研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告

2015 年秋季学期研究生课程考核（读书报告、研究报告）考核科目:偏微分方程数值解法学生所在院（系）:理学院数学系学生所在学科:数学学生姓名:H i t e r学号:1X S012000学生类别:考核结果阅卷人研究有限差分格式稳定性的其他方法摘要偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。

因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。

在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。

关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性AbstractThe solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method.Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability1 前言微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。

在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。

如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。

不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。

与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。

同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。

定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。

所以要采用可行的数值解法。

有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。

此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。

有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。

在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。

2 Hirt启示性方法2.1 方法概述Hirt启示性方法是一种近似分析方法。

主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似展开，把高阶误差略去，只留下最低阶的误差项。

如果差分格式是相容的，那么这样得到的新的微分方程（称之为第一微分近似或修正微分方程）与原来的微分方程相比只增加了一些含小参数的较高阶导数的附加项。

Hirt方法就是利用第一微分近似的适应性来研究差分格式的稳定性。

Hirt方法的判别准则是这样的：如果第一微分近似是适定的，那么原来微分方程的差分格式是稳定的，否则不稳定。

其实所述的微分格式是原来微分方程问题的相容的差分格式，那么也可以看作第一微分近似问题的相容的差分格式。

如果第一微分近似问题是不适定的，那么它的差分格式将不稳定[1]。

2.2 操作方法先给出几个方程0,,0,0>∈>=∂∂+∂∂t R x a xu a t u （2.1） ,2,1,0,,2,1,0,011=±±==-+-++n j hu u au u njn j n jn j τ（2.2）011=-+--+hu u au u n j n j n jn j τ（2.3）考虑对流方程（2.1）的差分格式（2.3），在点），（n j t x 进行Taylor 技术展开，有 )(][2][),(),(2221h O x u h x u ht u u t x u nj n j n j n j +∂∂-∂∂=-- )(][2][),(),(2221ττO tu h t u t u u t x u nj n j n j n j +∂∂-∂∂=-+ 利用对流方程（2.1），有22222)(x u a x u a t t u ∂∂=∂∂-∂∂=∂∂ 因此，在点），（n j t x 上，有差分方程（2.3）可以得到 )(2222222h O xu a ah x u a t u ++∂∂-=∂∂+∂∂ττ）（ 略去高阶误差项，得出第一微分方程近似22222xua ah x u a t u ∂∂-=∂∂+∂∂）（τ 要使上面的抛物型方程有意义，必须有0222>-τa ah 而上面的不等号改为等号，则就化为原来的对流方程。

在这两种情况下，相应的问题是适定的。

即第一微分近似适定的条件是0222≥-τa ah 由此得出差分格式（2.3）的稳定性条件是1≤λa ，其中hτλ=。

此结论与Fourier 方法分析得到的结论是一致的。

下面我们再来分析逼近对流方程（2.1）（仍设0>a ）的差分格式（2.2）的稳定性。

模仿上面的推导可以得到它的第一微分近似是22222x u a ah x u a t u ∂∂+-=∂∂+∂∂）（τ 可以看出22xu∂∂的系数小于0，因此第一微分近似是不适定的，从而推出差分格式（2.2）是不稳定的。

3 直接方法关于抛物型方程初值问题的差分格式的稳定性问题，可以用直接方法（或称矩阵方法）来研究。

下面用具体例子来说明这个方法的基本思想及使用方法。

考虑常系数扩散方程的初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==∈=>∈>∂∂=∂∂0,0),(),0(),0(),()0,(0),,0(,0,022t t l u t u l x x u x u t l x a x ua tu （3.1） 采用显示差分格式来逼近，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>==-==-=>+-=--++0,01,2,1),(1,2,1,0,200002111n u u J j x u u J j n h u u u a u u J n j j n j n j n j n j n j τ （3.2） 其中l Jh =。

先把差分格式（3.2）写成1,2,1,)21(111-=+-+=-++J j u a u a u a u n j n j n j n j λλλ （3.3） 其中2hτλ=。

可以把（3.3）写成向量形式，即]00[]][21212121[][00122111121211Jnn J nJ n n n J n J n n u u a u u u u a a a a a a a a a a u u u uλλλλλλλλλλλ+----=--+-+-++ （3.4） 如果令Tn J n n n u u u u ),,,(121-=并考虑到00==nJ n u u ，则（3.4）式可以写成n n Au u =+1 （3.5）其中]21212121[λλλλλλλλλλa a a a a a a a a a A ----=（3.6）从显示格式出发，得到方程组（3.5）式，也可以理解为较为一般的形式，即对于逼近初值问题（3.2）的其他二层格式也可以化为（3.5）式的形式。

当然此时A 不是（3.6）式所表示的形式。

如果差分格式是二层隐式格式。

则A 为C B 1-这种形式。

因此（3.5）式这种形式可理解为既包含二层显示格式又包含二层隐士格式的较为一般的形式。

引入误差向量~nnn u u z -=，其中nu 是差分方程（3.5）的精确值（理论值），~nu 是差分方程（3.5）经数值求解得到的值（包括了舍入误差等）。

显然，nz 满足n n Az z =+1 （3.7）从而推出0z A z n n = （3.8）差分格式（3.5）的稳定性就要求0,≥≤n K z n （3.9）其中•为向量的2-范数。

由于02z A z n n •≤因此（3.9）式成立的充分必要条件为M A n≤2（3.10）上述采用2-范数，当然也可以采用其他类型的范数。

对于稳定性条件（3.10），可以仿Fourier 方法中的推导，得到一些结论：（1）谱半径条件τρM A +≤1)( （3.11）是差分格式稳定的一个必要条件，其中M 为常数。

（2）如果矩阵A 是一个正规矩阵，则（3.11）式也是格式稳定的一个充分条件。

下面讨论差分格式（3.5），（3.6）的稳定性。

矩阵（3.6）是对称矩阵，所以只要使条件（3.11）成立即可。

现在来计算A 的特征值。

令)1( J 阶方阵]011011110[=S 则A 可以表示为S a I a A λλ+-=)21(其中I 为)1(-J 阶单位矩阵。

由此可知，关键是求出S 的特征值和特征向量。

设γ和T J w w w w ),,,(121-= 分别为S 的特征值和特征向量，w Sw γ=写成分量的形式有⎩⎨⎧==-==+-++02,,1,0,0021J j j j w w J j w w w γ （3.12） 先求出j w ，再求出S 的特征值γ。