差分格式的稳定性与收敛性1
Rm Lh (u ( xm ) um ) ， Rm 称为差分方程（5）的截断误差.
得到的，而在此边值问题的解是
(11)
v( x)
M ( x a)(b x) . 2
因为 v( x) 是 x 的二次函数，它的四阶导数为零，从式(2)、 (3)看到 v( x) 在点 xm 的二阶中心差商与 v '' ( xm ) 相等，因此差分方 程(10)的解等于边值问题(11)的解，即
cm .
(6)
(1) 若 Lhum 0(m 1,2, , N 1) ，则不能在 u1 , u2 , , uN 1 中 取到 S 中正的最大值；
2
(2) 若 Lhum 0(m 1,2, , N 1) ，则不能在 u1 , u2 , , uN 1 中 取到 S 中负的最小值. 证 首先用反证法证明(1).假设在 u1 , u2 , , uN 1 中取到 S 中正 的最大值，记为 M ,那么 M 0max um 0 ，由于 S 中的数不全相 m N 等，一定存在某个 i(1 i N 1) ,使得 ui M ,并且 ui 1 与 ui 1 中至少有 一个小于 M .于是
Lu u ''' q( x)u f ( x), a x b, u (a) , u (b) ,
其中 q ( x) 、 f ( x) C a, b , q( x) 0. 将区间 a, b 分成 N 等份，记分点为 xm a mh, m 0,1, , N , 这里步长 h b a .利用泰勒公式，得
(2) vm um 0,
M ( xm a)( b xm ), m 1, 2, , N 1. (12) 2
综合式(8)、(9)、(12)就得到式(7).
4
定理 3.2 表明差分方程(5)的解关于边值问题(1)的右端项 和边值问题是稳定的，亦即当 f 、 、 有一个小的改变时， 所引起的差分解的改变也是小的. 定理 3.3 的解，则 设 u( x) 是边值问题(1)的解， u m 是差分方程(5)
Lhui (ai ui1 bi ui ci ui1 ) bi M ai ui1 ciui1 bi M (ai ci ) M 0
这与 Lhui 0 矛盾，从而（1）得证. 同理可证明(2). 现在运用极值原理论证差分方法的稳定性及收敛性. 定理 3.2 差分方程组(5)的解 um 满足 (7)
参考文献
[1] 李瑞遐、何志东.微分方程数值方法,上海：华东理工大学出版社 [2] 黄明游、冯果忱.数值分析（下册）源自京：高等教育出版社，20085
[3] 杨大地、王开荣.数值分析.北京：科学出版社，2006 [4] 袁东锦.计算方法——数值分析.南京：南京师范大学出版社.2007 [5] 李清扬等.数值分析(第 4 版).武汉：华中科技大学出版社.2006
6
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] q( xm )u ( xm ) h2 f ( xm ) Rm (4)
略去余项 Rm ，便得到(1)式中的微分方程在内部节点 xm 的差分 方程；再考虑到式(1)中的边界条件，就得到边值问题(1)的差 分方程
1 um max , ( xm a )(b xm ) max f m , m 1, 2, , N 1, 1 m N 1 2
证
把方程组
Lhum 0, m 1,2, , N 1, u 0 , u N Lhum f m , m 1,2, , N 1, u0 u N 0
差分格式的稳定性与收敛性
1 基本概念 所谓稳定性问题是指在数值计算过程中产生的误差的积累 和传播是否受到控制.在应用差分格式求近似解的过程中，由于 我们是按节点逐次递推进行，所以误差的传播是不可避免的， 如果差分格式能有效的控制误差的传播，使它对于计算结果不 会产生严重的影响，或者说差分方程的解对于边值和右端具有 某种连续相依的性质，就叫做差分格式的稳定性. 差分格式的收敛性是指在步长 h 足够小的情况下，由它所 确定的差分解 um 能够以任意指定的精度逼近微分方程边值问题 的精确解 u( xm ) .下面给出收敛性的精确定义：设 {um } 是差分格式 定义的差分解，如果当 h 0 并且 um x 时，有 um u( x) 0 ，则 称此格式是收敛的. 2 差分方程的建立 对于二阶边值问题
1 2 (vm1 2vm vm1 ) M , m 1,2, , N 1, h u0 u N 0 (10)
其中
M max f m
0 m N
容易验证该微分方程是从边值问题
v '' M , v(a) v(b) 0
和
(1) (2) 的解分别记为 u m 和 um ，其中差分算子 Lh 由式(5)定义，则方程 组(5)的解 u m 为 (1) (2) um um um
(8) (9)
由极值原理可知
(1) um max , , m 1, 2, , N 1 .
