(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
第八章差分方程模型
第八章 差分方程模型差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。
8.1个人住房抵押贷款随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。
1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如下表所列:表8.1 中国人民银行贷款利率表贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.126.396.667.207.56当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。
其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整。
表8.2和表8.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。
表8.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.2256.3906.5256.660表8.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款（元） 到期一次还清 本息总和（元） 10612.00 444.36 10664.54305.99 11015.63237.26 11388.71196.41 11784.71一个自然的问题是,表8.2和表8.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为 6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。
然而二年期贷款的年利率为6.225﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。
由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。
设贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，月还款m 元,则由A k 变化到A k +1,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。
copy-第五讲 差分方程模型
第五讲 差分方程模型——对变化进行建模引言为了更好地了解世界,人们常常用数学来描述某种特定现象.这种数学模型是现实世界现象的理想化,但永远不会是完全精确的表示.尽管任何模型都有其局限性,但是好的模型能够提供有价值的结果和结论.在本章中我们将重点介绍对变化进行建模. 简化 比例性多数模型简化了现实的情况.一般情况下,模型只能近似地表示实际的行为.一种非常强有力的简化关系就是比例性.定义 两个变量y 和x 是(互成)比例的,如果kx y =,我们记为x y ∝.从几何上看,y 关于x 的图形位于通过原点的一条直线上.例1 测试比例性做一个测量弹簧的伸长作为置于弹簧末端的质量的函数的实验,表1-1为该实验收集到的数据表1-1 弹簧—质量系统 质量50 100 150 200 250 300 350 400450 500 550 伸长1.000 1.8752.7503.2504.375 4.8755.6756.5007.2508.000 8.750 弹簧的伸长对于置于弹簧末端的质量的散点图展现了它近似是过原点的一条直线.图1-1 来自弹簧—质量系统的数据看来该数据遵从比例性法则，伸长e 与质量m 成比例，或者说m e ∝。
该直线看似通过原点。
在本例中，假设这两种数据成比例看来是合理的，我们选位于直线上的两点)25.3,200(和)875.4,300(来估计比例系数k （直线斜率）：01625.020030025.3875.4=--=k因此比例系数约为0.0163，于是可以建立以下估算模型：m e 0163.0=然后把表示该模型的直线图形重叠画到散点图上，以考察模型对这些数据的拟合效果。
从图中可以看出这个简化的比例模型是合理的。
图1-2来自弹簧—质量系统的数据和比例性模型直线对变化进行建模对变化进行建模的一个非常有用的范例就是：未来值=现在值+变化人们往往希望从现在知道的东西加上精心观测到的变化来预测未来。
第16章 差分方程模型——【数学建模讲义 精】
-192-第十六章 差分方程模型离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。
下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。
§1 差分方程1.1 差分方程简介规定t 只取非负整数。
记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y −=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +−=Δ−Δ=ΔΔ=Δ+++12122)(为t y 的二阶差分。
类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。
由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。
差分方程也可以写成不显含差分的形式。
例如，二阶差分方程02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+−++t t t y y y 。
满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。
类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。
若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。
称如下形式的差分方程)(110t b y a y a y a t n t n t n =+++−++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。
其对应的齐次方程为0110=+++−++t n t n t n y a y a y a L （2）容易证明，若序列)1(t y 与)2(t y 均为（2）的解，则)2(2)1(1t tt y c y c y +=也是方程（2）的解，其中21,c c 为任意常数。
若)1(t y 是方程（2）的解，)2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。
方程（1）可用如下的代数方法求其通解：（I ）先求解对应的特征方程00110=+++−a a a n n L λλ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。
《数学建模》课件：第7章 差分方程模型(投影版)
求得的方程的解
x=x =
b
n
称为该差分方程的平衡点（奇解）。
ai
i0
若记该差分方程的一般解（通解）为 xk，它若满足：lkim xk x，
则称 x 是稳定的， 否则，称 x 是不稳定的。
6. 特征方程
称代数方程： an n an1 n1 a1 a0 0
为差分方程 an xkn a1xk1 a0xk b 对应的特征方程。
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
