2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
热传导方程差分格式的收敛性和稳定性【文献综述】
文献综述信息与计算科学热传导方程差分格式的收敛性和稳定性在实际研究物理问题过程中, 往往能给出问题相应的数学表达式, 但是由于实际物理问题的复杂性, 它的解却一般不容易求出. 由此计算物理应运而生, 计算物理是以计算机为工具, 应用数学的方法解决物理问题的一门应用性学科, 是物理、数学和计算机三者结合的交叉性学科. 它产生于二战期间美国对核武器的研究, 伴随着计算机的发展而发展.计算物理的目的不仅仅是计算, 而是要通过计算来解释和发现新的物理规律. 这一点它与传统的实验物理和理论物理并无差别, 所不同的只是使用的工具和方法. 计算物理早已与实验物理和理论物理形成三足鼎立之势, 甚至有人提出它将成为现代物理大厦的“栋梁”.在一个物理问题中一个数值解往往比一个式子更直观, 更有价值. 在实际求解方程时, 除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外, 在一般情况下, 当方程或定解条件具有比较复杂的形式, 或求解区域具有比较复杂的形状时, 往往求不到, 或不易求到其精确解. 这就需要我们去寻找方程的近似解, 特别是数值近似解, 简称数值解. 这里主要研究的是热传导方程.有限差分法是微分方程和积分微分方程数值解的方法. 其基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替, 这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似, 积分用积分和来近似, 于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组, 即有限差分方程组, 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解. 然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.热传导的差分法是求解热传导方程的重要方法之一. 对于差分格式的的求解, 我们首先要关注差分格式的收敛性和稳定性. 对于一个微分方程建立的各种差分格式, 为了有实用意义, 一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程, 即相容性要求. 一个差分格式是否有用, 就要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解, 即收敛性的概念. 此外, 还有一个重要的概念必须考虑, 即差分格式的稳定性. 因为差分格式的计算过程是逐层推进的, 在计算第n ＋1层的近似值时要用到第n 层的近似值 , 直到与初始值有关. 前面各层若有舍入误差, 必然影响到后面各层的值, 如果误差的影响越来越大, 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖, 这种格式是不稳定的, 相反如果误差的传播是可以控制的, 就认为格式是稳定的. 只有在这种情形, 差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解. 由Lax 等价定理告诉我们, 对于各适定的线性的初值问题, 对相容性的差分逼近来说, 稳定性则是差分方程的解收敛于微分方程的解的充分必要条件. 收敛是差分方程的本质要求, 稳定是差分方程的基本特性, 对于计算的问题来说, 数值稳定性事差分格式必须要具备的条件, 一个不稳定的差分格式, 即使其他方面有很多的优点, 也是不能用来计算的. 可见由于收敛性和稳定性的重要性, 对于他们的研究是非常具有价值的.热传导方程： 2222222.u u u u a t x yz ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 一维热传导方程的初边值问题： 22200120(0,0),()(0),(),()(0).t x x l u u a x l t t x u x x l u t u t t ϕμμ===⎧∂∂==<<>⎪∂∂⎪⎪ =<<⎨⎪⎪⎪ = =>⎩ 用n j u , n j u t ∂⎛⎫ ⎪∂⎝⎭, 及22n ju x ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭分别表示初边值问题的解(,)u x t 及其偏导数(,)u x t t ∂∂及22(,)u x t x ∂∂在点(,)j n x t 之值, (,)j n x t 表示求解区域内网格节点. 当初边值问题的解在区域内部适当光滑时, 对任一区域内部的节点(,)j n x t 利用泰勒展开公式, 然后化简得到显示差分格式：1112200220,()()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n nn n j j j j j j n n J U U U U U a t x U j x j J U n t U n t n ϕμμ++-⎧--+-=⎪∆∆⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪⎪⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎩ 这里由于差分方程的解U 与原初边值问题的解u 一般是不同的, 故用不同的记号表示.