简单随机变量之和与正态分布
正态分布及正态随机变量
正态分布及正态随机变量正态分布是连续型随机变量概率分布中的⼀种，你⼏乎能在各⾏各业中看到他的⾝影，⾃然界中某地多年统计的年降雪量、⼈类社会中⽐如某地⾼三男⽣平均⾝⾼、教育领域中的某地区⾼考成绩、信号系统中的噪⾳信号等，⼤量⾃然、社会现象均按正态形式分布。
正态分布中有两个参数，⼀个是随机变量的均值 µµ，另⼀个是随机变量的标准差σσ，他的概率密度函数 PDF 为：fX(x)=1√2πσe−(x−µ)2/(2σ2)fX(x)=12πσe−(x−µ)2/(2σ2)。
当我们指定不同的均值和标准差参数后，就能得到不同正态分布的概率密度曲线，正态分布的概率密度曲线形状都是类似的，他们都是关于均值 µµ 对称的钟形曲线，概率密度曲线在离开均值区域后，呈现出快速的下降形态。
这⾥，我们不得不专门提⼀句，当均值 µ=0µ=0，标准差σ=1σ=1 时，我们称之为标准正态分布。
还是⽼规矩，眼见为实，下⾯来观察两组正态分布的概率密度函数取值，⼀组是均值为 00，标准差为 11 的标准正态分布。
另⼀组，我们取均值为 11，标准差为 22。
代码⽚段：from scipy.stats import normimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npimport seabornseaborn.set()fig, ax = plt.subplots(1, 1)norm_0 = norm(loc=0, scale=1)norm_1 = norm(loc=1, scale=2)x = np.linspace(-10, 10, 1000)ax.plot(x, norm_0.pdf(x), color='red', lw=5, alpha=0.6, label='loc=0, scale=1')ax.plot(x, norm_1.pdf(x), color='blue', lw=5, alpha=0.6, label='loc=1, scale=2')ax.legend(loc='best', frameon=False)plt.show()。
随机变量及其分布正态分布
在自然科学中，许多测量误差都被认为服从正态 分布。这种假设允许使用统计方法进行误差分析 和建模。
正态分布在社会科学中的应用
能力和智力测试
正态分布在能力和智力测试中经常被用作模型，因为许多测试得分都呈现出正 态分布的形态。这使得教育工作者和心理学家能够对学生的能力或受试者的智 力进行评估和比较。
02 示例
人的身高、体重等都是连续型随机变量的例子。
03 性质
连续型随机变量的概率密度函数（PDF）描述了 变量在某个区间内取值的概率。
随机变量的数学期望与方差
数学期望（均值）
描述了随机变量取值的“平均”水平。对于离散型随机变量 ，数学期望是各个可能取值与对应概率的加权和；对于连续 型随机变量，数学期望是概率密度函数与自变量乘积的积分 。
02
随机变量的分类与性质
离散型随机变量
01 定义
离散型随机变量是指其取值集合是可数集的随机 变量。
02 示例
抛硬币的正面次数、掷骰子的点数等都是离散型 随机变量的例子。
03 性质
离散型随机变量的概率质量函数（PMF）描述了 每个可能取值的概率。
连续型随机变量
01 定义
连续型随机变量是指其取值集合是连续统（不可 数集）的随机变量。
它由均值和标准差两个参数完全决定，呈现出钟 02 形的曲线。
正态分布在自然界和社会现象中广泛存在，如测 03 量误差、人口身高、考试成绩等。
正态分布的概率密度函数
01 概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x μ)² / (2σ²)))，其中μ为均值，σ为标准差。
总结与展望
正态分布在统计学中的重要性总结
基础地位
中心极限定理随机变量和的分布接近正态分布的极限理论
中心极限定理随机变量和的分布接近正态分布的极限理论中心极限定理是概率论中的一项重要理论，它表明在一定条件下，大量相互独立的随机变量的和的分布接近于正态分布。
本文将探究中心极限定理的基本原理、相关概念及其应用。
1. 中心极限定理的基本原理中心极限定理是由一系列随机变量和的分布逐渐接近于正态分布这一现象构成的。
具体来说，中心极限定理是指当独立随机变量 X1,X2, ... Xn 具有相同的期望值μ 和方差σ^2 时，当 n 足够大时，这些随机变量的和 S_n = X1 + X2 + ... + Xn 的分布逼近于均值为nμ，方差为nσ^2 的正态分布。
