正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
正态分布公式中各符号的意思
在正态分布N(μ，σ^2)中，μ表示均值，就是钟形曲线的对称轴，σ^2为方差，σ为标准差μ决定正态曲线的中心位置，标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。
定理由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体，其取值小于x的概率。
只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
将一般正态分布转化成标准正态分布。
若服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。
故该变换被称为标准化变换。
（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。
）一维正态分布若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布，且其概率密度函数为则这个随机变量就称为正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为正态分布，记作，读作服从，或服从正态分布。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
1.正态分布的概率密度与分布函数
1 P(2 X 100 2) 1[ (2) (2)]
0.6 1[0.9772 (1 0.9772)] 0.0456 4.56%.
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
1
(
t) et2
2dt
2 π
e t2 2dt
t
e t 2
2dt.
2 π
2 π
因为 e t2 2dt 2 π , t et2 2dt 0 ,所以
E(X ) .
概率论与数理统计
§4.2 正态分布的数字特征
D(X ) 1
(x
)2
e(
x )2 2 2
dx
2 π
2 t 2 et2 2dt . 2 π
当 y 0 时，
FY ( y) 0 ;
概率论与数理统计
§4.1 正态分布的概率密度与分布函数
当 y 0 时，
y
FY ( y) P( y X y)
y
1
y x2
e 2 dx
2π y
所以，Y 的分布函数为
y o
yx
FY ( y)
2
y x2
e 2 dx ,
2π 0
0,
y 0; y 0.
e
(
x )2 2 2
,
x
.
2.标准正态分布N(0 ,1)的概率密度与分布函数：
(x) Φ(x)
1
x2
e 2,
2π
x
.
1
x t2
e 2 dt.
2 π
概率论与数理统计
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
标准正态分布概率密度函数积分
标准正态分布概率密度函数积分
1.标准正态分布密度函数公式：f(x)=exp(-(x-μ)^2/2α^2)/α（2Π）^(-0.5)正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
2.若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。
3.其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
4.当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。
5.图形特征：集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
6.对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不和横轴相交。
7.均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
8.曲线和横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
9.即频率的总和为100%。
数学期望和方差
数学期望和方差
第四章 数学期望和方差
分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较 难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且 在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些 数字特征也就够了.
另一方面，对于一些常用的重要分布，如二 项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等， 只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确 定其具体的分布.
8 8
9 10 11 12 7 15 10 10 50
则这 50 个零件的平均直径为
8 8 9 7 1015 1110 1210 50 10.14cm
第四章
数学期望和方差
换个角度看,从这50个零件中任取一个,它 的尺寸为随机变量X , 则X 的概率分布为 X P 8
x
| x| 但 | x | f ( x ) dx dx 发散. 2 (1 x )
它的数学期望不存在.
注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1.
第四章
数学期望和方差
§4.2 数学期望的性质
设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不 是X的数学期望， 而是X的某个函数的数学期望， 比如说g(X)的数学期望. 那么应该如何计算呢？ 更一般的，已知随机向量(X1 , X2 …,Xn ) 的联合分布， Y= g(X1, X2 …,Xn ) 是 (X1 , X2 …,Xn ) 的函数, 需要计算Y 的数学期 望，应该如何计算呢？ 我们下面就来处理这个 问题.
8 50
12
9
7 50
10
15 50
12
11
10 50
12
10 50
则这 50 个零件的平均直径为
正态分布的期望和方差公式
正态分布的期望和方差公式
期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
方差公式：s=1/n{（x1-x）+（x2-x）+……+（xn-x）}。
正态分布又名高斯分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力
扩展资料：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数为样本方差；样本方差的算术平方根为样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差为测算离散趋势最重要、最常用的指标，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。
标准差为方差的算术平方根，用S表示。
复习对于连续型随机变量,我们需要掌握那些内容
复习：对于连续型随机变量，我们需要掌握那些内容？1、对于连续型的随机变量，我们考察事件X = x 的概率没有什么意义，而必须了解事件a ≤X ≤ b 的概率，这个概率是一个积分形式：()()()()baP a x b f x dx F b F a ≤≤==-⎰2、清楚什么是概率密度函数：f (x )我们用密度函数f (x )在[a , b ]区间上的面积来表示随机变量X 落在该区间的概率 解释：为什么f (x )被称为概率密度函数？根据导数的定义可知，0()()()limx F x x F x f x x∆→+∆-=∆（是不是很类似我们以前学过的频率密度公式？）3、清楚什么是累积分布函数：F (x ))()(x X P x F ≤=⎰∞-=xdt t f )(4、分布函数)(x F 与概率密度函数)(x f 的关系⎰-==≤≤baa Fb F dx x f b x a P )()()()(5、理解均匀分布，指数分布和伽玛分布及其它们的应用，并会用Excel 求指数分布和伽玛的概率值§3 随机变量的数字特征在前面，我们看到，对于离散型的随机变量，我们可以作出它的概率分布图，对于连续型随机变量，我们可以作出它的概率密度图，这些都非常类似于我们在描述统计中学到的频率或频数分布图。
