B-S期权定价公式
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
bs模型定价公式
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
B-S期权定价模型的推导过程
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件(一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
(二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式[1]C = S * N(d1) − Le− rT N(d2)其中:C—期权初始合理价格L—期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0.0583，即100以5.83%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则。
B-S定价模型的推导与运用[1](一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:E[G] = E[max(St− L,O)]其中，E[G]—看涨期权到期期望值St—到期所交易金融资产的市场价值L—期权交割(实施)价到期有两种可能情况:1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(S t− L,O) = S t− L2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:max(St− L,O) = 0从而:其中:P：(St > L)的概率E[S t | S t > L]：既定(S t > L)下S t的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:C = Pe− rT(E[S t | S t > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[S t | S t > L]。
期权定价的连续模型及BS公式
期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。
在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。
这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。
其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。
几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。
这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。
通过这个方程，可以计算出期权的价格。
另一个常用的连续模型是扩散模型。
扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。
在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。
这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。
BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。
它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。
BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。
B-S期权定价公式
Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动，即dz dt SdS σμ+=。
其中，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率，σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ和σ都是已知的。
简单地分析几何布朗运动，意味着股票价格在短时期内的变动（即收益）来源于两个方面：一是单位时间内已知的一个收益率变化μ，被称为漂移项，可以被看成一个总体的变化趋势；二是随机波动项，即dz σ，可以看作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2．没有交易费用和税收，不考虑保证金问题，即不存在影响收益的任何外部因素。
3. 资产价格的变动是连续而均匀的，不存在突然的跳跃。
4. 该标的资产可以被自由地买卖，即允许卖空，且所有证券都是完全可分的。
5. 在期权有效期内，无风险利率r 保持不变，投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6．在衍生品有效期间，股票不支付股利。
7．所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型（一）B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的Black-Schole 微分方程：rf Sf S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格，其他参数符号的意义同前。
通过这个微分方程，Black 和Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式看涨期权的定价公式：)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中，t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln(c 为无收益资产欧式看涨期权价格；N （x ）为标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于x 的概率），根据标准正态分布函数特性，我们有)(1)(x N x N -=-。