明显的用上式近似热传导方程的初边值问题, 所忽略掉的项, 即截断误差是2()(())O t O x ∆+∆. 记22()t a x λ∆=∆ 其隐式格式： 111110012(12),()(1,,1),(),()(0,1,2,).n n n n j j j j j n n J U U U U U j x j J U n t U n t n λλλϕμμ+++-+⎧-++-=⎪⎪=∆=⋅⋅⋅-⎨⎪=∆=∆=⋅⋅⋅⎪⎩ 其中22()t a x λ∆=∆.参考文献[1] 谷超豪, 李大潜, 陈恕行等. 数学物理方程[M ]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[2] 刘盾. 实用数学物理方程[M ]. 重庆: 重庆大学出版社, 1996.[3] 张锁春. 抛物型方程定解问题的有限差分数值计算[M ]. 北京: 科学出版社, 2010.[4] (美)哈伯曼. 实用偏微分方程[M ]. 北京: 机械工业出版社, 2007.[5] 陆金甫, 关治. 偏微分方程数值解法[M ]. 北京: 清华大学出版社, 2003.[6] K. W. Morton, D. F. Mayers. 偏微分方程数值解[M ]. 北京: 人民邮电出版社, 2006.[7] 戴嘉尊, 邱建贤. 微分方程数值解法[M ]. 南京: 东南大学出版社, 2002.[8] 徐琛梅. 一类非线性偏微分方程差分格式的稳定性分析[J ]. 江西科学, 2008,27(3) :227~230.[9] 张天德, 张希华, 王玮. 偏微分方程差分格式的构造[J]. 山东工业大学学报, 1997,26(2) :245~246.[10] P. Darania and A. Ebadian. A method for the numerical solution of integrodifferentialequations [J]. Applied Mathematics and Computation , 2007, 188(1): 657~668.[11] Yang Zhang. A finite difference method for fractional partial differential equation [J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 215(2):524~529.。
差分方程模型的稳定性分析
摘要I
AbstractII
目录III
引言1
1、差分方程的定义及其分类1
（1）差分算子：1
2.差分方程的求解与稳定性判断方法:2
（1）差分方程的求解：2
摘 要
微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。
（2)差分方程：
定义2：含有未知函数及未知函数差分的等式，我们称为差分方程，它的一般表达形式为：
由（1）与（2）的关系，可以将阶数为 的差分方程写为
或者
我们称 不显含 时的方程为自治差分方程。形如 表示一阶差分方程； 表示n阶差分方程。
（2）差分方程的分类：
差分方程可以分为两大类：其一为线性差分方程，它是指当 是 的线性函数时，称 为线性差分方程；也就是说 的次数都为 ，其二为非线性差分方程，它是指当 是 的非线性函数时，称 为非线性差分方程。显而易见，非线性差分方程求解比线性差分方程求解复杂，因此它的解的性态也比较难分析，本文我们只研究线性差分方程解的性态。
收敛性与稳定性
λ
表明Euler格式是条件稳定的。 表明 格式是条件稳定的。 格式是条件稳定的
再考察隐式Euler格式 格式(28)，由于 λ 再考察隐式 格式 ，
<明隐式Euler格式是恒稳 （无条件稳定）的。 格式是恒稳 无条件稳定） 表明隐式 格式是 定
y' = λy, λ < 0 y(0) = y0
这个问题有准确解
（26） ）
y = y0 e
λx
先考察Euler格式的收敛性。问题（26）的Euler格式 格式的收敛性。问题（ ） 先考察 格式的收敛性 格式 具有形式
yn+1 = (1+ λh) yn
从而数值解
（27） ）
yn = (1 + hλ ) y0
λxn
y n +1 = y n + hλ y n +1 y n +1 1 yn = 1 − hλ
从而数值解
1 n ) yn = y0 ( 1 − hλ 1− hλ nhλ hλ hλ 1−hλ ) ] = y0 [(1 + 1 − hλ
当 h→0 时
yn → y0e
λxn 1− hλ
→ y0e
λxn
= y( xn )
因而问题（ ）隐式Euler格式的是收敛性。 格式的是收敛性。 因而问题（26）隐式 格式的是收敛性
3.4.2 稳定性问题
前面关于收敛性问题的讨论有个前提， 前面关于收敛性问题的讨论有个前提，必须假定差分方 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样， 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样，差分方 程的求解还会有计算误差， 程的求解还会有计算误差，譬如由于数字舍入而引起的扰动 。这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没”了 这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没” 差分方程的“真解” 这就是差分方程的稳定性问题。 差分方程的“真解”！这就是差分方程的稳定性问题。 实际计算时， 实际计算时，希望某一步所产生的扰动值在后面的计算 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。
