基于差分方程的人口预测模型
数学建模论文-基于双线性系统、差分方程的人口增长模型模板
基于双线性系统、差分方程的人口增长模型摘要社会经济的许多领域的规划都必须考虑人口这一重要因素。
而人口普查只能为我们提供某几个时间点的横截面数值，但在现实生活中，人们常常需要其他时间点的人口总数及其构成。
于是一个迫切的任务就是如何用少数的几个时点的信息比较准确的得到较详尽的其他时点的人口数据。
人口系统发展是一个动力学过程，为强惯性系统，人口死亡率和出生率构成人口增长的双线性系统。
针对中短期预测，基于统计理论，将5年的死亡出生率，死亡率求期望，建立了人口增长的定常差分方程模型，预测至2015的人口发展趋势，通过MATLAB求解得到2015年的总人口为14.17亿，乡村城镇化趋势明显；并且人口在2025左右出现峰值，约为15.1亿。
针对长期预测，根据动力学发展过程理论，当时间尺度接近惯性系统的时间常数（社会人口的平均寿命）时，人口状态将发生明显改变。
由此建立了人口增长的时变差分模型。
并通过MATLAB求解，预测2050年的人口总数为14.33亿，人口系统达稳定状态。
然后，利用Leslie矩阵分析模型的稳定性。
当时间t（年）充分大时人口增长也趋于稳定。
针对长期模型的检验，对不同的总和生育率做出了人口总数的变化曲线。
得出当总和生育率的更替水平临界值略大于2.0。
关键词：差分方程，强惯性系统，Leslie矩阵，总和生育率一.问题重述与分析1.1问题重述中国乃泱泱人口大国，人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标，人口规模是否合理，不仅影响到未来地区经济和社会发展，而且会影响到地区生态环境可持续发展。
因此准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义。
根据国家人口报告，对短期、中期和长期人口预测作如下定义：十年内为短期，十到十五年为中期，五十年及其以上为长期。
人口发展过程是一个很缓慢的过程。
它的“时间常数”接近平均期望寿命约七、八十年的时间。
人口状态随时间变化的过程称为人口发展过程。
差分方程人口预测模型
1 差分方程人口预测模型一、名词和符号说明名词解释：（1）拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量，可建立适当的数学模型，用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica 做曲线拟合。
（2）差分方程:含有自变量，未知函数以及未知函数差分的函数方程，称为差分方程。
（3）迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
设r 是f(x)=0的根，选取x0作为r 初始近似值，过点（0x ,f(0x )）做曲线y=f(x)的切线L ，L 的方程为))(()(000x x x f x f y -'+=,求出L 与x 轴交点的横坐标 )()(0001x f x f x x '-=,称1x 为r 的一次近似值，过点（1x ,f(1x )）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x 轴的横坐标)()(1112x f x f x x '-=称2x 为r 的二次近似值，重复以上过程，得r 的近似值序列{Xn},其中)()(11n n n n X f X f X X '-=++,称为r 的n+1次近似值。
上式称为牛顿迭代公式。
符号说明：)(k x i 第 k 年i 岁的女性总人数)(k x 女性人口的（按年龄）分布向量)(k b i 第k 年i 岁的女性生育率 i d 第k 年i 岁的女性死亡率 i s 第 k 年i 岁的女性存活率i 岁女性的生育模式)β(k k 年总和生育率（控制人口数量的主要参数）i hA 存活率矩阵B 生育模式矩阵二、模型假设针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化，我们应用已知数据，将其时间离散化,由于女性是影响总人口变化的主要因素 ,因此本模型从考虑女性人口的发展变化出发，我们在不失科学性的前提下作出如下合理的基本假设：（1）假设女性最大年龄为90岁,最小年龄为0岁，以1岁为1个年龄组,1年为1个时段，不考虑同一时间间隔内人口数量的变化。
人口预测方法(总结)
1. 人口总量预测(1)人口总量趋势外推模型图错误!未定义书签。
