差分方程模型

设特解为 an D 代入 D 0.5D 0.1 得 D 0.2 ， 于是所求通解 an c(0.5) n 0.2 例3 (养老金) 解: 齐次特征方程 设特解 an D
an1 1.01an 1000
1.01 0,
* an c(1.01) n.
代入原方程得 D 100000
例 4 求非齐次差分方程
* 对应齐次方程的通解为 an c1 2n c2 n 2n
的通解
f (n) 2 中, 2 是2 重根, 设特解为
n
an A n 2 2 n
n 2 n1
代入
得 A 1 2 方法2 (化齐) :
故通解为 an c1 2 c2 n 2 n 2
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
解：差分方程的特征方程为 x 2 x 1 0 特征根
x1
n
1 5 1 5 , x2 2 2
n
1 5 1 5 Fn c1 c2 2 2
n
2(an1 4an2 4an3 ) 2 2n1 相减得 an 6an1 12an2 8an3 0 特征方程 3 62 12 8 0 特征根 2 为三重根, 通解为：
an 4an1 4an2 2n
an c1 2n c2 n 2n c3n 2 2n
x k b1 x k 1 b2 x k 2 bk 0
称为差分方程的特征方程，其根称为特征根。 定理1（单根）若特征方程恰有k个相异的特 x1 , x2 ,, x 征根 ， k 则差分方程的通解为
an c x c x ck x
n 1 1 n 2 2
n k
例1 求解兔子问题
,由初始条件得:
(1) ( 2)
1 5 1 5 c1 c2 1 2 2 2 2 1 5 1 5 c1 2 c2 2 1
1 c 1 5 1 c 2 5
故
a n c(a ) n b 1 a
的平衡点及稳定性
时才是稳定的.
地高辛问题
通解
an 0.5an1 0.1
an c(0.5) n 0.2
0.2是平衡点，且是稳定的。 就是说，不管初始值 如何，若干天以后，血中地高辛剩留量接近0.2。 养老金问题
，
an c(1.01) n 100000
变换 bn an e 化成齐次方程，稳定性相同
n n a c x c x 1 1 2 2 ，平衡点为0, x1 , x 2是互异 齐次方程通解 n
n 仅当 | x1 | 1, | x2 | 1 才是稳定的。 特征根(或重根)，
3、 n阶齐次次方程组平衡点O的稳定性
a(n) 为n维列向量, A为 n n 阵。 齐次线性差分方程 组 a(n) a(n 1) 0 平衡点O稳定的条件是A的特征根
故
代入原方程得 c3 1 2
an c1 2n c2 n 2n n2 2n1
三、差分方程的平衡点及稳定性
1、一阶线性方程
an aan1 b
平衡点由 x a x b 解得 x0 b 1 a n , a x 平衡点相当于 n 0 的那种点， 即当初始条件 a0 x0 有 n, an x0 若对任何初始条件，都有 n 时， an x0 ， 则称平衡点 x0 是稳定的，否则称为不稳定的。 一阶方程的通解 因此 | a | 1
通解
an 1.01an1 1000
105 是平衡点 , 不稳定
若a0 105 , c 0, 则 n, an 105
若a0 105 , c 0, 若a0 105 , c 0,
则 an 则 an
2、二阶方程的平衡点及稳定性 只须讨论齐次方程 an aan1 ban2 0 非齐次方程 可作线性 an aan1 ban2 d
0.6 0.3 1 2 1 2 1 0 0.4 0.7 0 0.3 1 2 2 1
0.61 0.31 0.6 2 0.3 2 1 0.3 2 0.4 0.7 0.4 0.7 0.3 1 1 2 2 2 1
差分方程模型
数学建模讲座
一、关于差分方程模型简单的例子
1. 血流中地高辛的衰减
地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问 题以开出能使地高辛保持在可接受(安全而有效)的水平 上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且 知道在每个剂量周期(每日)末还剩留一半地高辛，则可 建立模型如下： 设某病人第n天后血流中地高辛剩余量为 an ， 则 an1 0.5an 0.1 (一阶非齐次线性差分方程)