BS期权公式
BS期权公式
bs期权定价公式为：C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）其中：d1=[ln（S/X）+（r+σ^2/2）T]/（σ√T）
d2=d1-σ·√T
C—期权初始合理价格
X—期权执行价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）
N（d1），N（d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第1点，这个模型中五风险利率必须是连续复利形式，一个简单的或不连续的无风险利率一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为：r=LN （1+r0）或r0=exp（r）-1例如r0=0.06，则r=LN（1+0.06）=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用
r0=0.06计算的答案一致。
第2点，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274.。
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
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Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下:1、 风险资产(Black-Scholes 期权定价模型中为股票),当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动,即dz dt SdS σμ+=。
其中,dz 为均值为零,方差为dt 的无穷小的随机变化值(dt dz ε=,称为标准布朗运动,ε代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1的正态分布)中取的一个随机值),μ为股票价格在单位时间内的期望收益率,σ则就是股票价格的波动率,即证券收益率在单位时间内的标准差。
μ与σ都就是已知的。
简单地分析几何布朗运动,意味着股票价格在短时期内的变动(即收益)来源于两个方面:一就是单位时间内已知的一个收益率变化μ,被称为漂移项,可以被瞧成一个总体的变化趋势;二就是随机波动项,即dz σ,可以瞧作随机波动使得股票价格变动偏离总体趋势的部分。
2.没有交易费用与税收,不考虑保证金问题,即不存在影响收益的任何外部因素。
3、 资产价格的变动就是连续而均匀的,不存在突然的跳跃。
4、 该标的资产可以被自由地买卖,即允许卖空,且所有证券都就是完全可分的。
5、 在期权有效期内,无风险利率r 保持不变,投资者可以此利率无限制地进行借贷。
6.在衍生品有效期间,股票不支付股利。
7.所有无风险套利机会均被消除。
二、Black-Scholes 期权定价模型(一)B-S 期权定价公式在上述假设条件的基础上,Black 与Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式瞧涨期权的Black-Schole 微分方程:rf S f S S f rS t f =∂∂+∂∂+∂∂222221σ 其中f 为期权价格,其她参数符号的意义同前。
通过这个微分方程,Black 与Scholes 得到了如下适用于无收益资产欧式瞧涨期权的定价公式:)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---=其中,t T d tT t T r X S d t T t T r X S d --=---+=--++=σσσσσ12221))(2/()/ln())(2/()/ln( c 为无收益资产欧式瞧涨期权价格;N(x)为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x 的概率),根据标准正态分布函数特性,我们有)(1)(x N x N -=-。
(二)Black-Scholes 期权定价公式的理解1、 1()SN d 可瞧作证券或无价值瞧涨期权的多头;()2()r T t Ke N d --可瞧作K 份现金或无价值瞧涨期权的多头。
可以证明,1/()f S N d ∂∂=。
为构造一份欧式瞧涨期权,需持有1()N d 份证券多头,以及卖空数量为2 ()rT K e N d -的现金。
Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的欧式瞧涨期权的定价。
注意: 该公式只在一定的假设条件下成立,如市场完美(无税、无交易成本、资产无限可分、允许卖空)、无风险利率保持不变、股价遵循几何布朗运动等。
2、风险中性定价原理风险中性定价原理:我们可以注意到期权价格就是与标的资产的预期收益率无关的。
C(S, t)与 S 、r 、t 、T 、σ以及 K 有关,而与股票的期望收益率μ无关。
这说明欧式Call 的价格与投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时,可假设投资者就是风险中性的(对所承担的风险不要求额外回报,所有证券的期望收益率等于无风险利率)。
为了更好地理解风险中性定价原理,我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元,我们知道在3个月后,该股票价格要么就是11元,要么就是9元。
现在我们要找出一份3个月期协议价格为10、5元的该股票欧式瞧涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行,其价值取决于3个月后股票的市价。
若3个月后该股票价格等于11元,则该期权价值为0、5元;若3个月后该股票价格等于9元,则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值,我们可构建一个由一单位瞧涨期权空头与∆单位的标的股票多头组成的组合。
