第5讲_差分方程模型

2． 二阶线性差分方程的平衡点及稳定性 考察二阶线性差分方程xk+a1xk+1+a2xk+2=0 (4) 在平衡点x*=0的稳定性。为求（4）的通解，先写 出他的特征方程
2 a1 a2 0
记它的根为λ 1，λ 2，则（4）的通解可以表示为
k xk c11 c2 k 2
，其中常数c1,c2由初始条件x0,x1确定，从而可知 ，当且仅当|λ 1|<1, |λ 2|<1时方程（4）的平衡点是 稳定的。
鱼群数据为： (1) 各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其 平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（g）; (2) 1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4 龄鱼产卵量为1.109╳105 （个），3龄鱼为其一半 ； (3) 卵孵化的成活率为1.22╳1011/（1.22╳1011+n ）(n为产卵总量)；
该年4龄鱼总捕捞量：
k 4 1 (1 k 4 ) 3 (1 k 4 ) k 4 X 4 k4 i
8 i 1
，


； ；
该年3龄鱼产卵总量： 该年4龄鱼产卵总量：
m (1 k3 ) 8 X 3 2 m n4 (1 k4 )8 X 4 2 n3
因此矩阵应修正为：
0 12 P (1 ) 0 0 0 0 (1 )12 0 m (1 k 3 ) 8 2 0 0 (1 ) 4 (1 k 3 ) 8 m (1 k 4 ) 8 0 0 (1 ) 4 (1 k 4 ) 8
问题描述如下： 如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场 中各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最 高收获量； 合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生 产能力不能受到太大破坏，承包时各年龄组鱼 群数量为122，29.7，10.1，3.29（╳109条）。 在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取 怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。
从而有： 一年后3龄鱼实际存活数：（1-α -k3）8（1-α ）4X3; 一年后4龄鱼实际存活数：（1-α -k4）8（1-α ）4X4; 该年3龄鱼总捕捞量： ，
k 3 1 (1 k 3 ) 3 (1 k3 ) k3 X 3 k3 i
8 i 1


