差分方程模型的稳定性分析分析解析

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（中、英文）

作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学

咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）

摘要

微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。

关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性

差分方程模型的稳定性分析

Abstract

Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation.

Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability

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目录

摘要 (1)

Abstract ............................................................................................................................................ II 目录 ................................................................................................................................................ I II 引言 .. (1)

1、差分方程的定义及其分类 (1)

（1）差分算子： (1)

2. 差分方程的求解与稳定性判断方法: (2)

（1）差分方程的求解： (2)

（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法： (4)

3. 差分方程模型的应用： (4)

3.1模型：种群模型 (4)

3．11模型的引入与假设 (4)

3．12线性差分方程模型的建立与求解 (5)

3．13生态模型的平衡点及稳定性分析: (7)

总结 (10)

参考文献 (11)

附录 (12)

谢辞 (13)

差分方程模型的稳定性分析

咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文）

引言

随着科学技术的不断发展，将数学思想融入实际生活解决社会问题变得非常

普遍。所以利用差分方程建立模型也显得至关重要。在经济、社会、生态、医疗、

网络、遗传学得某些数据都是按时、日、周、星期、月份、年等汇总和统计的，

这时将时间离散化后建立差分方程模型更为方便，从而解决社会问题趋于稳定的

状态，它是描述客观世界中随离散变量演变规律的一种重要的建立模型的方法，

在现实生活中有很多问题都是借助差分方程模型来刻画并求解的，利用数学的思

路与想法来研究实际问题，从而确保某个体系稳定运作的条件，进一步再结合其

他条件分析，为客观体系的安全稳定运作提供理论上的保障，因此差分方程模型

的稳定性分析是我们数学中研究的一个重要课题。

本文以同一空间下的羊群和草群的相互作用为模型分析这两物种的数量

变化过程，进而研究线性差分方程的平衡点及其稳定性；最后根据差分方程的平

衡点及其稳定性分析的相关理论解决实际问题。我相信差分方程的稳定性相关理

论将在未来更为应用普遍。

1、差分方程的定义及其分类

（1）差分算子：

定义1：设()f x 是定义在R 上的函数，则()(1)()f x f x f x ?=+-称()f x 在x 的差

分，?称为差分算子，()(1)Ef x f x =+称()f x 在x 的位移，E 称为位移算子；用

I 表示恒等算子，即()()If x f x =,这些算子都是线性算子，都是针对函数所定义

的映射。

（2)差分方程：

定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表

达形式为：

(,(),(),......())0n

g k x k x k x k ??=

由（1）与（2）的关系，可以将阶数为n 的差分方程写为

(,(),(1)......(f k x k x k x k n ++= 或者(,(),().......())0n f k x k Ex k E x k =

差分方程模型的稳定性分析

我们称f 不显含k 时的方程为自治差分方程。形如(1)(())x k f x k +=表示一阶差

分方程；(1)((),(1)......())x k f x k x k x k n +=++表示n 阶差分方程。

（2）差分方程的分类：

差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当

(,(),(1)......())f k x k x k x k n ++是(),(1).....()x k x k x k n ++的线性函数时，称

(,(),(1)......())0f k x k x k x k n ++=为线性差分方程；也就是说

(),(1).....()x k x k x k n ++的次数都为1，其二为非线性差分方程，它是指当

(,(),(1)......())f k x k x k x k n ++是(),(1).....()x k x k x k n ++的非线性函数时，称

(,(),(1)......())0f k x k x k x k n ++=为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程

求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研

究线性差分方程解的性态。

2.差分方程的求解与稳定性判断方法:

（1）差分方程的求解：

使得差分方程称为恒等式的序列称为差分方程的解。

满足方程及初始条件的序列称为初始值问题的解，形如()),()1(k x k f k x =+，

()00x x =称为自治差分方程的初始问题；当f 含有k 时，()()(),,1k x k f k x =+

()00x x =称为非自治差分方程的初始值问题。

那么，现在知道差分方程的解的定义，问题是如何求出一个差分方程的解呢？

这里我们给出普遍的解法----迭代法

定义3：连续用变量的原值推算出新值的一种递推过程称为迭代法。

下面介绍一个具体的迭代过程：

类比常系数一阶微分方程的解法，我们可以容易求得常系数一阶差分方程的通解

为：()()p k c x p x

+-=1 式中c 为任何常数。现在将()00p p =代入通解中可得p p c -=0，所以满足初始条件()00p p =的特解为()()