永康市1985年以来历年的人口变化(2)人口增长率预测模型人口增长率预测模型是根据计划生育有关指标而进行的一种人口预测方法.数学公式表示为：（3-2）式中：P表示规划期总人口（人)，P0表示规划基期总人口(人)，ΔP表示规划期间人口机械增长数(人）,n表示规划年期,k表示规划期间人口自然增长率.人口自然增长率k可用出生率b和死亡率d表示:(3—3）图错误!未定义书签。
永康市1989年以来历年的人口出生率、死亡率和自然增长率图1 永康市1989年以来历年的户籍人口迁移数量(3)人口离散预测模型人口离散预测模型也即人口差分方程预测模型，又称“宋健模型”,是我国自行提出的比较成功的人口发展预测模型，能较好的运用人口普查资料对未来人口进行预测。
该模型是根据分年龄的人口结构递推公式进行预测，模型的数学表达如下：（3—6）式中:X0(t）为t年代0岁出生婴儿数，X i（t）为t年代之年龄组人口数，μ00（t）为t年出生婴儿当年死亡率，β(t）为妇女总和生育率,即社会人中平均意义下一个妇女在整个育龄时期的生育总数（r2，r1即为生育年龄的上下限)，h i(t）为生育模式，反映某一地区某一个育龄妇女生育状态分布,k i(t）为t年代之年龄组女性性别比,μi(t）为t年代之年龄组人口死亡率，f i（t）为t年代之年龄组净迁移数。
在模型的具体应用中,课题组工作的重点是如何确定公式3-6中的各种参数.①第五次人口普查资料中的数据是2000年11月1日的数据，而规划所需的数据是年末的数据,课题组将普查的户籍人口分龄人口数按比例修正到2000年底的统计人口总数作为X i（t)；②从普查资料来看45岁以下的性别比比较稳定，为了简化模型,t年代之年龄组女性性别比k i（t)用常量k表示，即采用普查资料中的45岁以下的男女性别比=104。
85(女性=100)推算，故k= 0。
malthusian动态方程
Malthusian动态方程1. 简介Malthusian动态方程是基于人口增长理论的一种数学模型，由英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯在19世纪末提出。
该模型描述了人口增长与资源供给之间的关系，并预测了未来可能出现的问题。
2. 基本假设Malthusian动态方程基于以下几个基本假设：•人口增长呈指数增长。
•资源供给有限。
•人口增长速度高于资源供给速度。
•当资源供给不足时，人口将面临压力和困境。
3. 方程表达式Malthusian动态方程可以用以下差分方程表示：N(t+1) = N(t) * r其中，N(t)代表时间点t处的人口数量，r为每年的人口增长率。
4. 模型解释根据Malthusian动态方程，当资源供给有限时，人口数量将以指数形式增长。
这是因为每个个体都有生存需求，并且可以繁殖后代。
当资源供给无法满足整个群体的需求时，就会出现竞争和压力，导致人口的增长速度超过资源供给的速度。
在这种情况下，人口数量将继续增长，直到达到资源供给的极限。
当人口数量接近或超过资源供给的容量时，就会出现食物短缺、疾病传播等问题，从而导致人口数量减少。
这种减少可以是因为死亡率上升、出生率下降或迁移等。
5. 模型应用Malthusian动态方程在经济学和人口学领域有着广泛的应用。
它可以帮助我们理解人口增长与资源供给之间的关系，并提醒我们可能面临的问题。
5.1 人口控制政策基于Malthusian动态方程的理论，一些国家和地区采取了人口控制政策。
这些政策旨在通过限制生育率来控制人口增长速度，以避免资源供给不足所带来的问题。
例如，中国实施了一孩政策，在一定程度上成功地控制了人口数量。
5.2 资源管理和可持续发展Malthusian动态方程提醒我们要合理管理和利用有限的资源。
它促使我们思考如何实现可持续发展，以满足当前和未来世代的需求。
通过制定环境保护政策、推动资源节约和循环利用等措施，我们可以减少资源短缺和人口压力。
python人口的动态变化过程的差分方程
python人口的动态变化过程的差分方程人口的动态变化过程可以使用差分方程进行建模。
其中，差分方程描述了人口增长或减少的速率，可以根据具体情况进行调整。
以下是一种简单的人口动态变化的差分方程示例：
假设有一个国家的初始人口为P0，每年的出生率为B，死亡率为D，迁移率为M，我们可以使用如下的差分方程来描述人口的动态变化：
Pn = Pn-1 + (B - D + M) * Pn-1
其中，Pn表示第n年的人口数量，Pn-1表示第n-1年的人口数量，B表示每年的出生率，D表示每年的死亡率，M表示每年的迁移率。
这个差分方程的含义是：第n年的人口数量等于第n-1年的人口数量加上（出生数-死亡数+迁移数）乘以第n-1年的人口数量。
通过迭代计算差分方程，可以预测未来各年的人口数量。
当参数B、D和M 的值确定后，可以根据初始人口P0和时间步长（一年）计算出每一年的人口变化。