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三、差分方程的平衡点及稳定性
1． 一阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定 性 一阶线性常系数差分方程 b x k xk+1+axk=b,k=0,1,2,…（1） 1 a 的平衡点由x+ax=b解得，为 ，当 时，若xkx*，则x*是稳定的。 方程（1）的平衡点的稳定性问题可以通过变 量代换转换为齐次方程 xk+1+axk=0,k=0,1,2… (2)
第五讲 差分方程模型
一 差分方程模型 二 差分方程解法 三 差分方程的平衡点及稳定性 四 建模案例 五 用Matlab求解差分方程问题
一 差分方程模型
对一数列{an}，把数列中的an和前面的ai(0<=i<n)关 联起来的方程叫差分方程，也叫递推关系。
例：设第一月初有雌雄各一的一对小兔。假定两月 后长成成兔，同时从第三个月开始每月初产雌雄各 一对一对小兔，新增小兔也按次规律繁殖。设第n月 末共有Fn对兔子，试建立关于Fn的差分方程。
3 一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性 考察一阶非线性差分方程xk+1=f(xk) (7) 的平衡点的稳定性。其平衡点x*由x=f(x)解出。 将（7）的右端在x*点做泰勒展开，只取一次项 ，则（7）可以近似为： xk 1 f ' ( x*)(xk x*) f ( x*) （8） x*也是（8）的平衡点。线性方程（8） 的平衡 点的稳定性讨论同（1），而当|f’(x*)|≠1时（7 ）与（8）的平衡点的稳定性相同。从而有： 当|f’(x*)|<1时，方程（7）的平衡点是稳定的； 当|f’(x*)|>1时，方程（7）的平衡点是不稳定的 。
关于鱼群的差分方程为：X(t+1)=PX(t) （1） 为实现持续捕获，（1）式必须存在稳定解： X(t)=PX(t)。 由差分方程稳定性理论知其充要条件为：对P的所有特 征根λ i,均有|λ i|<1。由此可求得最佳策略。
五 用Matlab求解差分方程问题
1、一阶线性常系数差分方程
2、高阶线性常系数差分方程
1、一阶线性常系数差分方程 • 濒危物种的自然演变和人工孵化 • 问题： Florida沙丘鹤属于濒危物种，它
在较好自然环境下，年均增长率仅为 1.94%，而在中等和较差环境下年均增长 率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自 然保护区内开始有100只鹤，建立描述其 数量变化规律的模型，并作数值计算。
解：因为第n月末的兔子包括两部分，一部分为上月 留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生 的小兔等于前月末的兔子数，所以有 Fn=Fn-1+ Fn-2 ,F1=F2=1.返回
二 差分方程解法
1． 常系数线性齐次差分方程的解法 形如an+b1an-1+b2an-2+…+bkan-k=0（1）(其中bi为常 数，bk≠0,n>=k.)的差分方程，称为{an}的k阶常系数 线性齐次差分方程。 Xk+b1xk-1+…+bk=0为上述差分方程的特征方程，其 根称为特征根。 解分为三种情况： （1） 单根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0有k 个 相 异 的 特 征 根 x1,x2,…,xk ， 则 an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn是一个通解，其中ci为常数， 由初始条件a0=u0,a1=u1,…,ak-1=uk-1 可确定一个满足初 始条件的特解。
m X 1 (t 1) (c k 3 ) X 3 (t ) m(c k 4 ) X 4 (t ) 2
因为3、4龄鱼的捕捞强度系数比为0.42：1，所以 有k3=0.42k4=0.42k,写成矩阵形式有： X(t+1)=PX(t); 其中
0 c P 0 0 0 0 c 0 m (c 0.42 k ) m (c k ) 2 0 0 0 0 c 0.42 k ck
（2） 重根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk1+…+b =0的相异特征根x ,x ,…,x ，重数依次为 k 1 2 t m1,m2,…,mt, m1+m2+…+mt=k，则差分方程的通 解为
n a n c1 j n x1 c2 j n j 1 x2 ... ctj n j 1 xtn j 1 n j 1 j 1 j 1 m1 m2 mt
Matlab实现 • 首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=sqh(n,r) a=1+r; x=100; for k=1:n x(k+1)=a*x(k); end
• 在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20)'; >> y1=sqh(20,0.0194); >> y2=sqh(20,-0.0324); >> y3=sqh(20,-0.0382); >> round([k,y1',y2',y3'])
（3） 共轭复根 若差分方程（1）的特征方程Xk+b1xk-1+…+bk=0 有一对共轭复根 x1 i , 和相异的 x1 i k-2个实根x3,…,xk，则差分方程的通解为，
an c1 cos n c2 sin n c x ... c x
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பைடு நூலகம்
四、建模案例--最优捕鱼策略
问题简介 生态学原理：对可再生资源的开发策略应为在可持 续收获的前提下追求最大经济效益。 考虑4个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼的 某鱼类。该鱼类在每年后4个月产卵繁殖。因而 捕捞只能在前8个月进行。每年投入的捕捞能力 不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比 例称为捕捞强度系数。且只能捕捞3、4龄鱼，两 个捕捞强度系数比为0.42：1。即为固定努力量 捕捞。
(2)模型的建立 以1年为一个离散化的时间单位。 记年初鱼群为X(t)=(X1(t), X2(t), X3(t), X4(t))T, 下 一 年 的 鱼 群 数 为 X(t+1)=(X1(t+1), X2(t+1), X3(t+1), X4(t+1))T 。显然，Xi(t+1)是Xi-1(t+1)到 年底存活下来的鱼群数（i=1,2,3,i=4时X4(t+1)中 还包括X4(t)中的存活数。X0(t)是指上一年由卵 孵化而得到的1龄鱼），据此可建立如下差分方 程： X2(t+1)=c X1(t); X3(t+1)= c X2(t); X4(t+1)=(c-k3)X3(t)+(c-k4)X4(t);
当4龄鱼的捕捞强度系数k>c/0.42时，不论上一年 鱼群数目如何，下一年鱼群将出现负数。说明模 型存在问题，原因是离散化程度不够精细。
假设单位时间为一个月，定义月死亡率为α ，月存 活率为（1-α ）， 月捕捞系数为k,则年存活率为 （1-α ）12=c=0.2,从而α =0.1255。 考虑一年中各月鱼群数目的分布，则有： 一个月的实际存活率：（1-α -k）； 两个月的实际存活率：（1-α -k）2； 三个月的实际存活率：（1-α -k）3； 。。。 八个月的实际存活率：（1-α -k）8； 九个月的实际存活率：（1-α -k）8（1-α ）； 。。。 一年后实际存活率：（1-α -k）8（1-α ）4。 同 理 可 得 第 i 月 的 捕 捞 率 : （ 1-α -k ） i1k,i=1,2,…8.