正态分布的数学期望与方差
人教版高中数学选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(教师版)
1
( x )2
e 2 2 ,x R,
0,
R
2
7.正态分布 (1)若 X 是一个随机变量，对任给区间
(a， b]，P(a<X≤ b)恰好是正态密度曲线下方和
X 轴上 (a，
b]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量
X 服从参数为 和 2 的正态分布，简记为 X～
N( , 2 ).
(2)我们将正态分布 N(0，1)称为标准正态分布， 通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分 布的随机变量的有关概率 .
3
33
(3) 由 (1)知 P(
4 2) .
27
练习 5： 有一名运动员投篮的命中率为 0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若
投进则停止，但最多投篮 5 次，求他投篮次数的数学期望 .
[解析 ] 若该运动员投篮 1 次，则 P( =1)=0.6；若投篮 2 次，则说明他第 1 次没有投进，而第 2
类型二 .离散型随机变量的方差、标准差
例 2： 已知随机变量 X 的分布表为：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.15
0.25
0.25
求 V(X).
4
5
0.15
0.1
[解析 ] 因为 E(X)=0.1 × 0+0.15 × 1+0.25 × 2+0.25 × 3+0.15 × ，4+0.1 × 5=2.5
所以 V (X ) (0 2.5) 2 0.1 (1 2.5) 2 0.15 (2 2.5) 2 0.25 (3 2.5)2 0.25
态总体的数学期望为 ________.
[答案 ] 1
正态分布数学公式
正态分布数学公式
正态分布的公式：Y＝（X-μ）/σ～N（0，1）。
正态分布符号定义：
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为的高斯分布，记为N（μ，）。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
正态分布有两个参数，即均数（μ）和标准差（σ）。
μ是位置参数，当σ固定不变时，μ越大，曲线沿横轴，越向右移动；反之，μ越小，则曲线沿横轴，越向左移动。
是形状参数，当μ固定不变时，σ越大，曲线越平阔；σ越小，曲线越尖峭。
通常用表示标准正态分布。
主要特点：
1、估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2、制定参考值范围。
1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
2）百分位数法常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
3、质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警戒值，以作为上、下控制值。
这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
4、正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
六个常用分布的数学期望和方差
即
12
若随机变量X~U( a , b ),则
ab
(b a)2
E(X)
, D( X )
2
12
五.指数分布
随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：
f
(
x)
1
θ
e
x θ
0
x0 x0
E(X )
xf ( x)dx
x
1
e
x θ
dx
x
（ x）de θ
0
θ
0
（
x）e
x
x
e dx
X X1 X2 Xn
E( X ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n ) np
D( X ) D( X1 ) D( X 2 ) D( X n ) np(1 p)
即： 若随机变量X~B( n , p ),则
E( X ) np，D( X ) np(1 p)
E[3( X 2 1)] 3E( X 2 ) 3
3{D( X ) [E( X )]2 } 3 33
例2.已知X和Y相互独立，且X在区间(1，5)上服从
均匀分布， Y ~ N (1,求9)(1, ) (X,Y)的联合概率密度;(2)
E(3X 4Y 2) , D(3X 4Y 2)
E( X ) xf ( x)dx
b
x
1
dx
a ba
1 x2 b
ba 2 a
ab 2
E( X 2 ) b x 2
1
b3 a3 dx
a 2 ab b2
a ba
3(b a)
3
D( X )
E( X 2 ) [E( X )]2
标准正态分布的方差
标准正态分布的方差标准正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布，它具有许多重要的性质和特点。
在实际应用中，我们经常需要对标准正态分布的方差进行分析和计算。
本文将对标准正态分布的方差进行深入的探讨，希望能够为读者提供一些帮助。
首先，我们来回顾一下标准正态分布的定义。
标准正态分布又称为Z分布，它的概率密度函数是一个关于均值为0，标准差为1的正态分布。
其概率密度函数的表达式为：f(x) = (1/√(2π)) e^(-x^2/2)。
其中，e是自然对数的底，π是圆周率。
标准正态分布的概率密度函数是一个关于x的偶函数，其图像关于y轴对称。
标准正态分布的均值为0，标准差为1，其分布曲线呈钟型，且在均值处达到最大值。
接下来，我们来探讨标准正态分布的方差。
方差是衡量随机变量离散程度的一个重要指标，它描述了随机变量与其均值之间的离散程度。
对于标准正态分布来说，其方差为1。
这意味着标准正态分布的数据点相对于其均值的离散程度是已知的，这为我们在实际应用中的数据分析提供了便利。
在实际应用中，我们经常需要计算标准正态分布的方差。
为了计算标准正态分布的方差，我们可以利用方差的定义公式：Var(X) = E((X-μ)^2)。
其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E表示数学期望，μ表示随机变量X的均值。
对于标准正态分布来说，其均值为0，因此方差的计算可以简化为：Var(X) = E(X^2)。
接下来，我们来计算标准正态分布的方差。
由于标准正态分布的概率密度函数是一个偶函数，因此其在整个实数轴上的积分值是1。
我们可以利用这一性质来计算标准正态分布的方差。
利用方差的定义公式，我们可以得到：Var(X) = ∫(x^2 f(x))dx。
其中，f(x)是标准正态分布的概率密度函数。
将标准正态分布的概率密度函数代入上式，进行积分计算，即可得到标准正态分布的方差。
通过计算，我们可以得到标准正态分布的方差为1。
这一结果与我们之前的预期是一致的。
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差6、随机变量的独立性：若F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量 X , Y 相互独立。
简称 X 与Y 独立。
概率与数理统计重点摘要X1正态分布的计算：F(x) P(X x) ( )。
X 是服从某种分布的随机变量，求 Y f(X)的概率密度：f Y (y) f X (x)[h(y)] h'(y)。