P1 P2 P3 P0
xk x0 , yk y0 P1 P2 P3 P0
P0是稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g 曲线斜率
P4
P0
K f Kg
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
P0是不稳定平衡点
y
P3 f
根据导数的定义：
f
'(xk )
lim =
x xk
f
(x) f (xk ) x xk
lim = f (x) f (xk ) lim = f (x) f (xk )
x xk
x xk
x xk-
x xk
于是，当分割足够细时，用差商代替微商，则得到如下差分公式：
向前差分：
f
'(xk )
数学建模
第七章 差分方程模型
数学建模
第七章 差分方程与代数方程模型
主讲教师：邵红梅
数学建模
第七章 差分方程模型
差分方程稳定性理论简介
一、差分方程
所谓n阶差分方程，简单地说，是指对于一个点列 xk ，把它的前n+1项
差分方程模型
xk 1 g( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出 供应函数和需求函数的图形 ，设两条曲线相交于 P0 (x0, y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时
解 令 Z[x(k)] X (z) ，对差分方程取 Z 变换得
z2 X (z) z 3zX (z) 2 X (z) 0
z
zz
X (z) z2 3z 2 z 1 z 2
对上式取 Z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) (1)k (2)k
1、问题的提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波 动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种 商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商 品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得 该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之 后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上 升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而 来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情 况下，这种现象会反复出现。
a0n a1n1 an 0
2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解
若特征方程有 n 个不同的实根1,,n，则齐次方程 的通解为 c11t cntn ；
若 是特征方程的 k 重实根，则齐次方程的通解 为(c1 ck t k 1)t ；
若特 征方程有单重复根 i ，则齐次方程的通 解为 c1 t cost c1 t sint ，其中 2 2 为 的模，
arctan 为 的幅角；
若特征方程有 k 重复根 i，则齐次方程的通解为
(c1 ck t k1 ) t cost (c1 ck t k1 ) t sint
最新数模(差分方程模型)1概要教学讲义PPT
设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, ……
an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
重庆邮电大学市级精品课程------数学建模
一阶线性差分方程
在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成 统一的形式：
重庆邮电大学市级精品课程------数学建模
7.1 差分方程基本知识
• 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值 与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满 足的平衡关系，从而建立差分方程。
• 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中 的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系， 建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分 方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程 解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、 周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
此规律对于（7.1）也成立。
重庆邮电大学市级精品课程------数学建模
的形式，其对应的齐次方程为
a 0 x n t a 1 x n t 1 . .a .n x t 0 （7.2）
容易证明，若序列
x
( t
1
)
与
x (2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1)c2xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
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差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。
关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。
1. 差分方程的定义给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i =关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。
2. 常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为02211=++++---k n k n n n x a x a x a x ， (1)或者表示为0),,,,(1=++k n n n x x x n F (1’)其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21 为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。
对应的代数方程02211=++++--k k k k a a a λλλ (2)称为差分方程(1)的对应的特征方程。
(2)式中的k 个根k λλλ,,,21 称为(1)式的特征根。
2.1 差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。
下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。
