1微分方程及差分方程稳定性理论

4.2 差分方程模型
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (4-6)
若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
k 则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任意 常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, … , xk-1为已知时 称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始 条件确定后的解称为(4-6)的特解.
而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要， 因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.
微分方程平衡点与稳定点
设
dxf(x) dt
(41)
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1) 的平衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.
如果方程的解 x ( t )
tl im x(t)x0
则称平衡点x0是稳定的.
稳定性判别方法 由于 f(x)f(x0)x (x0)在,讨论方程(4-1)的
稳定性时，可用
d dx tf(x0)x (x0)
来代替.
(42)
易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
x(t)C ef(x0)t x0,
关于x0是否稳定有以下结论：
这个结论对 于(4-1)也是
微分方程稳定性 与定性分析
在研究实际问题时, 我们常常不能直接得出变量之 间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式, 这就是微分方程.
在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口 数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操 作性, 差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.
不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到 其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得 到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估 计方法).
极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解.
解
求微分方程的数值解
决
方
对微分方程进行定性分析
法
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态.
基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态.
则当p＞0且q＞0时, 平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时, 平衡点P0是不稳定的.
例：求解微分方程组
dx
dt dy
dt
x( x2 y2 ) y( x 2 y2 )
的平衡点， 并讨论其稳定性。 解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点； 由已知微分方程组可以得到 d(x2y2)2(x2y2)2
记作P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
如果 tl ix m (t) x 0 , tl iy m (t) y 0 , 则称平衡点P0是稳定的.
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设
f (P0 )
pf(xP0)g(yP0),q
x g (P0 )
x
f (P0 ) y
g (P0 ) y
① 若 f(x0)0,则x0是稳定的； 成立的.
② 若 f(x0)0,则x0是不稳定的.
关于常微分方程组的平衡点及其稳定
性, 设
dx dt
f
(x,
y),
dy dt
g(x,
y).
(4 3)
代数方程组
f (x, y) 0,
g(x,
y)
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点,
在以t,x,y为坐标的空间中一条曲线，这条曲线
Байду номын сангаас
称为积分曲线。
基本思想 将积分曲线投影到平面上进行分析.
t (x,y,t)
解曲线
t0
o
y
投影曲线
x
定义：称平面 (x, y)为相平面，称解曲线 在相平面上的投影为相轨线，相轨线族称为 相位图.
如何得到相轨线？方法：把时间t当作参数，只要 P(x,y)和Q(x,y)不同时为零，驻定方程
dt
进而 x2y22t1c,(cx(0)2 1y(0)2)
对该微分方程组的任一解 (x(t),y(t)) 故也有
lim (x2y2)lim1 0
t
t 2tc
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论.
一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法
研究对象：驻定系统 若微分方程组
d d x ti fi(x1,x2, ,xn), i1 ,2, ,n
其右端的函数不显含自变量 t，称为一阶n维 驻定系统(自治系统、动力系统).
例5.2.1 单一质点非受迫直线运动满足下方程
d2x
dx
dt2 a1(x)dt a2(x)0
令 d x v , 得一个二维驻定系统
dt
dx dt
v,
d
v
dt
a1( x)v
a2 (x).
一般二维驻定系统形式为
dx d t
P(x,
y ),
d
y
Q ( x,
y ).
(2)
d t
它 的 解 x y x y ((tt))或 者 x y x y ((tt,,tt0 0 ,,x x 0 0 ,,y y 0 0 ) （ )3 ）
若x0, x1, … , xk-1已知, 则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 )
的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(4-6)的解, 即 F (n; a, a, … , a ) = 0,
则称 a是差分方程(4-6)的平衡点.
又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定的 解 xn= x(n)都有
dx d t
P(x,
y ),
d
y
Q ( x,
y ).
(2)
d t
就 可 以 变 为 d d y x = Q P ( ( x x , , y y ) ) 或 者 d d x x = P Q ( ( x x , , y y ) ) (4 )
方程(4) 的积分曲线就可以看成是方程（2）在 在相平面上的轨线。
xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的.
一阶常系数线性差分方程
xn+1 + axn= b, (其中a, b为常数, 且a ≠ 0)的通解为
xn=C(- a) n + b/(a + 1) 易知b/(a+1)是其平衡点, 由上式知, 当且仅当 |a|＜1时, b/(a +1)是稳定的平衡点.