设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长 成成兔，同时(即第三个月)开始每月初产雌雄各一的 一对小兔， 新增小兔也按此规律繁殖，设第n月末共 有 Fn 对兔子，则建模如下：
Fn Fn 1 Fn 2 F1 F2 1
二阶线性差分方程初值问题
因上月新生 小兔不产兔
F1 F2 F3 F4 F 4 2F3 1 1 F1 F2 2 F3 F2
an b1an1 bk ank 0
为其对应的齐次方程。 定理4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差 分方程的通解加上非齐次方程的特解。即
* an a n an
* 其中 an 为通解, an 为特解
例2 (地高辛) 解:
an1 0.5an 0.1
* 齐次特征方程 0.5 0 ,齐次通解 an c(0.5) n
完全类似的问题：选民 下一次选举的投票趋势
0.6 0.3 X n1 0.4 0.7 X n
0.6 0.3 A 0.4 0.7
汽车出租问题解法1
0.6 0.3 | A E | (0.6 )(0.7 ) 0.12 2 1.3 0.3 0 0.4 0.7
an (c11 c12 n c1m1 n m1 1 ) x1 (c21 c22 n c2 m2 n m2 1 ) x2
n n
(ct1 ct 2 n ctmt n mt 1 ) xt
n
(定理1包含在定理2之中)
定理3 (虚根) 若差分方程的特征方程的特征根出现一对 共轭虚根 x1 u iv, x2 u iv 和k-2个相异的实 根 x3 ,, xk , 则差分方程的通解为：
1 0.3n Xn 1
n x 0 . 3 c c 0 . 3 0.3 0.3 c1 n 1 2 通解 X n 即 n 0.4 0.3n c y 0 . 4 c c 0 . 3 1 2 n 2
| i | 1。
四、n阶齐次线性差分方程组的求解
方法：仿线性微分方程组进行。注意二者的区别： dx x x cet dt n a a a c n 1 n n 汽车出租问题
xn1 0.6 xn 0.3 y n y n1 0.4 xn 0.7 y n
an c1 n cosn c2 n sin n c3 x3 ck xk
n
n
其中Leabharlann u2 v2 , arctan
u v
定义2 形如 an b1an1 b2 an2 bk ank f (n) 的差 分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程 , 其中 为常数， b1 , b2 ,, bk , f (n) 0 ，bk 0 n k 称
通解为 an c(1.01 ) n 100000
例3 (养老金) 解法2 (化齐)：
an1 1.01an 1000
相减得
an 1.01an1 1000
an1 2.01an 1.01an1 0
( 1.01)( 1) 0
n
2 2.01 1.01 0
(因第n月末的兔子包括两部分, 一部分上月留下的， 另一 部分为当月新生的，而新生的小兔数=前月末的兔数)
4．车出租问题 A， B两地均为旅游城市，游客可在一个 城市租车而在另一个城市还车。 A， B两汽车 公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要， 以便估算成本。分析历史记录数据得出：
xn
yn
第n天营业结束时A公司的车辆数 第n天营业结束时B公司的车辆数
xn1 0.6 xn 0.3 yn yn1 0.4 xn 0.7 yn
一阶线性差分方程组 问题模型可进一步推广
二、差分方程的解法
定义1. 形如 an b1an1 b2 an2 bk ank 0 {an }的k阶常系数线性齐次差 的差分方程，称为 bi bk 0且 n k 分方程，其中 为常数，
n 1 5 1 1 Fn 2 2 5
5
n

定理2 (重根) 若特征方程的相异特征根为 x1 , x2 ,, xk , 重 数依次为 m1 , m2 ,, mt , 其中 m1 m2 mt k , 则差分方 程的通解为：
1 1, 2 0.3
1
,
特征根互异
1 0.3
设
a 0.3n Xn b
a na 设 Xn 1 1 b b
a 由 ( A 1 E ) b 0 得
0.4a 0.3b 0
汽车出租问题解法2（理论解法）
1 0 T 1 AT 0 0.3 B