差分方程稳定性
第五部分收敛性和稳定性
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
2、条件稳定和绝对稳定
如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立，则称这种稳定 是条件稳定。譬如，步长的选取以保证格式收敛的稳定性。 如果一个算法的稳定是任何条件下都成立，则称这种稳定是 绝对稳定。 3、稳定的意义 稳定性是判别一个算法可用与否的重要条件，在此基础上构 造快捷（收敛速度快！）的方法才是追求的目标。详细分析 在此省略。
第五部分 收敛性和稳定性
引子
微分方程在离散为差分方程来求解，当步长 h 0 时，
存在着差分方程的解 yn能否收敛到微分方程的准确解 y(xn )
的问题，这就是差分方法的收敛性问题。以及在差分方程的求 解过程中，存在着各种计算误差，这些误差如舍入误差等引起 的扰动，在误差传播过程中，可能会大量积累，以至于“淹没” 了差分方程的真解，这就是差分方法的稳定性问题。
即：对 0, 0 ，如果h 0 ，有
en y(xn ) yn
2、欧拉格式的收敛性分析 定理 如果初始条件是准确的，则欧拉格式是收敛的。
3、收敛的意义
收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是 收敛速度（阶）或局部截断误差。
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
二、稳定性
1、定义
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
例如 初值问题
y ' 30 y(0) 1
y
,
x
[0,1.5]
的准确解为 y e30x
如果用欧拉格式、Runge-Kutt似解如下表所列
欧拉格式 Runge-Kuatta Adams
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
精确解
-3.27675104 1.8719102 2.41115106 2.8625210-20
一类有理型时滞差分方程的稳定性
重根；c>β 时，没有实根。
≠ ≠ c）k≡2（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准1
<C< A-β4 ，或者-A< A
（b）c<0 时，方程（2.2）有一个正根和一个负根，分别记为 μ（3 c） 和 μ（4 c），它们分别属于（1，+∞）和（-∞，0），μ（3 c）单调减少，μ（4 c）单
单调减少。特别地，0<c<β 时，方程（2.2）分别在（0，α）和（α，1）上各
作者简介：张一敏（1982-），女，黑龙江海伦人，讲师，硕士，研究方向为泛函 有一个正根 μ（6 c）和 μ（7 c），且 μ（6 c）单调增加，μ（7 c）单调减少；c=β
≠ ≠ b）k≡1（mod5），0< β4
<A
，-b
β4 A
，准0
<C< A-β4 ，或者-A< A
≠ ≠ β4 <0，-b
β4 A
，准0
<（-1）
k+1
C<
A+β4 A
，其中
准 0 是 方 程 （1.2）在
ห้องสมุดไป่ตู้
≠ ≠ 4π ，（4k+21）π 5 5（k+5）
上的根。
姨 ≠ ≠≠ ≠ 5
α=
k k+5
A
A
≠ ≠ 当 k 是偶数时，-AC-β4
<A
且 -C
<b
β4 ，准 A
准 是方程
sin（k+5）θ = β4
sinkθ
A
（1.2）
其中
ab≠0。令
对流方程差分格式稳定性判定
对流方程差分格式稳定性判定李五明【摘要】The paper decided the stability of different difference schemes of the one dimension convection equation using Fourier stability analysis. The fundamental idea of Fourier stability analysis is to extend periodically the error of solution for the linear differential equation and express it using Fourier series, then check the enlargement and decay of every component of the Fourier series. According to Fourier series for each component change over time, we judged the stability of difference schemes by the magnification factor. Using the method, the paper decided the stability of different difference schemes for the given equation.