需要注意的是，这个差分方程是一个简单的模型，实际应用中可能需要更复杂的模型来考虑更多的因素，如年龄结构、生育率变化、迁移模式等。
差分方程模型仅为对人口动态变化的一种简化描述，并且需要合理估计参数值来提高模型的准确性。
中国人口增长预测模型
中国人口增长预测模型作者：张俊峰叶俊李永明来源：《消费导刊·理论版》2009年第08期[摘要]本文首先对人口增长建立了微分方程模型，为了求解的方便，把微分方程模型转变为了步长为1年的差分方程模型，然后在不考虑人口迁移的假设下建立了模型一。
为了更加符合实际情况，通过加入人口转移因素，在模型一的基础上建立了模型二。
最后得到如下结果：1）人口总量基本不变；2）由于乡村人口不断向城镇转移，使城镇人口增长的速度加快，而农村人口不断减少；在短期求解过程中，认为城镇人口比例的增长将会受到城镇资源的限制，于是采用了logistic模型进行拟合，最后得到如下结果：1）在短期范围内，与线性增长求解得到的结果相符合；2）长期范围内，城镇以及乡村人口变化率减小，趋于稳定。
[关键词]微分方程差分方程聚类分析 logistic阻滞增长一、引言中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
中国政府一直以来都在大力的采取有效措施来从数量、结构、素质等方面对我国人口状况做出改善。
二、模型的建立与求解由于人口问题涉及到比较多的概念，这里首先声明几个定义：1）生育率：指每1000处于该年龄的育龄妇女的全年活产婴儿数。
2）总和生育率：一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数（单位‰）。
说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。
即第n年的市、镇和乡的总和生育率分别为（其中ai(n)，bi(n)，ci(n)分别表示第n年的市、镇和乡中年龄为i的妇女的生育率）：对于以上的差分方程模型（即模型一）的求解需要确定生育率ai(n)、死亡率和si(n)以及男女出生比例。
1．短期预测：在短期预测中，对于以上参数的确定采取以下的方法：1）在我国，生育率ai(n)可以通过制定和实施一定的国家政策来进行人为的宏观调控，所以这里就将采用数据表中2005年的各年龄段的生育率；2）若在正常情况下（生物自由增长），出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。
数学建模论文-基于差分方程的人口预测模型
基于差分方程的人口预测模型摘要本文针对我国人口增长中出现的新特点，建立了两个符合实际情况的预测模型。
模型一：基于Logistic模型，建立了含市、镇、乡人口相互流动关系的微分方程模型，求得全国总人口数在短期内将持续增长，到2010年、2020年分别为13.59亿和14.44亿，具有较好的中短期预测效果。
模型二：从年龄转移与总和生育率出发，建立了离散型人口发展模型。
1.针对性别比例，引入女性比例转移矩阵，利用计算机进行随机模拟，建立起动态的女性比例转移矩阵；2.针对人口迁移，引入人口迁移率矩阵，将迁移率标准化后利用平均迁移率实现了对迁移人数的预测；3.针对死亡率，利用分段加权法估计其随时间的变化，得到了较好的预测结果；4.针对老龄化和出生高峰，将其转化为育龄妇女占总人口的比例，实现了量化预测。
综合考虑上述因素，利用MATLAB编程求解，全国总人口将呈现短期增加、中期平稳、长期缓慢下降的趋势。
其中总人口在2010年、2020年将分别达到13.63亿和14.57亿人；在2039年将达到人口高峰14.65亿人，性别比逐步逼近46.7％，69岁以上人口将超过4亿人，占总人口的27.48％。
模型一需要的原始数据少，操作简单，适合于中短期预测，但长期预测效果不佳；模型二综合考虑了各因素，对中短期和长期均有较好的预测效果，但所需数据量大，操作较为复杂。
关键字Logistic模型人口发展模型转移矩阵计算机模拟迁移率1.问题重述人口预测是国家工作中的重点，关系着国家的发展方向和命运。
我国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对我国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着我国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》对此做出了进一步的分析。
一个基于差分方程的人口预测模型
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以 N ( t) 与总生育率成二次相关 , 即整个模型对 总出生率十分敏感 .
