6.第六章 期权定价公式
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期权定价理论知识
z
t
t
➢ 由特征1知道， 本身也具有正态分布。均值为零，
标准差为 ，方差为 ；
➢ 由特征2知道，遵循标准布朗运动的变量具有独立增
量的性质；
普通布朗运动
➢ 我们先引入两个概念：漂移率和方差率；
➢ 标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0.
股票与证券价格的变化
➢ 我们令漂移率的期望值为a,方差率的期望值为b2，就可得 到变量x 的普通布朗运动：
dx adt bdz
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 ➢ 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移率为0, 方差为1的普通布朗运动；
• 漂移率——单位时间内变量z均值的变化值； • 显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程; • adt 为确定项，漂移率a 意味着每单位时间内x 漂移a
期权定价理论
第六章 期权定价理论
第一节 BSM期权定价模型的思路 第二节 股票与证券价格的变化 第三节 BSM期权定价公式的推导 第四节 BSM模型的评价与应用
引言
1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black(费雪.布莱 克)和 Myron Scholes(梅隆.舒尔斯)发表了《期权与公司负债 定价》疑问，提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股 票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， Robert C. Merton(罗伯特.莫顿)独立地提出了一个更为一般 化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济 学奖。
df
f S
S f
t
1 2
2 f S 2
2S
2
dt
f S
Sdz
观察得到，影响期权价格的中的dz上，即股票价格及其衍生产品——期权
期权及其定价
看跌期权(卖权)是这样一份合约：看跌期权持有者 有权利在期权到期日以内或在到期日向期权出售者以执 行价格出售一定数量的标的资产。卖权持有者之所以要 购买这一权利，是因为他对标的资产的价格看跌。
8
第一节 期权市场介绍
二.期权交易及合约 6.期权的常用记号（股票期权）（出售一股标的资产）
执行价格: X ； 到期时刻：T ； t 时刻标的资产价格：S(t) t 时刻美式看涨期权（买权）价格记为 C(t) t 时刻美式看跌期权（卖权）价格记为 P(t) t 时刻 欧式看涨期权（买权）价格记为 c(t) t 时刻欧式看跌期权（卖权）价格记为 p(t)
（3）期权的价值=内在价值+时间价值
在到期日，所有期权的时间价值都为零，期权价值
变为内在价值。
13
第二节 期权定价
一.期权定价导言 2.期权价值的决定因素（股票期权） （1）股票价格 （2）执行价格 （3）股票价格波动率：由于期权持有者最多损失有限的
期权费，但可能在股票价格的大幅波动中获利丰厚。所 以期权价值会随着股票价格波动率的上升而增加。 （4）到期期限：对美式期权和欧式期权的影响不同。由 于到期期限长的美式期权包含了到期期限短的美式期权 的获利机会，而且还有到期期限短的美式期权所没有的 获利机会，所以期期限长的美式期权价值总是不低于到 期期限短的美式期权的价值。而欧式期权由于只能到期 执行，到期期限的增加不一定能增加其价值。
（8）期权费（期权价格）：是买方为获取权利而向卖方
支付的费用，它是期权合约中的唯一变量，也就是期权
的市场价格，其大小取决于期权合约的性质、到期期限
及执行价格等各种因素，其确定颇费周折。注意，不管
期权有没有被执行，卖方始终持有期权费。
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第一节 期权市场介绍
二.期权交易及合约 6.期权的常用记号（股票期权）（出售一股标的资产）
执行价格: X ； 到期时刻：T ； t 时刻标的资产价格：S(t) t 时刻美式看涨期权（买权）价格记为 C(t) t 时刻美式看跌期权（卖权）价格记为 P(t) t 时刻 欧式看涨期权（买权）价格记为 c(t) t 时刻欧式看跌期权（卖权）价格记为 p(t)
（3）期权的价值=内在价值+时间价值
在到期日，所有期权的时间价值都为零，期权价值
变为内在价值。
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第二节 期权定价
一.期权定价导言 2.期权价值的决定因素（股票期权） （1）股票价格 （2）执行价格 （3）股票价格波动率：由于期权持有者最多损失有限的
期权费，但可能在股票价格的大幅波动中获利丰厚。所 以期权价值会随着股票价格波动率的上升而增加。 （4）到期期限：对美式期权和欧式期权的影响不同。由 于到期期限长的美式期权包含了到期期限短的美式期权 的获利机会，而且还有到期期限短的美式期权所没有的 获利机会，所以期期限长的美式期权价值总是不低于到 期期限短的美式期权的价值。而欧式期权由于只能到期 执行，到期期限的增加不一定能增加其价值。
（8）期权费（期权价格）：是买方为获取权利而向卖方
支付的费用，它是期权合约中的唯一变量，也就是期权
的市场价格，其大小取决于期权合约的性质、到期期限
