2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性

粗看起来，差分方程相容性要求时，差分方程逼近于微分 方程，似乎差分方程数值解也应该收敛于微分方程精确 解。事实上，当我们在证明相容性时，已经假定了差分 方程数值解就是微分方程精确解，在对微分方程进行展 开时，截断误差中已经忽略了离散化误差的存在。因此， 差分方程相容性并不能保证其收敛性。
(3) 差分方程同样也有两种不同形式的收敛性：有条件收敛 和无条件收敛。
x
x
en1 j

1
a
t x

enj
a t x
en j 1
O(x, t)
(c)

1

a
t x

max j
enj
a t max x j
enj
O(x, t)
式中
max
j
e
n j
表示在n层的所有节点上离散化误差
e nj绝对值最
大值，对于所有节点j有：
u t
n j
t

1 2

2u t 2
n j
t 2

1 6

3u t 3
n j
t 3

(t 4
)
un j 1

u
n j


u x
n
j
x

1 2

2u x2
n
j
x2

1 6

3u x3
为离散化误差。
定义2：节点 xp , t p 为微分方程求解区域 内任意一点，当
当
x xp,t tp
时，差分方程数值解
u
n j
趋近于微分方程
精确解
u
，即
enj

u

u
n j

0
，则差分方程收敛于微分方程。
差分方程收敛性有两种证明方法，直接证明法和数值试验法。
一、直接证明法
对流方程 u a u 0 的FTBS差分格式为： t x
e0j
O(x, t)
(d)
在t=0时，差分方程的初始条件应该是完全准确的，即：
u
0 j
(x j
),e0j

u0

u0j

0
即：
max j
en1 j
O(x, t)
(e)
即差分方程离散化误差和截断误差是相同数量级，因此，若
R
n j
→0，则：
lim t0
max
j
e
n1 j

t

2u x2
n j


1 2
2u t 2
t

1 6
3u t 3
t 2


(t
3
)


(x
2
)

n
j
•
当 t, x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近
于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
•
关于差分方程相容性需要作以下说明：
2.4.2 收敛性（Convergence ）
差分方程收敛性是讨论当 t, x 0 时，差分方程的解和微分 方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分
方程的解的逼近程度。
定义1：差分方程
Lunj 0
的数值解为
u
n j
，微分方程的精确
解为
u
，它们之间的误差用
e
n j
表示，则
enj u unj 称
un1 j

(1 r)unj

ru
, n
j 1
u0j
(xj )
(a)
设求解区域内任意一点 x p ，t p ，它的微分方程精确解为u，
差分方程解为
u
n j
，则离散化误差为
enj
u unj
，把差分方
程和微分方程相减可得离散化误差方程：
en1 j

(1
r)enj

renj1

O(x, t)
• 定义：对于一足够光滑函数 u ，若时间步长 t ，空间步长 x
趋近于0时，差分方程截断误差 Rnj 对于每一点 x j , tn 都趋近于
0，则该差分方程 Lunj 0 逼近微分方程 Lu 0，即差分方程与
微分方程是相容的。
• 差分方程相容性可以通过Taylor展开方法来证明。例如，扩散方
定义：在某一个时刻tn存在计算误差

n，若在
j
tn1时刻满足：

n1 j

k

n j
或

n j
k

0 j
条件，则差分方程是稳定的。
这里定义：
1

n j





n j
2
x
2

2

是某种定义的范数。
下面我们用几个简单的例子来说明差分方程稳定性概念。
（1）对流方程FTFS差分方程为：
，通过迭代运算可得到：
max

n1 j

max

n j
j
j
max
j

n j

max
j

n1 j
…
max
j

1 j

max
j

0 j
由此可知，在n时刻的计算误差

n j
是不会大于

0 j
，因此，
当a＞0，a t 1 时，FTBS差分格式是稳定的（见图a）。这
x 是有条件的稳定，稳定的条件是a＞0，a
t
1。但是，对于
x
不同的a，Δt，Δx，FTBS差分格式的稳定条件是不同的（见
图b）。

n1 j


n j
r

百度文库
n j

n j1

1
r

n j

r
n j1
(b)
通过对（b）式的数值分析可知：
当a=1，Δx=0.1，r=0.8，则有：
u n 1 j

0.2u
n j
差分格式稳定性有两种不同的形 式：有条件稳定和无条件稳定。
2.4.4 赖克斯(Lax)定理
• 我们已经讨论了差分方程稳定性和收敛性。稳定性是反映差分方程在时间
进程上的特性，收敛性是反映差分方程空间位置上的特性，它们都体现了
差分方程内在性质，都是十分重要的基本概念。那么，差分方程收敛性和
稳定性之间存在什么关系呢？Lax定理给出了这个问题的答案。
• Lax定理：对于适定和线性的初值问题微分方程，若逼近它的差分方程和它
是相容的，则差分方程稳定性是差分方程收敛性的充分和必要条件。
• Lax定理可以形象地表示为：
u
n1 j

u
n j

r
u
n j1

u
n j
其中 r

t x
。设在n时刻计算误差为
n j
，n+1时刻计算误差
为
n1 j
，则计算误差传播方程为：

n1 j

r 1

n j

r
n j 1
(a)
可以采用直观的数值试验法来分析误差传播规律。
在（a）式中设在tn时刻xj的计算误差为
① 相容性是对求解区域内任意一点差分方程逼近于微分方程的
程度，相容性是有限差分算法（包括有限体积算法）首先必
须满足的有效性条件。
② 相容性要求对于求解区域内任意点 x j , tn ，在 t, x 同时趋近于0，
截断误差Rnj 趋近于0。如果 t, x 不是同时趋近于0或并不趋近于0，
en1 j
max j
enj
O(x, t)
于是有：
max j
en1 j
max j
enj
O(x, t)
max j
enj
max j
en1 j
O(x, t)
…
max j
e1j
max j
e0j
O(x, t)
由此可得到：
max j
en1 j
max j
2.4.3 稳定性（Stability ）
用计算机数值求解差分方程时，计算误差总是不可避免的。
计算误差包括舍入误差、离散误差和初值误差。设微分方程精确
解为 u，具有计算误差差分方程数值解为
u
n j
，则计算误差定义
为：

