欧式看涨期权定价中差分格式的稳定性分析

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欧式期权价格的Monte-Carlo模拟

欧式期权价格的Monte-Carlo模拟
周心莲
【期刊名称】《《科技创业月刊》》
【年(卷),期】2007(20)8
【摘要】采用Monte-Carlo模拟方法对欧式看涨期权价格进行了数值实验模拟,把对偶变量(AV)方差下降技术运用于模拟试验中,并用标准MC方法模拟出的结果与AV法模拟出的结果进行比较,发现AV方法是有效的,能显著地降低方差。

【总页数】2页(P33-34)
【作者】周心莲
【作者单位】武汉理工大学应用数学系湖北武汉 430070
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.欧式期权定价的Monte-Carlo方法 [J], 张丽虹
2.基于异质理念的欧式股票期权价格模型 [J], 郭文英;谢飞
3.欧式看跌期权价格的计算方法:计算机模拟与比较 [J], 代维
4.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛; 薛红; 王琪
5.G-布朗运动环境下欧式期权价格数值模拟 [J], 陈毛毛;薛红;王琪
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欧式看涨期权定价的数值模拟

欧式看涨期权定价的数值模拟
欧式看涨期权定价的数值模拟
作者：郭尊光;仉志余
作者机构：中北⼤学理学院,太原030051;太原⼯业学院理学系,太原030008;太原⼯业学院理学系,太原030008
来源：运城学院学报
ISSN：1008-8008
年：2011
卷：029
期：002
页码：21-23
页数：3
中图分类：O242.1
正⽂语种：chi
关键词：期权;对冲;⽆套利原则;有限差分
摘要：主要研究⽀付红利的欧式看涨期权定价的数值模拟问题.对⽀付红利的欧式看涨期权的模型作了推导,并通过变量代换得到满⾜终端条件的常系数反抛物⽅程.我们⽤时间向前差商和空间中⼼差商得到欧式看涨期权的差分格式,对⼀定条件下格式的稳定性进⾏了讨论.并利⽤matlab作出欧式看涨期权在各个时期不同股票价格的价值图像.。

欧式期权定价模型探析

得到随机微分方程：
ｄ／＝Ｉｄ＋ｏｘＳＳｘｔｒ．ｄ（）１
其中ｕ（）＝Ｍ，）．Ｂ—Ｓ偏微分方程转化。Ｓ（０将
为Ｏ
ｒ
的形式，即可得到其解・
２３１无风险利率为零．．
为简化求解步骤，先假设无风险利率为首零，因此Ｂ—Ｓ微分方程变为：偏
２１０１年８月第３Ｏ卷第４期
重庆文理学院学报（自然科学版）
Ｊｕｎｌｆｈｎｑｎｉｅｓｙｏｒｎｃｅｃｓ（ａｒｌｃｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏｏｇｉｇＵｎｒｉｆｔａｄＳｉｅＮｔａＳｉｃｄｔｎＣｖｔＡｓｎｕｅｉ
Ｓｈｌｓ权定价模型的确是十分必要的．ｃｏ期ｅ
［键词］关欧式期权；ｌｋ—ＳｈｌｓＢａｃｃｏ期权定价模型；ｅ偏微分方程；融衍生工具金［中图分类号］８０９；００［Ｆ３．１０１— 文献标志码］［Ａ文章编号］６３— ０２２１）４— ０９— １７８１（０１００２０４
ｔ）为资产价格Ｓ在时间ｔ的函数，Ｓ变化为Ｓ＋当
ｄ，变化为ｚＳ＋ｄ时Ｓ，）变化为Ｓ，）＋根据泰勒级数展开式，以得到可
ａｆ＝ｓ＋＋ｓ＋．． ‘
假设Ｓ＝Ｅ因为ｅ，
＝ｎ
（）堕＝一Ｓ专吾一Ｓ：，ＯＣＳＯ
ＣＳ￡（．）＝Ｓｄ）一（ｅＮ（１１—７）Ｎ（２ｒＥｄ）

