数模(差分方程模型)
数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
第三章差分方程模型 ppt课件
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单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk
x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn
经济数学建模
经济数学模型
问题分析
商品信息传播一般有两个途径：
消费者外部信息:广告、亲眼看到商品等。
消费者内部信息:部分人使用并有所评价,使周围
人了解到有关产品信息。 由于是耐用消费品，所以一般不会重复购买， 故产品累计销售量可以认为是购买者人数。
经济数学模型
建模与求解
设K为潜在的消费者总数。
n(t)为t 时刻购买该产品的人数，在 [ t , t+Δt ]
经济数学模型
设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本 为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为 u = (p - c) x (3) 问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。 构造拉格朗日函数
L( x, p, c, , ) ( p c) x
( x Me
说明： 在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模 参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价 格，必须预先给出这些参数。
S2 C3 S1 C4
经济数学模型
不妨假设市场容量函数为
M (t ) (1 e
, 0为常数
t
)
M(t)
t
0
t
将上式代入（3），再代入（1），得
dS1 t AS1 Be C dt
经济数学模型
解得
S1 (t ) K1e
同理
At
K 2e
经济数学模型
第二章 微分方程与差分方程模型
经济数学模型
模型一 利率模型
经济数学模型
设年利率为r,初始资金量为S0,n年后资金量为Sn
一、单利模型
n年后的本利和为
Sn S （ 0 1 nr）
差分方程模型
第7章 差分方程模型在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。
有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。
本章将主要讨论差分方程模型。
7.1市场经济中的蛛网模型在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。
这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。
生产者看到有利可图，有重操旧业。
这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。
在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。
在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。
本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。
蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。
同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设()k k y f x = (1)它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。
下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2)这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。
差分方程模型
差分方程模型
周家全
对连续型变化的问题而言, 常常可建立微分方程模型. 而对离散状态转移的问题, 则可建立差分方程模型. 差分方 程与常微分方程有很多类似的性质和结论．首先引入差分的 概念．
1 差分定义及其性质
定义 设函数 y = y(x) 在等距节点 xi = x0 + ih ( i = 0,1, , n)
对于一般的差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = f 来讲, 其平衡 点的稳定性问题可以同样给出. 二阶方程的上述结果可以推
广到 n 阶线性差分方程, 即稳定平衡点的条件是特征根： n
次代数方程的根 λi (i = 1, 2, , n) 均有| λi |< 1.
4 经济学中的蛛网模型
1. 提出问题 在自由竞争的社会中, 很多领域会出现循环波动的现象. 在经济领域中, 可以从自由集市上某种商品的价格变化看到 如下现象：在某一时期, 商品的上市量大于需求, 引起价格 下跌, 生产者觉得该商品无利可图, 转而经营其它商品；一
解
Δf (0) = f (0.5) − f (0) = 0.75 ,
-2-
洛阳理工学院数学建模竞赛培训教案
Δf (0.5) = f (1) − f (0.5) = 1.25
周家全
Δ2 f (0)= Δ(Δf (0)) = Δf (0.5) − Δf (0) = 1.25 − 0.75 = 0.5
计算较多点的差分可按差分表进行, 容易看出表中每一 个需要计算的差分值分别等于其左侧的数减去左上侧的 数．每个点 xi 处的各阶差分位于与主对角线平行的斜线上．
(I) 先求解对应的特征方程
a0λn + a1λn−1 + + a0 = 0
数学建模之差分方程
差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程
第八章 差分方程模型在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔时间周期统计的。
例如，银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统计，产品的产量按月统计等等。
这些量是变量，通常称这类变量为离散型变量。
描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。
对取值是离散化的经济变量，差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。
下面介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似，可对照微分方程的知识学习本章内容。
函数的差分对离散型变量，差分是一个重要概念。
下面给出差分的定义。
设自变量t 取离散的等间隔整数值：，，，， 210±±=t t y 是t 的函数，记作)(t f y t =。
显然，t y 的取值是一个序列。
当自变量由t 改变到1+t 时，相应的函值之差称为函数)(t f y t =在t 的一阶差分，记作t y ∆，即)()1(1t f t f y y y t t t -+=-=+∆。
由于函数)(t f y t =的函数值是一个序列，按一阶差分的定义，差分就是序列的相邻值之差。
当函数)(t f y t =的一阶差分为正值时，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；当一阶差分为负值时，表明序列是减少的。
按一阶差分的定义方式，我们可以定义函数的高阶差分。
函数)(t f y t =在t 的一阶差分的差分为函数在t 的二阶差分，记作t y 2∆，即)()()(11212t t t t t t t t y y y y y y y y ---=-==++++∆∆∆∆∆t t t y y y +-=++122。
依次定义函数)(t f y t =在t 的三阶差分为t t t t t t t y y y y y y y ∆∆∆∆∆∆∆∆+-=-==+++12212232)(t t t t y y y y -+-=+++12333。
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Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一ຫໍສະໝຸດ 月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
...
Cnnn
(C1,…,Cn为任意常数)
情况2 若λ 是特征方程（7.3）的k重根，通解中对应
于λ的项为 (C1 L Ck nk1 ) n
C i为任意常数，i=1,…,k。
情况3 若特征方程（7.3）有单重复根 a i
通解中对应它们的项为 C1 n cosn C2 n sinn
2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义n阶差分.
差分方程 an+1= an+b的解
数学建模
定理1 一阶线性差分方程 an+1= an+b 的通解是：
nb c,
1,
an
cn
b
1
,
1.
定理2 对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若 | |<1, 则 an无限趋近于平衡解 b/(1- ) (收敛型不动点); 若 | |>1, 则 an逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点).
a0=c, an+1=an+b, n=0,1,2,3,… 称此类递推关系为一阶线性差分方程. 当b=0时称为齐次差分方
程，否则称为非齐次差分方程.
定义1 对任意数列A={a1,a2,…,an,…}，其差分算子定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2,… an=an+1-an, …
定义2 对数列A={a1,a2,…,an,…}，其一阶差分的差分称为二 阶差分, 记为2A=(A). 即：
数学建模
第七章 差分方程模型
7.1 差分方程基本知识 7.2 市场经济中的蛛网模型 7.3 减肥计划——节食与运动 7.4 差分形式的阻滞增长模型 7.5 按年龄分组的种群增长
数学建模
7.1 差分方程基本知识
• 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值 与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满 足的平衡关系，从而建立差分方程。
设贷款额为a0，每月还贷额为x，月利率为r，第n个月后的欠 款额为an，则
a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, ……
an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,…
一阶线性差分方程
数学建模
在上述模型中，给出了an+1与an之间的递推公式. 将它们写成
统一的形式：
数学建模
方程（7.1）可用如下的代数方法求其通解：
（步一）先求解对应的特征方程
a0n a1n1 ... an 0
（7.3）
（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(7.2）的通解 情况1 若特征方程（7.3）有n个互不相同的实根
,…1 , ，n则齐次方程（7.2）的通解为
C ， n 11
设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：
a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
3 . 抵押贷款
数学建模
小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元. 他们已经筹 集10万元，另外20万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为0.6%， 还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？
• 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中 的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系， 建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分 方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程 解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、 周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规 律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
数学建模
a0 (t)xtn a1(t)xtn1 .... an (t)xt 0
则被称为方程对应的 齐次线性差分方程 。
若所有的 ai(t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成
a0 xnt a1xnt1 ... an xt b(t)
的形式，其对应的齐次方程为
a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是：
a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
2. 家庭教育基金
数学建模
从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元?