资产定价-B-S期权定价公式的扩展
期权定价理论的发展
期权定价理论的发展期权定价理论是现代金融学的重要组成部分，本文主要介绍了以早期的期权定价理论、Black-Scholes期权定价理论及Black-Scholes期权定价理论的扩展为体系的期权定价理论的发展过程。
标签：期权定价股票价格Black-Scholes模型近几十年来金融衍生证券在全球范围内获得迅猛发展，期权问题及投资消费问题越来越引起国内外数学家、金融学家的广泛重视，要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价，如何确定金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。
在所有的衍生证券定价中，期权定价的研究最为广泛。
一、早期的期权定价理论期权的价格是一种风险价格，长期以来，人们一直在探索着利用各种因素正确评估资产风险的有效方法。
1900年，法国数学家Louis Bachelier发表了论文“投机理论”，提出了最早的期权定价模型，它假设股票价格是绝对的Brown运动，单位时间方差为σ2，且没有漂移，则买方期权的价值为:二、Black-Scholes期权定价理论期权定价理论的最新革命开始于1973年，Black和Scholes发表了经典论文“期权定价及公司债务”，提出了著名的Black-Scholes期权定价公式;Merton發表了另一篇论文“期权的理性定价理论”在若干方面作了重要推广，使得期权定价理论取得了突破性的进展。
他们在股票价格服从对数正态分布的假设下，运用无套利原则推导出标的资产为不付红利股票的欧式期权定价公式:三、Black-Scholes期权定价理论的扩展Black-Scholes模型为投资者提供了适用于股票的任何衍生证券的且计算方便的定价公式，但它的推导和应用也受到各种假设条件的约束，这使它在理论和应用上存在缺陷。
以Merton为代表的经济学家在此基础上，对模型进行了研究和推广。
主要有以下的几个方面:1.支付已知红利股票的期权定价。
在期权定价的过程中，“红利”被定义为在除权日由红利支付引起的股票价格的减少额。
资产定价理论-BS公式
在上述假设条件下，若当前为t时刻，期权到期日为T时刻， 为股票在T时刻的价格，X为期权的执行价格，则欧式看涨期权到期 日的期望价值为：
到期日期望价值
因此，在风险中性的世界中，欧式看涨期权的现价c就是这个期 望价值以无风险利率贴现的结果：
（1 ）
路漫漫其悠远
根据假设条件1，可以推导出在风险中性世界中， 具 有对数正态分布性质，即 服从如下的分布：
路漫漫其悠远
在之前的讨论中，都是以买入期权为例。同样，模型也适用于卖 出期权。
卖出期权可表示为：
路漫漫其悠远
布莱克—斯科尔斯 (Black-Scholes) 期权定价模型
路漫漫其悠远
1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克与 迈伦·斯科尔斯发表了《期权定价和公司债务》一文 。在该文中，他们提出了有史以来第一个期权定价 模型，即Black-Scholes期权定价模型。该模型推导出 了基于无红利支付股票的任何衍生证券价格必须满 足的微分方程，并运用该方程得出了股票的欧式看 涨期权和看跌期权的价值。
用
来代替其中的 ，得到
路漫漫其悠远
应用: 基于跳过程的可转债定价
路漫漫其悠远
一、主要概括
为何研究
目前我国共有12只可转债在二级市场交易，其中签率虽然远低于 股票，但投资优势已被机构投资者充分认识，比如上市7只可转债 的收益在2010年的三季度平均涨幅为9.52%，与上证指数三季度涨 幅7.94%相比高出很多。可转债市场的健康发展，需要可转债市场
资产定价理论-BS公式
路漫漫其悠远
2020/4/6
金融衍生工具概念
• 金融衍生工具（金融衍生产品),建立在基 础产品、变量上，价格取决于基础金融产 品价格变动派生金融产品。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
BS期权定价模型
风险中性世界中可交易资产的随机过程
如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随机过程为：
则在风险中性世界中其遵循：
根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性世界中遵 循
理解风险中性定价
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元， 我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元， 要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议 价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。
三、风险中性定价原理
在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）：
– 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风 险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外 的收益来吸引他们承担风险。
– 同样，在风险中性条件下，所有现金流在求现值 都应该使用无风险利率进行贴现。
第四讲 BS期权定价模型
统计与管理学院
第四讲 BS期权定价模型
第一节 BS期权定价模型的基本思路 第二节 BS期权定价公式 第三节 BS期权定价公式的精确度评价与拓展
第一节 BS期权定价模型的基本思路
股票价格服从的随机过程
dS = mSdt + sSdW
由 Itô 引理可得期权价格相应服从的随机过 程
