金融工程_第11章_期权定价的BS公式
BS期权定价模型课件详解精讲
f Sdz
S
f
( f S
S
f t
1 2
2 f S 2
〔2S〕2 )t
f Sz
S
为了消除z，我们可以构建一个包括一单位衍 生证券空头和 单位f 标的证券多头的组合。令
代表 该投资组合的S价值，那么：
f(6.1f5S)
S
由于股价将来波动随机过程与基于其的衍生品价格的随机波动过程是一致的，因此可以通过构建股价与其衍生品的对冲 组合消除这个随机过程。
2G x 2
b2 )dt
G x
bdz〔〕
由于 dS Sdt Sdz〔〕
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
dG
( G S
S
G t
1 2
2G S 2
2S 2 )dt
(GS6.1S0d)z
六、证券价格自然对数变化过程
令 代入式〔〕，:由于 G ln S
G S
1 S
,
2G S 2
1 S2
表示将来价格变化率符合普通布朗运动，〔描绘运动偏离标注布朗运动的漂移 率和方差率项已变为常数而非与时间和目前值有关系的函数〕
从〔〕可知，在短时间后，证券价格比
率的变化值为：
S t t
S 可见，S也具有正态分布特征
S
, t, , 前三个是常数或者函数值， 最后一个是个标准正态随机变量， 整个式子是某种正态随机变量。只 不过这里符合的正态分布的均值和 方差是与时间间隔由关系的值而已。
B-S公式小结
证券变化量满足伊藤随机过程——基于该 证券的衍生品价格满足伊藤引理，建立 起衍生品价格的随机微分方程——构建该 证券与其衍生品的适当组合消除随机过 程，且该组合要满足瞬时无套利，得到 满足任何衍生品价格f关于其证券价格s和 时间t的偏微分方程。
B-S期权定价公式的简单推导
t),
T t]
（4.19）
对式（6.19）求解：
c SN (d1) Xer (T t ) N (d2 )
（4.20）
详见Hull(8) P232
其中
d1
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
t)
d2
ln(S
/
X
)
(r T
2
t
/
2)(T
则：
S St Sz （4.11）
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
df
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )dt
f S
Sdz
（4.12）
f
( f S f
S
t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
Nt
T
t
，标
当△t0时，我们就可以得到极限的标准布朗
运动：
dz dt
（4.3）
2,普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为1.0。
若令漂移率为a,方差率为b2，就可得到变 量x的普通布朗运动：
dx adt bdz
（4.4）
( f t
1 2
2 f S 2
2S 2 )t
（4.16）
在没有套利机会的条件下：
rt
把式（4.14）和（4.16）代入上式得：
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股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
期权定价的连续模型及BS公式
2020/10/8
可以在c 和k 之间建立一个关系式，使得 cWk 的方差
等于 2T
即令： Var(cWk ) c2Var(Wk ) c2k 2T
于是式（5-6）
ST S0eT eWT e 2T / 2
其中 WT ~ N (0,T )
20120/10/8
对数正态模型（为什么？）
为能对模型进行标准正态变换，并对不确定性进行合并。
对 S1 进行重新定义：
S1 e e t cZ1c2 / 2S0
为什么？
210220/10/8
随机变量Z 的一个重要等式
c2
E ecZ e 2
（5-5）
于是
E exp(cZ c2 / 2) 1
E S1 et S0
第二个因素表示的随机变量的漂移率为零
20520/10/8
特别注意：
ln
St S0
Bt
2
2
t
Bt
2
2
t
~
N
2
2
t,
2t
目的：对期权进行定价
20620/10/8
几何布朗运动参数估计：
波动率 漂移率
思路：用样本均值和方差来代替总体的均值和方差
若已知在一段较长时间[0,T]内的股价数据 ，这段时间由n个
长度相等的子区间 t 所构成，如果已知第 i(i 0,1, , n) 个
3月21日 5.27 5.22 5.29 5.26 5.27 5.27 5.27 5.26
3月22日 5.3 5.28 5.31 5.43 5.46 5.46 5.53 5.56
3月23日 5.6 5.68 5.69 5.69 5.67 5.61 5.68 5.68
金融工程学BS公式
14
实际中GBM的参数估计
• 知道期限[0，T]的股价数据记录，将[0，T]分为 长度相等的子区间
• 第一步计算每个区间的连续收益率，得到序列 U1,U2,…,Un
• 第二步计算U1,U2,…,Un的均值和方差 • 第三步 解方程
U ( 2 )t
2
S 2 2t
有得到审稿意见的情况下遭到拒绝
• 在芝加哥人E. Fama和M. Miller与JPE杂志的编辑 打了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文
• 这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先
