B-S期权定价模型及其应用
B-S—二叉树期权定价模型在有色金属股票期权定价中的应用
B-S—二叉树期权定价模型在有色金属股票期权定价中的应用刘立刚;吴思倩;周春【摘要】随着我国期货市场的不断繁荣,为了规避由于股票价格波动过大导致的风险,研究中以章源钨业为例,运用改进后的B-S—二叉树期权定价模型对有色金属股票期权定价问题进行分析,研究结果表明:通过评估可以得到期权初始合理价格、各个阶段上的节点价值以及期权处理方式.因此B-S—二叉树期权定价模型可用于评估股票价值,加强管理人员对股票期权执行风险的控制,确定是否应该继续持有还是提前执行约定的执行价格.%With the continuous prosperity of China's futures market, To avoid the risk caused by the excessive fluctuation of stock price, the study takes Zhang yuan Tungsten as an example, we use the improved B-S two tree option pricing model to analyze the problem of non-ferrous metal stock option pricing. The results show that the initial reasonable price of the option, the value of the node in each stage and the option treatment can be obtained through the evaluation. Therefore, B-S-binary tree option pricing model can be used to evaluate stock value, strengthen executive personnel's control over executive risk of stock options, decide whether to continue holding or advance the agreed execution price.【期刊名称】《有色金属科学与工程》【年(卷),期】2018(009)002【总页数】7页(P89-95)【关键词】B-S—二叉树期权定价模型;股票期权定价;看涨期权;有色金属【作者】刘立刚;吴思倩;周春【作者单位】江西理工大学,赣粤闽湘边界区域经济合作软科学研究基地,江西赣州341000;江西理工大学,经济管理学院,江西赣州341000;江西理工大学,经济管理学院,江西赣州341000;马钢(集团)控股有限公司,安徽马鞍山243003【正文语种】中文【中图分类】TD-9;F230.91我国有色金属的产量与价格受季节、政策和国际环境影响较大，往往出现周期性的较大变化；股票价格随市场的变化波动性较大，因此合理分析股票期权定价对所有者规避风险，做出更优决策有十分重要的意义.研究中将对传统B-S期权定价模型进行改进，改进后的期权定价模型适用范围更广，用于处理更复杂的期权定价问题. 研究认为B-S—二叉树期权定价模型可以很好的对未来股票期权价格进行预测，对预期的未来现金流量按预期报酬率进行折现是传统的股票定价思路，但是B-S—二叉树期权定价模型无需知道准确的投资者的预期收益率，对于未来的现金股利也不需要做出估计，公司历史的和现在的资产评估价值是它唯一需要知道的情况，这样就可以对股票估值，也可以克服传统股票定价方法方面的缺陷[1].1 股票期权理论期权是金融市场中比较重要的金融衍生物，是所有人在未来的某一时点以某一固定的价格向出售人购买或出售一定数量的产品，同时所有人拥有到期选择购买或不购买的权利，而出售人必须按约履行合同.美式期权和欧式期权的基本区别在于是否可以在到期前提前执行，美式期权在到期前可以提前执行而欧式期权却不能提前执行.期权按合约到期时选择出售还是购买分为看跌期权和看涨期权，看跌期权是所有人希望在合约到期时的市场价格越低越好，但出售人必须以约定的价格进行交易；看涨期权是所有人希望在合约到期时的市场价格越高越好，但出售人必须以约定的价格进行交易.在股票价值的确定方面，许多专家学者运用数学模型来评估这一过程，Jovan （2017）通过允许正态反高斯（NIG）分布式回报来扩展默顿模型，用于估计股票收益[2].贺俊华（2013）通过对于未来现金流不确定性较大的企业，收益法评估未来各年的收益预测将因其主观性而有失公允；而采用期权定价模型评估这类企业价值具有更好的适应性[3].白婷（2015）认为金融实证表明用分数布朗运动描述股票价格过程更贴近市场[4].刘井建（2015）通过增加股价跳跃限制的定价模型降低了传统BS模型对股权价值的高估程度，这将有利于进一步优化高管股票期权激励的定价模型[5].周仁俊（2015）通过EVA多指数化期权定价模型可以更好地解决由于我国股票市场的剧烈波动和弱有效性等带来的股权激励效果过低甚至反效果的现象[6].崔占豪（2014）认为金融市场的复杂性和金融衍生品的多样性，给金融衍生品的定价研究带来很大麻烦，将股票的波动过程一般化为伽马过程模拟，必要的时候更贴近实际股票波动[7].在股票期权激励方面，龙永保（2013）认为股权激励作为完善上市公司治理结构的有益补充，应该从恰当设计股权激励数量、科学确定行权期与行权价格、合理设置股权激励行权要件以及持续完善公司治理结构等方面完善我国上市公司股权激励，促进股权激励功能的发挥[8].丁保利（2012）认为对职业经理人实施股权激励，能够协调各层级的利益冲突，对于完善市场监管机制、会计制度有重要的意义[9].在企业中对管理人员授予股票期权是为了激励管理人员，将管理人员的利益与公司的效益挂钩，从长远来看有利于股份制公司的健康发展.采取股票期权激励方式使企业所有者与经营者达成了某种协调的格局，既有助于企业价值的提高，又有助于个人效用的发挥，使企业价值和个人效用达到最大化[10].2 理论模型的建立2.1 B-S期权定价模型20世纪70年代，布莱克和斯科尔斯提出了B-S期权定价模型.该模型指出，未来的预测只能与股价的当前值，也就是现值有关，和过去的历史与其演变方式是不相关的.