第九章-期权定价的有限差分方法

第九章期权定价的有限差分方法在本章中，我们将给出几个简单的例子来说明基于偏微分方程（PDE）框架的期权定价方法。

具体的方法的是利用第五章中讲述的有限差分方法来解决Black-scholes偏微分方程。

在9.1节中，我们会回顾衍生品定价的数值解法以及指出如何利用适当的边界条件来模拟一个特定的期权。

在9.2节中我们将会应用简单的显式（差分）方法来求解一个简单的欧式期权。

正如你已熟知的那样，这种方法只能解出一些可以从金融角度来解释的不稳定的数值解。

在9.3节中我们将可以看到使用完全的隐式方法可以解决这种不稳定问题。

在9.4节中我们将介绍Crank-Nicolson方法在障碍期权定价中的应用，它可以看做是一种显式与完全隐式方法的混合。

最后，在9.5节中，我们会看到迭代松弛方法可以用于解决使用全隐式方法来解决美式期权定价时由于存在提前执行的可能性而导致的自由边界问题。

9.1 使用有限差分法解BS方程在2.6.2节中，我们给出了一个标的资产在时间t的价格为)(tS的期权，该期权的价格是一个函数),S(tf满足偏微分方程(tSf，且),（9.1）通过不同的边界条件可以让这个方程刻画不同的期权的特征。

在某些地方可能因为假设的改变或者对路径依赖的改变而导致方程式的具体形式改变，但是此处仅仅作为一个起点，帮助读者了解如何应用基于有限差分方法来解决期权定价的问题。

正如我们在第五章中遇到的情况那样，要用有限差分方法来解偏微分方程，在此处我们必须建立资产价格和时间的离散网格。

设T是期权的到期日，而Smax是一个足够大的资产价格，在我们所考虑的时间范围内，)(tS的数值不能超过Smax。

设定Smax是因为偏微分方程的区域关于资产价格是无边界的。

但是为了达到计算的目的，必须要求它是有界的。

Smax相当于+∞。

网格通过点(S,t)取得，其中(S,t)满足δ,M=S=SS，Sδ，Sδ2，……,maxδ。

N=t=t, tδ，tδ22，……,T本章中使用网格符号为,我们回顾一下（9.1）方程式的几种不同解法：向前差分向后差分中心（或对称）差分对于第二个差分式子，有至于究竟采用哪种方法进行离散化，我们将在后面的实际操作过程中对显式和隐式的方法作出详细的阐述说明。