3
(2) 接下来再估计 um ，考虑差分方程
由式(3)、(4)、(5)可知
其中 Rm 由式(3)定义.从定理 3.2 得
1 m ( xm a)(b xm ) max Rm 1m N 1 2
(b a) 2 2 h max u (4) ( x) . a xb 96
式(13)给出了差分方程(5)的解的误差估计，而且表明当 h 0 差分解收敛到原边值问题的解，收敛速度为 h 2 . 4 小结 收敛性和稳定性是从不同角度讨论差分法的精确情况，稳 定性主要是讨论初值的误差和计算中的舍入误差对计算结果的 影响，收敛性则主要讨论推算公式引入的截断误差对计算结果 的影响.使用既收敛有稳定的差分格式才有比较可靠的计算结 果，这也是讨论收敛性和稳定性的重要意义.
N
(1)
1 [(u ( xm1 ) 2u ( xm ) u ( xm1 )] u '' ( xm ) Rm 2 h
其中
(2)
h2 ( 4 ) Rm u ( m ), m ( xm1 , xm1 ) 12
(3)
把式(2)代入式(1)中的微分方程，有
1
Lhu ( xm )
vm v( xm )
另一方面，
M ( xm a)(b xm ) 0 . 2
(2) (2) Lh (vm um ) Lh vm Lhum qmvm M f m 0, (2) (2) v0 u0 vN u N 0,
由极值原理可知 即
(2) um vm
1 Lhum 2 (um1 2um um1 ) q ( xm )um f ( xm ), a x b, (5) h u0 , u N ,
解线性代数方程组(5)，得 u( xm ) 的近似值 um . u0 , u1 , , uN 称为边值 问题(1)的差分解. 从上面的推导过程可以看出，在节点 xm 建立差分方程的关 键是在该点用函数 u ( x) 的二阶中心差商代替二阶导数，最后用 差分算子 Lh 代替微分算子 L 就产生差分方程(5).
3 讨论差分方程组(5)的解的稳定性与收敛性 引理 3.1(极值原理) 设 u0 , u1 , , uN 是一组不全相等的数，记 S {u0 , u1 , , uN } ，
Lhum (amum1 bmum cmum1 ), m 1,2, , N 1,
其中 bm 0, am 0, cm 0, bm am
(b a) 2 2 u ( xm ) um h max u (4) ( x) , m 1,2, , N 1. (13) a xb 96
证 记
m u ( xm ) um ，
Lh m Rm , m 1,2, , N 1, 0 N 0,
差分方程的相容性收敛性和稳定性ppt课件
u
t
2u x2
n j
1 2
2u t 2
t
1 6
3u t 3
t 2
(t3)
(x
2
)
n
j
当 t, x 0时，上等式右侧所有项都趋近0，差分方程趋近
于原微分方程，即FTCS差分方程和原方程是相容的。
关于差分方程相容性需要作以下说明：
程就不满足相容性条件，差分方程也就不逼近于微分方程。
③ 相容性条件不仅要求差分方程截断误差Rnj 趋近于0，而且要求差分方 程定解条件截断误差rjn 也同时趋近于0。
④ 差分格式有两种不同形式的相容性，即无条件相容和有条件相容。
6
2.4.2 收敛性（Convergence ）
差分方程收敛性是讨论当 t, x 0 时，差分方程的解和微分 方程的解是否一致性的问题，也就是讨论差分方程的解和微分 方程的解的逼近程度。
在这一节中我们首先对差分方程有效性的一些基本概念（如相容 性、收敛性、稳定性）作简单介绍，为本章以后各节的分析讨论奠定 基础。
2
2.4.1 相容性（Consistency ）
差分方程相容性是讨论当 t, x 0 时，差分方程逼近于微分
方程的程度，因此，相容性是讨论差分方程和微分方程的关系。
max j
enj
max j
en1 j
O(x, t)
…
max j
e1j
max j
e0j
O(x, t)
10
由此可得到：
max j
en1 j
max j
e0j
O(x, t)
第五部分收敛性和稳定性
