期权定价公式
bs模型定价公式
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
期权定价公式的一般推导方法
(11)
这时方程 (7) 变为 :
1 2
a2
52 V 5u2
=
5V 5τ
(12)
边界条件为 :
·55 ·
V0 = e - B (0 ,uT)φ (euT) 而方程 (12) 即为标准的热传导方程 , 解为 (见 ⑥, p . 69)
V (τ, u) = 如果
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
S)
= rf
(t , S)
(25)
其中 S = S ( t ) , 边界条件与 (23) 式相同 。方程 ( 25) 的推导过程可参见 ① (p . 288 -
289) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a =σ, b = r - q , c = r , 则立即得到支付红利股票期权定
,u T)φ
(euT)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
φ (x) = max {0 , x - k}
其中 k 为常数 , 则 (14) 式变为
V (τ, u) 其中
=
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
,u
)
T
max
{0 ,
euT -
k}
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
=
1 2πτa
∞
率 r 加上单位时间商品的单位货币储存费用减去便利收益 。如果标的资产是金融资产 , 则α
就是无风险利率减去该资产的收益率 。由 Ito 引理 (见 ①, p . 262 , (10A. 9) 式)
期权定价二叉树模型
9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据
u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
期权平价公式
期权平价公式：
C+ Ke^(-rT)=P+S
认购期权价格C与行权价K的现值之和等于认沽期权的价格P加上标的证券现价S
Ke^(-rT)：K乘以e的-rT次方，也就是K的现值。
e 的-rT次方是连续复利的折现系数。
也可用exp（-rT）表示贴现因子。
根据无套利原则推导：
构造两个投资组合。
1.看涨期权C，行权价K，距离到期时间T。
现金账户Ke^(-rT)，利率r，期权到期时恰好变成行权价K。
2.看跌期权P，行权价K，距离到期时间T。
标的物股票，现价S。
看到期时这两个投资组合的情况。
1.股价St大于K：投资组合1，行使看涨期权C，花掉现金账户K，买入标的物股票，股价为St。
投资组合2，放弃行使看跌期权，持有股票，股价为St。
2.股价St小于K：投资组合1，放弃行使看涨期权，持有现金K。
投资组合2，行使看跌期权，卖出标的物股票，得到现金K
3.股价等于K：两个期权都不行权，投资组合1现金K，
买
卖出买入
S K C P 买
出
买入
S K C
P 行权价K 低于现
行权价K 高于现投资组合2股票价格等于K 。
从上面的讨论我们可以看到，无论股价如何变化，到期时两个投资组合的价值一定相等，所以他们的现值也一定相等。
根据无套利原则，两个价值相等的投资组合价格一定相等。
所以我们可以得到C+Ke^(-rT)=P+S 。
换一种思路理解：C- P = S- Ke^(-rT)
认购期权价格C 与认沽期权的价格P 的差等于证券现价与行权价K 现值的差。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf Sf S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
6.第六章 期权定价公式
dG (
这个随机过程的特征： 普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方 差率。 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从 正态分布，均值为 ( 2 ) ，方差 2 为 (T t) 。标准差仍然可以表示为 ， 和时间长度平方根成正比。 T－t
§1 期权的基本概念
按期权买者执行期权的时限划分，期 权可分为欧式期权和美式期权。 欧式期权：只能在期权到期日执行； 美式期权：可以在有到期日和到期日 之前的任何时间执行； 修正的美式期权（百慕大期权或大西 洋期权）：可以在期权到期日之前的 一系列规定日期执行。
§1 期权的基本概念
按照期权合约的标的资产划分，金 融期权合约可分为利率期权、货币 期权（或称外汇期权）、股价指数 期权、股票期权以及金融期货期权。
§1 期权的基本概念
（三）期权的基本要素： 1、这种期权能够买（对于看涨期权而言）或者卖 （对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是 关于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物 (underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括 100份特定的股票。例如，持有一份以IBM公司 股票为标的物的看涨期权，是一份可以买100 份IBM公司股票的权利。
模型基本假设
