正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差

正态分布：

密度函数为：分布函数为

的分布称为正态分布，记为N(a, σ2).

密度函数为：

或者

称为n元正态分布。其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。

称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。

（1）验证是概率函数（正值且积分为1）

（2）基本性质：

（3）二元正态分布：

其中，

二元正态分布的边际分布仍是正态分布：

二元正态分布的条件分布仍是正态分布：

即（其均值是x的线性函数）

其中r可证明是二元正态分布的相关系数。

（4）矩，对标准正态随机变量，有

（5）正态分布的特征函数

多元正态分布

（1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换）

（2）n元正态分布结论

a) 其特征函数为：

b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。

表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布

c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即

表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定

d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关

e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。则相互独立的充要条件为＝0

f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服

从一元正态分布

表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布

g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布

表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性

推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。

条件分布

若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望：

(称为关于的回归)

其条件方差为：

（与无关）