京 : 中国统计出版社 , 2006.
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为求解前面的方程组 , 不失一般性 , 利用一 阶差分 ,即取步长 & t = 1 ,把原微分方程组化为 差分方程组 ,有
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由模型的建立原理可知 , N ( t) ∝ r ( 1 - r/N m ) ∝ r ( 1 - r) , 故 N ( t) 将随 r 的 增加 成二 次幂 增长 ; 而 r =
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∑xy ,其中
x 为女性比例 , y 为生育模式 , 在女
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综合考虑上述因素，利用 MATLAB 编程求解，全国总人口将呈现短期增加、中期 平稳、 长期缓慢下降的趋势。 其中总人口在 2010 年、 2020 年将分别达到 13.63 亿和 14.57 亿人；在 2039 年将达到人口高峰 14.65 亿人，性别比逐步逼近 46.7％，69 岁以上人口 将超过 4 亿人，占总人口的 27.48％。 模型一需要的原始数据少，操作简单，适合于中短期预测，但长期预测效果不佳； 模型二综合考虑了各因素，对中短期和长期均有较好的预测效果，但所需数据量大，操 作较为复杂。 关键字 Logistic 模型 人口发展模型 转移矩阵 计算机模拟 迁移率
表 1
年份 城市男 城市女 镇男 镇女 乡男 乡女 总人口 2001 15466 15420 8394 8154 41271 38923 127627 2002 16803 16804 8213 7904 40566 38164 128453
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当年抽样调查中市男性总人口 当年抽样调查总人口
2. 问题分析
一个社会（国家、省市、地区）人口的变化和随时间的发展过程，是由很多因素决 定的，社会制度、自然环境、生活水平、科学文化水平、战争、自然灾害和移民等等， 都能严重地影响社会人口的发展过程。然而，婴儿的出生、人口的死亡、居民的迁移却 是决定该社会人口变化的直接原因，近年来我国人口发展出现的一些新特点，如老龄化 进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，都直接或间接地通 过这三个现象表现出来。综合考虑这些因素成为构建符合我国国情的人口增长模型关 键。 建立模型对人口发展过程进行定量预测，就是根据现有的人口统计资料和原始数 据，从当前实际的人口状况出发，并对未来的人口发展过程，提出合理的控制要求和假 定，应用科学的方法，预测出未来几年、几十年甚至上百年的人口发展趋势，包括人口 总数、人口的性别、年龄和城乡结构，人口出生、死亡和自然增长率的变化以及在未来 的人口构成中劳力和抚养水平及老化水平等。
预测人数（亿人） １３．８６ １３．９４ １４．０３ １４．１１ １４．１９ １４．２８ １４．２６ １４．４４ １４．５２ １４．６１ 预测人数（亿人） １４．６９ １４．７８ １４．８６ １４．９５ １５．０４ １５．１２ １５．３０ １５．７６ １６．２４ １６．８２
年各地区最大人口容量（单位：万人） ： N1 = 139488, N2 = 26228, N3 = 44944 。 3. 求解 λ 为求解 λ ，把 2002 年和 2001 年的数据都带入阻滞增长模型，联合以下三个迁入迁 出方程可解迁移系数 λ 。 （见表２） r r2λ12 1 λ21 N = N 2m 1m r2λ32 r3λ23 = N N2 m 3 m r3λ13 r λ = 1 31 N1m N3m
