经济数学CH6差分方程
经济数学 CH6 差分方程
❖ yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,…，yt)
2020/6/15
3
二、一阶差分方程的解法
❖ 解法： ❖ 1、作图。 ❖ 2、解析解。
2020/6/15
4
1、图解法
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 第一步：计算稳态值或均衡值。
2020/6/15
b的绝对值小于1，y收敛。 11
一般方法
❖ 1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
❖ yt+1+ayt=c ❖ 其中，a和c是两个常数。
❖ 方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
❖ 解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ yt+1-5yt=1,y0=7/4 ❖ 余函数：yc=A·5t ❖ 特别积分：yp=-1/4 ❖ 通解为：yt=A·5t -1/4 ❖ 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 ❖ 答案： yt=2×5t -1/4
2020/6/15
15
❖ 2、常系数和可变项的一阶线性差分方程
h
vi，h
a1 2
和v
4a2 a12 2
第二种情况：a12＝4a2，存在相同的实根。b=b1=b2=-a1/2
余函数yc=A1bt+A2tbt
时间路径的收敛性：如果b的绝对值大于1，余函数发散；如果b的绝对值小于1，那 么bt的衰减力量超过t的放大力量，路径收敛。
2020/6/15
6差分方程
yt*
b
C P
bt
所以 b P 时，方程的通解为
yt
APt
C bP
bt
当 b P 时，设 yt* ktbt为方程的特解，代入方程得
kC P
所以，当 b P 时，方程的通解为
yt APt Ctbt 1
例7 求差分方程 时的特解.
yt 1
1 2
yt
3( 3)t 2
在初始条件 y0
5
解 这里 P 1 ,C 3,b 3
3t (2t2 6t 3)
二、 差分方程的概念 定义2 含有未知函数 yt 的差分的方程称为差分方程.
差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为 该差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式：
F (t, yt , yt , 2 yt , , n yt ) 0, 或
G(t, yt , yt1, yt2, , ytn ) 0,.
其特点是 yt n , yt n1,, yt 都是一阶的.
三、 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数差分方程的一般方程形式为
yt1 Pyt f (t)
其中 P 为非零常数，f (t) 为已知函数. 如果 f (t) 0
则方程变为
yt 1 Pyt 0
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地, f (t) 0
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个 数恰好等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各 阶差分均为一次，则称该差分方程为线性差分方程.
其一般形式为
yt n a1(t) yt n1 an1(t) yt 1 an (t) yt f (t)
证明 由题设，有 yt*1 Pyt* f (t) 及 yt1 P yt 0
经济数学 CH6 差分方程
❖ 由于一阶差分方程的通解由特别积分和余函数组成， 前者一般为常数，因此，动态的稳定性取决于余函 数。
❖ 余函数的一般形式为A·bt，因此它的变动：
若
b b
0，则bt的时间路径将是 0
非振荡的
振荡的
若
b b
1，则bt的时间路径将是 1
发散的 收敛的
2021/11/21
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四、二阶差分方程
3、随机线性差分方程
❖ 已知随机线性差分方程：
❖ Et-1yt=ayt-1+Et-1mt a的绝对值大于1。 ❖ 将方程前推一个时期，并引入t时期的预期：
❖ Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在该方程中，yt是t时所知信息惟一决 定的变量，因此Etyt=yt
❖ 利用提前因子L-1建立t期和t+1期的联系：
如果 f ( y*) 1，那么均衡点是稳定的。
如果 f ( y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果 f ( y*) 1，无法判断。
f ( y*) dyt1 dyt
yt1 yt y*
2021/11/21
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练习：蛛网模型
❖ 在时间t的需求qtd取决于 当前市场价格pt，供给qts
p
取决于上期的价格pt-1。 p0
练习
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ yt+1-5yt=1,y0=7/4 ❖ 余函数：yc=A·5t ❖ 特别积分：yp=-1/4 ❖ 通解为：yt=A·5t -1/4 ❖ 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 ❖ 答案： yt=2×5t -1/4
2021/11/21
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❖ 2、常系数和可变项的一阶线性差分方程
差分方程的一般表达式
差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。
差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。
一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。
这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。
如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。
再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。
这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。
\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。
要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。
还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。
比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。
非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。
比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。
差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。
就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。
这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。
对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。
每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
经济数学 CH6 差分方程PPT精品文档29页
2020/4/16
8
蛛网模型
❖ 将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
❖ pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 ❖ 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
❖ 当价格不变时，供求达到 均衡。
❖ p*=(a+c)/b-(d/b)p* ❖ 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
a≠-1
yt
A(a)t
c ,a1 1a
假设t 0时，yt
y0,得到Ay0
c 1a
yt
(y0
c )(a)t 1a
c ,a1 1a
a=-1 y t A ( a )t c t A c t,a 1
假 设 t0时 ， yt y0,得 到 Ay0 yt y0ct,a1
2020/4/16
13
练习
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ 一阶差分： △yt=yt+1-yt ❖ 二阶差分：
❖ △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
2020/4/16
1
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 例子：一阶线性差分方程
❖ △yt=2→yt+1-yt=2 ❖ △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt ❖ 一阶线性差分方程一般形式：
如果f(y*) 1，那么均衡点是稳定的。 如果f(y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果f(y*) 1，无法判断。
f(y*)dyt1 dyt
经济数学-差分方程的概念与解的结构
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t x 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有(
).
