随机变量及其分布-正态分布

正态分布知识点

一、正态曲线

函数f(x)＝

1

2πσ

2

2

()

2

e

xμ

σ

-

-

，x∈R的图象如图所示

x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值1

σ2π

；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体的分布越集中，如图乙所示：

二、正态分布

一般地，如果对于任何实数a ，b (a

b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从

正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2

)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N (μ，σ2

)． 三、 3σ原则

1．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ

2．通常服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

题型一 正态曲线的图象的应用

【例1】如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．

【过关练习】

1.某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )

A．甲科总体的标准差最小

B．丙科总体的平均数最小

C．乙科总体的标准差及平均数都居中

D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同

2.若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为

1

42π

，求该正态分布的概率密度函数的解

析式．

题型二利用正态分布求概率

【例1】设X～N(1,22)，试求：

(1)P(－15)．【过关练习】

1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)等于( )

A． B． C． D．

2.(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝，则P(0<ξ<2)＝( )

A．B．

C．D．

(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.

3.设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

(1)求c的值；(2)求P(－4

题型三正态分布的应用

【例1】有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：

(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；

(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个

【过关练习】

在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该

班同学成绩在90分以上的有多少人

课后练习

【补救练习】

1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图2­4­2所示，则有( )

图2­4­2

A．μ1<μ2，σ1<σ2

B．μ1<μ2，σ1>σ2

C．μ1>μ2，σ1<σ2

D．μ1>μ2，σ1>σ2

2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为( )

A．p1>p2B．p1

C．p1＝p2D．不确定

3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.

4．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为，则X在(0,2]内取值的概率为________．

5.如图2­4­3所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

图2­4­3

【巩固练习】

1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝，则P (0＜ξ＜2)＝( )

【导学号：】

A ．

B ．

C ．

D ．

2．设X ～N ⎝

⎛

⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－，－]内的概率是( )

A ．%

B ．%

C ．%

D ．%

3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )

(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝%.)