2. 相关概念为了更好地理解中心极限定理，有几个相关概念需要了解：2.1 独立性：指随机变量之间互相独立，即一个随机变量的取值不受其他随机变量的影响。
2.2 同分布性：指多个随机变量具有相同的概率分布。
2.3 期望值：随机变量 X 的期望值 E(X) 表示该变量取值的平均数，反映了随机变量的平均水平。
2.4 方差：随机变量 X 的方差 Var(X) 表示该变量取值与期望值之间的离散程度，反映了随机变量的不确定性。
3. 中心极限定理的应用中心极限定理在实际问题中有着广泛的应用，其中一些常见的应用领域如下：3.1 统计学：中心极限定理为推断统计的基础，例如通过对样本的分析来推断总体的特征。
3.2 金融学：金融市场中的随机波动往往可以使用正态分布来描述，其中中心极限定理被广泛应用于风险管理、期权定价等领域。
3.3 生物学：许多生物学现象可以用随机变量来描述，中心极限定理可以用来解释这些现象。
3.4 物理学：中心极限定理在粒子物理学、热力学、量子力学等领域中有着重要的应用，可以帮助研究人员理解和预测实验结果。
4. 应用实例为了更好地理解中心极限定理的应用，以下是一个简单的实际案例：假设某个城市的某个时间段内的公交车到达时间是一个随机变量，该随机变量的期望值为10分钟，方差为4分钟。
个数为随机的独立正态随机变量之和不是正态分布的例子
个数为随机的独立正态随机变量之和不是正态分布的
例子
题目：个数为随机的独立正态随机变量之和不是正态分布的例子
摘要：
正态分布是统计学中最为重要的分布之一，它具有对称性、峰度和尖峰度等特点，在实际应用中广泛被使用。
然而，个数为随机的独立正态随机变量之和并不一定满足正态分布的性质，本文将通过阐述有关个数为随机的独立正态随机变量之和的相关概念、定义以及推导等内容，给出一个典型的例子并解释其结果。
第一部分：引言
1.1 背景和重要性
1.2 目的和意义
第二部分：相关概念和定义
2.1 正态分布的特性
2.2 随机变量
2.3 独立性
2.4 独立正态随机变量之和
第三部分：为何个数为随机的独立正态随机变量之和不一定是正态分布
3.1 问题陈述
3.2 结果推导
第四部分：典型例子和解释
4.1 独立正态随机变量之和的例子
4.2 结果解释
第五部分：实际应用和意义
5.1 对统计学和概率论的贡献
5.2 实际案例分析
第六部分：结论和展望
6.1 结论
6.2 展望未来研究方向
本文将按照上述大纲详细阐述，进一步探讨个数为随机的独立正态随机变量之和不满足正态分布性质的原因，并通过典型实例进行验证和解释。
统计学中的样本分布与总体分布的关系
统计学中的样本分布与总体分布的关系统计学作为一门关于收集、分析和解释数据的学科，主要研究的是从一定的总体中选取样本，并通过对样本的统计分析得出总体的特征和规律。
在统计学中，样本分布与总体分布之间存在着密切的关系。
本文将探讨样本分布与总体分布之间的关系，从而更好地理解统计学中的重要概念。
一、什么是样本分布和总体分布在开始分析样本分布与总体分布的关系之前，我们需要明确这两个概念的含义。
1. 样本分布：样本分布是指从总体中选取的、具有一定规模的、代表性的样本数据的分布情况。
样本分布是对总体的一种估计，通过样本数据的统计量，如均值、方差等来描述样本的特征和变异程度。
2. 总体分布：总体分布是指包含了全部个体、观察值或测量值的分布情况。
总体分布是研究对象的全集，也是样本所在的基本框架。
总体分布是通过对全部数据的描述，如概率密度函数、频数分布等来表达总体的特征和形态。
二、样本分布与总体分布的关系在统计学中，样本分布与总体分布存在着紧密的关系，它们既有区别，又有联系。
具体表现在以下几个方面：1. 样本是总体的一部分：样本是从总体中抽取的部分数据，它们代表了总体的特征和规律。
在得到样本数据后，可以通过对样本的统计分析来推断总体的性质。
因此，样本分布与总体分布的性质和形态存在一定的关联。
2. 样本分布逼近总体分布：当样本容量增大时，样本分布的特征逐渐接近总体分布的特征。
这是由于大样本量的随机性逐渐减小，样本的均值、方差等统计量更能准确地反映总体的性质。
3. 样本分布与总体分布形态一致：在某些情况下，样本分布的形态与总体分布的形态一致。
例如，如果总体分布服从正态分布，那么当样本容量足够大时，样本分布也会趋近于正态分布。
这是由于中心极限定理的作用，即将多个独立同分布的随机变量之和的分布逼近于正态分布。
4. 样本分布可用于总体的推断：通过对样本的分析得到的统计量，如置信区间、假设检验等，可以进行对总体的推断。
样本的统计量通过与总体参数相比较，能够帮助我们判断总体的性质和规律。
第八讲：正态分布及随机变量函数的分布.