差分方程方法总结
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
差分方程(2)-稳定性
0.4474 0.8530
0.4327 0.8469
0.5060 0.8874
0.3548 0.8127
倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论 * * * b 3 .3 x （不） x 子序列 x x , x x k 2k 1 2 k 1 2
单周期不收敛
2倍周期收敛
xk 2 f ( xk 1 ) f ( f ( xk )) f ( 2) ( xk ) (*)
0.4474 0.8530 0.4327 0.8469
0.5405 0.8817 0.3703 0.8278
1 b
97 98
99 100
0.4118 0.4118
0.4118 0.4118
0.6154 0.6154
0.6154 0.6154
0.4794 0.8236
0.4794 0.8236
一阶(非线性)差分方程
*
记 b r 1
(1)的平衡点y*=N
r 1 1 (2)的平衡点 x r 1 b
讨论 x* 的稳定性
补充知识(刚学过的):
一阶非线性差分方程 xk 1 f ( xk ) (1) 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
* * * x f ( x ) f ( x )( x x ) (2) (1)的近似线性方程 k 1 k
0 x0
x1 1 / 2
x x2
*
1
x
0 x0
x1 1/2 x* x2 1
x
* x （振荡地） x k
x （不） x k
*
k
b=1.7
b=2.6
b=3.3
差分格式的定性分析
∆t 若截断误差项含 O ， ∆x ∆t 则须 → 0才相容 ∆x ∆x
若c<0则恒为负，相应差分格式为逆耗散格式，按 Hirt论断，一切逆耗散格式均不稳； 该耗散项为正的条件是 r ≤ 1 或 色散性： 色散项
9
1 Neumann-Richtmyer人为耗散法
(1950，JAP, 21, 232)
在动量方程中加入人为粘性压力项 q N ，其人为粘性系数比例于速度梯度
x （若激波在x向传播）
2 2 ∂u ρ(b∆x) qN = ∂x 0
∂u 当 <0 ∂x 当 ∂u ≥0 ∂x
方案2
U U
max i i min
= max( U id− 1 , U id , U id+ 1 ; U in− 1 , U in , U in+ 1 ) = min( U id− 1 , U id , U id+ 1 ; U in− 1 , U in , U in+ 1 )
max i
此法提高 U
减小 U
式中ρ为密度，u为速度，b为可调参数，一般取b=1.5-2 最后激波区的厚度大致为 δ x = π 即4－5个格距
2 b∆ x ≅ 2 .5b∆x γ +1
10
2 Lapidus人为耗散法
对各分量方程同时加入人为耗散项
(1967, JCP, 2, 154)
∂U ∂F ∂G + + + T x + Ty = S ∂t ∂x ∂y
强耗散格式（或引入人为耗散） 弱耗散格式 激波波头的振荡
偏微分方程数值解：4、差分格式收敛性分析
差分格式收敛性分析相容性概念：相容性(consistency)：当有限差分网格变小时，截断误差趋于0。
经典显示差分格式：h→，k →截断误差→经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差条件相容。
绝大多数差分格式为无条件相容！稳定性（stability）：计算所得解的全部扰动有界。
条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关，它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。
Lax等价定理：对一个适定的定解问题，若给出的差分格式是相容的，则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。
算法稳定性是最重要的问题，精度排在其后，只有在稳定的情况下再追求精度。
(1)显式差分为例：误差的传播过程图：(2) Richardson 显式差分来自<https:///wiki/Von_Neumann_stability_analysis >要点：a 误差满足同样的方程b 误差函数的分解（傅里叶分解+分离变量法）Von Neumann stability analysis -稳定性分析Von Neumann条件稳定分析过程两边同除以得到：经典显式差分稳定性条件：Richardson显式差分O(Δ)结论：Richardson显式差分格式无条件不稳定，即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%隐式差分结论：无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分结论：无条件稳定加权隐式差分向量函数稳定性：增长矩阵方法增长矩阵可以得到要求矩阵特征值满足。
差分格式的稳定性与收敛性
