2 (重根情形) 若特征方程的相异特征根为12,,,t x x x L , 重数依次为t m m m ,,,21L , 其中k m m m t =++L 21,则差分方程的通解为：121211111211212222()()m m n n n m m a c c n c n x c c n c n x −−=+++++L L112()t t m n t t tm t c c n c n x −++++L L(定理1包含在定理2之中)定理 3 若差分方程的特征方程的特征根出现一对共轭虚根，−=+=ivu x ivu x 21 和相异的2−k 个根k x x ,,3L , 则差分方程的通解为：nk k nnnn x c x c n c n c a ++++=L 3321sin cos θρθρ.定义2 形如)(2211n f a b a b a b a k n k n n n =++++−−−L(k b b b ,,,21L 为常数，0≠k b ,0)(≠n f ,k n ≥) 的差分方程为k 阶常系数线性非齐次差分方程。
称011=+++−−k n k n n a b a b a L为其对应的齐次方程。
定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解,即n nn a a a +=*,其中*n a 为通解, n a 为特解.例2(地高辛问题)解 1.05.01+=+n n a a齐次特征方程 05.0=−λ, 齐次方程通解 n nc a )5.0(*=. 设特解为D a n =, 代入1.05.0+=D D 得0.2D =，于是所求通解为2.0)5.0(+=nnc a 例3 (养老金问题)解法1 100001.11−=+n n a a齐次特征方程001.1=−λ, 齐次方程通解nnc a )01.1(*=. 设特解为 D a n =, 代入代入原方程得 100000=D . 通解为 100000)01.1(+=n n c a .解法2(化齐) 100001.11−=−+n n a a ,100001.11−=−−n n a a .相减得001.101.211=+−−+n n n a a a , 特征方程001.101.22=+−λλ.0)1)(01.1(=−−λλ,通解为1(1.01)n n a c c =+，代入原方程得1000)01.1(01.101.11111−=−−⋅+++c c c c n n , 1100000c =.故 100000)01.1(+=nnc a . 例4 求非齐次差分方程nn n n a a a 24421=+−−−的通解. 解法1 齐次特征方程0442=+−λλ, 二重根2=λ,对应齐次方程的通解为n n n n c c a 2221*⋅+=. 因nn f 2)(=中, 2 是2 重根,故设特解为nn n A a 22⋅⋅=代入得12A =, 故通解为1221222−⋅+⋅+=n n n n n n c c a 方法2(化齐) nn n n a a a 24421=+−−−,132122)44(2−−−−⋅=+−n n n n a a a相减得12361280n n n n a a a a −−−−+−=,特征方程0812623=−+−λλλ 特征根2=λ为三重根,通解为nn n n n c n c c a 2222321⋅+⋅+=. 代入原方程得312c =,故1221222−⋅+⋅+=n n n n n n c c a三 差分方程的平衡点及稳定性1.一阶线性方程b aa a n n =+−1的平衡点及稳定性 平衡点可由b x a x =+解得abx +=10(相当于0,x a n n =∀的那种点).当初始条件00x a =, 则 0,x a n n =∀.若对任何初始条件，都有n →∞时， 0x a n →，则称平衡点0x 是稳定的，否则称为不稳定的。
一阶方程的通解aba c a nn ++−=1)(,因此1||<a 时才是稳定的. 地高辛问题1.05.01+=−n n a a ,通解2.0)5.0(+=nn c a , 0.2是平衡点，且是稳定的。
就是说，不管初始值如何，若干天以后，血中地高辛剩留量接近0.2.养老金问题 100001.11−=−n n a a ，通解100000)01.1(+=n n c a , 510是平衡点，不稳定.若01000000=⇒=c a , 则100000,=∀n a n若5010,0,a c >> 则n a →+∞若5010,0,a c << 则n a →−∞2. 二阶方程的平衡点及稳定性只须讨论齐次方程021=+−−−n n n ba aa a ; 对非齐次方程d ba aa a n n n =+−−−21(d 为常数)可作线性变换e a b n n −=化成齐次方程，稳定性相同.齐次方程通解nn n x c x c a 2211+=，平衡点为0, 21,x x 是互异特征根(或重根)，当∞→n 仅当1||,1||21<<x x 才是稳定的。
3. n 阶齐次次方程组平衡点O 的稳定性.)(n a 为n 维列向量, A 为n n ×阵。
齐次线性差分方程组 0)1()(=−+n a n a ，平衡点O 稳定的条件是A 的所有特征根||1i λ<。
4.求解n 阶齐次线性差分方程组方法: 仿照线性微分方程组解的法,注意二者的区别 1t nn n n d xx x ce d ta a a c λλλλ− ==== .汽车出租问题 全类完似的问题：选民下一次选举的投票趋势110.60.30.40.7n n nn n n x x y y x y ++=+ =+n n X X=+7.04.03.06.01 0.60.30.40.7A=汽车出租问题解法120.60.3||(0.6)(0.7)0.12 1.30.300.40.7A E λλλλλλλ−−==−−−=−+=−3.0,121==λλ 特征根互异对11=λ, 设= =′b a b a X nn 1 , 由0)(1= −b a E A λ得 03.04.0=+−b a取 = 4.03.0b a ,=′4.03.0n X 对3.01=λ, 设=′′b a X nn 3.0 由0)(2=−b a E A λ得 03.03.0=+b a取 −= 11b a ,−=′′113.0n nX 于是−=213.04.03.03.0c c X n n n 通解为 −=+=n n n n c c y c c x 3.04.03.03.02121汽车出租问题解法2(理论解法)+=+=++n n n n n n y x y y x x 7.04.03.06.011 =7.04.03.06.0A ，B AT T = =−3.00011,1−=TBTA , 1110n n n X TBT X TB T X −−−== 令TBAT =. 即= 3.00017.04.03.06.021212121ββααββαα 即 = ++++2121221122113.03.07.04.07.04.03.06.03.06.0ββααβαβαβαβα,取−=14.013.0T 得通解 −= −=21213.04.03.03.03.000114.013.0c c c c X n n n n 平衡点是稳定的, 平衡点由+=+=y x y yx x 7.04.03.06.0 即y x3.04.0=A 、B 两地投放车辆比为3 : 4。