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
2、条件稳定和绝对稳定
如果一个算法的稳定是在一定条件下才成立，则称这种稳定 是条件稳定。譬如，步长的选取以保证格式收敛的稳定性。 如果一个算法的稳定是任何条件下都成立，则称这种稳定是 绝对稳定。 3、稳定的意义 稳定性是判别一个算法可用与否的重要条件，在此基础上构 造快捷（收敛速度快！）的方法才是追求的目标。详细分析 在此省略。
第五部分 收敛性和稳定性
引子
微分方程在离散为差分方程来求解，当步长 h 0 时，
存在着差分方程的解 yn能否收敛到微分方程的准确解 y(xn )
的问题，这就是差分方法的收敛性问题。以及在差分方程的求 解过程中，存在着各种计算误差，这些误差如舍入误差等引起 的扰动，在误差传播过程中，可能会大量积累，以至于“淹没” 了差分方程的真解，这就是差分方法的稳定性问题。
即：对 0, 0 ，如果h 0 ，有
en y(xn ) yn
2、欧拉格式的收敛性分析 定理 如果初始条件是准确的，则欧拉格式是收敛的。
3、收敛的意义
收敛性是保证一个算法有效性的重要特征。量化就是 收敛速度（阶）或局部截断误差。
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
二、稳定性
1、定义
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
例如 初值问题
y ' 30 y(0) 1
y
,
x
[0,1.5]
的准确解为 y e30x
如果用欧拉格式、Runge-Kutt似解如下表所列
欧拉格式 Runge-Kuatta Adams
内江师范学院数学与信息科学院 吴开腾 制作
精确解
-3.27675104 1.8719102 2.41115106 2.8625210-20
第二章 有限差分法的基本概念
x
间距h > 0称为空间步长，间距τ > 0称为时间步长．
2 用Taylor级数展开方法建立差分格式
设 f ( x) 在 x0 的某个邻域 U ( x0 , δ ) 内具有直 到n + 1阶的导数，则 ∀x ∈ U ( x0 , δ ) 有 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + + f ( n ) ( x0 ) ( x − x0 ) n + Rn ( x) n! Rn ( x)是余项，且Rn ( x) = o(( x − x0 ) n )( x → x0 )．
∫
xj +h 2
xj −h 2
[u (tn + τ , x) − u (tn , x)]dx
tn+1
∂u ∂u h = a ∫ [ (t , x j + 2 ) − (t , x j − h )]dt 2 tn ∂x ∂x 应用数值积分可得： [u (tn + τ , x j ) − u (tn , x j )]h ∂u ∂u h ≈ a[ (tn , x j + 2 ) − (tn , x j − h τ 2 )] ∂x ∂x
∂t = O(τ + h)
−(
∂u ( x j , tn )
我们也用“精度”一词说明截断误差． 一般，如果一个差分格式的截断误差Ｔ = O(τ q + h p )， 就说差分格式对时间t (τ )是q阶精度的， 对空间x(h)是p阶精度的． 特别，当p = q时，说差分格式是p阶精度的． 差分格式(1.13),(1.15),(1.17)都是对t (τ )一阶精度， 对x(h)二阶精度．而差分格式(1.11)是一阶精度格式．
Stefan问题一种差分格式的收敛性与稳定性
ｌ Ｙ ＡＴ； ＇ ’ ’ ＜ 厂
＋＇
（） １ （） ２
（） ３
其 中： Ｃ（ ＝
Ｔ ＋Ｃ Ｔ －ＡＴ＜ ￣ Ｔ ； Ｃｔ ２ ／－ ＜ ．Ｔ＜ ｙ
容 量 Ｃ 作 了光 滑 化 处 理 ， 而 运 用 能 量 不 等 式 法 证 明 了格 式 的 稳 定 性 与 收 敛 性 ． （ 进
关 键 词 ： 变 ； 差 分 格 式 ；稳 定 性 ； 收 敛 性 相