差分格式的稳定性与收敛性1 基本概念所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的，如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性.差分格式的收敛性是指在步长h 足够小的情况下，由它所确定的差分解m u 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题的精确解()m u x .下面给出收敛性的精确定义：设{}m u 是差分格式定义的差分解，如果当0h → 并且m u x →时，有()0m u u x -→，则称此格式是收敛的.2 差分方程的建立对于二阶边值问题'''()(),,(),(),Lu u q x u f x a x b u a u b αβ⎧≡-+=<<⎨==⎩ (1) 其中()q x 、[](),,()0.f x C a b q x ∈≥将区间[],a b 分成N 等份，记分点为,0,1,,,m x a mh m N =+=⋅⋅⋅ 这里步长b a h N-=.利用泰勒公式，得''1121[(()2()()]()m m m m m u x u x u x u x R h+--+=- (2) 其中 2(4)11(),(,)12m m m m m h R u x x ξξ-+=-∈(3) 把式(2)代入式(1)中的微分方程，有1121()[(()2()()]()()h m m m m m m L u x u x u x u x q x u x h+-≡--++ ()m m f x R =+ (4) 略去余项m R ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点m x 的差分方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差分方程11201(2)()(),,,,h m m m m m m m N L u u u u q x u f x a x b h u u αβ+-⎧≡--++=<<⎪⎨⎪==⎩(5) 解线性代数方程组(5)，得()m u x 的近似值m u .01,,,N u u u ⋅⋅⋅称为边值问题(1)的差分解.从上面的推导过程可以看出，在节点m x 建立差分方程的关键是在该点用函数()u x 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用差分算子h L 代替微分算子L 就产生差分方程(5).记 ()()()m m h m R u Lu x L u x =-，称()m R u 是用差分算子h L 代替微分算子L 所产生的截断误差.由式(2)，二阶中心差商代替二阶导数所产生的截断误差m R ，从式(4)和式(5)可以得出(())m h m m R L u x u =-，m R 称为差分方程（5）的截断误差.3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性引理3.1(极值原理) 设01,,,N u u u ⋅⋅⋅是一组不全相等的数，记01{,,,}N S u u u =⋅⋅⋅，11(),1,2,,1,h m m m m m m m L u a u b u c u m N -+=++=⋅⋅⋅- (6) 其中0,0,0,.m m m m m m b a c b a c ><<≥+(1) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≤=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值；(2) 若0(1,2,,1)h m L u m N ≥=⋅⋅⋅-，则不能在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中负的最小值.证 首先用反证法证明(1).假设在121,,,N u u u -⋅⋅⋅中取到S 中正的最大值，记为M ,那么{}0max 0m m NM u ≤≤=>，由于S 中的数不全相等，一定存在某个(11)i i N ≤≤-,使得i u M =,并且1i u -与1i u +中至少有一个小于M .于是11()h i i i i i i i L u a u bu c u -+=++11i i i i i b M a u c u -+=++()0i i i b M a c M >++≥这与0h i L u ≤矛盾，从而（1）得证.同理可证明(2).现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性.定理3.2 差分方程组(5)的解m u 满足{}111max ,()()max ,1,2,,1,2m m m m m N u x a b x f m N αβ≤≤-≤+--=⋅⋅⋅- (7) 证 把方程组 00,1,2,,1,,h m N L u m N u u αβ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩和 0,1,2,,1,0h m m N L u f m N u u ==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩的解分别记为(1)m u 和(2)m u ，其中差分算子h L 由式(5)定义，则方程组(5)的解m u 为(1)(2)m m m u u u =+ (8)由极值原理可知 {}(1)max ,,1,2,,1m u m N αβ≤=⋅⋅⋅-. (9)接下来再估计(2)m u ，考虑差分方程11201(2),1,2,,1,0m m m N v v v M m N h u u +-⎧--+==⋅⋅⋅-⎪⎨⎪==⎩(10)其中 {}0max m m NM f ≤≤= 容易验证该微分方程是从边值问题'',()()0v M v a v b ⎧-=⎨==⎩ (11) 得到的，而在此边值问题的解是 ()()()2M v x x a b x =--. 