%用傅里叶稳定性分析法判断一维对流方程不同差分格式的稳定性．傅里叶稳定性分析法的基本思想是：对于线性微分方程，将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况；根据傅里叶级数每一个分量随时间的变化情况，由放大因子判断差分格式的稳定性．用该方法对给定方程不同差分格式的稳定性进行了判断．【期刊名称】《河南理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(031)003【总页数】4页(P369-372)【关键词】对流方程;差分格式;稳定性【作者】李五明【作者单位】河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454000【正文语种】中文【中图分类】O175.210 引言用有限差分法数值求解偏微分方程是计算数学中的一个重要课题．在有限差分法中，差商代替了微商，差分方程代替了微分方程．然而，并不是任何情况下，差分方程都可以逼近原微分方程．因为，方程形式的逼近是一回事，方程解的逼近又是一回事．因此，在基本理论上必须解决数值计算中可能出现的诸如稳定性、精度等问题．采用有限差分法求解由偏微分方程所描述的具体问题时，在确定差分离散格式是否可用之前必须解决3个问题：当差分网格的时间与空间步长都趋近于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界．这3个问题在有限差分理论中分别称为相容性、收敛性和稳定性．差分格式的相容、收敛和稳定并不是孤立的，而是互有联系．根据LAX等价定理，若线性微分方程的初值问题适定、差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分条件．因此，常常通过判定一个差分格式的稳定性来判定其收敛性．因为，直接证明一个差分格式的收敛性是比较困难的，但对稳定性的证明却容易得多，且现有的方法也比较有效．本文介绍其中最常用的一种分析差分格式稳定性的方法：傅里叶稳定性分析法．傅里叶稳定性分析法的基本思想是将解的误差做周期延拓并用傅里叶级数表示出来，然后考察每一个傅里叶级数分量的增大和衰减情况．如果每一个分量的强度(或振幅)是随时间的推移而增大的，则所讨论的差分格式是不稳定的；反之，若每一个分量的振幅是随时间的推移而衰减或保持不变的，则格式是稳定的．为了进行这种分析，可以把某一分量的表达式代入到误差传播方程中，以得出相邻两时间层该分量的振幅比(通常称为放大因子)．稳定性的条件要求放大因子的绝对值(或模)小于或等于1．当放大因子等于1时，称为中性稳定．在这种情况下，任何时刻引进的误差都不会衰减或放大．本文主要针对一维对流方程，利用傅里叶稳定性分析方法讨论其不同差分格式的稳定性．1 傅里叶稳定性分析法针对一个具体的方程来考察傅里叶稳定性分析法，然后再将该方法推广到其他差分格式．一维对流方程的初值问题如下：，(1)问题的定解域为x-t的上平面(图1)，分别引入平行于x轴和平行于t轴的两族直线，把求解域划分为矩形网格．网格线的交点称为节点，x方向上网格线之间的距离Δx称为空间步长，t方向上网格线之间的距离Δx称为时间步长．这样，两族网格可记为x=xi=iΔx,(i=0,±1,±2,…)，t=tn=nΔt,(n=0,1,2,…).网格划定后，就可针对其中的任一节点，如图1中的节点(xi,tn)．将函数u在该点记为,tn)=u(iΔx,nΔt).(2)方程(1)的FTCS(Forward Time Central Space)格式为α.(3)将式(3)改写为易于递推计算的差分格式，有，式中：λ为网格比．相应于上式的误差传播方程为,(4)式中：ε为各节点上的误差．如果对ε在正负方向上作周期延拓，即把ε看作是以某一定值为周期的周期函数，则εn，εn+1可以展开为以下的傅里叶级数[5-6]：.于是，，(5),(6)式中：将式(5)和(6)代入式(4)得.(7)式(7)相当于将零展开成傅里叶级数，式中{ }内相当于傅里叶系数，它对于所有的k都等于零，即，(8)令,(9)则式(8)成为(不失一般性，支掉式中的下标记号k)Cn+1=GCn,(10)表示误差从第n层传播到第n+1层时，以傅里叶级数表示的每一误差分量的振幅放大或衰减了G倍．所以，称G为放大因子．傅里叶稳定性分析法就集中在对G 的分析上，如果|G|>1，则误差的振幅随n的增大而增大，差分格式不稳定；如果|G|≤1，则误差的振幅随n的增大而减小或不变，差分格式稳定．应用欧拉公式e±iz=cos z±isin z，将式(9)改写为G=1-iαλsin kΔx，得|G|2=1+α2λ2sin2kΔx．当sin2kΔx≠0时，选取网格比λ总有|G|>1．因此，差分格式(3)是不稳定的．从上例的分析注意到，以傅里叶稳定性分析法判断差分格式稳定性时，是从误差传播方程出发，将计算节点的误差延拓为傅里叶级数，并通过分析式(7)中傅里叶级数任一系数来确定放大因子G，进而确定差分格式的稳定性．