研究有限差分格式稳定性的Fourier方法

u = u − aλ (u − u ) 0 u j = f j = f ( x j )
n +1 j n j n j n j −1
λ=
τ
h
(1.2)
由于u 及f j只是在网格点上有意义，为了应用Fourier
n j
方法进行讨论，必须扩充这些函数的定义域，使它们 在整个（− ∞， ∞）上有定义。令： +
所以有： 所以有：
⌢ ⌢ n U (k , t n ) = [G (τ , k )] U (k , t0 )
实际上， 实际上，我们就是用增长因子来判断稳定性的
假设： 假设 存在常数K , 使得 | [G (τ , k )]n |≤ K
||) | dx −∞ +∞ ⌢ 2 = ∫ | U (k , t n ) | dk
存在常数τ 0 > 0，K > 0, 使得τ ≤ τ 0 , nτ ≤ T , k ∈ R时，有
| [G (τ , k )] |≤ K
n
如果对于线性方程组，或多层格式， 如果对于线性方程组，或多层格式，离散的形式为 线性方程组 差分方程组： 差分方程组：
U
n +1 j
= C( x j ,τ )U
n j
练习：对一维对流方程 练习：
∂u ∂u = 0, x ∈ R, t > 0, a > 0 +a ∂x ∂t u ( x,0) = f ( x），x ∈ R
1、写出右偏差分格式、中心差分格式 写出右偏差分格式、
(1.1)
2、用Fourier方法分析两种差分格式的稳定性 、 方法分析两种差分格式的稳定性 并说明两种格式的收敛性。 并说明两种格式的收敛性。
n
补充： 补充：
定理：若A ∈ C
n×n
, 则 || A ||2 = ρ ( A A) .
H
ρ (.)是矩阵的谱半径（特征值的最大值）
注：所以对于增长矩阵通过矩阵的特征值来得到稳定 性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。 性的条件，增长因子是特殊的增长矩阵。 我们给出下面关于稳定性判别的结论
3.2 判别准则
判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。 注:判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值。 判断稳定性关键是求增长因子或增长矩阵的特征值
3.3 Fourier 分析法的具体应用
Fourier方法在具体应用时，可以采取离散的形式， 方法在具体应用时，可以采取离散的形式， 方法在具体应用时 直接从差分方程入手。不必要扩充、 直接从差分方程入手。不必要扩充、Fourier积分的 积分的 烦琐步骤。具体是： 烦琐步骤。具体是：
取 u = v e ,直 代 差 方 ， 析 长 子 ： 接 入 分 程 分 增 因 。
n j n ikjh
(实 上 采 了 际 是 用 Fourier积 的 散 式 分 离 形 )
以差分方程(1.2)为例 为例： 以差分方程 为例
u
n +1 j
= u − aλ (u − u
n j n j
n j −1
作业
ϒ P44 2
分析对流方程 ∂u ∂u = 0, x ∈ R, t > 0, c > 0 +a ∂x ∂t u ( x,0) = f ( x），x ∈ R 差分格式 u
n +1 j
(1.1)
−u
n j
h 讨论其截断误差及稳定性。
τ
+a
u
n +1 j +1
−u
n +1 j
=0
由此可得: 由此可得
+∞
⌢ ⌢ −ikh U(k , tn+1) = (1− aλ(1− e ))U(k, tn )
1− aλ(1− e ), 称为增长因子（传播因子），
ikh
记为：
G(τ , k) =1− aλ(1− e )
ikh
注：τ = λh, 在具体计算时通常取定 h，变动τ
⌢ ⌢ ∴U (k , t n +1 ) = G (τ , k )U (k , t n )
(1.3)
利用Fourier积分的到 积分的到 利用
⌢ ⌢ U(k , t n +1 ) = G (τ , k ) U(k , t n ) ⌢ ⌢ n ∴ U(k , t n ) = [G (τ , k )] U(k , t0 )
此时
G (τ , k )为增长矩阵
稳定性条件： 稳定性条件：
|| [G (τ , k )] ||≤ K
U ( x, t n ) = u F ( x) = f j
n j
1 1 ( j − )h ≤ x < ( j + )h 2 2 1 1 ( j − )h ≤ x < ( j + )h 2 2
即：U ( x, tn ), F ( x)为R上的分段常数函数.