及执行价格等各种因素，其确定颇费周折。注意，不管
期权有没有被执行，卖方始终持有期权费。
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金融工程学 第六章
394
2.5×(355-350)
355 320
2.5×(320-350)
288 黄金价格可能走势: 上、上、下、上、上、下、下、下、下
2013-7-4
-100
22
价值估计
2.5(437 350)- 200 2.5(395 350) 5 6 1.034 1.034 2.5(355 350) 2.5(320 350) 7 8 1.034 1.034 2.5(288 350)- 100 9 1.034 所有路径下金矿的平均值称为当开业价410和 停业价290时金矿的最优估计值。
0
1月
2月
1.004
55.13
5.13 2.5
52.5
股票 50 47.5 49.88
c
0
0 0
13
45.13
2013-7-4
续
5.13 2.5
c
0 0 0
c
cu cd
cuu cud cdd
r d p 0.54 ud 1 cu pcuu 1 p cud 2.76 r cd 0
2013-7-4 10
风险中性概率
p
uS
S
1 c pcu 1 p cd r 其中 rd p ud — 风险中性概率
1-p
dS
按风险中性概率，股票到期期望收益为
puS 1 p dS rd r d uS 1 dS ud ud rS
2013-7-4
20
停业决策和开业决策
437 394 355 320 288 259 233
黄金价格二叉树 u=1.11, d=0.90
2013-7-4 21
期权价格计算公式
期权价格计算公式股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 dz t s b dt t s a ds ),(),(+=式中：dz 的差分∆Z 满足如下条件的正态分布t z ∆=∈∆在一般情况下，ds 可用下式表示：sdz sdt ds σμ+=----------- （1）或表示为：dz dt sds σμ+= 式中：s μ股票价格的期望漂移率，μ 为一个恒定参数；2)(s σ为股票价格波动的方差， σ 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。
如果存在一个变量 G ，它是股票S 的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S 和G 都受到同一个基本的不确定性因素的影响。
根据ITO 定理，函数G 的行为遵循如下微分方程描述的过程：Sdz S G dt S S G t G S S G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 -------------（2）函数G 的漂移率为222221S SG t G S S G σμ∂∂+∂∂+∂∂ 方差为222)(S SG σ∂∂如果G 代表股票S 的一种期权，我们想用S 和G 构造一组风险中性的证卷组合。
为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：z S t S S ∆+∆=∆σμ ---------------（3）z S SG t S G t G S S G G ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σμ)21(22 ----------（4） 由于公式（3）、（4）中的z ∆t ∆=∈(）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z ∆。
恰当的证卷组合是：-1； 卖空一个期权S G∂∂+；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。
定义这个证卷组合的价值为∏，表达式为 S S G G ∏∂∂+-= ---------（5）t ∆时间后，这个证卷组合的价值变化为：S S G G ∆∂∂+∆-=∆∏ -----------（6）将（3）、（4）带入（6），消去z ∆，得：t S S G t G ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ ---------（7）由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是∏∏∆=∆t r ---------（8）将（5）、（7）带入（8），得：t S SG G r t S S G t G ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 将上式进一步化简，得：rG S G S S G rS t G =∂∂+∂∂+∂∂222221σ --------（9）这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes 微分方程。
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权定价公式及其应用
企业风险管理
总结词
企业风险管理是期权定价公式的另一个重要应用领域，帮助企业识别、评估和管 理风险。
详细描述
期权定价公式在识别和管理企业风险方面发挥着重要作用。例如，通过使用期权 定价公式，企业可以评估和管理供应链风险、汇率风险和其他潜在风险。此外， 期权定价公式还可以帮助企业评估和管理投资项目的风险。