n j

u

u
n j

u

u
n j

u
n j

u
n j
式中，enj
关于差分方程收敛性需要作以下说明： (1) 差分方程收敛性表示差分方程数值解和微分方程精确解
逼近程度，只有在差分方程收敛于微分方程时，差分方 程解才可能是微分方程精确解。 (2) 差分方程相容性是差分方程首先要满足的，差分方程相 容性是收敛性的必要性条件，但并不是充分条件。差分 方程相容性并不能保证差分方程数值解一定收敛于微分 方程精确解。若差分方程不相容，则数值解肯定不收敛 微分方程的精确解。


0
(f)
x0
由此可知，FTBS格式在a＞0， a t 1 时，是收敛的。 x
二、数值试验法
数值试验法基本思想是用差分方程求出FTBS数值解，然后和 微分方程精确解进行比较，确定差分方程是否收敛。
直接证明法比较简单，但是只有很少几个差分方程可以采用直 接证明法来证明其收敛性，而数值试验法又非常麻烦，一般来 说，很难用数值试验结果严格证明差分方程是否收敛。总的说 来，不管是采用直接证明法，还是数值试验法，要证明差分方 程收敛性都是比较困难的。
(b)
由（b）式可以看出离散化误差方程在形式上和差分方程是完全 相同的，由此可以得到：
en1 j

enj

a
t x
(enj

e
n j 1
)

O(x,
t )

1

a
t x

enj

a
t x
en j 1

O(x,
t)
设a≥0， a t≤1，则0≤ a ≤1t，于是有：
目完全淹没了，所求得差分方程数值解已经没有任何意义了，
因此，FTFS差分方程是不稳定的。
（2）对流方程FTBS差分格式的误差传播方程为：

n1 j


n j

r

n j

n j1

1
r

n j

r
n j1
(b)
当a＞0，a t x
1
时，

n1 j

max
j

n j
程的FTCS差分格式为：
u n 1 j

u
n j
t

un j 1

2u
n j
x2

u
n j 1

0
•
把
u n1 j
作为t的函数，在 tn
邻域展开成Taylor级数，把
un j 1
和 u nj1作为x的函数，在 x j 邻域展开成Taylor级数：
u n 1 j

u
n j



0.8u
n j 1
；
当a=1，Δx=0.1，r=1.0，则有：
u
n1 j

u
n j1
；
当a=1，Δx=0.1，r=2.0，则有：
u
n1 j

u
u j

2u
n j1
。
图b中给出了上述不同条件下差分方程计算误差的图解。从图中 可以发现，当r=1.0时，差分方程解和微分方程解是一致的；当 r=0.8时，在差分方程解的两端有耗散现象，当r=2.0时，差分方 程解会出现振荡，并且在t=nΔt继续增加时，振荡也继续加剧， 直到计算完全失败。 数值分析表明，FTBS差分方程只有在r 1.0时计算才是稳定，当r ＞1.0时差分方程计算是不稳定。
而是趋近于某值，或结论并不是对每个点 x j , t都n 成立，则差分方
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
③
相容性条件不仅要求差分方程截断误差R
n j
趋近于0，而且要求差分方
程定解条件截断误差rjn 也同时趋近于0。
④ 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。
在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容 性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定 基础。
2.4.1 相容性（Consistency ）
• 差分方程相容性是讨论当 t, x 0 时，差分方程逼近于微分方
程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。
n
j
x3


(x4
)
un j 1

u
n j


u x
n j
x

1 2

2u x2
n
j
x2

1 6

3u x3
n
j
x3

(x4
)
u u 将
u
n1 j
、
nj 1和
n j 1
代入FTCS格式中，即可得到：
u
u unj
是离散化误差，而
r

u
n j

u
n j
就是舍入误差。根据
收敛性条件，当
lim
t 0
e
n j

0，差分方程收敛于微分方程。而
r
数学
x0
性质讨论，就属于稳定性所要讨论的范围。由此可知，稳定性是讨
论在计算过程中，某一时刻，某一点产生计算误差，随着计算时间
增加，这个误差是否能被抑制的问题。

n j
，而计算到n+100时
刻，（xj，tn+100）点的计算误差将发展到
r

1
100

n j

r100
n j1
，
假定只有在节点（xj，tn）上存在误差

n j
，其他各节点的计算
误差为零，则若取r=0.8，则

n100 j

1.8100

n j

3.37
1025

n j
。
由此可以看出，这个计算误差必定会将差分方程精确解原来面
计算力学基础
第二章 有限差分方法
2.4 差分方程的相容性、收敛性和稳定性
一个微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么， 我们要问，对于这些不同的差分方程是否都同样有效，同样可靠，而 且能得到同样的计算结果呢？
答案是否定的。事实上，不同的差分方程和原方程有完全不同的 对应关系，它们具有各自不同的性质，因此，数值结果也完全不同。 在这些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有 在一定的条件下是有效的、可靠的；有些差分方程则是完全无效的、 不可靠的。所以，如何判断和分析差分方程有效性和可靠性就成为非 常必要和现实的问题了。