对于齐次线性微分方程，由于误差传播方程与其相应的差分方程形式相同，在傅里叶稳定性分析中，只要令，(11)并将它们代入相应的差分格式中，同样可以得到与上例相同的放大因子G的表达式．为方便起见，在以后的傅里叶稳定性分析讨论中将采用式(11)的方式．2 应用举例例1 试讨论一维对流方程(1)的FTCS隐式差分格式的稳定性．解：方程(1)的FTCS隐式差分格式为α,(12)或写为，λ,将式(11)代入上式，有Cn+1eik(xi-Δx)]=Cneikxi，约去公因子eikxi后，得，即，由此得放大因子为,即≤1，所以，式(12)是无条件稳定的.例2 试讨论一维对流方程(1)的格式的稳定性．解：方程(1)的格式为，(13)或，λ，将式(11)代入上式，有，约掉公因子eikxi，得，由此得放大因子为，有|G|2=1.所以，差分格式(13)是无条件稳定的.3 结论(1)本文利用傅里叶稳定性分析法仅讨论一维对流方程不同差分格式稳定性的判断，实际上，该方法对二维对流方程、一(二)维扩散方程、一维对流-扩散方程也是适用的．(2)本文没有给出一维对流方程迎风格式稳定性的判定，主要是因为需要考虑CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，并且要对α的正负进行讨论．限于篇幅，略去．(3)傅里叶稳定性分析法只适用于线性微分方程，对于非线性方程差分格式稳定性的判定，目前还没有严格的一般性理论处理．通常的做法是，从非线性方程对应的线性化模型得出的稳定性判定准则出发，对非线性方程差分格式的稳定性进行大致估计，然后在实际计算中采用试算方法将其扩展到非线性问题中去．参考文献：[1] 张国强，吴家鸣.流体力学[M].北京：机械工业出版社，2005.[2] 顾丽珍.求解对流扩散方程的一些高阶差分格式[J].清华大学学报：自然科学版，1996，36(2)：9-14.[3] 管秋琴.一类对流扩散方程组的差分格式与稳定性[J].上海电力学院学报，2009，25(2)：192-195.[4] 余德浩，汤华中.微分方程数值解法[M].北京：科学出版社，2003.[5] 范德辉，陈辉，王秀凤，等.对流扩散方程差分格式稳定性分析[J].暨南大学学报：自然科学与医学版，2006，27(1)：24-29.[6] 阴继翔，李国君，李卫华,等.对流扩散方程不同格式的数值稳定性分析[J].太原理工大学学报：自然科学版，2004，35(2)：121-124，133.[7] 马荣，石建省，张翼龙，等.对流-弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探[J].水资源与水工程学报，2010，21(1)：132-134.[8] 陆金甫，关治.偏微分方程数值解解法[M].北京：清华大学出版社，2004.[9] 王静，王艳.RICCATI方程有理展开法及其在非线性反应扩散方程中的应用[J].河南理工大学学报：自然科学版，2010，29(5)：689-694.[10] 王同科，马明书.二维对流扩散方程的二阶精度特征差分格式[J].工程数学学报，2004，21(5)：727-731.。
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
一类高阶线性差分方程的全局稳定性
文章编号 １ ０ ０ ４ ． ６ ４ １ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ ． ０ ０ ３ ２ ． ０ ４
一
类高 阶线性差分方程 的全局稳定性
王 琦 ， 张更容 ， 韩 松 ， 李乃 雄
（ １ ． 广 西 科 技 大 学 理学 院 ，广西 柳 州 ５ ４ ５ ０ ０ ６ ；２ ． 广 西 大 学 数 学 与 信 息科 学学 院 ， 广西 南宁 ５ ３ ０ ０ ０ ４ ）
第２ ４卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ６月
广 西 科 技 大 学 学 报
Ｊ ＯＵ ＲＮＡＬ ＯＦ ＧＵＡＮ ＧＸＩ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ ｎＹ ＯＦ Ｓ Ｃ Ｉ ＥＮ ＣＥ ＡＮＤ Ｔ Ｅ ＣＨＮ０Ｌ ０ ＧＹ
Ｖｏ １ ． ２ ４ Ｎｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ３
问题 ．
关键 词 ： 线性差分方程 ； 收敛 ； 有 界 性 中 圈分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文献 标 志 码 ： Ａ
０ 引 言
