差分方程模型
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
差分方程模型
因 f ( n ) = 2 中, 2 是 2 重根,故设特解为 a n
n
= A ⋅ n 2 ⋅ 2n
n n 2 n −1 代入得 A = 1 2 , 故通解为 a n = c1 2 + c 2 n ⋅ 2 + n ⋅ 2
n −1 n 方法 2(化齐) an − 4an −1 + 4a n− 2 = 2 , 2( a n −1 − 4a n− 2 + 4a n −3 ) = 2 ⋅ 2
105 是平衡点，不稳定.
若 a 0 = 100000 ⇒ c = 0 , 则 ∀ n , a n = 100000
5 若 a0 > 10 ,
5 若 a 0 < 10 ,
c > 0,
c < 0,
则 an → +∞ 则 an → −∞
2. 二阶方程的平衡点及稳定性 只 须 讨 论 齐 次 方 程 a n − aa n −1 + ban − 2 = 0 ; 对 非 齐 次 方 程
x1 = u + iv 和相异的 k − 2 个根 x3 , L, x k , 则差分方程的通解 x = u − iv 2
为： an = c1 ρ cos nθ + c2 ρ sin nθ + c3 x3 + L + ck xk .
n n n n
定义 2
( b1 , b2 ,L, bk 为常数， bk ≠ 0 , f ( n) ≠ 0 , n ≥ k ) 的差分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程。称
形如 a n + b1a n −1 + b2 a n− 2 + L + bk an − k = f (n)
第七章 差分方程模型
1. 使 α 尽量小，如 α=0 尽量小， 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 2. 使 β 尽量小，如 β =0 尽量小， 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
0
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 段的价格决定下一时段的产量。
αβ < 1 放宽了
7.2 减肥计划 减肥计划——节食与运动 节食与运动 背 景
• 体重指数 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； 超重; 肥胖. 正常； BMI>25 ~ 超重 BMI>30 ~ 肥胖 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
t t +1 t
∆2 yt = ∆(∆yt ) = ∆yt+1 −∆yt = yt+2 −2yt+1 + yt
为的二阶差分。类似地，可以定义 阶差分。 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 二阶差分 阶差分 差分方程， 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 、 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如， 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 ∆2 yt + ∆yt + yt = 0 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 末 体重 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
差分方程及其Z变换法求解
= b0 r[(k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm−1r[(k + 1)T ] + bm r (kT )
zX 1 ( z ) − zx1 (0) = X 2 ( z )
x2(kT)
z −1
x1(kT) z −1 x2(z) y[(k+1)T] KT
-
x1(0) 1 x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k + 1)T ] = -( KT -1) y (kT ) + KTr (kT ) r(kT)+ 1)T ] + ( KT -1) y (kT ) = KTr (kT ) y (k + 1) + ( K -1) y (k ) = Kr (k )
KT-1
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k + n)T ] = −a1 y[(k + n − 1)T ] − ...... − an −1 y[(k + 1)T ] − an y[kT ] + b0 r[( k + m)T ] + b1r[(k + m − 1)T ] + .......bm −1r[( k + 1)T ] + bm r (kT )
y (kT ) = 0.446 + 1.429(-0.4) k -1.875(-0.6) k
第三章差分方程模型
x(k)=[x1(k), x2(k), ,xn(k)]T b=[b1, b2, ,bn]T
a11 A a21
an1
a12 a1n
a22
a2 n
an 2
ann
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
3. 线性常系数差分方程组
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷款总额100万元, 期
限20年, 年利率6.55%.
点击“开始计算”得: 还款总额
1796447.27元, 月均还款7485.2元.
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率
n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n
k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
x0 (1
r)n
a
(1
r)n r
1
贷款到期时xn=0
a
x0 r
(1 r)n (1 r)n 1
零存整取 计算器
累计存入金额180,000元 到期本息总额196复利
按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月)
xk ~存入k个月后的本息
x1=a+ar
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n
数模(差分方程模型)
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一ຫໍສະໝຸດ 月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
第二讲 简介_差分方程模型与案例
第二讲简介_差分方程模型与案例1.1 差分方程的基本定义差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型。
现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。
为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。
1.2 一阶线性常系数差分方程一阶线性常系数差分方程的一般形式差分方程的平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件1.3高阶线性常系数差分方程n 阶线性常系数差分方程的一般形式称方程011...0k n k n n k a x a x a x ++-+++= (*)为对应的齐次方程设方程(*)有形如kk x λ=的解,则有 特征方程特征根(假定有k 个不同的实根,其它情形参见资料《差分方法建模理论与案例》)平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件所有特征值的模均小于11.4非线性差分方程建模案例：题目1 濒危物种的自然演变和人工孵化问题：Florida 沙丘鹤属于濒危物种，生态学家估计它在自然环境下，年平均增长率为 -3.24%。
如果在某自然保护区内开始有100只鹤，每年人工孵化5只鹤放入该保护区，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。
模型及其求解记第k 年沙丘鹤的数量为x k ，自然环境下的年平均增长率为r ，记a =1+r ，每年孵化的数量为b ，则第k +1年鹤的数量为,2,1,0,1,1=+=+=+k r a b ax x k k模型分析讨论时间充分长以后沙丘鹤数量的变化趋势, 即k →∞时x k 的极限状态。
,2,1,0,11)1(010=--+=++++=-k a ab x a aa b x a x kkk k k当a <1即r <0时x k →x =b /(1-a )。
MATLAB演示计算计算并作图，程序如下：子程序：function x=exf11(x0,n,r,b)% 建立名为exf11的函数M文件，x0,n,r,b可调节a=1+r;x=x0; % 赋初值for k=1:nx(k+1)=a*x(k)+b; % 按照（3）迭代计算end主程序:clc; clf; clear all% x0:初始值；r=-0.0324; b:人工孵化数x0=100;n=20;b=5; r=-0.0324;% 给定x0,n,r，b,调用exf11计算k=(0:n)';y=exf0201(x0,n,r,b);plot(k,y,'r*-'),title('Florida 沙丘鹤数量变化趋势');% 在图上做标记（运行结果显示）题目2 汽车租赁公司的运营问题:一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。
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实验八： 差分方程模型
实验目的：
1. 掌握一阶和二阶常系数线性差分方程的求解方法；
2. 利用差分方程建模。
实验练习：
1. 求下列一阶常系数线性差分方程的通解： (1) 134n n y y ++=； (2)
12cos()n n n y y n p +-=.
注：若12()cos sin f n b n b n w w =+，则特解可设为
*cos sin n y n n a w b w =+其中,a b 为待定系数，求解关于,a b 的
方程组，若系数矩阵为0，则特解可设为
*(cos sin )n y n n n a w b w =+
2. 教材P173，习题4.
3. 求下列二阶常系数线性差分方程的通解：
()()2222cos sin .
n n n n y y p p ++=-安徽师
范大学
数计 学院实验报告
专业名称数学与应用数学实验室2号实验楼#201 实验课程Matlab
实验名称差分方程模型
姓名张顺强
学号100701185
同组人员无
实验日期2013.。