这就是著名的BS微分分程，它适用于其价格取 决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。
三、风险中性定价原理
观察BS微分方程可以发现，受制于主观的风险收 益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证 券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益 偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。
因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的 假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都是风 险中性的。
二、BS微分方程的推导
第07章 布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展
第七章布莱克-舒尔斯期权定价公式的扩展在第六章中，我们在一系列假定条件下推导得到了著名的布莱克－舒尔斯期权定价公式，在现实生活中，这些假设条件往往是无法成立的，本章的主要目的，就是从多个方面逐一放松这些假设，对布莱克－舒尔斯期权定价公式进行扩展。
但是我们也将看到，在有些时候，模型在精确度方面确实获得了相当的改进，但其所带来的收益却无法弥补为达到改进而付出的成本，或是这些改进本身也存在问题，这使得布莱克－舒尔斯期权定价公式仍然在现实中占据重要的地位。
第一节布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷在实际经济生活中，布莱克-舒尔斯期权定价模型（为简便起见，我们后文都称之为BS 模型）应用得非常广泛，对金融市场具有很大的影响。
其三个作者中的两个更是曾经因此获得诺贝尔奖。
因此，无论是从商业上还是从学术上来说，这个模型都非常成功。
但是理论模型和现实生活终究会有所差异，对于大多数理论模型来说，模型假设的非现实性往往成为模型主要缺陷之所在，BS公式也不例外。
本章的主要内容，就是从多方面逐一放松BS模型的假设，使之更符合实际情况，从而实现对BS定价公式的修正和扩展。
BS模型最基本的假设包括：1.没有交易成本或税收。
2.股票价格服从波动率 和无风险利率r为常数的对数正态分布。
3.所有证券都是高度可分的且可以自由买卖，可以连续进行证券交易。
4.不存在无风险套利机会。
在现实生活中，这些假设显然都是无法成立的。
本章的后面几节，将分别讨论这些假设放松之后的期权定价模型。
1. 交易成本的假设：BS模型假定交易成本为零，可以连续进行动态的套期保值，从而保证无风险组合的存在和期权定价的正确性。
但事实上交易成本总是客观存在的，这使得我们无法以我们所希望的频率进行套期保值；同时，理论上可行的价格，考虑了交易成本之后就无法实现预期的收益。
我们将在第二节中介绍一些对这一假设进行修正的模型。
2. 波动率为常数的假设：BS模型假定标的资产的波动率是一个已知的常数或者是一个确定的已知函数。
B-S期权定价模型
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
5
普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
金融工程学 第六讲 BS公式
30
5. 欧式二值期权定价公式
• 二值看涨期权价值
• 二值看跌期权价值
e
r (T t )
(d2 )
e
r (T t )
[1 (d2 )]
31
6. B-S期权定价公式扩展
• 不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定： 股票的市场价格、期权执行价格、期权距离到期 的时间、无风险利率以及标的股票的波动率 • 如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由 于股票期权没有分红的保护，因此不能直接利用 B-S期权定价公式确定欧式期权的价值。解决这个 问题的办法是： 用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分 配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而 得到欧式期权的价值
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测
基于B-S公式与时间序列模型对期权价格的预测引言期权是一种金融工具，具有在未来某个时间点购买或出售某项资产的权利。
期权的价格受多种因素影响，包括标的资产价格、行权价格、期权到期时间、无风险利率和波动率等。
对期权价格的准确预测对于投资者具有重要意义，因为它能帮助投资者进行风险管理，合理进行买卖决策。
本文将基于B-S公式和时间序列模型，探讨对期权价格进行预测的方法。
一、B-S公式对期权价格的影响B-S（Black-Scholes）期权定价模型是由费舍尔·布莱克（Fisher Black）、梅伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·默顿（Robert Merton）于1973年提出的，成为了衍生品市场定价的理论基础。
B-S模型使用了随机微分方程，可以通过计算得出期权合理价格。
B-S公式中的主要变量包括标的资产价格（S）、行权价格（K）、无风险利率（r）、期权到期时间（T）和标的资产波动率（σ）。
这些变量将直接影响期权价格的变动。
标的资产价格上升会使得看涨期权的价格上涨，而看跌期权价格下跌。
无风险利率的升降将直接影响期权价格的折现率，期权到期时间的延长会增加期权的时间价值，标的资产波动率的提高也会增加期权的价格波动性。
对于使用B-S公式进行期权价格预测来说，投资者首先要对期权价格的影响因素进行深入分析和预测。