离 散 系统 理 论 在 经济 学 、 自动 控 制 工 程 、 通讯 、 雷达技术 、 生 物 医学 工 程 、 图像 技 术 、 电动 力 学 系 统 及 核 物 理 学 等 学 科 已发 挥 了 巨大 作 用 ， 随之 而来 的是 人 们 对 差 分 方程 理论 的 需 求 ． 而差 分 方 程 模 型 是 应 用 广 泛 的一 类 离 散 数 学 模 型 ， 它在生态学 、 生理学 、 物 理学 、 工程学 、 自动 控 制 与 设 计 、 数 值计 算 及 经 济 学 研 究
其中ｋ ＝ ７ ， ａ ＝ Ｏ ． ４ ， ａ ｌ ＝ ａ ２ ＝ ａ ４ ＝ ａ ￣ ＝ ａ ６ ＝ ０ ， 锄 ０ ． ３ ， ａ Ｔ ＝ ０ ． ５ ．
差分方程模型的稳定性分析
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
（1）差分算子：1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
（1）差分方程的求解：2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
（2)差分方程：
定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：
由（1）与（2）的关系，可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程； 表示n阶差分方程。
（2）差分方程的分类：
差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当 是 的线性函数时，称 为线性差分方程；也就是说 的次数都为 ，其二为非线性差分方程，它是指当 是 的非线性函数时，称 为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
差分方程的稳定性
差分方程的稳定性汪宏远;崔成贤;张志旭;曹万昌【摘要】方程组Y( k +1) =F( k,Y( k) )的零解称为稳定的,如果对任意的k0∈Z+,都存在δ=δ(k0,ε >0),使得当‖Y0‖≤δ(ε,δ0)时,对一切k≥k0都有‖Y(k;ko,Y0)‖≤ε.反之,称主程组Y(k +1) =F(k,(Y(k))的零解为不稳定的.%The zero solution of equation Y(k +1) =F(k,Y(k)) is called stable, if for any k0 ∈Z+, there isδ=δ(k0,ε >0) , that makes‖Y(k;ko,Y0)‖≤εfor all k≥k0 .otherwise, called equation Y(k +1) =F( k,( Y( k) ) zero solution unstable.【期刊名称】《佳木斯大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)005【总页数】3页(P744-746)【关键词】线性方程组;非线性方程组;渐近稳定【作者】汪宏远;崔成贤;张志旭;曹万昌【作者单位】佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007;佳木斯大学理学院,黑龙江佳木斯 154007【正文语种】中文【中图分类】O175.30 引言考虑差分方程组其中函数G(k，X(k))对k ∈Z+及相应的X(k)都有定义，保证方程组(1)的解存在唯一. 设)是方程组⑴的一个解，作变量代换则方程组(1)就化为所以方程组(1)的解φ(k)的稳定性等价于零解的稳定性.因此，不失一般性，总假设F(k，0)=0，并只研究方程组(2)的零解稳定性就够了. 差分方程组(2)的解Y(k)，在几何上可以表示为n 维向量空间Rn 的点列，用‖Y(k)‖记Y(k)的范数.若方程组⑵右边函数不显含k，即则(3)式称为自治差分方程组;否则，(2)式称为非自治差分方程组.1 自治线性差分方程组的稳定性考虑常系数线性差分方程组其中A 是n×n 阶常数矩阵.定义1［1］设矩阵A 的特征根为λi(i=1，2，…，n)，则称为矩阵A 的谱半径. 定理1［2］差分方程组(4)的零解全局渐近稳定的充要条件是r(A)＜1.定理2［2］差分方程组(4)的零解稳定的充要条件是r(A)≤1，且|λi|=1 的特征根只对应简单的初等因子.定理3［3］若r(A)＞1，则差分方程组⑷的零解是不稳定的.在上述这些稳定性定理中，验证关于谱半径的不等式一般比较困难，因此人们在不断寻找较容易验证的充要条件或充分条件.下面是其中著名的居利判据.假设A 矩阵的特征多项式为其中a0 =1.按如下来构造数表(共2n-3 行):其中这样继续下去，直到表中的同一行只有3 个元素为止.由上述数表就得到居利判据. 定理4［3］多项式P(λ)的所有零点都在复平面的单位圆内的充要条件是2 自治非线性差分方程组的稳定性考虑自治非线性差分方程组其中F(0)=0，2.1 代数方法定义2 n×n 阶常数矩阵A(aij)称为非负矩阵，若aij ≥0(i，j=1，2，…，n).