在房地产金融领域，二叉树模型被广 泛应用于可赎回房地产投资信托基金 （REITs）的定价。例如，某REIT发 行了一份额额为100万元的优先股， 并授予投资者在三年后以120万元赎 回的权利。投资者可以利用二叉树模 型计算该优先股在赎回日的市场价值 ，从而判断投资该REIT的潜在收益和 风险。
期权定价公式在投资决策中的应用案例
为了计算利率衍生品的价格，需要使用利率模型。常用的利率模型包括Vasicek模型、 Cox-Ingersoll-Ross模型等。这些模型可以模拟即期利率的动态变化，从而为利率衍生品 定价。
06
期权定价公式在实际操作 中的应用案例分析
基于Black-Scholes模型的期权定价案例
总结词
详细描述
应用案例
总结词
详细描述
应用案例
期权定价公式可以用于评估投资项目 的风险和潜在收益，指导投资者做出 更加明智的投资决策。
利用期权定价公式，投资者可以计算 出不同投资项目在不同时间点的预期 收益和风险。例如，对于一个具有重 大战略意义的项目，投资者可以选择 购买或出售相关资产的期权来对冲风 险。此外，投资者还可以利用期权定 价公式评估其他投资项目的潜在收益 和风险，如股票、债券、房地产等。
提高金融市场效率
期权定价公式的应用有助于提高 金融市场的信息传递和流通效率 ，使市场价格更及时、准确地反
6_期权定价的连续模型及BS公式
如果高于执行价格则该期权支付1元由于期权到期时价格超过执行价格的概率为1份现金或无价值看涨期权的现值为ertt第五节第五节blackblackscholesscholes公式的推导公式的推导202111962第六节第六节看涨期权与看跌期权平价看涨期权与看跌期权平价欧式看涨期权的价格与欧式看跌期权的价格有关若卖空一份带抛补的看涨期权的价格卖出一份看涨期权执行价为x同时又买了一份价格为p的看跌期权执行价为x202111963则到期收益为x第六节第六节看涨期权与看跌期权平价看涨期权与看跌期权平价于是202111964pcsexspc如果则通过买卖存在套利机会第六节第六节看涨期权与看跌期权平价看涨期权与看跌期权平价对于具有与欧式看涨期权定价相同参数的欧式看跌期权定价平价公式将欧式看涨期权定价的blackscholes公式代入得
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
2020/11/28
36
从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
38
应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
理论公式定价。
2020/11/28
39
习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
Black-Scholes方程的结果认为，由于在方程中消掉 了漂移项 ，而漂移项代表人们对证券价格未来变化的预期， 也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价格与 人们对证券价格未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并 不影响期权价格。
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从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决定公式中出 现的变量为标的证券当前市价（S）、时间（t）、证券价格的 波动率（σ）和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于主 观变量——风险收益偏好。而受制于主观的风险收益偏好的标 的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。
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应该注意的是： 实际期权交易中，很多看涨期权是通过竞价市场而非
理论公式定价。
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习题： 若某日某股票的相关数据如下，求V
S0 80 X 100
0.8
r 0.05
期权定价公式及其应用
20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问 题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一 个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)。该 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征。
一、 标的资产价格变化对期权价值的一阶影响 通常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动 的敏感性。
D e lta c C t S tN (d 1 )
从而 Deltac 可以近似地表示为：
C 0 e x p { r ( t 1 t 0 ) } C 1 S 0 e x p r ( t 1 t 0 ) S 1
(五) Black-Scholes 公式
定理 1 a)股票价格设所满足的方程（1）中的系数均为常数,
则期权价格由下式给出：
T
(t,St)EQ[et rsdsh(ST) t]
e h(Se ) r(Tt)
Tty(12r)(Tt)
2 t
1 2
y2
e 2dy
证明：a) (1)
由于
S
t