2.1.1 特征根为单根(互不相同的根)设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21 ，则nk k n n n c c c x λλλ+++= 2211为该差分方程(1)的通解。
其中k c c c ,,,21 为任意常数，且当给定初始条件)0(i i x x =，),,2,1(k i = (3)时，可以确定一个特解。
例1 在信道上传输三个字母c b a ,,且长度为n 的词， 规定有两个a 连续出现的词不能传输，试确定这个信道允许传输的词的个数。
解: 令n x 表示允许传输且长度为为n 的词的个数， ,3,2,1=n ，通过简单计算可得 31=x ，(a,b,c), 82=x (即ab,ac, bc, bb,cc,ba,ca,cb)。
当3≥n 时，若词的第一个字母是b 或c ，则词可按1-n x 种方式完成; 若词的第一个字母是a ，则第二个字母是b 或c ，该词剩下的部分可按2-n x 种方式完成。
于是得差分方程2122--+=n n n x x x ( ,4,3=n )其特征方程为0222=--λλ，特征根为311+=λ， 312-=λ则通解为n n n c c x )31()31(21-++=， ( ,4,3=n )利用条件31=x ，82=x 求参数1c ，2c ，即由⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++8)31()31(3)31()31(222121c c c c ， 解得32321+=c ， 32322+-=c故得到原差分方程的通解为n n n x )31(3232)31(3232-+-+++=， ( ,4,3,2,1=n )2.1.2 特征根为重根设l λλλ ,,21是k 阶差分方程02211=++++---k n k n n n x a x a x a x 的l )1(k l ≤≤个根，重数分别为l m m m ,,,21 ，且k m li i =∑=1，则该差分方程的通解为n l i m i li n i m i i n i m i i n n c n c n c x lλλλ112112111121-=-=-=∑∑∑+++=同样的，有给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。
例2 设初始值为2,1,0,13210====x x x x ，解差分方程02534321=---+----n n n n n x x x x x ， ( ,5,4=n )解: 该差分方程的特征方程为0253234=---+λλλλ，解得其根为2,1,1,1---，故通解为n n n n n c n c n c c x 2)1()1()1(42321+-+-+-=代入初始条件2,1,0,13210====x x x x ，得52421=c ，52291-=c ，5273=c ，52104=c 故该差分方程的满足初始条件的解为n n n n n n n x 25210)1(527)1(5229)1(52422+-+---=2.1.3 特征根为复根设k 阶差分方程02211=++++---k n k n n n x a x a x a x 的一对共轭复根βαλλi ±=21,和相异的2-k 个单根k λλλ ,,43，则该差分方程的通解为nk k n n n n n c c c n c n c x λλλθρθρ+++++= 443321sin cos其中22βαρ+=，αβθarctan=。
同样由给定的初始条件(3)可以唯一确定一个特解。
另外，对于有多个共轭复根和相异实根，或共轭复根和重根的情况，都可类似的给出差分方程解的形式。
3. 常系数线性非齐次差分方程常系数线性非齐次差分方程的一般形式为)(2211n f x a x a x a x k n k n n n =++++--- (4)其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21 为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤，)(n f 为已知函数。
在差分方程(4)中，令0)(=n f ，所得方程02211=++++---k n k n n n x a x a x a x (5)称为非齐次差分方程(4)对应的齐次差分方程，即与差分方程(1)的形式相同。
求解非齐次差分方程通解的一般方法：首先求对应的齐次差分方程(5)的通解*n x ，然后求非齐次差分方程(4)的一个特解)0(n x ，则)0(*n n n x x x +=为非齐次差分方程(4)的通解。
关于求*n x 的方法同求差分方程(1)的方法相同。
对于求非齐次方程(4)的特解)0(n x 的方法，可以用观察法确定，也可以根据)(n f 的特性用待定系数法确定，具体方法可参照常系数线性非齐次微分方程求特解的方法。
4. 差分方程的平衡点及其稳定性在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但常常需要讨论解的稳定性。
对于差分方程0),,,,(1=++k n n n x x x n F ，若有常数a 是其解，即有0),,,,(=a a a n F则称a 是差分方程0),,,,(1=++k n n n x x x n F 的平衡点，又对该差分方程的任意由初始条件确定的解)(n x x n =，均有a x n n =∞→lim则称这个平衡点a 是稳定的；否则是不稳定的。
下面给出一些特殊差分方程的平衡点和稳定性。
4.1 一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为b ax x n n =++1， (6)其中b a ,为常数，且0,1-≠a 。
它的通解为1)(++-=a ba C x n n (7) 易知1+a b是方程(6)的平衡点，由(7)式知，当且仅当 1<a时，1+a b是方程(6)的稳定的平衡点。
4.2 二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式为r bx ax x n n n =++++12， (8)其中r b a ,,为常数，当0=r 时，它有一特解0*=x ，当0≠r ，且01≠++b a 时，它有一特解1*++=b a rx ，不管是哪种情形，*x 是方程(8)的平衡点。
设方程(8)的特征方程为02=++b a λλ的两个根分别为1λλ=，2λλ=，则① 当21,λλ是两个不同的实根时，方程(8)的通解为n n n C C x x )()(2211*λλ++=；② 当λλλ==21是两个相同实根时，方程(8)的通解为n n n C C x x λ)(21*++=③ 当)sin (cos 2,1θθρλi +=是一对共轭复根时，方程(8)的通解为)sin cos (21*θθρn C n C x x n n ++=易知，当且仅当特征方程的任一特征根1<i λ时，平衡点*x 是稳定的。
4.3 一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的一般形式为)(1n n x f x =+ (9)其平衡点*x 由代数方程)(x f x =解出。
为了分析平衡点*x 的稳定性，将方程(9)的右端)(n x f 在*x 点作泰勒展开，只取一次项，得到)())((***'1x f x x x f x n n +-≈+ (10)(10)是(9)的近似线性方程，*x 是(10)的平衡点， 根据一阶常系数线性差分方程(6)b ax x n n =++1的稳定性判定的相关结论，得：① 当1)(*'<x f 时，方程(9)的平衡点是稳定的； ② 当1)(*'>x f 时，方程(9)的平衡点是不稳定的。