根据模型，可以看出，期权价格的如何决定很复杂，比如，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权的价格，从而造成价格的改变.期权作为一种客观选择权，以各种单一或组合形式广泛存在于投资和经营领域.随着社会主义市场经济的深入发展，各种经济成分的相互渗透，含有期权的资产会越来越多地出现在我国企业的资产清单中.因此，在具有期权性质资产的单项评估、企业总体价值评估和企业股权价值评估中，会广泛应用期权定价理论.现实中尚未发生的事情都非100%确定，风险存在普遍性.事物及社会在发展中由于希望回避这种结果的不确定性而产生了期权，为交易中厂商进行套期保值、风险管理提供了更多的选择工具.期权是指持有人在规定的期限内可以，但不是必须按照事先约定的价格买或卖某项财产或物品（金融资产或实物资产）的一种权力.有了权力后就可以根据市场的发展情况决定是否交易，而为取得这个未定权益（Contingent Claim）所付出的代价称为期权金，即期权价格.它由到期日T、约定价格X、市场价格S等关键因素决定.期权定价本质上就是对这一类未定权益定价[11].其基本假设包括：①（期权是欧式期权（买入期权的一方必须在期权到期日当天或在到期日之前的某一规定的时间才能行使的期权）；②期权的标的资产收益率服从对数正态分布；③如果交易市场是没有摩擦的，那么就不会有交易费用、税收、无风险套利的机会；④在期权有效期内标的资产是不支付股利的；⑤无风险收益率以及标的资产收益率的变量是保持不变的；⑥该模型假设市场交易是连续的，并且不存在跳跃性的特征和间断性的特征；⑦标的资产波动率是一个定值；⑧标的资产价格服从的是几何布朗运动.其中，C为欧式看涨期权的价格，St表示股票在t时间的价格，X为执行价格；r为瞬间的无风险利率；T为以年表示的权利期间的长短；N（）为累积正态分布函数；σ为标的资产价格的波动性.假定知识产权产品预期净收益的现值S随时间t的变化是服从几何布朗运动规律的：其中μ为S的期望增长率；σ为单位时间内S随机变化率的标准差；dW为维纳过程增量[12].2.2 B-S—二叉树期权定价模型B-S期权定价模型可以对欧式期权初始合理价格进行精确定价，但是由于计算过于复杂、表述过程不够直观，且对美式期权在各个时间节点上的期权价值不能合理定价，因此在B-S期权定价模型现有研究的基础上改进出B-S—二叉树期权定价模型，可以同时计算美式、欧式期权定价，能够用于处理更复杂的期权定价问题.B-S—二叉树期权定价模型原理是将所考察的整个存续期间微分为若干个足够小的时间段Δt，在每个时间段Δt内，该模型都假定标的资产的价格有2种变动方向，分别是向下波动和向上波动，且向下波动的是d倍，而向上波动的是u倍，并且做出假设，认为在整个考察期内，不变的是股价每次向上或向下波动的概率σ和幅度.从而依据股价的历史波动率来模拟出在整个存续期内，股票价格所有可能的运动途径，从而对每一途径上的每个小的时间节点都一一对应计算期权的收益，并且最终对期权的价格使用贴现的方法来计算[13].对美式看涨期权来说由各个节点的内在价值w与时间价值v进行比较，来决定是否提前行使期权，采用倒推法确定各个节点的时间价值；其中n为阶段数，m为上涨的次数，h为下跌的次数，S为现期价格，X为执行价格，μ为初始价格的期望增长率.如图1所示为B-S—二叉树期权定价模型图，是利用蒙特卡洛模拟的大量离散运动来模拟期权价格的连续变化，可以很直观地看出期权在各个节点上的价值以及未来股票价格的变化，在美式期权定价中确定是否继续持有还是提前执行期权收益，当时间价值大于内在价值时应该继续持有，而当时间价值小于内在价值时应该提前执行；在欧式期权定价中确定期权的初始合理价格.图1 B-S—二叉树期权定价模型Fig.1 B-S-binary tree option pricing model diagram3 有色金属股票期权定价的实证分析3.1 B-S期权定价模型实证分析有色金属期货是风险较大的股票板块，涨幅和跌幅变化较大，因此选择合理的时机购入或抛售期货股票显得尤为重要.研究表明，赣州在资源价值、生产能力、技术水平等方面在南方离子吸附型稀土产业中具有一定优势，但竞争优势具有很强的脆弱性，主要取决于资源价值.章源钨业（002378）通过技术创新、发展模式创新，坐落钨都，占尽天时地利人和，钨这种资源丰富.据调查江西钨精矿的产量基本上占据全国的半壁江山，高达47%，该公司除了自有丰富的矿山之外，还处于江西赣南地区，这可是中国钨资源最丰富的地方，现在已经建立了完备和非常便利的采购网络，能以合理价格方便、有效以及快捷地采购钨精矿，在原材料供给方面能得到有力的保障[14].近年来从该公司招股说明书可以看到，在最初，公司拟投入该项目3.1亿元，根据预算，如果项目成功的话，可实现年利润总额高达8 876.70万元，净利润高达6 657.53万元，投资回收期为5.53年（其中包含建设期1.75年），这样，项目经济效益较好.之后，为了使项目的建设能够有更高的起点和更好的可操作性，同时在建设完成之后，要确保项目的产品性能能达到国际上的一流水准，而且能够在较长时间内持续不断的发挥优势，同时也抓紧时间和机遇，努力做到精益化生产，这第二产业有第二产业的弊端，该公司近些年做到了趋利避害，但是为了避免在投产之后，即需要的更新建设和减弱投资功效的出现，公司决定在原有投资的基础之上进一步进行投资，新投资总额大约是5.59亿元，和原投资总额相比，增加了2.49亿元.随着募投项目的建成，这对章源钨业的业绩是非常好的[15].由2015年全年亏损1.6亿元转为2016年全年盈利979万元，建立了钨原料公共服务库、形成了以钨精矿和APT为主要库存商品的新商业发展模式，图2所示为章源钨业2016年第4季度股票变化情况，可以看出最高单日涨幅达到4.81%，而最高单日跌幅更是达到6.47%，前后波动幅度较大.本研究为了进一步说明模型对期权初始合理价格的预测作用，简化了相应的数据，选取一个简单例子对股票期权定价进行实证分析，通过数据收集，各参数如下：时间间隔为1天，现期价格S为11元，执行价格X为10元，无风险利率r为15%，标准差σ为30%；因此，为了拟补机会成本的损失，在股票抛售时能得到合理的收益，这里将期权初始合理价格定为2.739元，超过这一合理价格得到的收益将减少；但所得到的初始合理价格仅为理论价格，实际上会超过这一合理价格.