()p k p p x p x +--=10。 于是我们可得：

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()()()l p k p +--=011；

()()()()()()()l l k p k l p k p +----=+--=10111122

2； ()()()()()()()()l l k k p k l p k p +---+--=+--=110112132

33； ……

()()()()011p k x p x x --=+()()()()()()l l k l k l k x x x x +--++--+------11 (11112211)

=()()[???--k l p k x 01k

l + 现在我们利用该方法来求解以下方程的初始值问题：

例1：()()k x k x 31=+ ()8.00=x

解:其解序列的前几个为：

()8.00=x ；

()()512.0013==x x ；

()()1342.0123==x x ；

()()0024.0233==x x ；

…

这个初始值问题解的一般形式是()k

k x 38.0=。 那么此差分方程也满足其他初始条件的解，显然()0=k x 和()1=k x 都是此差分方

程的解。

如果其方程满足初始值()00x x =，那么它的解的一般形式为()k

x k x 30=。这里注意此差分方程的解当∞→k 时的极限：当()10>x 时，有()∞=∞

→k x n lim 。 例2 ()()21k k x k x =-+ ()10=x

解：将其转化为()()21k k x k x +=+

其解序列的前几个利用迭代法可得：

()11=x ；

差分方程模型的稳定性分析

()21122=+=x ；

()62232=+=x ；

()153642=+=x ；

…

（2）.差分方程的平衡解稳定性判断方法：

定义4：若有*x ，使*x =*()f x ，则*x 为差分方程(1)(())x k f x k +=的平衡点，

(,)x k x 是差分方程(1)(())x k f x k +=满足0(0)x x =的解，如果对任意给定的正数ε，有

δ>0,使得当*0x x δ-<时，*0(,)x k x x ε-<对所有的k N ∈都成立，则称差分方

程(1)(())x k f x k +=的平衡解*x 是稳定的，否则，称为不稳定的。

我们也可以定理1.31（参考文献[4]32页）分析差分方程平衡解的稳定性。其

定理为;设()f x 有连续的三阶导数，*x 为差分方程(1)(())x t f x t +=的平衡解，则

'*()1f x <时，*x 是渐进稳定的，

'*()f x >1时，*x 是不稳定的；当'*()f x =1，''*()f x ≠0时，*x 是不稳定的，当

'*()f x =1，''*()f x =0，'''*()f x >0时，*x 是不稳定的，当'*()f x =1，''*()f x =0，

'''*()f x <0时,*x 是稳定的；当'*()f x =1-，2'''*

''*2()(())3

f x f x --<0时，*x 是稳定的，当2'''*''*2()(())3f x f x -->0,*x 是不稳定的。 对于阶数为n 的线性差分方程平衡点的稳定性条件是它的特征解，也就是n

次代数方程的解(1,2,3......)i i n λ=均有1i λ<。

3.差分方程模型的应用：

3.1模型：种群模型

3.11模型的引入与假设

在某个生态环境中，羊以草为食。研究将羊群放入草场后羊和草两种群在同

一环境下的种群数量变化。草的生长遵循Logistic 规律（当草群数量太大时，种

群会发生生存竞争，草群的增长率受到环境最大容纳量等因素的影响，从而导致

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增长率的降低）每年固有增长率为0.7，最大密度为2800（密度单位），在草最

茂盛时每只羊每年可吃掉1.2（密度单位）的草。若没有草，羊群的年死亡率高

达0.8，然而草的存在可使羊的死亡得以补偿，在草最茂盛的时候补偿率为1.1.