若3个月后该股票价格等于11元时,该组合价值等于(11∆－0、5)元;若3个月后该股票价格等于9元时,该组合价值等于9∆元。
为了使该组合价值处于无风险状态,我们应选择适当的∆值,使3个月后该组合的价值不变,这意味着:11∆－0、5=9∆,我们解得:∆=0、25因此,一个无风险组合应包括一份瞧涨期权空头与0、25股标的股票。
无论3个月后股票价格等于11元还就是9元,该组合价值都将等于2、25元。
在没有套利机会情况下,无风险组合只能获得无风险利率。
假设现在的无风险年利率等于10%,则该组合的现值应为:元19.225.225.01.0=⨯-e由于该组合中有一单位瞧涨期权空头与0、25单位股票多头,而目前股票市场为10元,因此:元31.019.225.010==-⨯f f 这就就是说,该瞧涨期权的价值应为0、31元,否则就会存在无风险套利机会。
三、Black-Scholes 期权定价公式的计算Black-Scholes 期权定价公式的计算:一个例子为了使读者进一步理解Black-Scholes 期权定价模型,我们下面用一个简单的例子,来说明这一模型的计算过程。
假设某种不支付红利股票的市价为50元,无风险利率为12%,该股票的年波动率为10%,求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式瞧涨期权与瞧跌期权价格。
在本题中,可以将相关参数表达如下:S ＝50,X ＝50,r=0、12,σ=0、1,T=1, 算出1d 与2d:121 1.250.1 1.15d d d ===-=计算()1N d 与()2N d :()()()()12 1.250.89441.150.8749N d N N d N ====将上述结果及已知条件代入公式,这样,欧式瞧涨期权价格为:0.121500.8944500.8749 5.92c e -⨯=⨯-⨯=美元由-(-)()21()() r T t r T t P C Ke S Ke N d SN d --=+-=---可以算出欧式瞧跌期权价格:()()0.1215010.87495010.89440.27p e -⨯=⨯--⨯-=美元四、影响欧式瞧涨期权价格的因素从B-S 公式我们可以简单得出以下的结论:(1)当期股价 S 越高,期权价格越高;(2)到期执行价格 K 越高,期权价格越低;(3)距离到期日时间 T-t 越长,期权价格越高;(4)股价波动率σ越大,期权价格越高;(5)无风险利率 r 越高,期权价格越高。
五、Black-Scholes 期权定价公式的应用Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权价格,在其它一些方面也有重要的应用。
主要有以下三方面:（一） 对公司负债及资本进行估值:一家公司A 发行两种证券:普通股100万股及1年后到期的总面值8000万元的零息债券。
已知公司总市值为1亿元,问:公司股票及债券如何定价？令V 为当前A 公司资产市场价值,E 为A 公司资本市场价值,D 为A 公司债券市场价值。
V = E + D考虑股东1年之后的收益:当A 公司价值VT 大于债券面值时,收益为VT -8000;当A 公司价值小于债券面值时,收益为0。
股东相当于持有一个执行价格为8000万元的欧式Call , 标的资产为公司价值当前资本价值为:12()() rT E VN d Be N d -=-给出其它具体数值,公司价值的波动率为0、3,无风险利率为8%,根据B-S 公司得到E=2824万元,公司负债价值D=V-E=7176万元。
(二)确定贷款担保价值或担保费用假设某银行为公司发行的债券提供了信用担保。
1年之后,若公司价值VT 大于债券面值时,银行无须支付;若公司价值VT 小于债券面值时,银行须支付 VT – B 。
这相当于银行出售了一个欧式put , 标的资产仍为公司价值,执行价格为债券面值B 。
利用上面的例子,可采用B-S 瞧跌期权定价公式或瞧涨瞧跌期权平价公式,得到欧式put 的价值为209万元,A 公司应支付209万元的担保费。
(三)带有可转化特征的融资工具的定价认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格向发行人购买公司新股的权利。
假设公司有N 股流通股,M 份流通欧式认股权证,一份认股权证使持有人在时刻T 以每股K 的价格购买x 股新股的权利。
设时期T 公司权益价值为ET ,若持有人选择执行认股权,公司权益价值变为 ET + MxK ,股票数量变为 N+Mx 。
执行认股权证后瞬间,股价变为(ET + MxK)/ (N+Mx)。
只有当这一股价大于执行价格 K 时,持有人才会执行认股权。
(1)当ET/N>K 时,持有人执行,其收益为: T E xN K N Mx N ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦(2)当ET/N>K 时,持有人不执行,其收益为0。
一份认股权证的价值为: xN C N Mx+ 其中C 就是基于公司股票价格的欧式Call ,执行价格为K 。
利用B-S 公式得一份认股权证的价值。
六、B-S 期权定价公式的不足B-S公式当然也有其不足之处,首先Black-Scholes期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异,主要的原因有以下几点:1)Black-Scholes期权定价公式就是建立在众多假定的基础上的,而我们现实的市场就是不满足它的很多假设条件的,因此,利用B-S公式计算出来的期权价格与真实的市场价格之间肯定会存在差异的;2)参数的错误:B-S公式中的参数实际上就是需要我们自己估算的,我们只能根据历史数据来估算参数,这之间就存在一个误差;3)期权市场价格偏离均衡,此时的期权价格的估算显然没有其实际意义。
其次,对于无收益资产的期权而言,B-S模型适合欧式瞧跌期权与瞧涨期权。
同时可以适用于美式瞧涨期权,因为在无收益情况下,美式瞧涨期权提前执行就是不可取的,它的期权执行日也就就是到期日,所以B-S公式也适用美式瞧涨期权;对于美式瞧跌,由于可以提前执行,故不适合;对于有收益资产的期权而言,只需改变收益现值(即变为标的证券减去收益折现),B-S公式也适用于欧式瞧跌期权与瞧涨期权;在标的存在收益时,美式瞧涨与瞧跌期权存在执行的可能性,因此B-S公式不适用。