跳跃-扩散模型资产定价公式的数值计算方法

跳跃-扩散模型资产定价公式的数值计算方法张鸿雁;李强;张志【摘要】假定资产价格变化过程服从跳跃-扩散过程,那么基于它的欧式期权就满足一个偏积分-微分方程(PIDE),本文利用差分法来离散这个PIDE方程,用两种迭代方法得到方程的数值解:基于雅可比正则分裂法和预条件共轭梯度法.【期刊名称】《经济数学》【年(卷),期】2010(027)002【总页数】6页(P51-56)【关键词】跳跃-扩散模型;差分法;FFT算法;欧式看涨期权【作者】张鸿雁;李强;张志【作者单位】中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083;中南大学,数学科学与计算技术学院,湖南,长沙,410083【正文语种】中文【中图分类】O241.82美国芝加哥大学教授Black和Scholes[1]在1973年发表了“The Pricing of Op tions and Corpo rate Liabilities”一文,提出了著名的Black-Scholes期权定价公式,在B-S公式中,假设股票的价格过程是连续的几何布朗运动,但是,在现实市场中,一些突发情况会引起股票价格发生跳跃.基于上述考虑,M erton在1976年首先提出了跳跃-扩散模型,在M erton模型中,资产价格在没有受到外界重大影响时服从布朗运动,当资产价格受到突发事件的影响而发生跳跃时,就用跳跃过程来描述.本文首先介绍 PIDE[2]的具体形式,在Merton模型下对其差分离散,得到一个Toep litz矩阵方程,用两种方法解这个矩阵方程,一是基于雅可比正则分裂的迭代方法[3-4],二是预条件共轭梯度方法.考虑到 Toep litz[5]矩阵的特殊性,在迭代的过程中,将其植入到一个循环矩阵中,利用循环矩阵和向量的乘积来计算 Toep litz和向量的乘积,而循环矩阵向量乘积可以通过快速富里叶变换(FFT)快速计算,这样就加快了迭代速度.共轭梯度法是解决 Toep litz线性方程组的主要方法之一,在利用共轭梯度法的情况下,快速傅里叶变换的作用是加快共轭梯度法的迭代速度,但不改变其收敛速度,共轭梯度法的收敛速度取决于线性方程组系数矩阵的条件数,基于此考虑,本文采用预条件共轭梯度算法,选用R.Chan优化循环预条件器[6],预条件器的使用是为了改善系数矩阵的条件数,以便提高收敛速度.假设市场是完备无套利的市场,在跳跃-扩散模型下,资产的价格变化过程服从随机微分方程:其中,υ(t)是漂移率,σ(t)是波动率,ω(t)标准布朗运动,d q(t)是泊松过程,d q(t)=0的概率是1-λd t,d q(t)=1的概率是λd t,λ是泊松到达强度,η-1是由 S跳跃到Sη的跳跃幅度函数,是一个随机变量,用ζ表示平均跳跃幅度E(η-1),泊松过程d q(t)与布朗运动ω(t)是相互独立的.由文献[7]可知,在上述假设下,基于资产价格S与时间τ的未定权益V(S,τ)满足PIDE:这里,对于时间的偏导,当m≥2时,用向后的二阶差分来近似对时间的微分,当m=1时,用向后的一阶差分近似;对于空间的偏导,用中心差分来近似.定义向量um=(um1,…,umn)T.由初始条件,初始向量:由式(13)～(16),则式(5)的有限差分离散能写成矩阵形式:定义1 假设矩阵A可用分裂成形式:其中,Q是单调矩阵(Q-1≥0)且R≥0,则称 A可以正则分裂.对于每一个形如式(21)的分裂,都存在相应的迭代方法:若A是单调矩阵,则迭代式(22)是收敛的(ρ(Q-1R)<1),证明过程见文献[8].给出雅可比正则分裂的形式:(A)A=Q1-R1,其中Q1是A的对角矩阵.如果满足:则分裂(A)是正则的,且证明过程见文献[9].在有限差分法中,若:则可以得到一个精确稳定的解.若保持 k/h固定不变而让h→0,则存在一个 h0>0使得在h≤h0时条件(i)～(iv)同时成立.本文中系数矩阵A是一个 Toeplitz矩阵,现选择R.Chan优化循环预条件器[10]加快迭代过程中的收敛速度.预条件器C:其中,是矩阵A中的元素,j=0,…,n-1.在所有的 n阶循环矩阵中,C极小化 Frobenius范数‖C-T‖F,在这个意义下,C被视为A的一个近似矩阵.在预条件共轭梯度法下,每一次迭代都要计算矩阵向量积Ax 和C-1y(x和y是n维向量),可以利用快速富里叶变换(FFT)快速计算.C可以被n阶离散富里叶矩阵对角化,即其中其中,τ=T-t,η=eσ2J-1,σ2m=σ2+mσ2J/τ,rm=r-λη+m log(1+η)/τ,VBS表示欧式看涨期权的价格.用M atlab编程进行数值试验.在所有的实验中,式(22)的迭代停止时刻由前后两个迭代矩阵之间的差的l-范数决定,即当‖Vl+1-Vl‖ <ε时停止,这里取ε=10-8.在M erton模型中用FD和BDF2对空间与时间进行差分,并用三对角分裂法处理Toep litz矩阵,到期时刻 T=1,截断点 x＊=4,r=0,波动率σ=0.2,跳跃方差σJ=0.5,跳跃强度λ=0.1,协定价格 K=1,xK=log(K).结果为:在M erton模型[12]下做数值实验,当μJ=0时,欧式看涨期权有解:由表1和表2,随着差分节点数的增加,计算的误差越来越小,从空间差分节点数129开始,差分节点数每增加一倍,雅克比正则分裂迭代算法的计算误差就下降一个数量级,对于预条件共轭梯度法,当差分节点数从65增加到129时,计算误差下降了两个数量级,而在节点数从129增加到1 025的过程中,误差都是在同一数量级内减少,这说明预条件共轭梯度法的收敛速度很快.