同理当时间间隔分别为 5、10、15、…、120 d时的期权初始合理价格为表1所列，可以看出对于美式期权来说，时间间隔越长意味着可以行使期权的机会越多，当时间间隔足够长时，期权初始合理价格趋于稳定，无法购入更低价格的期权股票. 表1 不同时间间隔条件下的期权初始合理价格Table 1 Initial reasonable price of options under different time intervals注：“/”表示无数据.此处为初始数据，不存在变化幅度数据.T/d d1 d2 C/元 C 变化幅度 /%1 0.968 0.668 2.731 /5 1.596 0.925 3.313 21.32 10 2.156 1.207 3.200 -3.40 15 2.599 1.438 2.989 -6.59 20 2.978 1.636 2.815 -5.84 25 3.314 1.814 2.688 -4.51 30 3.618 1.975 2.599 -3.31 35 3.899 2.124 2.537 -2.38 40 4.161 2.264 2.494 -1.69 45 4.408 2.395 2.464 -1.20 50 4.641 2.520 2.443 -0.85 55 4.863 2.639 2.429 -0.60 605.076 2.752 2.418 -0.43 65 5.280 2.861 2.411 -0.30 70 5.476 2.966 2.406 -0.22 75 5.666 3.068 2.402 -0.15 80 5.849 3.166 2.400 -0.11 856.027 3.261 2.398 -0.08 90 6.200 3.354 2.396 -0.06 95 6.368 3.444 2.395 -0.04 100 6.532 3.532 2.395 -0.03 105 6.692 3.617 2.394 -0.02 110 6.848 3.701 2.394 -0.01 1157.000 3.783 2.394 -0.01 120 7.149 3.863 2.393 -0.013.2 B-S—二叉树期权定价模型实证分析图2 章源钨业2016年第四季度股票变化情况Fig.2 Zhangyuan tungsten industry in the fourth quarter of 2016 stock changes这里同样以章源钨业（002378）为例，分析在一个季度期间的不存在分红美式看涨期权定价；这里简化了相应的数据，选取一个简单例子对股票期权定价进行实证分析，通过数据收集，各参数如下：初始价格S为10元，执行价格为X=9元，初始价格的期望增长率μ为25%，年波动率σ为20%，时间间隔Δt为0.06年（一个季度分为4段，每段为23天），可以得出：图3所示为期权在各个节点上的价值，其中期权在各个节点上的内在价值w为：图3 四阶段B-S—二叉树模型股票期权定价Fig.3 Four-phase B-S-binarytree model stock option pricing diagram在一个季度期间内从期权到期之日开始倒推出这个期权在各个节点上的时间价值v，分为4个阶段描述各个阶段内的价值，其中：1）在第4阶段上的节点时间价值v等于内在价值w：2）在第3阶段上的节点时间价值v为：3）在第2阶段上的节点时间价值v为：4）在第1阶段上的节点时间价值v为：由此得到期权在各个节点上的时间价值v和内在价值w，如表2所列，可以看出该期货股票还是值得继续持有的，前3阶段表现为内在价值小于时间价值，所以应该继续持有；而在第4阶段随着股票价值的逐渐递减，应该选择提前执行期权收益.表2 各个阶段上的节点时间价值、内在价值以及期权处理方式Table 2 Nodes′time value,int rinsic value and options handling at each stage第1阶段第2阶段第3阶段第4阶段变量u0d0 u1d0 u2d0 u1d1 u3d0 u2d1 u1d2 u4d0 u3d1 u2d2 u1d3 u0d4 u0d1u0d2u0d3 w 1 1.500 2.025 1 2.576 1.500 0.520 3.155 2.025 1 0.063 0 v 1.376 1.806 2.294 1 2.712 1.635 0.657 3.155 2.025 1 0.063 0 0.520 1.024 0.063 0.431处理方式继续持有继续持有继续持有继续持有提前执行继续持有继续持有0 0.040继续持有继续持有继续持有提前执行提前执行提前执行提前执行提前执行4 结论与对策建议4.1 结果与结论在我国，不论是钨资源储量、产品产量和出口贸易量，还是消费量都是居于世界首位.主要体现在：①在钨储量方面.2013年全球探明的钨储量有350万 t，而我国的钨矿储量高达 190万 t，占比达到为54.3%；②在钨生产方面.我国在2013年钨精矿的产量达到了13.8万t（折合大约65%WO3），占到了全球资源的84.5%；③在钨进出口方面.在2013年，我国对钨品的出口达到了18 323.6 t（指金属量，不包含硬质合金），相比之前下降了 15.76%，进口钨品达到5 819.3 t（指金属量，包含钨精矿），相比之前增长6.49%；④在钨消费方面，从2013年开始，我国钨的消费量一直在增长，根据不完全统计，我国钨的消费量基本占到了全球总量的37%左右，现在基于可持续发展的理念，我国对其实行了保护性开采和出口配额限制，以及出口退税下调等一揽子产业政策，并且规范了部分开采和冶炼加工企业[16].研究中以章源钨业为例，运用B-S期权定价模型以及改进后的B-S—二叉树期权定价模型对股票期权定价问题进行分析，研究结果表明：①将期权初始合理价格定为2.739元是最合理的理论价格，超过这一合理价格得到的收益将减少；②对于美式期权来说，时间间隔越长意味着可以行使期权的机会越多，当时间间隔足够长时，期权初始合理价格趋于稳定，无法购入更低价格的期权股票；③改进后的B-S—二叉树期权定价模型可以对各个阶段上的节点时间价值、内在价值进行分析，该期货股票在前三阶段应该继续持有，而在第4阶段随着股票价值的逐渐递减，应该选择提前执行期权收益.结合上述结果，得出以下分析结论：①有色金属股票期权价格波动幅度较大，可以通过建立模型来评估股票价值，评估的过程有利于股票期权激励对管理人员的正向影响.