一、分布函数(P27)定义(P27):设X是随机变量，对任意实数兀，事件{X <x}的概率P{X <x}称为随机变量X的分布函数.记为F(x)，即F(x) =P{X <x}P(X < a) =F(a)P(X VQ)= lim F(x)x—>a分布函数的性质(P28)(1) 单调不减性：若Xl<x2,则F(X1)<F(X2);(2) 规范寸生：对任意实数x, 0<F(x)<1,且F(—oo) = lim F(x) = 0,F(4-OO) = lim F(x) = 1;X—>—CO X—►-Foo(3) 右连续性；R卩对于任意实数心有；F(x0 +0) = lim F(x) = F(x0).KT威若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变最的分布函数一般地，对离散型随机变量，若P{X= x k}=p k, 其分布函数为F(x) = P{X <x}= 工以则X的分布函数为：F(x) = P{X <x} =+ "2二、离散型随机变量的分布函数一般结论：X X】x2・・设随机变量X的分布列为：_____________________________ k=l,2,X K7p i X V JC X 兀］V X V 兀？•XT? V X V 兀$连续型随机变(P30)定义(P31):对任意实数x,如果随机变量X的分布函数F (x)可以写成F(x)=P(X < 其时(x) > 0则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X ~ (-oo<X<+oo)密度函数的性质(P31-32)(1) 非负性f(X)x), (-O0<x<o0)；「+oo(2) 归一性j f(x)dx=l.⑶在f(x)的一切连续点处有F/(x)=/(x)(4)对任意实数6,连续型随机变量取该值的概率为零，即(-00<b<00),则P{X=b}=Oo连续型随机变量落入某区间的概 率等于 其密度函数在该区间上的积分或其分布函数在该区间“右端点” 处的值减去“左端点”处的值若随机变具们概率密度函数则称x 服从区间［a, b ］上的均匀分布。
正态分布ppt课件
1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1, 2 ， 若 P(X 0) P(X 3) 11 ， 则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称， 所以 P(X 0) P(X 2) ， 又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2
概率论与数理统计实践----正态分布
正态分布的性质及实际应用举例正态分布定义：定义1：设连续型随机变量的密度函数（也叫概率密度函数）为：式中，μ 为正态总体的平均值；σ 为正态总体的标准差； x 为正态总体中随机抽样的样本值。
其中μ 、σ 是常数且σ > 0，则称随机变量ξ 服从参数为μ 、σ 的正态分布，记作ξ ~ N(μ,σ).定义2：在（1）式中，如果μ = 0，且σ =1，这个分布被称为标准正态分布，这时分布简化为：（2）正态分布的分布函数定义3：分布函数是指随机变量X 小于或等于x 的概率，用密度函数表示为：标准正态分布的分布函数习惯上记为φ ，它仅仅是指μ = 0,σ =1时的值，表示为：正态分布的性质：正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作N（μ，σ）：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。
u变换：为了便于描述和应用，常将正态变量作数据转换。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。
正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
应用综述 ：1. 估计频数分布 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式即可估计任意取值范围内频数比例。
2. 制定参考值范围（1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指标。
（2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。
表3-1中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
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简单随机变量之和与正态分布