从计算的精确度来说,雅克比正则分裂法和预条件共轭梯度法相差不大,但是从计算的速度来看,后者要比前者快.本文讨论了当市场有跳跃时欧式期权定价的数值计算方法,期权的价格是一个PIDE 方程的解,本文用差分法对这个方程进行离散,得到一个 Toep litz矩阵系统,本文用两种方法来处理这个系统,由表1和表2可以看出,二者在计算精度上差别不大,预条件共轭梯度法比雅可比正则分裂法的迭代结果误差更小些,而且迭代过程中的迭代次数更少,分析这些差别的原因,是由于预条件共轭梯度法对系数矩阵进行了处理,使系数矩阵的条件数减小,因而加快了迭代的收敛速度.Keywords jump-diffusion model;finite differences;FFT algo rithm;European call op tion【相关文献】[1] BLACK F,SCHOLESM.The p rice of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3),637-654.[2] AN ITA Mayo.Methods for the rapid solution of the p ricing PIDE in exponential andmerton models[J].Journal of Computational and Applied Mathematics:2008,22(34):128-143.[3] CONT R,VOLTCHKOVA E.A finite difference scheme foroption pricing in jump-diffusion and exponential levymodel[J].SIAM J 2005,43(67):1596-1626.[4] 杨向群,吴峦东.带跳的幂型支付欧式期权定价[J].广西师范大学学报:自然科学版,2007,25(34),56-58.[5] STANG G.A p roposal fo r toep litz calculations[J].Stud Appl M ath,1986,74(39):171-176.[6] CHAN T.An optimal circulant p reconditioner for Toeplitzsystems[J].SIAM,J,Sci,Stat,Comput,1988,9(13):766-771.[7] BRIAN T M,NA TAL IN IR,RUSSO G.Implicit-explicit numerical schemes for jump-diffusion p rocess[J].Technical Report,2004,38(37):35-45.[8] YOUNG D M.Iterative solution of large system s[J].New Yo rk:Academic,1971,5(23):25-35.[9] ARIEL Almendral,CORNEL ISW.Oosterlee.Numercial valuation of optionswith jumps in the underlying[J].Applied Numercial Mathematics,2005,53(29):1-18.[10]CHAN R,NAGY J,PLEMMONSR.Circulant p reconditioned:toeplitz least squares iterations[J].SIAM JMatrix Appl,1994,15(8):80-97.[11]BRIAN IM,Numericalmethods for option p ricing in jump-diffusionmarkets[D].Universita Degli Studi Di Roma“La Sapienza”Dottor to Di Ricerca in Miatematica Per Le Applicazioni Economiche e Finanziarie,2003.[12]ANDERSEN L,ANDREASEN J.Jump-diffusion p rocess:volatility smile fitting and numericalmethods for option p ricing[J].Rew.Derivatives Res,2000,4(17):231-262. Abstract The paper assume that the p rice p rocessof the assets is a jump-diffusion p rocess,then,the value of European op taon satisfies a general partial integro-differential equation(PIDE)under this assump tion.The equation was discretized by difference formula.The result was obtained by two iterative methods:Jacobi regular splitting method and p reconditioned conjugate gradient method.。