②改进后的B-S—二叉树期权定价模型较B-S期权定价模型更加直观、简单，可以同时计算美式、欧式期权定价，但是，即便是改进后的B-S—二叉树期权定价模型，也是有其自身固有的局限性的,比如，它的假设条件并不能完美清楚地描述出现实世界的真实情况，或者说很难完美的涵盖现实中的情况，这在实际情况中可能包含了更多的因素是这个模型没有触及到的方面，那么运用该模型有些情况就可能会出现定价方面的偏差，这种偏差导致我们对于股票市场的把握更加朦胧[17].对期权定价方法方面的研究，现在还在不断的发展中，从理论层面上来说，期权的发展是没有尽头的，从实际情况上说，期权是复杂的、不断变化的和应用广泛的，因此为了深入研究复杂交易市场条件下的期权的定价问题，不断研究探寻期权定价方法的共性和个性是具有重要意义的.目前，在完全市场条件下的期权定价的研究已经日趋成熟，而且也具有了较为完善的定价系统.但是如果放松完全市场的一部分假设条件，探讨期权在不确定市场条件下的定价问题的话，主要是需要进一步放松B-S二叉树期权定价模型的假设条件，将更多的现实因素引入模型，进一步对不同市场状况下的期权定价问题进行研究，这毫无疑问更加具有挑战性和现实价值，与此同时也可以让这个模型更符合实际，实用价值进一步提高.到目前为止，关于这方面的研究还比较少，是值得我们继续深入研究和探讨的[18].4.2 对策建议通过分析有色金属股票期权定价问题，可知期权初始合理价格以及根据时间价值与内在价值的关系得到是否应该继续持有还是提前执行约定的执行价格.提出以下对策与建议：1）在股票期权价值评估过程中可以运用定量化的模型分析方法，使评估的结果更加直观、简单、稳定.2）运用B-S—二叉树期权定价模型对美式期权股票的执行期进行系统分析，降低期权股票执行的风险，提高股票期权激励作用于管理人员的长期正向影响.3）改进后的B-S—二叉树期权定价模型也有其自身固有的局限性，需要在实践中不断完善，提高评估的准确性和适用性；在实际应用中，可以分别计算通过传统定价方法得到的估计值和通过期权定价法得到的结果，将它们进行对照，以便为日后的研究作参考.现在我国证券市场正在不断的发展和完善，将来，也一定会出现各种各样的金融衍生工具，这就表明，如何给出科学的定价将会是极其重要的事情，同时对整个市场而言，这也是非常有利的，值得我们共同去探究.参考文献：[1] 黄本尧.期权定价模型在股票定价中的应用[J].贵州财经大学学报,2003(1):20-23.[2] JOVAN,AHCAN.Defaultprediction with the merton-type structural model based on the NIG Levy process.Journal of computational and applied,2017,311(2):414-422.[3] 贺俊华,刘莉.B-S期权定价模型在企业价值评估中的运用分析[J].现代商业,2013(35):259.[4] 白婷,李翠香.随机利率分数布朗运动模型下的欧式双向期权定价[J].河北师范大学学报（自然科学版）,2015,39(3):190-196.[5] 刘井建,焦怀东,付杰.基于股价跳跃限制的高管股票期权激励定价研究[J].大连理工大学学报(社会科学版),2015,36(2):60-65.[6] 周仁俊,吴雪惠.基于EVA的动态股票期权定价模型构建[J].财会月刊,2015(9):96-99.[7] 崔占豪,王雷雷,刘晓俊.股票随机模型及其衍生品期权定价理论研究[J].金融教学与研究,2014(1):58-62.[8] 龙永保.上市公司高管股票期权激励存在的问题及对策[J].当代经济,2013(17):112-113.[9] 丁保利,王胜海,刘西友.股票期权激励机制在我国的发展方向探析[J].会计研究,2012(6):76-80.[10] 王伟.国有企业经营者激励初探[J].合作经济与科技,2005(11):19-20.[11] 张彤,陈小燕,张晓丽.B-S期权定价法在高新技术企业价值评估中的改进与测算过程[J].科技进步与对策,2009,26(10):121-124.[12]胡春生.布莱克—斯科尔斯期权定价模型的研究[J].贵阳学院学报(自然科学版),2010,5(2):13-18.[13] 刘海龙,吴冲锋.期权定价方法综述[J].管理科学学报,2002(2):67-73.[14] 林建.章源钨业:拥有核心竞争优势[J].中国金属通报,2013(3):32-35.[15] 章源钨业:募投项目有望三季度投产[J].股市动态分析,2012(28):57-57.[16] 彭频,熊英.基于SCOR的钨产业绿色供应链模型研究[J].有色金属科学与工程,2015,6(1):90-94.[17] 黄本尧.期权定价模型在股票定价中的应用[J].贵州财经学院学报,2003(1):20-23.[18] 程林,许朝君.不确定市场下的期权定价理论综述[J].价值工程,2015(6):9-12.。
B-S期权定价模型
Black—Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式）Black—Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）,布莱克-肖尔斯期权定价模型Black—Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日,第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton）和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯（Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model）为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克（Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时,默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表.