loga ( x 1) loga x 1 loga (1 ); x
( 2)Δ y x sina( x 1) sinax 1 a 2 cosa( x ) sin . 2 2
例3求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
则左边 C 2 x 1 C 2 x 2 右边，
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
例4 设y x( n ) x( x 1)(x 2)( x n 1), x
，Cn 是任意常数） （ C1 , C2，
n I 内的 注： 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 n 个不全为零的常数， 个函数．如果存在 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
差分方程特解形式表
差分方程特解形式表摘要：一、差分方程简介1.差分方程的定义2.差分方程在实际生活中的应用二、特解形式表的定义与性质1.特解形式表的定义2.特解形式表的性质3.特解形式表与其他数学概念的关系三、特解形式表的求解方法1.常系数线性差分方程2.非齐次线性差分方程3.齐次线性差分方程四、特解形式表在实际问题中的应用1.信号处理2.生物数学3.经济学正文：一、差分方程简介差分方程是一种数学模型，用于描述离散系统中变量之间的关系。
它可以用来解决许多实际问题，如生物种群的增长、经济波动、数据加密等。
在差分方程中，特解形式表是一个重要的概念，可以帮助我们更好地理解和解决差分方程问题。
二、特解形式表的定义与性质特解形式表是一个数学工具，用于表示差分方程特解的一般形式。
它具有以下性质：1.特解形式表中的系数与差分方程的系数相对应；2.特解形式表中的常数项与差分方程的初始条件相对应；3.特解形式表中的特解部分与差分方程的自由项相对应。
特解形式表与其他数学概念的关系主要体现在：1.特解形式表与常微分方程的通解形式相似；2.特解形式表与偏微分方程的通解形式类似。
三、特解形式表的求解方法特解形式表的求解方法有多种，下面介绍三种常见的方法：1.常系数线性差分方程对于常系数线性差分方程，我们可以使用特解形式表直接求解。
根据特解形式表，我们可以得到特解的一般形式为：$$s_n = c_1 e^{-a n} + c_2 e^{-b n} + sum_{k=1}^{m} c_k e^{-c_k n} $$其中，$c_1, c_2, ldots, c_m$为待定系数，需要通过差分方程的初始条件来确定。
2.非齐次线性差分方程对于非齐次线性差分方程，我们可以使用常数变易法求解。
首先求出对应的齐次线性差分方程的特解形式表，然后根据非齐次项的特性，逐步调整特解形式表中的系数，最终得到原非齐次线性差分方程的特解形式表。
3.齐次线性差分方程对于齐次线性差分方程，我们可以使用特征方程的方法求解。
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yt+1=2yt-yt2
1 y2
首先计算均衡点： y1
y=2y-y2 y*=0,y*=1。
0 y0 y1 1
2 yt
令yt+1=0,可以得到 在横轴上的截距：
0和2。
系统在y*=0点是不稳定的； 在y*=1点是稳定的。
2019/11/13
6
稳定性总结
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。
2019/11/13
13
练习
求解一阶线性差分方程：
yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函数：yc=A·5t 特别积分：yp=-1/4 通解为：yt=A·5t -1/4 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=2×5t -1/4
2019/11/13
b的绝对值小于1，y收敛。 10
一般方法
1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。
方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
原方程，可以得到 均衡值：y*=2。
例2：yt+1-2yt=-1
yt+1
2
yt+1=0.5yt+1
y2
y1
y0 y1 2
yt
稳定的稳态
变化过程：
给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线 可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。
2019/11/13
5
yt+1
例3：一阶非线性
yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列｛yt｝满
足方程，则数列｛kyt｝也满足方程。 m阶差分方程：
yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,…，yt)
2019/11/13
2
二、一阶差分方程的解法
解法： 1、作图。 2、解析解。
2019/11/13
将k代入原方程，得到:k+ak=c
特别积分为：yp=k=c/(1+a)，a≠-1。 如果a=-1，那么就假设yt=kt，yt+1=k(t+1)。 代入原方程得到：k=c。
特别积分为：yp=kt=ct，a=-1。表示移动均 衡。
2019/11/13
12
将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。
a≠-1
yt
A(a)t
c 1 a
,a
1
假设t
0时，yt
y0 , 得到A
y0
c 1 a
yt
( y0
c )(a)t 1 ac Nhomakorabea a,a
1
a=-1 yt A(a)t ct A ct, a 1
假设t 0时，yt y0,得到A y0 yt y0 ct, a 1
一阶差分： △yt=yt+1-yt 二阶差分：
△2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
2019/11/13
1
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一阶线性差分方程
△yt=2→yt+1-yt=2 △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt 一阶线性差分方程一般形式：
如果 f ( y*) 1，那么均衡点是稳定的。 如果 f ( y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果 f ( y*) 1，无法判断。
f ( y*) dyt1 dyt
yt1 yt y*
2019/11/13
7
练习：蛛网模型
在时间t的需求qtd取决于 当前市场价格pt，供给qts
2019/11/13
9
2、解析法
迭代法
例1：yt+1=yt+2，已知 y0=10。
求解：
y1=y0+2 y2=y1+2=y0+2+2=y0+2·2 y3=y2+2=y0+2·2+2=y0+3·2
……
yt=y0+t·2=10+2t
例2：yt+1-byt=0 求解： yt+1=byt y1=by0 y2=by1=b·by0=b2y0 …… yt=bty0
2019/11/13
8
蛛网模型
将需求曲线和供给曲线代 pt 入到均衡方程，得到：
pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 这是一个一阶非齐次线性
差分方程。
当价格不变时，供求达到 均衡。
p*=(a+c)/b-(d/b)p* 均衡价格p*=(a+c)/(b+d)
p*
Pt-1
当(d/b)>1时，模型 是发散的；反之则是 收敛的。
3
1、图解法
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 第一步：计算稳态值或均衡值。
当yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)时，离散动态系统 达到均衡， y*是系统的均衡值。
第二步：以yt+1为纵轴，以yt为横轴，判断均 衡是否是稳定的。
2019/11/13
4
例1：yt+1-0.5yt=1 写成：yt+1=0.5yt+1 令yt+1=yt=y*，带入
一、离散时间、差分与差分方程
在离散情况下，仅当变量t从一个整数变为另外一个 整数值时，例如t=1变为t=2时，y的值才会变化。
现在的变化模式用差商△y/△t来表示。它是导数 dy/dt在离散时间下的对应物。
由于时间变量t仅取整数值，因此在分析相邻两个连 续时期的y的变化时， △t=1，差商△y/△t可以简化 为△y，称为y的一阶差分。
余函数的计算：
假设变量的解为：yt=Abt 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0
消去非零公因子Abt，得到b=-a
因此，余函数为：yc=A(-a)t
2019/11/13
11
特别积分的计算：
特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。 则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。
p
取决于上期的价格pt-1。 p0
当需求等于供给时，市场 p2
出清。
p1
S斜率=1/d
判断供求均衡是否稳定。 供求模型：
D斜率=-1/b
qtd=a-bpt qts=-c+dpt-1 qtd= qts a,b,c,d>0
q2 q1
q
结论：
当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率， 即d<b时，模型是收敛的。反之则是发散的。 当二者相等时，模型是循环的。