显性差分法

一、欧式看涨期权的显性差分clearS0 = 50;K = 50;r = 0.1;T = 12;sigma = 0.2;Smax = 100;dS=1;dt=0.001;%建立网格，并且在必要时调整增量M=round(Smax/dS);dS=Smax/M;N=round(T/dt);dt=T/N;matval=zeros(M+1,N+1);vetS=linspace(0,Smax,M+1);veti=0:M;vetj=0:N;%建立边界条件matval(:,N+1)=max(vetS-K,0); % 在时间到期时的期权价格matval(1,:)=0; %在S=0时的期权价格matval(M+1,:)=dS*M-K*exp(-r*dt*(N-vetj)); %在S=Smax时的期权价格%建立三对角矩阵a=0.5*dt*(sigma^2*veti-r).*veti;b=1-dt*(sigma^2*veti.^2+r);c=0.5*dt*(sigma^2*veti+r).*veti;%求解方程for j=N:-1:1for i=2:Mmatval(i,j)=a(i)*matval(i-1,j+1)+b(i)*matval(i,j+1)+c(i)*matval(i+1,j+1);endend %返回价格，有可能在网格外线性插值生成price=interp1(vetS,matval(:,1),S0)二、欧式看跌期权的显性差分clearS0 = 50;K = 50;r = 0.01;T = 12;sigma = 0.2;Smax = 100;dS=2;dt=0.01;%建立网格，并且在必要时调整增量M=round(Smax/dS);dS=Smax/M;N=round(T/dt);dt=T/N;matval=zeros(M+1,N+1);vetS=linspace(0,Smax,M+1);veti=0:M;vetj=0:N;%建立边界条件matval(:,N+1)=max(K-vetS,0);matval(1,:)=K*exp(-r*dt*(N-vetj));matval(M+1,:)=0;%建立三对角矩阵a=0.5*dt*(sigma^2*veti-r).*veti;b=1-dt*(sigma^2*veti.^2+r);c=0.5*dt*(sigma^2*veti+r).*veti;%求解方程for j=N:-1:1for i=2:Mmatval(i,j)=a(i)*matval(i-1,j+1)+b(i)*matval(i,j+1)+c(i)*matval(i+1,j+1);endend %返回价格，有可能在网格外线性插值生成price=interp1(vetS,matval(:,1),S0)。

美式期权定价的C-N差分格式分析

美式期权定价的C-N差分格式分析
李海蓉
【期刊名称】《廊坊师范学院学报：自然科学版》
【年(卷),期】2012(012)006
【摘要】金融衍生物就是一种风险管理的工具，而期权就是最重要的金融衍生工具之一，它在防范和规避风险以及投机中起着非常重要的作用。

期权理论的核心就是期权定价问题。

由于美式期权与欧式期权不同，它不可能得到解的显式表达式，所以研究它的数值解以及解本身的一些性质就显得尤为重要。

而对美式看跌期权的Crank—Nicolson格式推导表明，用Crank-Nicolson格式可以得到有效的数值解。

【总页数】3页(P11-12,14)
【作者】李海蓉
【作者单位】宁夏大学,宁夏银川750021
【正文语种】中文
【中图分类】N029
【相关文献】
1.美式期权定价的四阶指数型差分格式分析 [J], 李海蓉;
2.美式期权定价的C-N差分格式分析 [J], 李海蓉
3.美式期权定价的指数型差分格式分析 [J], 李海蓉
4.美式期权定价的四阶指数型差分格式分析 [J], 李海蓉
5.美式期权定价的隐式差分格式分析 [J], 李海蓉
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欧式期权定价理论及其数值计算方法论文