(参见P66〜72)x y ..f (u, v)dudv 具有以下基本性质:⑴、是变量x , y 的非降函数;⑵、0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x , y 有：F( , y) F(x, ) 0;⑶、F(x, y)关于x 右连续，关于y 右连续；⑷、对于任意的(为，yd (X 2, y 2),捲 X 2,y 1 y ，有下述不等式成立：Fgy) F(X 1,y 2)F(X 2,yJ5、二维随机变量的边缘分布:f x (X ) f (x,y)dy 边缘概率密度：f Y (y)f (x, y)dxF X (X )XF(x,) [ f (u, y)dy]du边缘分布函数：y二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
F Y (¥)yF( ,y)[f (x, v)dx]dv2、随机变量函数的概率密度:3、分布函数F(x, y)4、一个重要的分布函数:arcta n -)(— 2arCtany)的概率密度为: 2f(x,y)F(x,y)x y62 2 2 (x 4)( y 9)F(x, y)7、两个独立随机变量之和的概率密度:f z (Z ) f x (x)f Y (z x)dx f Y (y)f x (z y)dy 其中 Z = x + Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z aX bY : N (a 1 b 2,a 2 12 b 2 2。
9、期望的性质: (3)、E(X Y) E(X) E(Y) ;(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y)。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
常见分布的期望与方差的计算
σ2
+ ∫ e− x θ d x
0
+∞ 2
+∞
=θ
D( X ) = E ( X ) − [ E ( X )] = ∫0
= 2θ 2 − θ 2
1 −x θ x ⋅ e d x − θ2 θ
= θ2
6. 正态分布
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) = e 2 πσ
( x − μ )2 − 2σ 2
i =1
n
(法二) X 的分布律为 ⎛ n⎞ k P { X = k } = ⎜ ⎟ p (1 − p )n− k , ( k = 0,1,2,", n), ⎝k⎠ n n ⎛ n⎞ k 则有 E ( X ) = ∑ k ⋅ P{ X = k } = ∑ k ⎜ ⎟ p (1 − p )n− k k =0 ⎝ k ⎠ k =0
∞
a < x < b,
其他 .
b
1 1 E ( X ) = xf ( x ) d x = x d x 则有 = (a + b). ∫−∞ ∫a b − a 2 D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 1 ⎛ a + b ⎞ (b − a ) 2 =∫ x dx−⎜ ⎟ = a b−a ⎝ 2 ⎠ 12
+∞ 2
( x − μ )2 − 2σ 2
分
布
参数
0< p<1 n ≥ 1, 0< p<1 λ>0
a<b
数学期望
p np
方差
p(1 − p )
np(1 − p )
两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布
常见分布的数学期望和方差
e x , x 0
f (x) 0, x0
E( X )
xf ( x)dx
x ex dx
0
x de x
0
xex
0
exdx
0
1
ex
0
1
.
14
2. 指数分布 X ~ E() .
E( X )
1
，D( X )
1
2
E( X 2 ) x 2 f ( x) dx x 2 ex dx
一、常见离散型分布的数学期望和方差
1. 0-1分布 X 0 1
P 1 p p
E( X ) 0(1 p) 1 p p . E( X 2 ) 02 (1 p) 12 p p ， D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p) .
E( X ) p D( X ) p(1 p)
2
方 差
正态 分布
f (x)
1
e ， ( x )2 2 2
x
2
( 0)
2
例1
设X
~
N
(
1
,
2 1
)
，Y
~
N
(2ຫໍສະໝຸດ ,2 2)
，且X ,Y
相互
独立，则 E( XY )
， D( XY )
.
解 E( XY ) 12 ,
D( XY ) E[( XY )2 ] [E( XY )]2
[D( X ) (EX )2 ][D(Y ) (EY )2 ] (12 )2
D. D(2 X 1) 4np(1 p)
解选
例2 设(D随).机变量X ,Y 相互独立且分布相同，则 X Y
与 2X 的关系是则( ).
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正态分布的数学期望与方差
正态分布：
密度函数为：分布函数为
的分布称为正态分布，记为N(a, σ2).
密度函数为：
或者
称为n元正态分布。
其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。
称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。
（1）验证是概率函数（正值且积分为1）
（2）基本性质：
（3）二元正态分布：
其中，
二元正态分布的边际分布仍是正态分布：
二元正态分布的条件分布仍是正态分布：
即（其均值是x的线性函数）
其中r可证明是二元正态分布的相关系数。
（4）矩，对标准正态随机变量，有
（5）正态分布的特征函数
多元正态分布
（1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换）
（2）n元正态分布结论
a) 其特征函数为：
b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。
表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布
c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即
表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定
d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关
e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。
则相互独立的充要条件为＝0
f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服
从一元正态分布
表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布
g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布
表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性
推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。
条件分布
若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望：
(称为关于的回归)
其条件方差为：
（与无关）。