数学模型差分方程【精选】
数学建模：差分方程模型
差分方程建模
•处理动态的离散型的问题
•处理对象虽然涉及的变量(如时间)是连续的，
但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更 为合适，将连续变量作离散化处理，从而将连 续模型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题
差分方程模型
一、银行复利问题
二、抵押贷款买房问题
三、市场经济中的蛛网模型
四、减肥计划——节食与运动
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y y0 0
需求函数
yk f ( xk )
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
P3
P2
曲线斜率
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 0
P2
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型 yk f ( xk )
在P0点附近用直线近似曲线
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
模 型 假 设
记号
1. 储蓄的年利率为 r 2. 任何时候都可以存款，但存款利息只 从下一时期开始计算，如时间段开始第 一天的存款即开始计算利息
y ( t ) : t期结束时的总存款
x ( t ) : 第t期内的新存款
模型
y(t ) (1 rn ) y(t 1) x(t )
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
(完整版)差分方程模型(讲义)
差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。
1. 确定性连续模型1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。
2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。
3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。
4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。
2. 确定性离散模型1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。
2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。
3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。
4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。
随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。
在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。
有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。
例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。
这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。
有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。
但是，往往都需要用计算机求数值解。
这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。
差分方程-精选文档
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NUDT
差分方程及其应用
数列与函数增减性和凹凸性判别方法比较
函数 y f (x)
增减性 凹凸性
数列{ a n }
f ( x ) 0 fx ( ) 增 a 0 { a } 增 n n
一阶差分方程
x (1 t ) f ( x ( t ) ) , t 0 , 1 , 2 ,
x f ( x ) , k 0 , 1 , 2 , k 1 k
n 阶差分方程
x ( t 1 )f (x () t ,x () t , ,x () t) 1 1 1 2 n x t 1 )f2(x () t ,x () t , ,x () t) 2( 1 2 n t 0 ,1 ,2 , x t 1 )fn(x () t ,x () t , ,x () t) n( 1 2 n
NUDT
差分方程及其应用
影响虫口的因素 周围环境提供的空间和食物有限 虫子之间为了生存互相竞争而咬斗 传染病及天敌对虫子生存的威胁 简化——规律 咬斗和接触是发生在两只虫子之间的事件
P n 只虫子配对的事件总数
1 1 2 Pn ( Pn 1) P n (P n 2 2
1 )
影响虫口的因素量化 b P n 2
NUDT
差分方程及其应用
一、差分方程的概念
1. 差分的概念及简单性质
a } : a , a , , a , 实数序列 { n 1 2 n
一阶差分 a a ( n 1 , 2 , ) 差分算子 n n 1a n
7.数学建模-差分方程法
pt 发生动态等幅振荡;
ab t ) p* (5) 当 0 < ab < 2 , pt ( A1 sin kt A2 cos kt)( 2 ab ab t 1 ( ) 为衰减因子 2 2
pt → p*
( t → + ∞ ) , pt 动态发展趋于稳定 .
5．差分形式的生物数量 ic（阻滞增长）模型及其稳定性研究 描述生物生长受到环境约束的微分方程模型是 Logistic（阻滞增 长）模型 。其形式是 ： y
0
这时还贷公司需要还清银行的债务的时限变为:
b ln b ry0 x 503.5 ( 半月) 21年 . ln(1 r )
这表明还贷公司只用 21 年就可还清银行的债务, 由此 , 还贷公司赚 了购房人 一年的钱: 24 × 316 = 7584 ( 元 ) . 故问题 (2) 的解答是 : 此方案对还贷公司而言是有利可图的 。
模型II . 模型假设: (1) t 时刻的商品价格 pt 是商品数量 xt 的直线下降函数: pt = pM - a xt ; (2) 这一时期的商品数量 xt 是前两个时期的商品价格 pt-1 与 pt-2 的 算术平均值的直线上升函数（企业对市场的分析、判断应更成 b( pt 1 pt 2 ) 熟一些）: 模型建立:
p ( 0 ) = p0 ，p(1) = p1 ( 初始价格 ) . （二阶线性常系数差分方程）
r1, 2
ab ab(ab 8) 4
p M axm p* 1 ab
(2) 当 ab = 8 时,
ab t pt ( A1 A2 t )( ) p * ( A1 A2 t )(2) t p * 4 ab t ) p* (3) 当 ab < 8 时, pt ( A1 sin kt A2 cos kt)(
差分方程
y 3 ay2 a (ay1 ) a 3 y 0 y x a y0
x
y x ka x
当 a 1 时通解为 y x k
k 为任意常数
例 求 y x 1 4 y x 0 满 足 y 0 1 的 特 解 解：通解为 y k 4 ,
x
y0 k4 x
x0
例 y x sin x, 求y x
解：y x sin(x 1) sin x
性质：
(1) ky x ky x ( 2 ) y x z x y x z x ( k为 常 数)
( 3 ) y x z x y x 1 z x z x y x y x z x y x y x z x ( 4 ) z z x z x 1 x
一 差分 定义：
设 函 数 y f ( x ), 记 y x f ( x ) , 当 x {0,1,2,3, , n }时, y x 的 值 可 以 排 成 一 列 数y 0 , y1 , , y n , ,
称差y x y x 1 y x 为函数 y f ( x ) 的(向前)一阶差分
y * 1 ( x 1) A( x 1) 2 B( x 1) C x
代 入 方 程
2x 2
y * 1 y * x 3 ( A A) x 2 (3 A B B) x(3 A 2B C C ) ( A B C ) x x
y 0 1, y1 1, y 2 y 0 y1 , , y x 2 y x y x 1 ,
y x 2 y x y x 1 所以定解问题为 y 0 1, y1 1
数学建模之差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程数学建模举例
差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。
当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。
然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。
另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。
有时还需要找出决定变量的初始条件。
有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。
建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为)1(21-n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。
这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。
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的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x4 x3 3x2 5x 2 0
其根为：x1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
h1(n) (c1 c2n c3n2 )(1)n, h2 (n) c4 2n
的特征根出现一对共轭复根 x1,2 i 和k-2个不同实根 x3 , , xk
则差分方程的通解为：
h(n) c1 n cos n c2 n sin c3x3n
其中 2 2 , arctan .