定理5［5］假设方程组(5)右边的函数F 在Rn 中包含原点的某个开球B:‖Y‖＜H 内满足:对任意的X，Y ∈B，存在n×n 阶非负矩阵A，使得则当10 r(A)＜1 时，方程组(5)的零解渐近稳定;20 r(A)=1 时，且对应矩阵A 的模为1 的特征根只有简单的初等因子时，方程组⑸的零解是稳定的.特别地，若方程组⑸是纯量方程的情形其中y(k)∈R1，f(y)∈R1，f(0)=0，则还有如下定理6:定理6［5］假设函数f 在包含原点的某个开区间内有一阶连续导数.则当1) |f′(y)|＜1 时，方程组(6)的零解渐近稳定;2) |f(y)|＞1 时，方程组(6)的零解不稳定.2.2 按线性近似部分决定稳定性在某些情况下，非线性差分方程的稳定性可以用它的线性近似部分来决定.假设方程(5)右边的向量函数F(u)可以表示成其中A 是n×n 阶常数矩阵，而g(Y)满足条件(7)和(8)意味着函数F(Y)在Y=0 是可微的.同样，如果函数F 在Y=0 有一阶连续偏导数，(7)和(8)式也必然成立.这时，矩阵A 是函数F 是Y=0 的雅可比矩阵其中f1，f2，…，fn 是F 的分量，并且所有的偏导数在原点取值.定理7［5］设函数F 满足(7)和(8)式，则1) r(A)＜1 时，方程组(5)的零解是渐近稳定的;2)r(A)＞1时，方程组(5)的零解是不稳定的.3 应用举例例1解矩阵特征方程为λ2+1=0，特征根为λ1，2=±i，谱半径为r(A)=1，且|λ1，2|=1 是单根，因而只对应简单的初等因子.所以，差分方程组的零解是稳定的.事实上，矩阵是旋转矩阵，将它乘以Y(k)所得到的向量，是由Y(k)顺时针旋转得到的.因此，方程的每一个解都位于圆心在坐标原点、半径为‖Y(0)‖的圆周上.所以，方程组的零解显然是稳定的.例2其中α，β 为任意常数.解方程组右边的函数在原点关于y1 和y2 有一阶连续偏导数，因此条件(7)和(8)式成立.而这个方程组的雅可比矩阵注意到r(A)=0.7 ＜1.所以，方程组的零解是渐近稳定的.参考文献:［1］ Milne－Thomson L M.The calculus of finite differences［M］.New York:The Macmillan company，1951.［2］ Laks mikanthan V，Trigiante D.Theory of differenceequations;numericae methods and applications［M］.New York:Academic press，1988.［3］廖晓昕，李玉鹏.离散动力系统稳定性的代数判据［J］.数学物理学报，1986(4):375－377.［4］盖尔芳德AO.有限差计算:下册［M］.北京:高等教育出版社，1955.［5］王联，王慕秋.常差分方程［M］.乌鲁木齐:新疆大学出版社，1991.。
差分分方程稳定性
若 lim x k x ,
* k
则称平衡点 x 是稳定的（渐进稳定);否则称
*
x 是不稳定的（不渐进稳定）。
*
(1)的平衡点的稳定性可转化为
x k 1 a x k 0, k 0,1, (2)
(2)的平衡点 ( x * = 0 ) 的稳定性问题。
方程(2)的解为
xk ( a ) x0 ,
A的 特 征 根 i ( i 1, 2, , n ) 均 有
(6 )
即均在复平面的单位圆内。这个结果可将A转化为对角阵得到。
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二阶线性常系数差分方程的平衡点及稳定性
考察
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k 0,
*
k 0,1,
(7 )
* f ( x ) 1
(1 3)
时，对于非线性方程(11) x * 是稳定的。当
* f ( x ) 1
(1 4 )
*
时，对于非线性方程(11) x 是不稳定的。
机动
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1 1, 2 1,
ห้องสมุดไป่ตู้
(9 )
(7)的平衡点才是稳定性的。
与一阶线性方程一样，非齐次方程
x k 2 a1 x k 1 a 2 x k b , k 0,1, (1 0 )
的平衡点的稳定性与(7)相同。
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n阶线性方程稳定性的相关结论可由二阶方程的上述结 果推广得到： n阶线性方程稳定平衡点的条件是特征根 （n次代数方程的根） i ( i 1, 2, n ) 均 有 i 1。
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容易看出，可以用变量代换方法将方程 （1）的平衡点的稳定性问题转换为：
x k +1 + ax k = 0
（2）
的平衡点 x * = 0的稳定性问题。
而对于方程（2），因为其解显然可表为
x k = ( a ) k x 0 , k = 1, 2 ,...