毕业论文欧式期权定价理论及其数值计算方法摘要随着全球金融市场的迅猛发展，期权也越来越受到很多人的关注，有必要对期权进行更加深入的研究。

前人已经对欧式期权定价进行了很深入的研究，在1973年Fischer Black 和Myron Scholes 建立了看涨期权定价公式并因此获得诺贝尔学奖。

本文对欧式期权的定价的讨论主要在其定价模型和数值计算方法两个方面，探讨其理论知识和进行实例分析，并得出简单的结论。

本文将从以下六个方面讨论。

第一：介绍问题的背景和意义，先前的研究成果以及本文框架；第二：讨论期权的基础知识，了解期权损益和定价界限；第三：研究二项式模型，由浅入深的分别给出股价运动一期、二期和多期的欧式期权定价公式；第四：研究Black-Scholes 模型，通过求解Black-Scholes 方程得到Black-Scholes 公式()12(,)()()r T t C S t SN d Xe N d --=-，并探讨Black-Scholes 模型和二项式模型的联系，即得到波动率σ，就可以求出与之相匹配的二项式模型中的u ，d 和q ；第五：用数值计算方法求解欧式期权定价，分析了二叉树图法和有限差分法，有限差分方法又包括内含有限差分方法、外推有限差分方法及Crank-Nicolson 差分方法。

两种数值方法都要求得到末期的期权值来推出初期的期权值，然后进行实例分析进行应用，并用计算机语言把数学内容表示出来，实现数学知识与计算机语言的结合。

第六：通过以上的内容得出一些结论。

本文的重心是基于对期权定价的模型和数值方法的探讨和分析，加以实例辅助突出其应用性，不足之处在于理论的突破性不大。

关键词欧式期权定价二项式模型 Black-Scholes 模型有限差分二叉树图目录1 前言 (1)1.1 选题的背景和意义 (1)1.2 前人的研究成果 (2)1.3 论文的研究框架 (3)2 期权基本理论 (3)2.1 期权的相关术语 (3)2.2 期权的损益与期权价格的界限 (4)2.2.1 期权的损益 (4)2.2.2 欧式期权价格的界限 (5)3 二项式模型 (6)3.1 二项期权定价模型介绍 (6)3.2 欧式期权定价模型 (7)3.2.1 一期模型的欧式看涨期权定价 (7)3.2.2 二期模型的欧式看涨期权定价 (9)3.2.3 多期二项式期权定价公式 (10)4 Black-Scholes模型 (12)4.1 股票价格的行为模式 (12)4.2 历史回顾 (13)4.3 Black-Scholes方程 (14)4.4 Black-Scholes公式(欧式看涨期权的定价) (15)4.5 二项式模型和Black-Scholes的模型的关系 (17)5 欧式期权定价的数值方法 (18)5.1 二项式模型的数值计算 (18)5.1.1 二叉树图方法 (18)5.1.2 实例分析 (19)5.2 Black-Scholes公式(欧式期权定价)的数值计算 (23)5.2.1 有限差分方法 (23)5.2.2 实例分析 (26)6 总结 (28)6.1 本文结论 (28)6.2 展望未来 (30)致 (31)参考文献 (32)Abstract (33)附录 (34)本科专业毕业论文成绩评定表 (39)1 前言1.1 选题的背景和意义期权交易的出现已达几个世纪之久。