2
教学内容
1. 风险中性定价 2. 标的资产的变化过程 3. B-S期权定价公式 4. 波动率的计算 5. 二值期权 6. 标的资产支付红利情况下的期权定价 7. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权
其中，
d1 d2
t 1 (ln S0 (r 2 )t)
t X
2
21
定理：Black-Scholes 期权定价公式
c S0 N (d1 ) XerT N (d2 )
p XerT N (d2 ) S0 N (d1)
d1
ln
S0
X
r 2 2
T
T
d2
ln
S0
X
r 2 2
表示基础货币的利率cbot交易的中长期国债期货期权cme交易的欧洲美元期货期权maxfx0其中maxxf0其中表示期权执行时的期货价格41期货期权风险中性下的期望增长率在风险中性条件下支付连续红利的股票的期望增长率为rq其中签订期货合约不需要支付因此期货价格的期望增长率为零如果把期货看作支付连续红利的股票那么该股票的红利率等于无风险利率rtrtrtrt43期货期权black定价模型1976假定期货合约和期权合约同时到期在连续红利的期权定价公式中用期货价格代就得到期货期权的定价公式dffdtfdz44black模型1976标准普尔500股指期货期权期货价格1401到期时间01233无风险利率00543波动率021计算448845模型46希腊字母偏导数rtrtrtrt期权费关于执行价格是减函数事实上48期权风险只用较少的股票来对冲就行事实上rtrtrtrtxeteixtedyyedy则有上式右边52rtrtrtrtrt时间越长期权的价值就越大证明
BS模型知识点总结
BS模型知识点总结BS模型的主要假设是市场上不存在套利机会，证券价格服从对数正态分布，无风险利率和证券价格的波动率是已知的且恒定的。
在这些假设下，BS模型提供了一种确定期权价格的数学方法，以及为了对冲风险和进行套利交易而构建的策略。
BS模型对期权价格的影响因素包括标的资产价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间。
BS模型的主要公式如下：C = S0N(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - S0N(-d1)其中，C表示欧式看涨期权的价格，P表示欧式看跌期权的价格，S0表示标的资产的当前价格，X表示期权的执行价格，r表示无风险利率，t表示期权到期时间，N(d1)和N(d2)表示标准正态分布的累积分布函数，d1和d2分别表示：d1 = (ln(S0/X) + (r + 0.5*σ^2)*t) / (σ*√t)d2 = d1 - σ*√t其中，σ表示标的资产价格的波动率。
BS模型的知识点总结：1. BS模型的假设：BS模型的有效运用建立在一系列假设的基础上，包括市场上不存在套利机会、证券价格服从对数正态分布、无风险利率和证券价格的波动率是已知的且恒定的等。
2. 期权价格与影响因素：BS模型对期权价格的影响因素主要包括标的资产价格、期权执行价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间。
这些因素的变动会直接影响期权价格的变化。
3. BS模型的主要公式：BS模型的主要公式包括欧式看涨期权和欧式看跌期权的定价公式。
根据这两个公式，投资者可以根据期权的相关参数计算出期权的价格。
4. 期权的对冲和套利策略：BS模型不仅提供了期权价格的计算公式，还为投资者提供了对冲和套利的策略。
通过对冲风险，投资者可以降低风险，并能够利用套利机会来获取收益。
5. BS模型的局限性：虽然BS模型在期权定价领域有着广泛的应用，但它也存在一些局限性。
例如，BS模型的假设可能无法完全适用于市场实际的情况，导致模型的预测不准确；此外，BS模型对于美式期权的定价并不适用。
BS期权公式
BS期权公式
bs期权定价公式为：C=S·N（d1）-X·exp（-r·T）·N（d2）其中：d1=[ln（S/X）+（r+σ^2/2）T]/（σ√T）
d2=d1-σ·√T
C—期权初始合理价格
X—期权执行价格
S—所交易金融资产现价
T—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）
N（d1），N（d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
第1点，这个模型中五风险利率必须是连续复利形式，一个简单的或不连续的无风险利率一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。
r0必须转化为r方能代入上式计算。
两者换算关系为：r=LN （1+r0）或r0=exp（r）-1例如r0=0.06，则r=LN（1+0.06）=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用
r0=0.06计算的答案一致。
第2点，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。
如果期权有效期为100天，则T=100/365=0.274.。
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍
期权定价公式完全指南对bs模型的介绍下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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bs期权公式课件