在节点上： 在节点上：
U(xj , tn+1) =U(xj , tn ) − aλ[U(xj , tn ) −U(xj−1, tn )]
定理3.2 : 如果差分格式的增长矩阵G (τ , k ) 是正规矩阵，则Von Neumann条件是稳定性 的必要且充分条件。
推论1：当是实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时， Von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件。
推论2; 当p = 1时，G (τ , k )只有一个元素，则 Von Neumann条件是差分格式稳定的充要条件。
定理3.1 : 差分格式(1.3)稳定的必要条件是 当τ ≤ τ 0，nτ ≤ T，对所有k ∈ R有： | λ j (G (τ , k )) |≤ 1 + Mτ
(*)
其中λ j (G (τ , k ))表示G (τ , k )的特征值，M为常数。
条件(*)被称为 条件， 注：条件 被称为 条件 被称为Von Neumann条件，Von Neumann 条件 条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下， 条件是稳定性的必要条件，其重要性在于很多情况下， 这个条件也是稳定性的充分条件。 这个条件也是稳定性的充分条件
2 2
+∞
Parseval等式 等式 由假设
−∞ 2
≤K
∫
2
+∞
−∞
⌢ 2 | U (k , t0 ) | dk
2
= K || U (t0 ) ||
2 2
Parseval等式 等式
2
∴|| U (t n ) || ≤ K || U (t0 ) ||
由U ( x, t n )的定义，得
|| u ||h ≤ K || u ||h
⌢ 1 +∞ ⌢ ikx U (k , tn +1 )e dk = U (k , tn )eikx dk ∫−∞ ∫−∞ 2π 1 +∞ ⌢ 1 +∞ ⌢ ikx − aλ{ U (k , tn )e dk − U (k , tn )eik ( x − h ) dk} ∫−∞ ∫−∞ 2π 2π 1 +∞ ⌢ ikh ikx = ∫−∞ U (k , tn )[1 − aλ (1 − e )]e dk 2π 1 2π
实际上函数U ( x, tk ), F ( x)在R上满足
U(x , tn+1) =U(x, tn ) − aλ[U(x, tn ) −U(x − h, tn )]
x∈R
U(x , tn+1) =U(x, tn ) − aλ[U(x, tn ) −U(x − h, tn )]
等式两边分别用Fourier积分表示： 积分表示 等式两边分别用
ikh
| G(τ , k) | = (1− aλ(1− cos kh)) + (aλ sin kh)
2 2
2
如果aλ ≤ 1, 则 | G (τ , k ) |≤ 1
∴左偏格式是稳定的，稳定性条件是aλ ≤1.
kh = 1 − 4aλ (1 − aλ ) sin 2
2
稳定性的分类： 稳定性的分类 1、条件稳定 条件稳定：稳定性对时间、空间步长有限制的。 条件稳定 如：对流方程的左偏显示格式。 无条件稳定（ 2、无条件稳定（绝对稳定）：稳定性对时间、 无条件稳定 绝对稳定） 空间步长没有有限制的。 如：隐式格式。 3、无条件不稳定（绝对不稳定）：对任何时间、 无条件不稳定（绝对不稳定） 无条件不稳定 空间步长格式不稳定。 如：对流方程的中心显示格式。
第三节： 研究有限差分格式稳定性的 Fourier方法
3.1 Fourier方法
以一维对流方程为例： 以一维对流方程为例：
∂u ∂u = 0, x ∈ R, t > 0, a > 0 +a ∂x ∂t u ( x,0) = f ( x），x ∈ R
左偏差分格式： 左偏差分格式：
(1.1)
ikh
n ikh
增长因子为： 增长因子为：
G(τ , k) =1− aλ(1− e )
实际应用时，我们常用更严格的控制条件， 实际应用时，我们常用更严格的控制条件，即
| [G (τ , k )] |≤ 1
G(τ , k) =1− aλ(1− e ) =1− aλ(1− cos kh) −iaλ sin kh
n 0
说明：增长因子得任意次幂有界保证了差分格式的稳定性， 说明：增长因子得任意次幂有界保证了差分格式的稳定性， 以上推导步步可逆， 以上推导步步可逆，即由差分格式的稳定性可以 得出增长因子得任意次幂是有界的。 得出增长因子得任意次幂是有界的。
结论：差分格式（ ）稳定的必要条件是： 结论：差分格式（1.2）稳定的必要条件是
)
u
n +1 j