只有准确把握了这些影响因素，才能对期权价格进行合理的预测。
二、基于时间序列模型的期权价格预测B-S公式的预测是基于已知的输入参数进行的，而时间序列模型则是基于历史数据对未来期权价格进行预测的方法。
时间序列模型通常会采用统计分析的方法，通过对历史期权价格数据进行建模，得出未来价格变动的规律。
时间序列模型中用得较多的包括ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）、GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）等。
ARIMA模型是一种建立在时间序列上的预测模型，可以用来预测未来一段时间内的值。
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股票期权的波动率微笑与分布
隐含波动率
执行价格
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
波动率期限结构
从长期来看，波动率大多表现出均值回归，即 到期日接近时，隐含波动率的变化较剧烈，随 着到期时间的延长，隐含波动率将逐渐向历史 波动率的平均值靠近。
期权多头和空头价值的不一致性
对于单个期权多头，H-W-W方程实际上是一个以 1
为波动率的BS公 式2 2k
2 2
t
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交易成本的其他模型
波动率微笑
对于货币期权而言，隐含波动率常常呈现近似 U形。平价期权的波动率最低，而实值和虚值 期权的波动率会随着实值或虚值程度的增大而 增大，两边比较对称。
股票期权的波动率微笑则呈现另一种不同的形 状，即向右下方偏斜。当执行价格上升的时候， 波动率下降，而一个较低的执行价格所隐含的 波动率则大大高于执行价格较高的期权。
n f S S,t t f S,t
S
S
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H-W-W模型推导（续）
由Ito引理：
n
S
2 f S 2
S,t
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
货币期权的波动率微笑与分布
隐含波动率 执行价格
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
“波动率微笑”（Volatility Smiles）：隐含波 动率会随着期权执行价格不同而不同；
波动率期限结构（Volatility Term Structure）： 隐含波动率会随期权到期时间不同而变化。
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第七章
布莱克-舒尔斯期权 定价公式的扩展
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主要内容
布莱克-舒尔斯期权定价模型的缺陷 交易成本 波动率微笑和波动率期限结构 随机波动率 不确定的参数 跳跃扩散过程
H-W-W模型推导
构造无风险组合
f f S S
t之后 ,整个组合价值的变化相应减少：
E
E
f
f S
S
kS
n
f t
1
2
2S2
2 f S 2
t
E
kS
n
（7-1）
要求交易成本项,关键要获得n值，显然：
交易成本的影响
规模效应和交易成本差异化 。 即使是同一个投资者，在调整过程中，
持有同一个合约的多头头寸和空头头寸， 价值也不同 。
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H-W-W交易成本模型
t
2 f S 2
rf
（7-4）
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
对H-W-W方程的理解
k S 2 2 2 f 项在实际中具有深刻的金融含义
t S 2
2 f
S 2 的存在使得H-W-W方程大部分时候是一个非 线性方程
1 2S2
2
2 f S 2
rf
2S 42 H0
k1
k2
k3S
1
H02 S
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
波动率微笑和波动率期限结构
人们通过研究发现，应用期权的市场价格和BS 公式推算出来的隐含波动率具有以下两个方向 的变动规律：
期权组合中的 值不是同一个符号的情形
交易成本不是前述的简单结构，而是资产价格和
调整数量的函数 k n, S 的情况
f rS f t S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
k1 t
k2 k3S S
2 2 f
t S 2
W-W模型
f rS f t S
基本假设：
投资者投资于欧式期权的组合而不仅仅是单个 期权；
整个投资组合的调整存在交易成本； 投资者的组合调整策略事先确定； 股票价格的随机过程以离散的形式给出； 保值组合的预期收益率等于无风险银行存款利
率
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
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B-S模型的缺陷
交易成本的假设 波动率为常数的假设 不确定的参数 资产价格的连续变动
Copyright@Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen Unive S
t （7-2）
根据无风险假设，有:
n
S
2 f S 2
S,t
2 f S 2
S,t S
t
（7-3）
将公式7-1、7-2代入7-3，得H-W-W模型：
f rS f t S
1
2
2S2
2 f S 2
k S 2
2