所以，布莱克-斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型.默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese）赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献.[编辑］B—S期权定价模型(以下简称B-S模型）及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本,所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得（该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施.6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷.[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B—S定价公式［1]C = S＊N(d1) − Le− rT N（d2)其中：C—期权初始合理价格L-期权交割价格S—所交易金融资产现价T—期权有效期r—连续复利计无风险利率Hσ2—年度化方差N(）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：第一,该模型中无风险利率必须是连续复利形式。
B-S期权定价模型
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续 复利收益率服从期望值 ( µ −
σ2
2 ) dt ，方差为
σ 2 dt 的正态分布。
9
一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 σ 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动） 来表示： = µ Sdt + σ Sdz dS 之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
ln S T − ln S ~ φ[(µ − σ2 )(T − t ), σ T − t ]
2
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果 一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E ( S T ) = Se µ (T −t ) 和 var(S T ) = S e
4
将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx = adt + bdz 标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
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普通布朗运动的离差形式为 ∆x = a∆t + bε ∆t ，显然，∆x也 具有正态分布特征，其均值为 a∆t ，标准差为 b ∆t ，方差为 b 2 ∆t
= (
∂G 1 ∂ 2 G 1 ∂G = , 2 =− 2 , =0 ∂S S ∂S S ∂t
∂G ∂G 1 ∂ 2 G 2 ∂G a+ + b ) dt + bdz 我们就可得到 2 ∂x ∂t 2 ∂x ∂x
B-S期权定价模型在企业价值评估中的运用分析——以处于财务困境的企业为例
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（ ２ ） 查正态分布表得知： Ｎ（ ｄ １ ） ＝ Ｎ（ Ｏ ． ０ ２ ７ ） ＝ ０ ． ５ １ ２ （ ３ 啪 价值： 从以上案例分析可以看 ： 该国有上市公司虽然已经陷入资不抵债 的境地， 但公司的股权价值仍为０ ． ４ ＆ ５ ２ 亿美元 ， 这主要是因为公司的价 二 ．处于财务 困境企业的评估思路 值波动幅度较大（ 波动率的标准差为０ ． ５ ） ， 同时债券的到期期限较长， 这 将期权定价理论运用于财务困境企业的评估 中， 可以把陷 人财务 使得公司具有很大的喘息空间， 有可能通过并购重组、改革或加强管 困境的企业股权价值模拟为看涨期权的价值， 即企业的股权看作是一 理在后续管理中扭亏为盈， 给投资者带来丰厚的回报。 个看涨期权。股东是期权的持有人， 将企业整体资产作为期权的标的 资产 ， 企业的未偿还债务账面价 含应付利息） 市 目 当于期权 的执行价 四、结论 基于金融期权理论基础之上的期权定价模型， 为企业价值评估提 格， 期权的到期 日即债券的到期 日。看涨期权的卖方是企业的债权 ＾ ， 如陷入财 将股东所有者权益模拟为看涨期权的意 义 在于： 一旦期权的标的资产 供了—个新的思路。对于未来确定 陛以及风险较大的企业， 然资源企业， 评估师有必要借助期 的价格大于执行价格， 即企业整体资产价值大于企业未偿还债务 值 ， 务困境企业、高新技术企 业以及 自 股东将执行期权 ， 债务 ＾ 手中买回企业。如果 隋况正好相反， 企业整 权定价模型对该类企业进行合理估值， 对 同时采用传统现金流折现法
估 中 的 实 际运 用 。 关键词 ： 资产评估 ； Ｂ — Ｓ 模型； 财 务 困境 企业
B-S期权定价模型、公式与数值方法
B-S期权定价公式：假设条件
1.证券价格遵循几何布朗运动,,为常数 2.允许卖空标的证券 3.没有交易费用或税收 4.所有证券都是无限可分的 5.标的证券在有效期内没有红利支付 6.不存在无风险套利机会 7.交易是连续的 8.无风险利率为常数
B-S期权定价公式
经典的B-S期权定价公式是对于欧式股票期权给出的。
期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合约执 行价格之间的预期差异变化，在现实中，资产价格总是随机变化 的。需要了解其所遵循的随机过程。
研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解在特定时刻，变量 取值的概率分布情况。在下面几节中我们会用数学的语言来描述 这种定价的思想。
6.1 证券价格的变化过程