这意味着对于随机变量，我们也可以来研究类似于平均数、方差这样的数字特征。
与平均数相对应的概念是数学期望，它反映随机变量取值的平均，另一个仍然是方差，它反映随机变量分布偏离期望的分散程度。
一、随机变量的数学期望1、定义：设X 是离散型随机变量，X 取值x x x i 12,......，其相应的概率为p p p i 12,,...,...,则称∑=iii px X E )(为X 的数学期望。
若X 是连续型随机变量，有概率密度函数f （x ），则称⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(为X 的数学期望。
令i ξ为无限分割后区间[]i i x x ,1-的组中值， （回忆一下运用分组资料计算平均数的情形：iki iw X X ∑==1）[]()()i i i i i iiE X p x f ξξξ≈=∆∑∑，当0→∆i x 时，i i x →ξ对上式求极限得到：∑⎰+∞∞-→∆=∆=ii i ix dx x xf x f X E i )()(lim)(0ξξ从随机变量数学期望的定义看出，随机变量的数学期望就是随机变量所有可能取值的加权平均数，类似于我们前面学过的一组数字的算术平均数。
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13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差
一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1(<≤-X P ；（2）)56.4(≥X P ．
解：(1) )4.22
1
3.1()8.416.2()8.56.1(<-≤
-=<-≤-=<≤-X P X P X P 8950
.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0=+-=--=--=ΦΦΦΦ (2) )78.12
1
78.2(1)56.4(1)56.4(<-<
--=<-=≥X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ-+-=---= .0402.09973.09625.02=--
二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100±（mm ）
之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100(≤--=>-=X P X P p ．
而)26
.0100
2()6.02.16.01006.02.1(
)2.1100(≤-≤-=≤-≤-=≤-X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2(-Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ= 9544.019772.02=-⨯= 故0456.09544.01=-=p ．
三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度
3200
)20(22401)(--
=
x e
x f π
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率． 解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为
}30{}30{}30{>⋃>⋃>=ξξξD 第三次第二次第一次
因为)40,20(~2
N ξ，所以由事件的相互独立性，有
31,01,033)]25
.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ-+-=>+-<=>=ξξP ξP D P 13025.05069.0)8944.05987.02(3
3
≈=--= 于是有
86975.013025.01)(1}30{=-=-=<D P P 米至少有一次绝对值三次测量中ξ．
四、设随机变量),(~2
σμN X ，求随机变量函数X e Y =的概率密度（所得的概率分布称为对
数正态分布）．
解：由题设，知X 的概率密度为
)(21)(22)(+∞<<-∞=
--
x e
x f x X σμσ
π
从而可得随机变量Y 的分布函数为
)()()(y e P y Y P y F X Y ≤=≤=．
当0≤y 时，有0)(=y F Y ；此时亦有0)(='y F Y ．
当0>y 时，有
dx e
y X P y F y
x Y ⎰∞
---
=
≤=ln 2)(2
221
)ln ()(σμσ
π．
此时亦有2
2)(ln 21)(σμσπ--
=
'y Y e
y
y F ．
从而可得随机变量Y 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=--.
0,21;0,
0)(22
2)(ln y e y
y y f y Y σμσπ
五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211σμN X ，),(~2
22σμN Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z +=1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z =2的数学期望与方差．
解：由题设，有211)(,)(σμ==X D X E ；222)(,)(σμ==Y D Y E ．从而有
(1)211)()()()()()(μμb a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E +=+=+=+=；
2
2
2212221)()()()()()(σσb a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D +=+=+=+=． (2)212)()()()(μμ===Y E X E XY E Z E ；
)()()()()()()()(2
2222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D -=-== )()()]()()][()([2
2
2
2
Y E X E Y E Y D X E X D -++= )()()()()()(2
2
X E Y D Y E X D Y D X D ++=
212
22
22
12
22
1μσμσσσ++=．
N （0,1）
则Y=X^2~卡方分布X^2(1) 所以EX^2=1
E(X^4)=DY+(EY)^2=2+1=3
E(X^5)=0.pdf 概率密度函数关于y 对称.
用定义求解而不是性质,X4次方当成一个g(x)函数,根据定义,E （X4次方）=积分符号g(x)f(x)dx,其中f(x)是标准正态分布的概率密度.用分部积分法求解,不过运算很麻烦.还有另一种解这种复杂积分的方法,用一个叫F （符号我打不出来）函数的性质解,前提你熟悉这个F 函数,在浙大教材P79有提过这个函数
因为 X 的均值为N ，方差为D ，
所以有 E(X^2)= D(X) +[E(X)]^2= D +N^2
令 Y = (X-N)/(D^0.5)，则Y 服从标准正态，即均值为0，方差为1。
则 E(Y^3) = 0 又
X = Y * D^0.5 +N
X^3 = [(Y*D^0.5) + N]^3 = Y^3 * D^1.5 + 3* Y^2 *D*N + 3*Y*N^2*D^0.5 + N^3 所以
E(X^3) = 3 *D*N E(Y^2) + N^3 = 3 DN + N^3。