所以立即可知当且仅当
（3）
| a |< 1
（4）
x k +1 = f ( x k )
的平衡点的稳定性
（11）
其平衡点 x *由代数方程 x = f ( x )解出。 为分析 x *的稳定性，将方程（ 11）的 右端在 x *点作泰勒展开，只取一 次项 （11）近似为
xk +1 = f / ( x * )( xk x* ) + f ( x * )
差分方程的稳定性
本节主要是介绍差分方程稳定性的知识 差分方程的平衡点及其稳定性的慨念与微分方程 的有关概念是一致的 ，例如一阶线形常系数差 分方程： （1） x k +1 + ax k = b , k = 0 ,1,... 的平衡点由 解得：
x + ax
x
*
= b
b = 1 + a
当k → ∞时 若xk → x *则x *是稳定的，否则是不稳 定的*）
x k = c1λ
k 1
+ c2λ
k 2
（8）
其中常数 c1 , c 2由初始条件 x 0 , x1确定。 由（ 8）立即得到，当且仅当
| λ 1 |< 1 , | λ 2 |< 1
时方程（7）点平衡点才是稳定的
（9）
与一阶线形方程一样，非齐次方程
xk + 2 + a1 xk +1 + a2 xk = b
的平衡点的稳定性和方程（7）相同
（10）
二阶方程的上述结果可以找到n阶线 形方程，即稳定平衡的条件是特征 方程—— n 次代数方程的根 λ i ( i = 1, 2 ,..., n ) 均有 | λ i |< 1 考虑到高阶方程和方程组的相互转化， 这个条件与（5）、（6）给出的结论是 一致的。
最后讨论一阶非线形差分方程
（6）
即特征根均在复平面上的单位圆内。这个结果可 由将A化为对角陈（或若当阵）得到。 对于二阶线形差分方程，我们考察
x k + 2 + a1 x k +1 + a 2 x k = 0
（7）
的平衡点 ( x * = 0)的稳定性。为求（ 7）的通解，写出 它的特征方程 λ 2 + a1λ + a 2 = 0, 记住这个一元二次 代数方程的根为 λ1，λ 2，不难验证，（ 7）的通解可 表为
（12）
（12）是（11）的近似线形方程
x*也是（ ）的平衡点。 12
关于线形方程（12）的稳定平衡点 的讨论已由（1）——（4）给出
而当 | f / ( x * ) |≠ 1时方程（11）与（12） 平衡点的稳定性相同， 于是得到当
（13） x 时，对于非线形方程（11）， * 是稳定的；
| f / ( x * ) |< 1
/ *
当 | f ( x ) |> 1
时，对于方程（11）， x *是不稳定的
时方程（2）的平衡点（从而方程（1）的平衡点） 才是稳定的
顺便指出， 顺便指出，
对于 n 维向量 x ( k ) 和 n × n 常数 矩陈 3; Ax(k ) = 0
λi , (i = 1,2,..., n )均有
（5）
其平衡点稳定的条件是 A 的特征
| λ
i
|< 1