**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
S
变量x和t的函数G也遵循Ito 过程：
dG ( G xa G t1 2 2 x G 2b2)d t G xbdz
dSSdtSdz
根据Ito引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22 S2)d t G SSdz
但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并 不遵循布朗运动，而是服从更为一般的分数布朗运动。
对于标准布朗运动来说：设t 代表一个小的时间
间隔长度，z代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标
准布朗运动的 z 具有两种特征：
特征1：z和 t 的关系满足：
z ＝ t
其中， 代表从标准正态分布中取的一个随机值。
的普通布朗运动：
Ito过程
dxadb t dz d xa (x,t)d tb (x,t)dz
or：x( t)x0a t bz(t)x(t)x00 tad s0 tbd
B_S期权定价模型在保险费计量中的应用
— — — — — — — — — — — — — — — — — — —
收稿日期： !@"%A$@A!B 作者简介： 彭斌，南京理工大学博士生，研究方向：金融与财务管理；韩玉启，南京理工大学教授，博士生导师，研究方向：金融理论。
・ ・ %!
%7’ 期权定价模型在保险费计量中的应用
假如 考 虑 投 保 人 所 支 付 的 保 险 费 用 ， 则 投 保 人 预 先 持 有该 保险 合约 的 价 值 为 保 险 公 司 承 保 责 任 与 支 付 的 保 费之差额。 假设 此例 保 险 费 为 !" ， 那 么 当 投 保 人 资产 价 值为 !#" 时，保险的价值为 !" （具体如图 $ 所示） 。 可见 ， 保 险 的 实 质 是 支 付 保 险 费 ， 买 进 一 个 以 保 险 期 为履 约期 、以 约 定 赔 偿 价 为 履 约 价 的 卖 权 ； 保 险 费 就 是该卖权的价格。 三、应用 %&’ 期权定价模型计量保险费 根据 上 面 的 分 析 ， 我 们 知 道 保 险 合 同 实 质 上 就 是 一 份 看跌 期 权， 保 险 费 就 是 该 看 跌 期 权 的 价 格 。 因 此 ， 我 们可以利用 %&’ 期权定价模型推导出看跌期权定价公式， 以 确定 保险 费 的大 小 。然 而， 要 用 %&’ 期 权 定价 模 型 计 算保险费，首先需要确立保险费的决定因素。
#合 约 约 定 的 赔 偿 金 额 。 赔 偿 金 额 在 期 权 合 约 中 是
固 定 不变 的。 对 于 看 涨 期 权 而 言 ， 赔 偿 金 额 越 高 ， 买 方 盈利 的 可能 性越 低 ， 期 权 的 价 格 也 就 越 低 ； 对 于 看 跌 期 二、 %&’ 期权定价模型 期权定价模型的探讨始于 !("" 年法国数学家巴舍利 耶的博士论文 “投机理论” ，它为现代期权定价理论奠定 了 基 础。 经过一 个 世 纪 的 发 展 ， 期 权 定 价 模 型 已 日 趋 完 善 ， 其 中 最 著 名 和 最 常 用 的 模 型 是 %&’ 期 权 定 价 模 型 。 该 模 型的 假设条 件是： （!）证券市场是连续开放的有效 市场。在这个市场上，证券价格能迅速地对全部有关的新 信息作出反应，因而市场不存在套利机会； （$）合约对 应资产的价格行为遵循几何或对数布朗运动，且收益率服 从正态分布； （)）合约对应资产在到期前不支付红利或 其它收入； （*）无风险利率为常数且对所有到期日都相 同； （+）没有税收、交易成本和保证金的要求，合约对 应资产可以自由买卖。基于上述假定，该模型推导出了期 权定价公式,$-： 权而言，情况正好相反。
BLACK-SCHOLES期权定价模型
BLACK-SCHOLES期权定价模型Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(MyronScholes)。
他们创立和发展的布莱克-斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础，特别是为评估组合保险成本、可转换债券定价及认股权证估值等提供了依据。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 简介斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式（看涨和看跌）。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型（含红利的）。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
BLACK-SCHOLES期权定价模型- 其假设条件(一)B-S模型有5个重要的假设1、金融资产收益率服从对数正态分布；（股票价格走势遵循几何布朗运动）2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；4、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；5、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
B-S期权定价模型在财险定价中的应用
（ 一） 期 权 与 财 产 保 险 具 有 相 似 性
财产保 险 和期权 实 质上 都是 一种 避 险工具 ，它 们在 很 多方 面都具 有相 似 性 。投保 人 向保 险公 司支付 一笔 保 险费 ， 获得 当标 的物发生 损失 时 ， 向保 险公
司请 求赔 偿 的权利 ， 在保 险期 问 内 ， 如果 标 的 物没 有 发生 损 失 ， 则保 险 公 司就 不 必 承担 损失 赔偿 责任 ， 投保 人 损失 保 费 ， 这 就相 当于 期权 的买方 在期 初 购入
性和 合 理 性 。 关键词 ： Ｂ — Ｓ期权 定 价 模 型 ； 财 产保 险 ； 定 价
