算两次思想的研究与拓展-高中数学微课题研究性教程

专题4.15：算两次思想的研究与拓展【课本溯源】如图，平行四边形ABCD 中，E 是DC 中点，AE 交BD 于M ，试用向量的方法证明：M 是BD 的一个三等分点.【探究拓展】探究1：在任意四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，求证：2AB DC EF += （算两次的数学思想，教材习题，三种方法）变式1：已知O 是线段AB 外一点，且,OA a OB b ==（1）若点,P Q 是线段AB 的三等分点，试用向量,a b 表示OP OQ +； （2）如果在线段AB 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论.教材习题，倒序求和方法的思路来源变式2：已知点12,G G 分别是111A B C ∆和222A B C ∆的重心，且121A A e =，122B B e =，123C C e =，则12____GG =1231)3e e e ++（ 解：对向量12G G 进行算三次，利用重心模型，可得结论. 别是边变式3：等腰三角形ABC 中， F E A AC AB ,,120,1︒===分AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m则的最小值是. 变式4：在正△ABC 中，点D 在边AB 上，AD = 1，点E 在边BC 上，CE = 2，点M ，N 分别为线段DE ，AC 的中点，则MN = _____．探究2：在ABC ∆中，AD 为角平分线，点E 为AD 的中点，BE交AC 于点,,F ，若=，=2=1=，用b a ,表示出ABMNEFNM ED CBA解：由内角角平分线定理可得，2BD DC =，故1233AD a b =+， 由向量的三角形中线模型得：5163BE a b =-+，5163BF BE a b λλλ==-+，BF BA AF a b μ=+=-+得：62,55λμ==，故25BF a b =-+,变式1：在A B C ∆中，点E D ,分别在边AC BC 、上，且CA CE BC BD 31,41==，AD 与BE 交于R 点，求AD RD 及BE RE 的值1=9RD AD 及2=3RE BE 变式2：在OAB ∆中，11,,42OC OA OD OB ==AD 交BC 于点M ，设,,OA a OB b ==试以,a b 为基底表示OM （13=77OM a b +）变式3：在ABC ∆中，2,3==AC AB ，,3π=A D 是AC 边上的中点，点E 在AB 边上，且EB AE 21=，BD 与CE 交于点M ，N 是BC 的中点，则=⋅AN AM __________.探究3：我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法—算两次（Fubini G ⋅原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高. 结合二项式定理，利用等式n n n x x x 2)1()1()1(+=++()*N n ∈， 证明：（1）∑==nr n nr nC C22)(；（2）∑=-=nr mn r m n r n C C C 02)( 变式1：利用上述想法及等式n n x x x x )sin (cos )cos (sin 2222+=+ 证明：1)cos (sin 2sin 2≤-+x x x n n n变式2：能否对下列组合恒等式给出一个合理的解释？（算两次的思想）组合数公式；11--=k n k n nC kC （可化简nn n n n nC C C C ++++ 32132：或倒序求和法）拓展1：在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）两边求导，得：2(cos2)(2cos 1) x x ''=-，由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -⋅=⋅-，化简得等式：x x x cos sin 22sin =． （1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑．（2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C 0nkknk k =-=∑； （ii ）21(1)C 0nk kn k k =-=∑； 证明：（1）在等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n nx x x ++++两边对x 求导得 112121(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+移项得112[(1)1]nn k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得11(1)nk knk kC -=-=∑，所以 1(1)0nkk n k kC =-=∑（ii ）由（1）知112121(1)2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥两边对x 求导，得2232(1)(1)232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++-在上式中，令1x =-，23220232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--即22(1)(1)0nkk nk k k C-=--=∑，亦即22(1)()0nkkn k k k C =--=∑ （1） 又由（i ）知 1(1)0nkknk kC=-=∑ （2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk kn k k =-=∑拓展2：已知函数sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 是1()n f x -的导数，n ∈*N ． （1）求12πππ2()()222f f +的值；（2）证明：对于任意n ∈*N ，等式1πππ()()444n n nf f -+=都成立．解： (1) 解：由已知102sin cos sin ()()()x x x f x f x x x x''===-， 故21223cos sin sin 2cos 2sin ()()()x x x x x f x f x x x x x x '⎛⎫''==-=--+⎪⎝⎭， 所以12234216(),()22f f πππππ=-=-+，即122f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋2122f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2) 证明一（官方解法）：由已知得：0()sin xf x x =，等式两边分别对x 求导：00()()cos f x xf x x '+=， 即01()()cos sin()2f x xf x x x π+==+，类似可得：122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，2333()()cos sin()2f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.下面用数学归纳法证明等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. (ⅰ) 当1n =时，由上可知等式成立；(ⅱ) 假设当n k =时等式成立，即1()()sin()2k k k kf x xf x x π-+=+. 因为[]111()()()()()(1)()()k k k k k k k kf x xf x kf x f x kf x k f x xf x --+'''+=++=++，(1)sin()cos()()sin 2222k k k k x x x x ππππ'+⎡⎤⎡⎤'+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以1(1)(1)()()sin 2k k k k f x xf x x π++⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦.因此当1n k =+时，等式成立.综合(ⅰ)，(ⅱ)可知等式1()()sin()2n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n *∈Ν都成立. 令4x π=，可得1()()sin()()44442n n n nf f x n πππππ*-+=+∈Ν.所以1)444n n nf f n πππ*-⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ν. 解法二：令()n g x =*1()(),n n nf x xf x n N -+∈ 所以101()()()cos g x f x xf x x =+=，又111()()()()(1)()()()nn n n n n n g x nf x f x xf x n f x xf x g x -++'''=++=++= 故2134()()sin ,()cos ,()sin ,g x g x x g x x g x x '==-=-=-所以4()()n n g x g x +=，即()4n g π=，命题得证.【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。