本文将笼统，随意的讲解，为什么多随机变量之和可以认为服从正态分布。
首先我们建立一个简单的随机变量之和的模型。
假设我们手里有一枚硬币，我们认定硬币的正面为1，反面为0，那么抛一次硬币的情况就是0或1且他们的概率都是50%。
如果我不写概率也是写概率的比例，那么这个比例可以写为1：1。
现在我们抛两次硬币，那么这个结果有四种，00，01，10，11。
相信你知道我在说什么。
那么正同我们提到的，我们要的是随机变量之和，所以我们有0，1，2。
且他们的比例可以很容易的得到，是1：2：1。
那么如果抛三次硬币呢？可能的结果就是0，1，2，3，而他们的比例是1：3：3：1。
也许你已经发现这个规律了，也许你没有，但我会告诉你的。
假如你抛2N次硬币，并且求和，那么其结果就是0，1，2……2N，共2N+1种可能。
这2N+1种可能的比例服从组合数C2N i。
你可以代入刚才抛三次的情况，C30：C31：C32：C33就是我们得到的1：3：3：1。
至于为什么这个比例符合组合数，抛两次硬币那里举了个例子，就不重复了。
这里简单的定义以下，每个随机变量称作X i他们的和称作Y，也就是：
2N
Y=∑X i
1
（为什么突然变成了抛2N次而不是抛N次，因为我想保证我抛的是偶数次，这样Y的均值就是N了，你会发现抛两次的时候，Y的均值就是1，但是如果你抛三次，Y的均值就会是1.5，我想避免这个小数。
）
所以接下来我们就要说明，组合数的分布规律为什么就成了正态分布。
那么首先，你相信这个结论吗?让我们从抛多次到抛少次，来看一下正态分布和这个组合数分布到底有多像。
从Y的取值范围你也能猜出，这里分别是N取5，10，15，20的情况，实际上除了N 取5，也就是抛10次的时候，你还能看得清楚红线和蓝线，当N取10也就是抛20次以后，两线其实非常吻合了。
你还可以看一下他们之间的误差，其峰值也是逐渐减小的。
有了直观图形，我们就得意识到，Y 从某种角度上确实也服从正态分布，尽管它其实是我们通过组合数构造出来的。
我们来看一下正态分布有个什么特点。
我们都知道正态分布是：
f (x )=1(x −μ)2
2σ2) 我认为，这个函数的本质其实就是：exp(−x 2)。
你可以对它取以下对数，那么他就成了二次函数−x 2，如果你愿意再对他求导，那么它就会变成−2x ，也就是线性函数。
即使你考虑了我所忽略的那几个东西，也不会改变这个函数的本质，那就是它取对数后，应该是二次项系数为负的二次函数，且既然是二次函数，求导，就是一次的了。
既然Y 的分布规律和它很相似，那么组合数也应该有类似的结论。
所以我们对组合数先取个对数，得到： ln (C 2N x )=∑ln(i)2N
2N−x+1−∑ln(i)x 1
（这里作为自变量习惯性的用字母x 表示，但是它的涵义是2N 个随机变量之和Y ）
然后我们需要对这个东西关于x 求导，但是它是离散的，没有导数，只能求差分。
（你对二次函数求差分其结果也还是一次的，所以这里用差分对比之前二次函数求微分，是没有关系的。
）
ln (C 2N x )−ln (C 2N x−1)=∑ln (i )2N
2N−x+1−∑ln (i )x 1−∑ln (i )2N 2N−x+2+∑ln (i )x−11
=ln (2N −x +1)−ln (x )
这个函数在x=N 附近的线性度非常的好。
我取N 为15，也就是抛30次硬币的情况下。
为什么呢，你可以对上式再求个导：
1x −2N −1−1x =2N +1x(x −2N −1)
因为我们说多个简单实验，所以N 应该比较大，不妨忽略了这个2N+1中的1，然后我们把这个函数左移N 个单位。
现在我们得到的就是：
2N x(x −2N)x=x+N → 2N (x +N)(x −N)=2N N 2−x 2
终于，一切豁然开朗了起来，这个函数的分母N 2−x 2在N 足够大，而x 又相对较小的时候，x 2就成了可以忽略的无穷小项，这样上式就成了一个常数，因为我们平移过，所以实际上这个函数近似的在N 的附近是一个常数。
这里继续取N 为15，看一下这个函数。
那么远离中心N的数，他们不能近似为常数怎么办呢？我的理解是，无论是正态分布，还是前面组合数这样的分布，远离中心的那些结果，都是概率极低事件，可以不去关心他。
所以最后的结论就是，由于组合数的这种分布方式，其在中心的附近的分布律可以和和正态分布一样，取对数后变化成二次函数，所以组合数的这种分布律可以很好的服从正态分布的。
有点不足的是，这里考虑抛硬币作为最基本模型，它的概率分布非常简单。
如果基本事件的分布律不是二元的而是多元的甚至是连续的，或基本事件的分布律不是这样对称的，那
么他们求和又是为什么能服从正态分布呢？那就再说吧= =。