所满足的方程(1)中的系数为常数，
VegpaVegca
当期权处于平价状态时，其Vega值较大； 当期权处于较深的盈价或亏价状态时， 相应的Vega值较小。 因此，期权Vega随变化的曲线是一个倒U形。
五、到期时间长短对期权价值的影响
由于到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成 期权的价格下降。
时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为
第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况。
(2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961) 在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行 了长期的研究。
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如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利 用Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循 的随机过程： 2
dG (
这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从 正态分布，均值为 ( 2 ) ，方差 2 为 (T t) 。标准差仍然可以表示为 ， 和时间长度平方根成正比。 T－t
§1 期权的基本概念
按期权买者执行期权的时限划分，期 权可分为欧式期权和美式期权。 欧式期权：只能在期权到期日执行； 美式期权：可以在有到期日和到期日 之前的任何时间执行； 修正的美式期权（百慕大期权或大西 洋期权）：可以在期权到期日之前的 一系列规定日期执行。
§1 期权的基本概念
按照期权合约的标的资产划分，金 融期权合约可分为利率期权、货币 期权（或称外汇期权）、股价指数 期权、股票期权以及金融期货期权。
§1 期权的基本概念
（三）期权的基本要素： 1、这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖 （对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是 关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物 (underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括 100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司 股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100 份IBM公司股票的权利。
模型基本假设
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市 场 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均 为无风险利率 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的 标的股票 对卖空没有任何限制 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运 动
为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在 特定时刻，变量取值的概率分布情况。
§1 期权的基本概念
（四）期权的特征
1、权利和义务的不对称性
期权的买者有权利无义务，到期日可选择执行 或不执行期权，卖方有配合买方执行期权的义 务。 作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要 支付给期权卖者一定的费用，称为期权费 （Premium）或期权价格（Option Price）。 期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易 变程度不同而不同。
2
2
)dt dz
G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
2
两个重要结论（1）
标的资产价格
看跌期权的损益
对于欧式看跌期权而言，上述结果正好 反过来。假设一种看跌期权，它以某种 股票为标的物，该股票在时间t 的价格 以 St 表示，期权的执行价格为 K ，到期 日为 T，期权在时间 t 的价格为 p
看跌期权的损益
看跌期权的买方：
y max 0, K ST p K ST p
S 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有 S
正态分布的性质：
多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的 标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。股票价格的年波动率 并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准 差。
几何布朗运动的深入分析（3）
影响期权价格的因素