3. 模型假设
1. 2. 3. 4. 5. 针对本问题，建立如下合理的假设： 题中所给数据能反映我国人口变化的基本情况； 一些重大事件，如战争、自然灾害等对人口预测的影响暂不考虑； 所给数据都是年末数据， 也即下一年年初数据， 如 2001 年总人口实质上也表示 2002 年初的总人口； 今年所统计的 i 岁的人口在下一年年初均为 i + 1 岁； 生育模式不随时间变化。
5.2.3. 模型分析： 1. 结果分析 由表 3 可以看出，我国人口在短时间内仍会继续增长，增长水平为每年 1000 万人 左右，到 2010 年和 2020 年，全国总人口将达 13.59 亿人与 14.44 亿人。
5
2.
敏感性分析 由模型的建立原理可知： N (t ) ∝ r(1 − r N m ) ∝ r (1 − r ) ，故 N (t ) 将随 r 的增加成二次
表 2 迁移系数 λ
市 q =1 镇q = 2 乡q = 3 4. 求解 N p (t + 1)
市 p =1 0 14.55182 -0.4674880
镇p=2 21.13720 0 22.89316
乡p =3 -0.1108025 3.735552 0
由所求得的系数 r , N m , λ ，把 2001 年作为初始年，用 MATLAB 求解可得以后各年 全国总人口数：
2004 16677 16889 10060 9901 39360 37100 129988 2005 18149 18092 11276 11117 36661 35461 130756
5 年间各部分人口数
2003 16779 16843 9961 9705 39222 36718 129227
表 3 模型一对全国总人口数的预测
年代 ２００３ ２００４ ２００５ ２００６ ２００７ ２００８ ２００９ ２０１０ ２０１１ ２０１２ 预测人数（亿人） １２．９４ １３．０３ １３．１２ １３．２２ １３．３２ １３．４１ １３．５０ １３．５９ １３．６８ １３．７７ 实际人数（亿人） １２．９２ １３．００ １３．０８ —— 误差（％） 年代 年代 ０．１３ ２０１３ ２０２３ ０．２６ ２０１４ ２０２４ ０．３９ ２０１５ ２０２５ —— ２０１６ ２０２６ —— —— ２０１７ ２０２７ —— —— ２０１８ ２０２８ —— —— ２０１９ ２０３０ —— —— ２０２０ ２０３５ —— —— ２０２１ ２０４０ —— —— ２０２２ ２０４５
单位 万人 万人 \ \ 万人 \ 万人 \ \ \ 岁 \ \ \
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Nm
r
λ
xi ( t ) µi (t ) g i (t ) k i (t ) hi (t )
β (t ) [ a1, a2]
ηi (t ) µi (t ) σ i (t )
5. 模型建立与求解
5.1. 数据预处理 题中所给 5 年我国人口 1%调查数据是对人口的抽样调查数据，由于数据的不完备 性，并不能由它来估计当时的全国总人口数。但基于抽样调查的等概率性，可以认为它 所反应的市、镇、乡三个地区的人口比例及男女比例是与实际较为接近的。从《中国人 口统计年鉴 2006》[1]可以得到 2001~2005 年具体的全国总人口数。进而可以得到各部分 人口数。所得数据见表 1。 例： ２００１年市实际男性总人口＝２００１年全国总人口×
5.2. 模型一：基于人口迁移的 Logistic 阻滞增长模型 5.2.1. 模型建立： 考虑单一地区只受自然资源和环境条件限制的 Logistic 阻滞增长模型[2]：
dN (t ) N ( t) = rN ( t )(1 − ) dt Nm