在这种情况下，羊群和草群的种群数量将如何变化，羊会把草吃完从而导致羊的

数量也减少还是两种群的数量趋于稳定呢?这里我们以200只羊放入密度为1000

和密度为2800的草场两种情况分析。通常，以建立模型的用途为出发点，我们

将连续对象离散化更为方便，从而我们采用差分方程建立模型来描述羊和草两物

种的数量变化过程。

模型假设：

1.草场上除了羊群以外，没有其他以草为食的生物；

2.草独立生存且遵从logistic 规律；

3.没有草的情况下羊一定会死；

4.假设每只羊每年的食草能力是草场密度的线性函数；

5.假设草对羊的补偿率也是草场密度的线性函数。

3.12线性差分方程模型的建立与求解

分析：假设第k 年草的密度为k x ，羊的数量为k y ，第1k +年草的密度为1k x +，

羊的数量为1k y +。记草的固有增长率为r ，草的最大密度为N ，羊独立生存时的

年死亡率为d ，草最茂盛时羊的吃草能力为b ，草对鹿的年补偿作用为a 。

建立差分方程模型：

①草的增长差分模型为

1(1)k k k k x x x r x N

+-=- （草独立生存时满足logistic 增长规律） 但实际上羊对草增长有影响，草的数量会减少，则方程变为

1(1)k k k k k k x bx y x x r x N N

+-=-- （0,1,2.....k =） （1） ②羊的增长差分模型为

1k k k y y dy +-=- （羊独立生存时）

但实际上草的存在可以补偿羊的死亡率，则方程变为

1()k k k k ax y y d y N

+-=-+ （0,1,2.....k =） （2）

差分方程模型的稳定性分析

此外，记初始状态草场的密度为0x ，初始状态羊的数量为0y ，各个参数值为

0.7r = 2800N = 0.8d = 1.1a = 1.2b =

利用MATLAB 软件分析计算该差分方程模型：

具体算法见附录

将密度为1000和密度为2800的草场上分别放200只羊时的两种情况如下（如图

1）：

由图中可以看到，蓝色曲线代表草场密度的初始值为1000时，两种群变化情况；

而红色曲线则代表草场密度的初始值为2800时，两种群的变化情况。经过仔细

查看两种情况下曲线的变化规律，我们可以发现在大约25-50年时间后，两物种

的数量将趋于平衡状态。

使用MATLAB 软件可以计算出当,()k k k x y →∞=（1900,550），意味着两种群数量的

平衡点为（1900,550）。

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3.13生态模型的平衡点及稳定性分析:

联立方程（1）（2）消去k y 得11(1)k k k k k rx by x r x N dN a N

++=-

-+-++对k 递推不难得到

当k →∞时0k x x →时，得到平衡点的稳定条件是

如果条件改变，结果也会不同。即当n 趋于无穷时，方程组的解会有不同情形。

那么现在我们以改变羊的数量初值，改变草场的最大密度N ,改变羊群独立生存

时的死亡率。改变这三个条件来研究这个生态模型两种群的稳定状态。

改变羊的数量初值有如下情况（草场初值取2000，羊群初值分别取

10,100,500,2000）：

由图2可以看到，从理论上看最终羊群与草群两种群数量的平衡值不受羊初

始的数量影响。

然而，我们观察到，y0=2000的那条曲线（紫色曲线），在5－10区间内降

到了最低点，但这显而易见是不可能的，是不符合羊的繁殖客观现象的，因为羊

的种群可以持续繁殖的最低数量是存在一定限制。当种群数量不大于这个值时，

在实际情况下，羊的种群就要灭绝。

差分方程模型的稳定性分析

②改变草场的最大密度有如下情况：

如图4所示，如果草场密度的最大值N发生变化，则最终两种群数量的平衡点也会发生相应的变化。结论：如果N值增加，那么平衡点两种群的数量就增加；N值减少，相应的平衡点两种群的数量就减少。

③改变羊群独立生存时的死亡率：

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在研究中，使得羊群单独生存的死亡率发生变化则得到如图4和5两幅图，经过观察我们发现有：羊群和草群两种群数量达到平衡点的时间相对较短，这时

差分方程模型的稳定性分析

羊单独生存的死亡率反而增加；羊群和草群两种群数量达到平衡点的时间相对较长，这时羊单独生存的死亡率反而降低。

总结

此次论文首先从差分方程的定义出发将差分方程笼统的分为两大类，接着利用迭代法给出实例求解差分方程的解，从而研究差分方程平衡点稳定性的判断方法。而本文的重点是围绕同一环境下的羊群和草群的数量变化为实际模型进而展开讨论差分方程模型平衡点的稳定性。