中图分类号 ： Ｆ ８ ４ ０ ． ４ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ６ ８ ０ Ｘ（ ２ ０ １ ７ ） ０ ２ — ０ ０ ９ ４ ～ ０ ６
一
、
期 权 定 价 应 用 于 财 险 定 价 中的 可 行 性 分 析
— ．
９ ４— —
Ｂ — Ｓ期 权 定 价 模 型 在 财 险 定 价 中的 应用
的物 “ 卖给 ” 保 险公 司 ， 达到 图像 进一 步说 明保 险 与期 权之 间 的相似 性 ：
在 看跌 期权 中 ， 假设 期权 费 为 Ｐ， 执行 价格 为 Ｘ， 标 的资 产 的价 格为 Ｓ 。则 当Ｓ ＜ Ｘ — Ｐ时 ， 买 方盈 利 ， 且盈 利 随 Ｓ的减小 而增 大 ， 但 最 大 不超 过 Ｘ — Ｐ ； 当Ｓ ＝ Ｘ — Ｐ时 ， 买 方损 益 为 ０ ； 当 Ｘ— Ｐ ＜ Ｓ ＜ Ｘ时 ， 买方 亏损 ， 且 亏随 随 着 Ｓ的增 大 而减 小， 但 最大 亏损 不超 过 Ｘ； 当Ｓ ≥ｘ时 ， 买方 亏损 恒定 ， 等 于期 权 费 ｘ。 这样 就可 以做 出如 图 １ 所 示 的看跌 期 权价 值示 意 图 。 在 财产 保 险 中 ， 也 可 以做 出类 似 的 图像 （ 如图 ２ ） ， 图 １中看跌 期权 的期 权
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ˆ 4 波动率估计
s t
4
2、伊藤引理（Ito’s lemma）
若已知 x 的运动过程，利用伊藤引理
能够推知函数 G (x, t ) 的运动过程
由于任何衍生品价格均为其标的资产
价格及时间的函数，因而可利用伊藤 引理推导衍生品价格的运动过程
5
伊藤引理（Ito，1951）
若随机过程 xs公式的运用
假设一种不支付红利股票目前的市价为42元， 某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式 看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假 设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率 为10%，问：该份期权价格应为多少元？ 解：由上述条件知： S=42, K=40, T-t=0.5 , σ=0.2, r=0.1
K e rT N (d 2 )
的现金。
18
Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的
欧式看涨期权的定价（通过 Call-Put 平价公式
可计算欧式看跌期权的价值）。
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如 市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、 允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几 何布朗运动等。
20
C 42 N (0.7693) 38.049 N (0.6278) 4.76 (元)
21
根据 Call - Put 平价公式
P S C Ke
有：
- r (T -t )
P C Ke Ke
- r ( T -t )
S
r (T t )
N (d 2 ) SN (d1 )
★
ln( S / K ) (r / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
2
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
17
如何理解B-S期权定价公式
（1）
SN (d1 )
可看作证券或无价值看涨期权的多头；
可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。 Ke r (T t ) N (d 2 ) （2）可以证明，f / S N (d1 ) 。为构造一份欧 式看涨期权，需持有 N (d1 ) 份证券多头，以及卖 空数量为
E VN (d1 ) Be
rT
N (d 2 )
给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,
无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元. 公司负债价值D=V-E=7176万元。
26
（2）确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担 保。 1年之后，若公司价值VT大于债券面值时， 银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时, 银行须支付 VT – B。这相当于银行出售了一个欧 式put, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券 面值B。 利用上面的例子，可采用B-S看跌期权定价公 式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put 的价值 为209万元，A公司应支付209万元的担保费。
投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中
性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证
券的期望收益率等于无风险利率）
15
用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
dS rSdt Sdz
欧式 Call 到期时的期望收益为：
ˆ E[max(ST K ,0)]
30
dS ：股票的瞬间收益率 S
：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位） 2 计算每期以复利计算的回报率 ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s 1 n (ui u )2 n 1 i 1
计算得到欧式看跌期权价格为：P =0.81(元)
22
影响欧式看涨期权价格的因素