无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市 场 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均 为无风险利率 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的 标的股票 对卖空没有任何限制 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运 动
为什么研究证券价格变化的过程
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源 就是标的资产价格的变化，期权价格受到标的资 产价格的影响。因此期权定价使用的是相对定价 法，即相对于证券价格的价格，因而要为期权定 价首先必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资 产价格与合约执行价格之间的预期差异变化，在 现实中，资产价格总是随机变化的。需要了解其 所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在 特定时刻，变量取值的概率分布情况。
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c SN (d1 ) Xer (T t ) N (d2 )
r (T t ) p c Xe S 看跌 期权 Xe r (T t ) N (d 2 ) SN (d1 )
看涨 期权 看跌 期权
不会提前执行
C c
可能提前执行，比较复杂
有收 益资 产
欧式 期权 美式 期权
金融工程
第十一章 期权定价公式
二叉树定价模型 布莱克-舒尔茨定价模型 基本期权策略
期权
二 B-S期权定价模型
假设条件 标的资产价格波动满足几何布朗运动 标的资产没有现金收益支付 没有交易费用和税收 标的资产可以被自由买卖，即允许卖空，证 券完全可分 无风险利率为常数 期权为欧式看涨期权，执行价格为X 不存在无风险套利机会
期权
二 B-S期权定价模型
标的资产价格满足几何布朗运动
dS dt dz S
欧式看涨期权价格 f 满足的微分方程
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t 2 S S
期权
二 B-S期权定价模型
c SN (d1 ) Xe
r (T t )
出售看涨期权转好市况 有时候通过出售股票的“实值”看涨期权而不是直 接出售股票可以增加收益
出售看跌期权转好市况 如果打算购买股票时，可以通过出售实值看跌期 权而增加收益
期权
二 B-S期权定价模型
期权定价公式的经济理解 风险中性世界中期权未来期望回报的现值 复制交易策略（期权=股票-现金） 另一种复制或拆分：用两个特殊期权复制期 权
c SN (d1 ) Xe
r (T t )
N (d 2 )
欧式 期权 无收 益资 产 期 权 美式 期权
看涨 期权
刨除收益的影响
S I
或
Se q (T t )
可能提前执行，比较复杂
期权
二 B-S期权定价模型
期权定价公式的拓展 无收益标的资产 欧式看涨看跌期权平价公式 美式期权：不会提前执行看涨期权 有收益标的资产 欧式： 刨除收益的影响 S I 或 Se q (T t )
期权
期权
二 B-S期权定价模型
证券组合保险：实现能够确定最 大损失的投资策略
期权定价公式的应用
评估组合保险成本
给可转债定价
为认沽权证估值
可转债=债权＋看涨期权 可赎回：债权＋看涨期权多头 （转换权）＋看涨期权空头（赎 回权）
认沽权证的执行导致发行更多的 股票，有稀释效应
期权
三 基本期权策略
利用期权套期保值 有担保的看跌期权 利用期权获利
p
o
p
o
o
p
期权
三 基本期权策略
看空股票怕涨 怎么办？
利用期权套期保值
用看涨期权套期保值空头头寸 空头标的资产＋多头看涨期权=多头看跌期权
p
p
o
o
p
o
期权
三 基本期权策略
有股票怕跌怎 么办？
利用期权套期保值
出售有抵补的看涨期权以防市场走低 多头标的资产＋空头看涨期权=空头看跌期权
p
o
p
o
定价公式——
N (d 2 )
期权价格 的影响因 素
风险中性 定价原理
其中，N(x)为标准正态分布函数，
d1 ln( S / X ) (r 2 / 2)(T t )
T t ln( S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
o
p
期权
三 基本期权策略
出售（有抵补的）看涨期权获利 多头标的资产＋空头看涨期权=空头看跌期权
持有股票而股 票不涨不跌怎 么获利？
利用期权获利
p
o
p
o
o
p
期权
三 基本期权策略
看空股票而股票 不跌不涨怎么获 利？
利用期权获利
出售看跌期权获利 空头看跌期权，也称为出售无担保的看式的计算 估计无风险利率 美国国库券贴现率（利息占票面价值的比例） 转换为利率，并用连续复利表示出来 选择距离期权到期日最近的那个国库券利率 估计波动率 历史波动率 隐含波动率
期权
二 B-S期权定价模型
期权定价公式的计算——两个概念 历史波动率——从标的资产价格的历史数据中计 算出价格收益率的标准差 隐含波动率——利用B-S期权定价公式，从市场 上期权报价反算出波动率数据
空头股票＋空头看跌期权=空头看涨期权
p
p
o
o
p
o
期权
三 基本期权策略
股票上涨时持有 股票，还想获取 额外收入，怎么 办？
利用期权获利
出售看跌期权获利 过度出售看跌期权——持有股票并同时出售这种股 票的看跌期权
股票多头＋看跌期权空头
o
p
o
p
o
p
期权
三 基本期权策略
转好市况——既可以保值又可以获利
用看涨期权套期保值空头头寸 出售看涨期权获利
出售有抵补的看涨期权以防市场走低 出售看跌期权获利
利用期权获利 转好市况
利用期权转好市况 出售看涨期权转好市况 出售看跌期权转好市况
期权
三 基本期权策略
有股票怕跌怎 么办？
利用期权套期保值
有担保的看跌期权 多头标的资产＋多头看跌期权=多头看涨期权