因为()v x 是x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、(3)看到()v x 在点m x 的二阶中心差商与''()m v x 相等，因此差分方程(10)的解等于边值问题(11)的解，即()()()02m m m m M v v x x a b x ==--≥. 另一方面，(2)(2)(2)(2)00()0,0,h m m h m h m m m m N N L v u L v L u q v M f v u v u ±=±=+±≥±=±=由极值原理可知 (2)0,m mv u ±≥ 即 (2)()(),1,2,, 1.2m m m m M u v x a b x m N ≤=--=⋅⋅⋅-(12) 综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).定理3.2表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项和边值问题是稳定的，亦即当f 、α、β有一个小的改变时，所引起的差分解的改变也是小的.定理3.3 设()u x 是边值问题(1)的解，m u 是差分方程(5)的解，则22(4)()()max (),1,2,, 1.96m m a x b b a u x u h u x m N ≤≤--≤=⋅⋅⋅-(13) 证 记 ()m m m u x u ε=-，由式(3)、(4)、(5)可知0,1,2,,1,0,h m m N L R m N εεε==⋅⋅⋅-⎧⎨==⎩ 其中m R 由式(3)定义.从定理3.2得111()()max 2m m m m m N x a b x R ε≤≤-≤-- 22(4)()max ().96a xb b a h u x ≤≤-≤ 式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当0h →差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为2h .4 小结收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.参考文献[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社[2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）北京：高等教育出版社，2008[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006[4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007[5] 李清扬等.数值分析(第4版).武汉：华中科技大学出版社.2006。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 定义：对于一足够光滑函数 u ，若时间步长 t ，空间步长 x
趋近于0时，差分方程截断误差 Rnj 对于每一点 x j , tn 都趋近于
0，则该差分方程 Lunj 0 逼近微分方程 Lu 0，即差分方程与
微分方程是相容的。
• 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方
而是趋近于某值，或结论并不是对每个点 x j , t都n 成立，则差分方
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
③
相容性条件不仅要求差分方程截断误差R
n j
趋近于0，而且要求差分方
程定解条件截断误差rjn 也同时趋近于0。
④ 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。
定义：在某一个时刻tn存在计算误差
n，若在
j
tn1时刻满足：
n1 j
k
n j
或
n j
k
0 j
条件，则差分方程是稳定的。
这里定义：
1
n j
n j
2
x
2
2
是某种定义的范数。
下面我们用几个简单的例子来说明差分方程稳定性概念。
（1）对流方程FTFS差分方程为：
• Lax定理：对于适定和线性的初值问题微分方程，若逼近它的差分方程和它
是相容的，则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。
• Lax定理可以形象地表示为：
e0j
O(x, t)
(d)
在t=0时，差分方程的初始条件应该是完全准确的，即：
u
0 j
(x j
),e0j
u0
u0j
0
即：
max j
en1 j
O(x, t)
(e)
即差分方程离散化误差和截断误差是相同数量级，因此，若
R
n j
→0，则：
lim t0
max
j
e
n1 j
0.8u
n j 1ຫໍສະໝຸດ ；当a=1，Δx=0.1，r=1.0，则有：
u
n1 j
u
n j1
；
当a=1，Δx=0.1，r=2.0，则有：
u
n1 j
u
u j
2u
n j1
。