中 图 分 类 号 ： ４ ．４ Ｏ２ １８
文献 标志 码 ： Ａ
文 章 编 号 ：０ ９ ８ ４ （０ ８ ０ —０ １ ０ １０ —４ ５ ２ ０ ） ５ ００ — ５
有 界 ， 上 、 确 界 分别 记 为Ｃ ， Ｃ。 。 其 下 ｋ ， ， ． ｋ
收 稿 日期 ：０ ８ ０－１ ２０－ ５ ０
基 金 项 目 ： 东省 自然科 学基 金 资 助 项 目（４ １ ６ ０； － 留 学回 国人 员科 研 启 动 基 金 资 助 项 目（ 外 司 ￣ ［ ｏ １５号 ） 广 ０ ０ １０）￣ ｆ 教 ＇ ｏ ５５ ２ 作 者 简 介 ： 彩 云 （９ ２ ， ， 西 忻 州 人 ， 蒙 古 工 业 大 学 与 肇 庆 学 院 联 合 培 养 硕 士 研 究 生 ． 刘 １ ８ －） 女 山 内
１ 问题 的 提 出
伴 有 相 变 的导 热 问 题 是 一 个 强 非 线 性 问题 ， 般 只 能 用 数 值 方 法 或 近 似 方 法 求 解 １２Ｂ ｎ ｃ ａ 【 一 １ １ ｏ ａｉ 等 ３ －． ｎ Ｊ
收敛性与稳定性
λ
表明Euler格式是条件稳定的。 表明 格式是条件稳定的。 格式是条件稳定的
再考察隐式Euler格式 格式(28)，由于 λ 再考察隐式 格式 ，
<明隐式Euler格式是恒稳 （无条件稳定）的。 格式是恒稳 无条件稳定） 表明隐式 格式是 定
y' = λy, λ < 0 y(0) = y0
这个问题有准确解
（26） ）
y = y0 e
λx
先考察Euler格式的收敛性。问题（26）的Euler格式 格式的收敛性。问题（ ） 先考察 格式的收敛性 格式 具有形式
yn+1 = (1+ λh) yn
从而数值解
（27） ）
yn = (1 + hλ ) y0
λxn
y n +1 = y n + hλ y n +1 y n +1 1 yn = 1 − hλ
从而数值解
1 n ) yn = y0 ( 1 − hλ 1− hλ nhλ hλ hλ 1−hλ ) ] = y0 [(1 + 1 − hλ
当 h→0 时
yn → y0e
λxn 1− hλ
→ y0e
λxn
= y( xn )
因而问题（ ）隐式Euler格式的是收敛性。 格式的是收敛性。 因而问题（26）隐式 格式的是收敛性
3.4.2 稳定性问题
前面关于收敛性问题的讨论有个前提， 前面关于收敛性问题的讨论有个前提，必须假定差分方 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样， 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样，差分方 程的求解还会有计算误差， 程的求解还会有计算误差，譬如由于数字舍入而引起的扰动 。这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没”了 这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没” 差分方程的“真解” 这就是差分方程的稳定性问题。 差分方程的“真解”！这就是差分方程的稳定性问题。 实际计算时， 实际计算时，希望某一步所产生的扰动值在后面的计算 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。
偏微(03)相容性收敛性稳定性
−u
n j
改写为 u
n+1 j
Lh 是一个依赖于τ 和h的线性算子 的线性算子
h τ n n n = u j − aλ u j + 1 − u j ↔
+a
u
n j +1
−u
n j
=0
(
)
u
n+1 j
= Lh u
n j
u
= Lh u = u n − aλ u n+1 − u n j j j
n j
定 义 平 移 Iu j = u j Tu j = u j + 1 T −1 u j = u j − 1
∆ − x v ( x , t ) = v ( x , t ) − v ( x − ∆x , t ) .
