林清泉主编的《金融工程》笔记和课后习题详解 第九章 期权定价公式及其应用【圣才出品】

第九章期权定价公式及其应用
9.1复习笔记
一、布莱克一斯科尔斯期权定价公式
1．引言
关于期权定价问题的研究，最早可以追溯到1900年。

法国的天才巴彻列尔，在其博士论文中首次给出了初步的欧式买权的定价公式。

20世纪60年代末，布莱克和斯科尔斯得到了描述期权价格变化所满足的偏微分方程，即所谓的B—S方程。

1976年，默顿把B—S期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合，并包含了标的股票连续支付股利的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为默顿模型。

2．布莱克一斯科尔斯期权定价公式
（1）基本假设
①股票价格满足的随机微分方程（9—1）中的μ、σ为常数。

②股票市场允许卖空。

③没有交易费用或税收。

④所有证券都是无限可分的。

⑤证券在有效期内没有红利支付。

⑥不存在无风险套利机会。

⑦交易是连续的。

⑧无风险利率r为常数。

（2）股票价格的轨道
在通常情况下，假设股票价格S：满足下列随机微分方程：
（9—1）
（9—2）其中S。

称为对数正态过程。

（3）期权套期保值
寻找期权定价公式（函数）的主要思路为：构造以某一种股票和以该股票为标的期权的一个证券组合，而且所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。

命题9—1设C t=r（t，S t）为期权现价格（t时刻的价格），F（t，z）关于t有一阶连续偏导数，关于x有二阶连续有界偏导数，且满足终值条件：
（9—3）则F（t，S）是下列偏微分方程的解：
（9—4）为了套期保值此期权，投资者必须卖空r2（t，S）股此股票。

反之，若r（t，S）是方程（9—4）的解，则r（t，S t）是满足终值条件h（S T）的自融资证券组合的现值。

（4）布莱克一斯科尔斯公式用（9-5）式解的概率表示：
（9—5）定理9—1
①设S t所满足的方程中的系数均为常数，则期权价格可由下式给出：
（9
—6）
②套期保值策略是持有r2（t，S t）股股票，对于看涨期权来说，投资者所持的股票数目为N（d1）。

二、期权价值的敏感性因素分析
影响期权价值变化的参数叫做“期权敏感性因素”。

期权敏感性因素通常都是用希腊字母来表示，所以人们又将其称为“Greeks指标”。

1．标的资产价格变化对期权价值的一阶影响
标的资产价格对期权价值的影响，实际上就是期权价格关于标的资产价格的变化率，从数学的角度来看，也就是期权价值对于S t的一阶偏导数。

由上述定义和第一节得出的期权价格表达式，可推导出买权的Delta为：Delta c=aC／aS t=N（1）。

2．标的资产价格对期权价值的二阶影响
Gamma是指期权Delta对于S t的一阶偏导数，也就是期权价值对于S。

的二阶偏导数。

买权Gamma的计算公式为：
（9—7）另外，Gamma c=Gammap
（1）Gamma值具有非负性。

（2）Gamma值与S t的关系。

当期权处于平价状态附近（也就是S t在X附近），其Gamma值相对较大；当期权处于较深的亏价或盈价状态时，其Gamma值接近于零。

（3）Gamma值与时间变量T一￡的关系。

如果期权处于平价状态，在其他因素不变
的情况下，其Gamma值会随着到期日的临近而变大。

3．无风险利率对期权价值的影响
买权价格对无风险利率变化的敏感度由Rh0值来衡量，其公式为：
（9—8）
由上面的计算公式，可以得到Rh0的下述特点：
（1）Rho c一般大于零，而Rh0。

一般小于零。

只有在到期日（T=t），Rh0。

和Rho c 才会等于零。

（2）相对于影响期权价值的其他因素而言，r的影响要小得多。

（3）对于距到期日时间较长的期权来说，r对其价值的影响不容忽视。

4．标的资产价格波动率对期权价值的影响
买权价格对很小的波动率变化的反映被称为Vega，即
（9—9）由买权和卖权的关系式可知，卖权Vega与买权Vega完全相同，即有Vegap=Vega c 当期权处于平价状态时，其Vega值较大；当期权处于较深的盈价或亏价状态时，相应的Vega值较小。

因此，期权Vega随S t变化的曲线是一个倒U形。

5．到期时间长短对期权价值的影响
由于到期时问的临近，期权的时间价值就会下降，从而造成期权的价格下降。

时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为-aC t／o（T-t）：
（9—10）
（9—11）
Theta c始终是一个小于零的数。

也就是说，对于买权而言，其时间价值总是随着到期日的临近而不断衰减。

Theta c有可能大于零，但只出现在卖权处于较深的盈价状态时。

三、期权套期保值的基本原理
1．有关期权套期保值的一个例子
套期策略具有以下两个特点：①自融资性；②精确复制性。

2．期权套期保值的基本原理
期权套期保值的基本思想是构造一个头寸，并使其风险暴露与原组合的风险暴露相反，从而部分或者全部对冲掉风险。

如果所构造头寸的风险性质与原组合的风险性质呈完全相反的状态，则原组合的风险可以全部消除，这称为完全对冲。

对冲的基本思想是要构造一个头寸，以使对冲后的组合不受一种或多种风险因素变化的影响。

考虑一个由m种期权υ1，υ2，…，υM组成的投资组合，该投资组合的价值V可以表示为：
V=n1υ1+n2υ2+…+n MυM，
式中，n j，υj（j=l，2，…，m）分别是组合中第j种期权的权重和第j种期权的价值。

在构造对冲时，目的就是通过选择合适的n j，而使组合价值V能够在风险因素变动时保持不变。

对于一阶风险来说，构造对冲的目的就是选择n j，使得
（9—12）
四、连续调整的期权套期策略
1．Delta套期（Delta中性组合）
通过适当地调整不同期权及其标的资产的比例，可以将风险暴露程度降到较低的程度，
甚至可以将该资产组合对于标的资产价格变动的风险降到零。

对于这种资产组合，将其称为“Delta中性组合”。

一般地，对于任意一个资产组合V=n1υ1+n2υ2而言，总能通过适当地选择n1和n2，使得整个组合的Deltav等于0，即
（9—13）
（9—14）2．Delta-Gamma套期策略
通过构造一个Delta-Gamma的中性组合，从根本上回避价格风险。

要构造一个Delta—Gamma中性组合，需要进行两种不同期权或者期权组合的交易。

假设这两种期权或期权组合的价值分别为n2υ2和n3υ3，连同投资者原先持有的n1υ1，共同构成了以下组合：
（9—15）
令组合的Deltaυ、Gammaυ同时等于零，可得到：
（9—16）3．Delta-Gamma-Vega套期策略
引进第三种期权的交易，记该期权的价格为υ4、交易数量为n t。

因此，新的组合为：
（9—17）在上式两端分别对S t求一阶、二阶偏导数，并对σ求一阶偏导，从而得到以下方程组：
（9—18）令Deltaυ、Gammaυ和Vegaυ等于零，解出n2、n3和n4，它们表示构造Delta-Gamma-Vega中性组合所需的三种期权的交易数量以及交易方式（做多还是做空）。

这样一来，投。