在完成此论文设计的过程中，我们论文思路比较清晰，结构严谨，不足之处还在于求解模型的过程中不能熟练掌握MATLAB,不会绘出两种群数量变化图像。经过完成此次论文后我发现我对差分方程由原来的不了解到现在有了深入的研究，我发现研究差分方程模型的稳定性这篇论文可以从不同的角度出发，比如就生活中的某个问题提出假设，建立新的模型，如果是非线性差分方程的模型是最好的，但是这比较复杂，我目前还没有能力更好的完成，我相信在老师的指导和帮助下和以后的继续深造中对这方面有更好的理解与把握，对这方面的知识有更深入的研究。我相信差分方程模型的应用在未来现实生活中有更广泛的实践，所以我觉的每一研究数学知识的人在以后的学习生涯中都必须掌握此模型。

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参考文献

[1]姜启源等.数学模型[M].北京：高等教育出版社，1993.

[2]张功盛,康光清.差分方程在数学建模中几个应用实例[J].江西电力职业技术学院学报. 2009(01).

[3]陈泰伦,蔺小林.差分方程的理论研究与应用[J]. 西北轻工业学院学报. 1996(04) .

[4]周义仓等.差分方程及其应用[M].北京：科学出版社，2014.

[5]扬启帆等.数学建模[M]. 北京：高等教育出版社，2005.

[6]何正风主编.MATLAB在数学方面的应用[M]. 北京：清华大学出版社，2012.

[7]杨清霞.浅谈差分方程的应用[M].北京：中央民族大学预科部，2006.

[8]扬启帆，方道元.数学建模[M].杭州：浙江大学出版社，1998.

[9]扬启帆，边馥萍.数学建模[M].杭州：浙江大学出版社，1990.

[10]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材[M]. 长沙：湖南教育出版社，1997.

[11]张顺燕.数学的源与流[M].北京:高等教育出版社,2000.

差分方程模型的稳定性分析

附录

%定义函数diwuti，实现diwuti-Logistic综合模型的计算，计算结果返回种群量

function B =disiti(x0,y0 ,r，N，a，b，d，n) % 描述diwuti-Logistic 综合模型的函数

x(1)= 0x; % 草场密度赋初值

y(1) = 0y; % 羊群数量赋初值

for k = 1 : n;

x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N;

y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k);

end

B = [x;y];

clear all

C1 =disiti (1000,200,0.7,2800,1.1,1.2,0.8,50);

C2 = disiti(2800,200,0.7,2800,1.1,1.2,0.8,50);

k = 0 : 50;

plot(k,C1(1,:),'b',k,C1(2,:),'b',k,C2(1,:),'r',k,C2(2,:),'r')

axis([0 50 0 2800]);

x label('时间/年')

y label('种群量/草场：单位密度，羊：头')

title('图1.草和羊两种群数量变化对比曲线')

x=1000')

gtext('

x=2800')

gtext('

gtext('草场密度')

gtext('羊群数量')

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谢辞

四年的大学时光即将画上句号，在这匆匆四年里我成长了不少也收获了许多，感谢咸阳师范学院带给我许多美好的青春回忆。在毕业论文完成之际，我将致谢辞发于此，为的是向在这四年的成长经历中给予过我帮助的老师、朋友，以及家人，表示诚挚的谢意。

在完成此次毕业论文的过程中，我要感谢我的论文指导老师王振华老师，因为一开始刚刚拿到我的论文题目，真的是毫无头绪，也不知道什么是差分方程，研究它有何意义，在王老师的帮助下才慢慢对这方面的知识有了深入理解。王老师是一位非常敬业而且非常有耐心的老师，他每周末会给我们组的学生辅导论文的相关知识。同时王老师也是一位关心学生的老师，由于辅导的时侯正是我备考考研复试的时间，王老师会另找时间给我辅导。

再次感谢王老师在百忙之中抽出时间给我指导，谢谢你给了我更大信心及动力来完成这次论文设计，也谢谢你让我知道如何做一名优秀的教师。