2.1 有限差分格式的截断误差 中心差分
1 1 δ t v ( x , t ) = v x , t + ∆t − v x , t − ∆t , 2 2 1 1 δ x v ( x , t ) = v x + ∆x , t − v x − ∆x , t . 2 2
T ( x j , t n ) = Su( x j , t n ) − Lu( x j , t n )
不在边界上的任意一点 ( x j , t n )定义截断误差为
T x j , tn =
(
)
u( x j , t n+1 ) − u( x j , t n )
τ
−a
u( x j +1 , t n ) − 2u( x j , t n ) + u( x j −1 , t n ) h2
数值分析中的差分方法与收敛性分析
数值分析中的差分方法与收敛性分析数值分析是一门研究利用数值方法解决数学问题的学科。
在数值分析中，差分方法是一种常用的数值求解方法。
差分方法的基本思想是将求解区域进行离散化，通过逼近原问题的离散形式来求解。
差分方法通过引入差分公式将微分方程转化为差分方程，从而利用计算机进行数值求解。
差分方法的精确性和稳定性对应着数值解的准确性和可靠性。
本文将探讨数值分析中的差分方法及其收敛性分析。
我们将重点介绍常用的差分算法，包括前向差分、后向差分和中心差分。
以及如何通过收敛性分析来评估差分方法的精确性和可靠性。
1. 前向差分方法前向差分方法是一种通过近似计算函数导数的差分方法。
其基本思想是利用函数在相邻点的差商来逼近导数的值。
设函数f(x)在点x处可导，则其一阶导数可以用如下差分公式进行逼近：\[f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\]其中h是差分步长。
通过不断减小h的值，可以提高逼近的精确度。
然而，过小的h值可能会导致数值计算中的舍入误差，因此需要在精确度和稳定性之间进行权衡。
2. 后向差分方法后向差分方法与前向差分方法类似，只是近似计算函数导数时采用了后一个点和当前点的差商。
其差分公式为：\[f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}\]后向差分方法在数值计算中具有一定的优势，特别是对于非线性函数，因为它利用了当前点之前的函数值，减小了计算中的舍入误差。
3. 中心差分方法中心差分方法是一种结合了前向差分和后向差分的方法。
它通过利用当前点之前和之后的函数值来近似计算函数导数。
其差分公式为：\[f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\]中心差分方法相对于前向差分和后向差分方法具有更高的精确度，但在一些情况下可能会引入数值不稳定性。
4. 收敛性分析收敛性分析是评估差分方法精确性和可靠性的关键步骤。
差分方程的相容性收敛性和稳定性课件
相容性的判定方法
通过分析差分方程的形式和系数，可以判断其是否具有相容 性。
判断差分方程是否具有相容性的方法通常包括检查该方程是 否满足一定的数学性质，例如，是否具有一致的形式和系数 。此外，还可以通过求解该差分方程的初始值问题来验证其 相容性。
近似解。
有限元法的优势
有限元法能够处理复杂的几何形 状和边界条件，且能够处理非线 性问题，因此在工程领域应用广
泛。
06
差分方程的实际应用案例
在物理中的应用
1 2
量子力学
差分方程在量子力学中用于描述粒子在势能场中 的行为，例如在求解薛定谔方程时，差分法是一 种常用的数值解法。
热传导方程
在求解一维或二维的热传导方程时，可以使用差 分法将偏微分方程转化为差分方程进行求解。
3
波动方程
在处理波动问题时，如声波、电磁波等，差分法 可以用来模拟波的传播和干涉现象。
在金融中的应用
股票价格模型
差分方程可以用于描述股 票价格的变动规律，例如 著名的几何布朗运动模型 就是一种差分方程。
期货价格模型
在期货定价理论中，差分 方程被用来描述未来价格 的变化趋势，为投资者提 供决策依据。