执行价格：在标的资产到期日价格相同的 条件下，执行价格越高，买入期权的价格 越低；卖出期权的价格越高。 标的资产价格：标的资产的市场价格越高， 买入期权的价格越高；卖出期权的价格越 低。 现金股利的影响：当期权不受现金股利保 护时，公司发放现金股利将降低股票买入 期权的价值，提高股票卖出期权的价值。
§1 期权的基本概念
2、执行价格
这个价格是执行期权合约时，可以 以此价格购买标的物的价格。对于 以IBM公司股票为标的物的看涨期权， 如果执行价格为150美元，则在执行 这种期权时，按每份股票150美元购 买。
§1 期权的基本概念
3、期权有效的时间区间由到期日来确定。 时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以 IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果到期日 为六个月，则在这六个月里，权利都是有效的。 4、期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种 权利。 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执 行，我们称这种期权为美式期权。如果只能在到 期日执行，称为欧式期权。
期权定价方法
克服困难不确定性, 以便采用无套 利原理对期权进行定价: 二项式定价方法， 布莱克—舒尔斯定价方法, 蒙特卡罗模拟法。
影响期权价格的因素
距到期日的时间：距到期日的时间越长， 美式期权的价格越高，因为期权价格发生 有利于买方的机会越多。 标的资产价格的稳定性：标的资产的价格 波动越大，越不稳定，期权的价格越高。 市场利率：市场利率越高，买入期权未来 支付执行价的现值越低，其价值越高；卖 出期权未来执行时得到的收入的现值越低， 其价值也越低；
几何布朗运动的深入分析（1）
在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值
S t S t
S S
为：
S 可见，在短时间内， S 具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S 其均值为 t ，标准差为 t ，方差为 2 t 。
几何布朗运动的深入分析（2）
§3 B-S公式的初步认识
本章的主要目的：如何确定以金融证券为标的物的 欧式期权的价格。 研究思路：价格是收益的现值 不考虑期权的价格，欧式看涨期权的收益：
SN K
其中
布
定价的公式。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
期权是一种金融衍生工具。
§1 期权的基本概念
（二）期权合约的种类 按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权 （Call Option）和看跌期权（Put Option）。 看涨（认购）期权：到期日时买方有购买的 权利，卖方有出售的义务。交易者之所以买入看 涨期权，是因为他预期标的资产的价格会在合约 期限内上涨，如果判断正确，按协定价买入标的 资产并以市价卖出，就可以赚取其差额。 看跌（认沽）期权：到期日时买方有出售的 权利，卖方有购买的义务。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§5 期权定价的连续模型
Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设8个
无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。 标的股票不支付红利 期权为欧式期权
期权卖方（期权的写者）：
y
( K c) S , S K c, S K
0, ST K c ST K y c max
期权的基本收益形式
看涨期权的买方 收益
S---标的资产价格；
K
K---执行价格；
-C
C---看涨期权价格。
看涨期权的卖方
收益
C
K
§1 期权的基本概念
2、损失有限特性
例1、A公司股票当前股价是40元，对 于三月到期的看涨期权，如果目前市 场价格是4元，则购买股票和股票期权 的损益如下表：
到期时 买进股票投资为40元 买进看涨期权投资为4元 的股价/元 利润 利润 利润率/% 利润率/%
30 35 40 45 50 55 60
看跌期权的卖方：
y p max 0, K ST p K ST
看跌期权的买方Hale Waihona Puke K-P收益K
标的资产价格
S---标的资产价格； K---执行价格；
-P
不考虑期权价格
R=K-S,S<K R=0, S>K
P---看跌期权价格。
看跌期权的卖方
收益
P
K
标的资产价格
-(K-P)
-10 -5 0 5
10 15 20
-25
-4 -4 -4 1
6 11 16
-12.5 0
12.5 25 37.5 50
-100 -100
-100
25 150 275 400
§1 期权的基本概念
3、杠杆性 购入买入期权：设某股票S＝38，K＝40。C＝4。 t＝3个月。则购入一份期权合约的支出是400。如果期 权有效期内股票价格始终小于40，买入者亏损400；如 果股票价格大于40，买入者开始收回投资，如果股票 价格大于44，买入者开始盈利。 如果股票价格升至48元，买入者盈利400元。而 如果投资者直接买入股票，400元只能购入10.5股股票， 每股获利10元，总计获利105元。另一方面，如果股票 价格仅升至41元，规模股票可盈利31.5元，而购买买 入期权则会发生亏损。 二者的差距反映了期权的杠杆效应。
第六章 期权定价公式
§1 期权的基本概念
§2 期权的损益
