差分方程模型
数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
第七章 差分方程模型
1. 使 α 尽量小，如 α=0 尽量小， 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 2. 使 β 尽量小，如 β =0 尽量小， 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
0
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 段的价格决定下一时段的产量。
αβ < 1 放宽了
7.2 减肥计划 减肥计划——节食与运动 节食与运动 背 景
• 体重指数 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； 超重; 肥胖. 正常； BMI>25 ~ 超重 BMI>30 ~ 肥胖 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
t t +1 t
∆2 yt = ∆(∆yt ) = ∆yt+1 −∆yt = yt+2 −2yt+1 + yt
为的二阶差分。类似地，可以定义 阶差分。 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 二阶差分 阶差分 差分方程， 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 、 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如， 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 ∆2 yt + ∆yt + yt = 0 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 末 体重 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
差分方程模型
问题:
若k n，则
y C1 y1 C2 y2 Ck yk 一定是通解吗？
定理7：如果
y1 (x),y2 (x)， ，yn (x) 是
方程(1)的n个线性无关的特解, 那么
y C1 y1 C2 y2 Cn yn 就是方程(1)的通解.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
3
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
nx ( n1)
（公式）
2.差分的四则运算法则
(1)(Cy x ) Cy x (C为常数)
(2)( y x z x ) y x z x
3 yx z x yx1z x z x yx yx z x z x1yx
y x z x y x y x z x z x 1y x y x 1z x 4 z z x z x 1 z x z x 1 x
差分方程及差分方程模型
一、差分的概念及性质 二、差分方程的概念 三、线性差分方程解的结构
四、一阶常系数线性差分方程
五、差分方程模型
一、差分的概念及性质
1.差分的定义
设 函 数 f ( x ).当x取 非 负 整 数 时 ， y 函数值可以排成一个列 : 数 f (0)，f (1)， ，f ( x )，f ( x 1)， 将之简记为 y 0，y1，y 2， ，y x，y x 1 , 称 函 数 的 改 变 量x 1 y x 为 函 数 的 差 分 ， y y 也 称 为 一 阶 差 分 ， 记 Δ y x y x 1 y x . 为
差分方程模型
设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
数模(差分方程模型)
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一ຫໍສະໝຸດ 月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
差分方程模型与生长率模型
差分方程模型与生长率模型下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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3. 兔子问题（Fibonacci数）
设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后
长成成兔，同时(即第三个月)开始每月初产雌雄各一 的一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末 共有Fn 对兔子，则建模如下：
Fn
F1
Fn1 Fn2 F2 1
F1 F2 F3
F4
1 1 F1 F2 2 F3 F2
an c1 c(1.01)n
代入原方程得
c1 c 1.01n1 1.01c1 (1.01)n1c 1000
c1 1000
故
an c(1.01)n 100000
例 4 求非齐次差分方程 an 4an1 4an2 2n 的通解
解: 齐次特征方程 2 4 4 0 , 二重根 2 ,
1、一阶线性方程 an aan1 b 的平衡点及稳定性
平衡点由 x a x b
平衡点相当于n, an x0
二阶线性差分方程初值问题
F 4 2F3
因上月新生 小兔不产兔
(因第n月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的， 另一 部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)
4．车出租问题 A， B两地均为旅游城市，游客可在一个
城市租车而在另一个城市还车。 A， B两汽车 公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要， 以便估算成本。分析历史记录数据得出：
则 an1 0.5an 0.1 (一阶非齐次线性差分方程)
an an1 an 0.5an
2. 养老金问题
对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提
款， 直到提尽为止。月利息为1℅，月提款额为
1000元，则可建模型如下：
设第n月的存款额为
，a n则
an1 1.01an 1000
(一阶非齐次线性差分方程)
相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0
特征根 2 为三重根, 通解为：
an c1 2n c2n 2n c3n2 2n
代入原方程得 c3 1 2
故
an c1 2n c2n 2n n2 2n1
三、差分方程的平衡点及稳定性
出现一对共
轭
虚
根
和k-2个相异的实根
, 则差分方程的通解为：
其中
x1 u iv, x2 u iv x3, , xk
an c1 n cosn c2 n sin n c3x3n ck xk n
u 2 v2 , arctanu
v
定义2 形如 an b1an1 b2an2 bk ank f (n) 的差 分方程为k阶常系数线性非齐次差分方程, 其中
为常数，b1,b2 , ,bk , f (n) 0，bk 0 n k
称 an b1an1 bk ank 0
为其对应的齐次方程。
定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差 分方程的通解加上非齐次方程的特解。即
an an* an
其中
a
* n
为通解, an 为特解
例2 (地高辛) 解:
an1 0.5an 0.1
齐次特征方程
,齐次通解
设特解为
代入 0.5 0 得
a，n*
c(0.5)n
于是所求通解
an D
D 0.5D 0.1 D 0.2
例3 (养老金) 解: an c(0.5)n 0.2
齐次特征方程
,
.
设特解 通解为
代入原方程an得1 1.01an 1000
1.01 0 an* c(1.01)n
xn 第n天营业结束时A公司的车辆数
yn 第n天营业结束时B公司的车辆数
xn1 yn1
0.6xn 0.4xn
0.3 y n 0.7 yn
一阶线性差分方程组 问题模型可进一步推广
二、差分方程的解法
定义1. 形如 an b1an1 b2an2 bk ank 0 的差分方程，称为{an} 的k阶常系数线性齐次 差 分方程，其中bi 为常数bk ， 0 n且 k
一、关于差分方程模型简单的例子
1. 血流中地高辛的衰减
地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问 题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平 上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且 知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可 建立模型如下：
设某病人第n天后血流中地高辛剩余量为an ，
, 重数x依1,次x为2 , , xk ,
其中
m1, m2 ,, ,则m差t 分方程的通m解1 为m：2 mt k
定
理a(3n定(理虚(c11根包1 含)c(1在c若2nt1定差理c分t22cn之方1m1中程nm)1的c1tm)特txn1mn征t1方)(cx程2t n1 的c特22n征
根
c2m2 nm2 1 )x2n
an D
D 100000
an c(1.01)n 100000
例3 (养老金) 解法2 (化齐)：
an1 1.01an 1000
an 1.01an1 1000
相减得
an1 2.01an 1.01an1 0
2 2.01 1.01 0 ( 1.01)( 1) 0 1 1, 2 1.01
对应齐次方程的通解为
a
* n
c1 2n
c2n 2n
f (n) 2n 中, 2 是2 重根, 设特解为 an A n2 2n
得 A 1 2 故通解为 an c1 2n c2n 2n n2 2n1
代入
方法2 (化齐) :
an 4an1 4an2 2n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1
Fn2
解：差分方程的特征方程为
x2 x 1 0
特征根
x1
1 2
5 , x2
1 2
5
n
n
Fn
c1
1
2
5
c2
1
2
5
,由初始条件得:
1 c1 2
5
c2
1
2
5
1
(1)
c1
1
2
2
5
c2
1
2
5
2
1
(2)
c1
c 2Βιβλιοθήκη 15 15
故
Fn
1 5
n
5 1 2
12
5
n
定理2 (重根) 若特征方程的相异特征根为
x k b1x k1 b2 x k2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 征根 x1 , x2 , , x，k 则差分方程的通解为
an c1x1n c2 x2n ck xkn
例1 求解兔子问题
Fn F1
Fn1 F2 1