ck xkn
例3.设初始值为h(0) 1,h(1) 0,h(2) 1,h(3) 2 ，求差分方程
k 0
其中z是复变量，因此级数 x(k) zk 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X (z) 的Z反变换记作 x(k) Z 1[X (z)]
1.几个常用离散函数的变换
(1)单位脉冲函数
(k
)
1, k 0, k
0 0
的Z变换为
Z[ (k)] (k) zk [1 zk ]k0 1 k 0
差分方程模型
1.1差分方程 1.2 市场经济中的蛛网模型 1.3 减肥计划——节食与运动 1.4 差分形式的阻滞增长模型 1.5 按年龄分组的种群增长
1.1差分方程
给定一个数列 h(0), h(1), h(2), , h(n), ，如果 h(n) 和数列中在 它面的若干项联系起来的一个方程对所有大于某一个整数 n0 的整数
n 都有效，则称这个方程为差分方程。
例1 汉诺塔问题：n个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在 桩A上，大的在下，小的在上。现要将此n个盘移到空桩B或C上， 但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小 盘在上。移动过程中桩A也可利用。设移动n个盘的次数为an , 试建 立关于 an 的差分方程。
ak 0 (2)
称为差分方程（1）的特征方程。
方程（2）的k个根 q1, q2 , , qk 称为差分方程（1）的特征根。
定理1 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1, )
的特征根 q1, q2 , , qk 互不相同，则该差分方程的通解为：
k 0
za
2. Z变换的性质
(1)线性性
设 Z[x1(k)] X1(z), Z[x2 (k)] X2 (z),则
同时（即第三月）开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增的小
兔也按此规律繁殖。设第n月末共有 h(n) 对兔子，试建立关于h(n)
的差分方程。
解：第n月末兔子包括两部分，一部分为上月留下来的，另外 一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
解：先将桩A上的n-1个盘按题意盘移到空桩B或C上，这需要 移动 an1 次，再将桩A上最大的盘移动到空桩C或B 上，这需要移动 1次，最后将桩B或C上的n-1个盘按要求移动到桩C或B 上，这又要
移动an1 次，于是得差分方程：
aa1n
2an1 1
1
例2 设第一月有雌雄各一的一对小兔。假定两月后长成成兔，
解之得:
Байду номын сангаас
7
1
2
c1 9 ,c 2 3 ,c3 0,c4 9
故所求初值问题的特解为：
h(n) ( 7 1 n)(1)n 2 2n
93
9
二 .常系数线性差分方程的Z变换解法
设有离散函数（数列）x(k),(k 0,1, 2,
) ，则 x(k) 的Z变换
定义为
X (z) Z[x(k )] x(k ) zk
(2)单位阶跃函数
U
(k)
0, k 1, k
0 0
的变换为
Z[U (k)] U (k) zk zk
z
(| z | 1)
k0
k0
z 1
(3)单边指数函数 f (k) ak (a 0且a 1) 的变换为
Z[ak ] ak zk
z
(|z| a)
的特征方程相异的根，且 qi (i 1,2, ,t) 是特征方程的 mi 重根，则该
差分方程的通解为： h(n) h1(n) h2 (n)
其中 h1(n) (c1 c2n cmi nmi1)qin
t
ht (n) hi (n) i1
定理3 设差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k) 0 ak 0 (n k, k 1, )
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) akh(n k) 0 (n k, k 1, ) (1)
的差分方程称为k阶常系数线性齐次差分方程，其中 a1 , a2 , , ak
是常数，且 ak 0.
方程
xk a1 xk 1 a2 xk 2
h(n) c1q1n c2q2n ck qkn
其中 c1 , c2 , , ck 为任意常数。
定理2 设 q1, q2 , , qt 是差分方程
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) akh(n k) 0 ak 0 (n k,k 1, )
故通解为
h(n) h1(n) h2 (n) (c1 c2n c3n2 )(1)n c4 2n
代入初始条件有
c1 c4 1
c1c1 2cc
2 2
c3 2c4 0 4c3 4c4 1
c1 3c 2 9c3 8c4 2