§3 B-S公式的初步认识 §4 金融中的一些重要参数 §5 期权定价的连续模型 §6 期权定价的离散模型 §7 B-S公式的统计分析
§1 期权的基本概念
（一）期权合约的定义 期权是指合约买方（期权的买者）向卖 方（期权的写者）支付一定的费用（称为 “期权费”或“期权价格”），买方在规 定期限内（或约定日期）按事先约定的价 格或执行价格向合约卖方购买或出售一定 数量某种产品（或标的资产）的权利的契 约。
证券价格的变化过程
目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量 准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现 数学处理上的简单性。 基本假设：证券价格所遵循的随机过程：
dG (
这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从 正态分布，均值为 ( 2 ) ，方差 2 为 (T t) 。标准差仍然可以表示为 ， 和时间长度平方根成正比。 T－t
§1 期权的基本概念
按期权买者执行期权的时限划分，期 权可分为欧式期权和美式期权。 欧式期权：只能在期权到期日执行； 美式期权：可以在有到期日和到期日 之前的任何时间执行； 修正的美式期权（百慕大期权或大西 洋期权）：可以在期权到期日之前的 一系列规定日期执行。
§1 期权的基本概念
按照期权合约的标的资产划分，金 融期权合约可分为利率期权、货币 期权（或称外汇期权）、股价指数 期权、股票期权以及金融期货期权。
§1 期权的基本概念
（三）期权的基本要素： 1、这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖 （对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是 关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物 (underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括 100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司 股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100 份IBM公司股票的权利。
模型基本假设
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市 场 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均 为无风险利率 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的 标的股票 对卖空没有任何限制 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运 动
为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在 特定时刻，变量取值的概率分布情况。
§1 期权的基本概念
（四）期权的特征
1、权利和义务的不对称性
期权的买者有权利无义务，到期日可选择执行 或不执行期权，卖方有配合买方执行期权的义 务。 作为给期权卖者承担义务的报酬，期权买者要 支付给期权卖者一定的费用，称为期权费 （Premium）或期权价格（Option Price）。 期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易 变程度不同而不同。
2
2
)dt dz
G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
2
两个重要结论（1）
标的资产价格
看跌期权的损益
对于欧式看跌期权而言，上述结果正好 反过来。假设一种看跌期权，它以某种 股票为标的物，该股票在时间t 的价格 以 St 表示，期权的执行价格为 K ，到期 日为 T，期权在时间 t 的价格为 p
看跌期权的损益
看跌期权的买方：
y max 0, K ST p K ST p
S 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有 S
正态分布的性质：
多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的 标准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率 的标准差却不再是 T 。股票价格的年波动率 并不是一年内股票价格百分比收益率变化的标准 差。
几何布朗运动的深入分析（3）
影响期权价格的因素
执行价格：在标的资产到期日价格相同的 条件下，执行价格越高，买入期权的价格 越低；卖出期权的价格越高。 标的资产价格：标的资产的市场价格越高， 买入期权的价格越高；卖出期权的价格越 低。 现金股利的影响：当期权不受现金股利保 护时，公司发放现金股利将降低股票买入 期权的价值，提高股票卖出期权的价值。
§1 期权的基本概念
2、执行价格
这个价格是执行期权合约时，可以 以此价格购买标的物的价格。对于 以IBM公司股票为标的物的看涨期权， 如果执行价格为150美元，则在执行 这种期权时，按每份股票150美元购 买。
§1 期权的基本概念