普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。
在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分 布，均值为 (2/2)(Tt) ，方差为 2 (T t) 。标准差 仍然可以表示为 T－ t ，和时间长度平方根成正比。
G ~ [( 2 2)(T t),T t]
从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两 个结论:
连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
12.01.2021
11
几何布朗运动的深入分析
在很短的时间Δt后，证券价格比率的变化值 为： Stt
可见，S在短时间内， S 具有正态分布特征 S S ~(t, t) S
其均值为 t ，标准差为 t，方差为 2 t 。
12.01.2021
12
几何布朗运动的深入分析（2）
S
但态是分，布在的一性个质较：长的时间T后，S 不再具有正
b-s期权公式课件
Black-Scholes期权定价模型的基本思路
期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。
金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
12.01.2021
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欧式看涨期权，当t=T时：
f max(S X ,0)
欧式看跌期权，当t=T时：
f max(X S ,0)
B-S公式
N(x)的计算
Black-Scholes公式的性质
股票价格S很大时 期望看涨期权价格
S Xe rT
波动率趋近于0
11.6 红利的影响
有红利的欧式期权
有红利的欧式看涨期权
有红利的美式看涨期权
Black近似
例子
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值
f e
f e
rT
ST K
E ( ST K )
E ( ST ) Ke rT
rT
E ( ST ) SerT
f S Ke rT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为
E[max( S T X ,0)]
f
f S S
r t
f 1 2 f 2 2 f ( S )t r ( f S )t 2 t 2 S S
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
Black-Scholes微分方程
金融工程 Financial Engineering
金融工程课程组
第11章 股票期权定价的B-S公式
本章导读 股票价格如何变化的假设 预期收益率和波动率及其估计 B-S公式的基本假设及推导 风险中性定价及其应用 隐含波动率和波动率产生的原因 红利的影响
11.1 从离散时间到连续时间
二叉树模型假设未来只发生一次变化，要么上 涨，要么下跌 现实情况：每时每刻都在变动，变动的幅度也 不确定
S St Sz
f f 1 2 f 2 2 f f ( S S ) t Sz 2 S t 2 S S
证券组合： 衍生证券：-1 f 股票：
S
Black-Scholes微分方程
f f S S
f 1 2 f 2 2 ( S )t 2 t 2 S
2
ln ST ln S ~ [(
2
)(T t ), T t ]
期望值
方差
2 2 (T t )
E(ST ) Se
(T t )
var(ST ) S e
[e
2 (T t )
1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估
计
A、预期收益率
风险中性定价：预期收益率无关
ce
r (T t )
E[max( ST X ,0)]
ln ST ~ [ln S r
2
2
(T t ), T t ]
11.5 隐含波动率
隐含波动率：在市场中观察的期权价格所蕴含的波动率。
计算隐含波动率
波动率产生的原因
Fama&French的研究
波动率计算的时间问题
看涨期权盈利状况 现值
max[SerT X ,0]
erT max[SerT X ,0] max[S XerT ,0]
c S Xe rT
练习
11.4 风险中性定价及其应用
Black-Scholes微分方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变 量。 方程中出现的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风 险利率；都独立于风险偏好。 假设：所有的投资者都是风险中性的。
股票价格如何变化的假设
对数未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz 2 d ln S ( )dt dz
2
2 ln ST ~ [ln S ( )(T t ), T t ] 2
算术平均收益率和几何平均收益率
B、波动率
波动率的估计
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推
导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
f f 1 2 f 2 2 f df ( S S ) dt Sdz 2 S t 2 S S