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采用有限差分法对期权价格变化的偏微分方程进行求解，在此偏微分方程
１２。Ｏ２
由伊藤公式ｄ＝
＋ｄＳＩ＋１ｏＥｖ，ｄＳ）
，
＋
州
＝。
收稿日期：２０１３—０７—１６
１，』＋。２
一
，
，
（６）
Ｖ。｜
将以上公式代入偏微分方程（３）
＝
可得到：
１
＋
由（６）且。＝０，
●
，
＝ｅ－ｒｔ（ —
：
ｏ２ｖ
＋（ｒ一１２ＯＶ
—
ｒ＝０
（４）
则Ｖ（Ｓ，ｔ）可转化成Ｖ（Ｘ，丁），为期权价格变动的偏微分方程．将ｖ（ｘ，）的连续变量转化为网格上的离散知＋＝
。：： ————
———一 ¨ ＋ｌ， ’
一
后 — （＋２ｈｒ—ｈｏ＂）
—■ —一
ａＸｓ
。
＋０３＋１Ｊ
ａｓ
—
８Ｘａｓ
则公式（５）写成
１＝口１
ａＶａＶｄｄａｄＸＩ：）Ｖ１ＯＶ１ＯＳ — ２ — ＯＸ — ２— ｄＳ— — ｄＳ — — ＯＸ —ｄ —Ｓ — ２ — ＯＸ — ２— Ｓ — ２一 — ＯＸ —— Ｓ — ２
０
０
．
０
，
００
＋
：
●
ａ３０
ｄ２
●
●
●
ａ３
●
ｉ
● ● ●
●
●
点ｊ，ｖ（ｘ＋ｈ，ｒ＋ｋ）对应网格上的点＋ｌ．ｌ
Ｏ
２
ｄ１
．
苟
廿２
将程＋丢ａ０２Ｖ＋（ｒ一丢）ＯＡ一
看涨期权的期权价格是关于股票价格和将其带入公式（１）得（＋１２。ｏ２ａｉｖ＋ｔｘＳＯＶ
一
．ｓ）ｄ＋
时间的函数．Ｖ＝Ｖ（Ｓ，ｔ），在期权的到期日ｔ＝Ｔ
（Ｓ，Ｔ）：（Ｓ一Ｋ），
２２
哈尔滨师范大学自然科学学报
２０１３年第２９卷
中口Ｊ以看出，期权价格Ｖ是关于股票价格和时间
权价格．
ｔ的函数，为了方便求解，进行变量替换：
令Ｓ＝ｅ，取 ∈ ［一Ｒ，Ｒ］．当Ｒ＝１００时且口可满足股票价格波动范围．
下面用矩阵求解该公式：
令（５）的系数分别为。＝２＿１ｋ２
，
令＝Ｔ—ｔ，则期权价格关于股票价格和时间的函数Ｖ（Ｓ，）可转化成关于、７＿的函数
Ｖ（Ｘ，丁）．则
：．：
其中 △是原生资产即股票份额，利用 △份额原生
资产对冲，使得在（ｔ，ｔ＋ｄ）时间内该投资组合
是无风险的．
在ｔ＋时刻，投资组合的回报是
吉ｓ
＝０㈩
ｎ一兀
此方程（３）即为反应期权价格变化的Ｂｌａｃｋ—
Ｓｃｈｏｌｅｓ方程．
ｎ即＋ｄ！一／ｉＳ一（一／ｉＳ）＝ｒｎｄｔ
ｄ —ＡｄＳ＝ｒ（一△ Ｓ）ｄ（１）
２有限差分法的显式格式
２．１差分格式的建立
（ｓＯＶ
—
ＡｒＯＳ）ｄＷ，＝ｒ（ —ａＳ）ｄ
（２）
由于等式右端是无风险的，因此等式左端随机ｄｗ的系数必为０．即：△代入（２）中得
＋
利用资产组合复制策略，ｎ＝一 △ ５．
【关键词】金融计算；有限差分法；稳定性分析
又由股票价格变化服从几伺布朗运动
１Ｂｌａｃ看涨期权的基本假设：原生资产价格演化遵循几何布朗运动，
ｄＳ，了
：
ｄＳ＝Ｓ（／ｚｄｔ＋ｏ＇ｄ），（ａｓ）＝（ｄ＋）。＝ｓ
＋ｉｚＳＯＶ）ｄ＋可得ｄ＝（＋１２ｓ２
ｓＯＶ
．
ｄｔ＋ａｗ，；在期权有效期内，无风险利率
ｒ是常数；期权有效期内，股票不支付红利；没有交易成本和税收；不存在套利机会．
第２９卷第３期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＳＪ０ＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｖｏ１．２９，Ｎｏ．３２０１３
欧式看涨期权定价中差分格式的稳定性分析
李倩，郑洁
（河北金融学院）
【摘
要】根据欧式看涨期权的基本假设和资产复制策略推导了Ｂｌａｃｋ—
Ｓｃｈｏｌｅｓ方程，通过变量代换和离散化技术得到显式差分格式和隐式差分格式，并分
别对其迭代稳定性进行了分析．