当期股价 S 越高，期权价格越高
到期执行价格 K 越高，期权价格越低
距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高
股价波动率σ越大，期权价格越高 无风险利率 r 越高，期权价格越高
23
B-S期权定价公式的扩展：红利
10
（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为： dS Sdt Sdz
f f 1 f 2 2 f df S S dt＋ Sdz 2 t 2 S S S
2
为消除不确定性，构造投资组合：
f 衍生品：－1；股票：＋ S
11
投资组合的价值为：
投资组合的价值变动为： f d -df dS S 2 f 1 f 2 2 ( S )dt 2 t 2 S 价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合 成功消除了 dz 带来的不确定性
f -f S S
12
根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
股价运动过程
风险中性定价
C (S , t ) e
ST St e
r (T t )
ˆ E[max (ST K ,0)]
, z N (0, T t)
( r q 2 / 2)(T t ) z
仅需要将St变成St e-q(T-t) ，带入原来的B-S微分 方程即可
量变为 N+Mx 。执行认股权证后瞬间，股价变为
(ET + MxK)/ (N+Mx)。只有当这一股价大于执行价
格 K 时，持有人才会执行认股权。
29
（1）当ET/N>K时，持有人执行，其收益为：
xN ET N K N Mx
（2）当ET/N>K时，持有人不执行，其收益为0。 一份认股权证的价值为： xN C N Mx 其中C是基于公司股票价格的欧式Call，执行 价格为K。利用B-S公式得一份认股权证的价值。
f f 1 f 2 2 f df ( S S )dt Sdz 2 S t 2 S S
2
7
例1：伊藤引理的运用
f 1 f 2 f 1 , 0, 2 若 f (S , t ) ln S ，则 2 S S t S S
d ln S (
27
（3）带有可转化特征的融资工具的定价
认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格
向发行人购买公司新股的权利。
假设公司有N股流通股，M份流通欧式认股权 证，一份认股权证使持有人在时刻T以每股K的价 格购买x股新股的权利。
28
设时期T公司权益价值为ET ，若持有人选择执
行认股权，公司权益价值变为 ET + MxK ，股票数
d rdt
f 1 f 2 2 f ( S )dt r (- f S )dt 2 t 2 S S
2
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
此即 Black-Scholes 微分方程。
13
任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格 f 应 满足该方程
2
2
)dt dz
该微分方程的解为：
ln ST ln St ( / 2)(T t ) ( z (T ) z (t ))]
2
ST St e
( 2 / 2)(T t ) z
, z N (0,
T t)
8
3、Black-Scholes 微分方程
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 Call 价格：
ˆ C (S , t ) e r (T t ) E[max (ST K ,0)]
16
得： C ( S , t ) SN (d1 ) Ke r (T t ) N (d 2 )
ln( S / K ) (r 2 / 2)(T t ) 其中： d1 (T t )
24
B-S期权定价公式的运用
（1）对公司负债及资本进行估值
一家公司A发行两种证券：普通股100万股及
1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知
公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何
定价？
令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资
本市场价值，D为A公司债券市场价值。
V=E+D
25
考虑股东1年之后的收益：当A公司价值VT大于 债券面值时，收益为VT -8000；当A公司价值小于 债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行 价格为8000万元的欧式Call, 标的资产为公司价值. 当前资本价值为：
衍生品的价格由微分方程的边界条件决定
例：欧式看涨期权的边界条件为： C(0，t)＝ 0 C(ST ,T)= max（ST – K，0）
理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。
问题：微分方程难于求解！
14
4、风险中性定价方法
观察B-S微分方程及欧式Call 的边界条件发现： C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票 的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与
（1）原理
衍生品与标的资产（股票）价格不确定性 的来源相同 与二叉树期权定价模型的思想类似，我们 通过构造股票与衍生品的组合来消除这种 不确定性
9
（2）假设条件
股价遵循几何布朗运动 股票交易连续进行，且股票无限可分 不存在交易费用及税收 允许卖空，且可利用所有卖空所得 在衍生品有效期间，股票不支付股利 在衍生品有效期间，无风险利率保持不变 所有无风险套利机会均被消除
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
则G (x, t )将遵循如下伊藤过程：
G G 1 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x