3、期权有效的时间区间由到期日来确定。 时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以 IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果到期日 为六个月，则在这六个月里，权利都是有效的。 4、期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种 权利。 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执 行，我们称这种期权为美式期权。如果只能在到 期日执行，称为欧式期权。
期权定价方法
克服困难不确定性, 以便采用无套 利原理对期权进行定价: 二项式定价方法， 布莱克—舒尔斯定价方法, 蒙特卡罗模拟法。
影响期权价格的因素
距到期日的时间：距到期日的时间越长， 美式期权的价格越高，因为期权价格发生 有利于买方的机会越多。 标的资产价格的稳定性：标的资产的价格 波动越大，越不稳定，期权的价格越高。 市场利率：市场利率越高，买入期权未来 支付执行价的现值越低，其价值越高；卖 出期权未来执行时得到的收入的现值越低， 其价值也越低；
几何布朗运动的深入分析（1）
在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值
S t S t
S S
为：
S 可见，在短时间内， S 具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S 其均值为 t ，标准差为 t ，方差为 2 t 。
几何布朗运动的深入分析（2）
§3 B-S公式的初步认识
本章的主要目的：如何确定以金融证券为标的物的 欧式期权的价格。 研究思路：价格是收益的现值 不考虑期权的价格，欧式看涨期权的收益：
SN K
其中
布
定价的公式。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
期权是一种金融衍生工具。
§1 期权的基本概念
（二）期权合约的种类 按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权 （Call Option）和看跌期权（Put Option）。 看涨（认购）期权：到期日时买方有购买的 权利，卖方有出售的义务。交易者之所以买入看 涨期权，是因为他预期标的资产的价格会在合约 期限内上涨，如果判断正确，按协定价买入标的 资产并以市价卖出，就可以赚取其差额。 看跌（认沽）期权：到期日时买方有出售的 权利，卖方有购买的义务。
§4 金融中的一些重要参数
§4 金融中的一些重要参数
§5 期权定价的连续模型
Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖 模型基本假设8个
无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。 标的股票不支付红利 期权为欧式期权
期权卖方（期权的写者）：
y
( K c) S , S K c, S K
0, ST K c ST K y c max
期权的基本收益形式
看涨期权的买方 收益
S---标的资产价格；
K
K---执行价格；
-C
C---看涨期权价格。
看涨期权的卖方
收益
C
K
§1 期权的基本概念
2、损失有限特性
例1、A公司股票当前股价是40元，对 于三月到期的看涨期权，如果目前市 场价格是4元，则购买股票和股票期权 的损益如下表：
到期时 买进股票投资为40元 买进看涨期权投资为4元 的股价/元 利润 利润 利润率/% 利润率/%
30 35 40 45 50 55 60
看跌期权的卖方：
y p max 0, K ST p K ST
看跌期权的买方Hale Waihona Puke K-P收益K
标的资产价格
S---标的资产价格； K---执行价格；
-P
不考虑期权价格
R=K-S,S<K R=0, S>K
P---看跌期权价格。
看跌期权的卖方
收益
P
K
标的资产价格
-(K-P)
-10 -5 0 5
10 15 20
-25
-4 -4 -4 1
6 11 16
-12.5 0
12.5 25 37.5 50
-100 -100
-100
25 150 275 400
§1 期权的基本概念
3、杠杆性 购入买入期权：设某股票S＝38，K＝40。C＝4。 t＝3个月。则购入一份期权合约的支出是400。如果期 权有效期内股票价格始终小于40，买入者亏损400；如 果股票价格大于40，买入者开始收回投资，如果股票 价格大于44，买入者开始盈利。 如果股票价格升至48元，买入者盈利400元。而 如果投资者直接买入股票，400元只能购入10.5股股票， 每股获利10元，总计获利105元。另一方面，如果股票 价格仅升至41元，规模股票可盈利31.5元，而购买买 入期权则会发生亏损。 二者的差距反映了期权的杠杆效应。
第六章 期权定价公式
§1 期权的基本概念
§2 期权的损益
§3 B-S公式的初步认识 §4 金融中的一些重要参数 §5 期权定价的连续模型 §6 期权定价的离散模型 §7 B-S公式的统计分析
§1 期权的基本概念
（一）期权合约的定义 期权是指合约买方（期权的买者）向卖 方（期权的写者）支付一定的费用（称为 “期权费”或“期权价格”），买方在规 定期限内（或约定日期）按事先约定的价 格或执行价格向合约卖方购买或出售一定 数量某种产品（或标的资产）的权利的契 约。
证券价格的变化过程
目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量 准确地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现 数学处理上的简单性。 基本假设：证券价格所遵循的随机过程：