图形法
通过绘制差分方程的解的 图像，观察其随时间的演 化趋势。
比较法
通过比较差分方程与已知 稳定或不稳定方程的性质 ，判断其稳定性。
稳定性的应用
控制工程
稳定性是控制系统的重要性能指 标，决定了系统的动态行为。
(完整版)数值天气预报习题
大气数值模式及模拟（数值天气预报）习题第一章大气数值模式概论1．试述原始方程组、全球模式、区域模式和非静力模式之间的区别。
2．试述天气模式、气候模式的主要区别？3．区域气候模式、大气环流模式、中尺度模式、陆面模式、边界层模式各有什么特点？第二章 大气运动方程组1. 试证明球坐标系中单位矢量i 的个别变化率为(sin cos )cos di u j k dt r ϕϕϕ=- 2.试说明局地直角坐标系（即z 坐标系）中的运动方程与球坐标系中的运动方程有何异同？3．用球坐标导出下面两个方程：(sin cos )cos d i u j k dt r ϕϕϕ=- tan d j u v i k dt r rϕ=-- 4.由热力学方程v dT d C p Q dt dtα+=推导出如下方程： p dT C Q dt αω-= ()dp dtω= 式中v dT C dt为单位质量理想空气内能的变化率，v C 为空气的定容比热，d p dtα为可逆过程中单位质量非粘性气体在单位时间里膨胀所作的功。
Q 为外界对单位质量空气的加热率。
第三章 数值计算方案1. 什么是差分格式的收敛性和稳定性？二者之间有何关系？2. 试证明一阶偏微商u x ∂∂的三点差商近似式：3(,)(,)213(,)4(,)(2,)22u u x x t u x t x x u x t u x x t u x x t x ∂+∆-⎡⎤=⎢⎥∂∆⎣⎦-++∆-+∆⎡⎤-⎢⎥∆⎣⎦的截断误差为2()O x ∆。
3. 用中央差分将涡度方程()()()l l u u u v l t x y x y∂Ω∂Ω+∂Ω+∂∂++=-+∂∂∂∂∂ 写成有限差形式。
设(,)l l x y =，并取水平坐标步长为s δ，时间步长为t δ。
4. 分别对x 轴上的i+1和i+3格点，以d 和2d 为步长，写出一阶微商dF dx的前差、后差和中央差的差分近似式，以及二阶微商22d F dx 的二阶中央差分近似式。
偏微分方程数值解：4、差分格式收敛性分析
差分格式收敛性分析相容性概念：相容性(consistency)：当有限差分网格变小时，截断误差趋于0。
经典显示差分格式：h→，k →截断误差→经典显式差分无条件相容DuFort-Frankel差分格式截断误差条件相容。
绝大多数差分格式为无条件相容！稳定性（stability）：计算所得解的全部扰动有界。
条件稳定/无条件稳定数值分析的稳定性概念与偏微分方程无关，它关心的是在求解有限差分方程时由于进行算术运算而产生误差的不稳定增长或稳定衰减问题。
Lax等价定理：对一个适定的定解问题，若给出的差分格式是相容的，则该差分格式收敛的充分必要条件是该差分格式稳定。
算法稳定性是最重要的问题，精度排在其后，只有在稳定的情况下再追求精度。
(1)显式差分为例：误差的传播过程图：(2) Richardson 显式差分来自<https:///wiki/Von_Neumann_stability_analysis >要点：a 误差满足同样的方程b 误差函数的分解（傅里叶分解+分离变量法）Von Neumann stability analysis -稳定性分析Von Neumann条件稳定分析过程两边同除以得到：经典显式差分稳定性条件：Richardson显式差分O(Δ)结论：Richardson显式差分格式无条件不稳定，即使精度高也无用处%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%隐式差分结论：无条件稳定Crank-Nicolson隐式差分结论：无条件稳定加权隐式差分向量函数稳定性：增长矩阵方法增长矩阵可以得到要求矩阵特征值满足。