其中 r 为固有增长率。N (t) , N m 分别表示第 t 年的人口数和此条件限制下的最大人口 容量。 因子 rN (t ) 体现了人口自身的增长趋势， 因子 (1 − N (t ) Nm ) 则体现了资源和环境对 人口增长的阻滞作用，人口增长是两个因子共同作用的结果。 现在考虑市、镇、乡三个地区的总人口变化规律，假定在一段时期内，这三个地区 各自均处于稳定状态，出生率和死亡率都没有太大变化。然而居民在三个地区间的迁移 会对总人口产生一定的影响。对原 Logistic 模型进行修改，得到多地区条件下的改进模 型： dN1(t ) N1 (t ) N (t ) N (t ) + λ21 2 + λ31 2 ) dt = r 1 N1 (t )(1 − N1m N2m N 2m dN 2 (t ) N (t ) N (t ) N (t ) = r2 N 2 (t )(1 − 2 + λ12 1 + λ32 3 ) N 2m N 1m N3 m dt dN3 ( t ) N ( t) N (t) N (t) = r3 N3 ( t)(1 − 3 + λ13 1 λ23 2 ) N 3m N1m N 2m dt 其中 p , q = 1,2,3. 分别表示市、镇、乡这三个地区， λqp 是迁移系数，正数时表示迁 入，负数时表示迁出。λqp / N m 体现了居民从地区 q 迁到地区 p 时对地区 p 人口增长的影 响。 为求解此方程，不失一般性的取 ∆t = 1 ，则原微分方程组化为差分方程组： N (t ) N (t ) N (t ) t − 1 + λ21 2 + λ31 2 ) N1 (t + 1) − N1 (t ) = r1 N1 ()(1 N1m N2m N 2m N 2 (t ) N ( t) N ( t) + λ12 1 + λ32 3 ) N2 ( t + 1) − N2 (t ) = r2 N2 (t)(1 − N2m N 1m N 3m N (t ) N (t ) N (t) N3 (t + 1) − N3 ( t ) = r3 N3 (t )(1 − 3 + λ13 1 λ23 2 ) N 3m N1m N 2m 5.2.2. 模型求解： 1. 求解 r 考虑到育龄妇女生育率信息的残缺，用年龄为 i 的育龄期妇女占总人口的比例 pi (t ) 与对应每个年龄生育率的乘积和来表示年 t 的出生率。
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4. 符号说明
符号
N (t )
说明 在 t 年初的总人口数 最大人口容量 人口固有增长率 各地区间人口迁移系数 第 t 年年初有 i 岁的人口数 第 t 年 i 岁人的死亡率 第 t 年 i 岁人口的迁入量 第 t 年女性人口在 i 岁人口中所占比例 第 t 年生育模式 第 t 年总和生育率 育龄期范围， a1 = 15, a 2 = 49 第 t 年 i 岁人的后向死亡率 第 t 年 i 岁人的前向死亡率 第 t 年 i 岁人的迁移率
基于差分方程的人口预测模型
摘要
本文针对我国人口增长中出现的新特点，建立了两个符合实际情况的预测模型。 模型一：基于 Logistic 模型，建立了含市、镇、乡人口相互流动关系的微分方程模 型， 求得全国总人口数在短期内将持续增长， 到 2010 年、 2020 年分别为 13.59 亿和 14.44 亿，具有较好的中短期预测效果。 模型二：从年龄转移与总和生育率出发，建立了离散型人口发展模型。 1. 2. 3. 4. 针对性别比例，引入女性比例转移矩阵，利用计算机进行随机模拟，建立起动态 的女性比例转移矩阵； 针对人口迁移，引入人口迁移率矩阵，将迁移率标准化后利用平均迁移率实现了 对迁移人数的预测； 针对死亡率，利用分段加权法估计其随时间的变化，得到了较好的预测结果； 针对老龄化和出生高峰， 将其转化为育龄妇女占总人口的比例， 实现了量化预测。