图b中给出了上述不同条件下差分方程计算误差的图解。从图中 可以发现，当r=1.0时，差分方程解和微分方程解是一致的；当 r=0.8时，在差分方程解的两端有耗散现象，当r=2.0时，差分方 程解会出现振荡，并且在t=nΔt继续增加时，振荡也继续加剧， 直到计算完全失败。 数值分析表明，FTBS差分方程只有在r 1.0时计算才是稳定，当r ＞1.0时差分方程计算是不稳定。
程的FTCS差分格式为：
u n 1 j
u
n j
t
un j 1
2u
n j
x2
u
n j 1
0
•
把
u n1 j
作为t的函数，在 tn
邻域展开成Taylor级数，把
un j 1
和 u nj1作为x的函数，在 x j 邻域展开成Taylor级数：
u n 1 j
u
n j
n
j
x3
(x4
)
un j 1
u
n j
u x
n j
x
1 2
2u x2
n
j
x2
1 6
3u x3
n
j
x3
(x4
)
u u 将
u
n1 j
、
nj 1和
n j 1
代入FTCS格式中，即可得到：
u
un1 j
(1 r)unj
ru
, n
j 1
u0j
(xj )
(a)
设求解区域内任意一点 x p ，t p ，它的微分方程精确解为u，
差分方程解为
u
n j
，则离散化误差为
enj
u unj
，把差分方
程和微分方程相减可得离散化误差方程：
en1 j
(1
r)enj
renj1
O(x, t)
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么， 我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而 且能得到同样的计算结果呢？
答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的 对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。 在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。
为离散化误差。
定义2：节点 xp , t p 为微分方程求解区域 内任意一点，当
当
x xp,t tp
时，差分方程数值解
u
n j
趋近于微分方程
精确解
u
，即
enj
u
u
n j
0
，则差分方程收敛于微分方程。
差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。
一、直接证明法
对流方程 u a u 0 的FTBS差分格式为： t x
目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，
因此，FTFS差分方程是不稳定的。
（2）对流方程FTBS差分格式的误差传播方程为：
n1 j
n j
r
n j
n j1
1
r
n j
r
n j1
(b)
当a＞0，a t x
1
时，
n1 j
max
j
n j
u t
n j
t
1 2
2u t 2
n j
t 2
1 6
3u t 3
n j
t 3
(t 4
)
un j 1
u
n j
u x
n
j
x
1 2
2u x2
n
j
x2
1 6
3u x3
0
(f)
x0
由此可知，FTBS格式在a＞0， a t 1 时，是收敛的。 x
二、数值试验法
数值试验法基本思想是用差分方程求出FTBS数值解，然后和 微分方程精确解进行比较，确定差分方程是否收敛。
直接证明法比较简单，但是只有很少几个差分方程可以采用直 接证明法来证明其收敛性，而数值试验法又非常麻烦，一般来 说，很难用数值试验结果严格证明差分方程是否收敛。总的说 来，不管是采用直接证明法，还是数值试验法，要证明差分方 程收敛性都是比较困难的。
t
1。但是，对于
x
不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见
图b）。
n1 j
n j
r
n j
n j1
1
r
n j
r
n j1
(b)
通过对（b）式的数值分析可知：
当a=1，Δx=0.1，r=0.8，则有：
u n 1 j
0.2u
n j
① 相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的
程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必
须满足的有效性条件。
② 相容性要求对于求解区域内任意点 x j , tn ，在 t, x 同时趋近于0，
截断误差Rnj 趋近于0。如果 t, x 不是同时趋近于0或并不趋近于0，
t
2u x2
n j
1 2
2u t 2
t
1 6
3u t 3
t 2
(t
3
)
(x
2
)
n
j
•
当 t, x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近
于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
•
关于差分方程相容性需要作以下说明：
n j
，而计算到n+100时
刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到
r
1
100
n j
r100
n j1
，
假定只有在节点（xj，tn）上存在误差
n j
，其他各节点的计算
误差为零，则若取r=0.8，则
n100 j
1.8100
n j
3.37
1025
n j
。
由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面
关于差分方程收敛性需要作以下说明： (1) 差分方程收敛性表示差分方程数值解和微分方程精确解