山东省实验中学高三数学上学期期中试卷文(含解析)

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山东省实验中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题(含答案解析)

山东省实验中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|02,|1A x x B x a x a =<<=-<<，若{}|12A B x x ⋂=<<，则实数a =（）A ．1B ．2C ．—1D ．—22．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（）A ．1B ．1-C ．iD ．i-3．设D 为ABC 所在平面内一点,3DC BC =,则（）A ．3122AC AB AD=- B ．4133AC AB AD=- C ．32AC AB AD=- D ．43AC AB AD=- 4．已知命题“x ∃∈R ，使()24110x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3)-∞-B ．()5,3-C ．(5,)+∞D ．(3,5)-5．已知cos 2sin cos ααα=+，则πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．13C ．3-D ．13-6．已知1F ，2F 分别为椭圆22163x y +=的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，以2F 为圆心的圆与直线1PF 恰好相切于点P ，则1|PF |=（）A B ．2CD7．如图是一个由三根相同细棒,,PA PB PC 组成的支架，三根细棒,,PA PB PC 两两所成的角都为60 ，一个半径为2的小球放在支架上，且与三根细棒分别相切于点,,A B C ，则球心O 到点P 的距离是（）A ．3B ．4C ．D ．8．若10e 9a =，111110b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1110e c =，其中e 为自然对数的底数，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．c<a<b二、多选题9．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是抛物线()2:0C y ax a =>的焦点，两点,12a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()(),0B a b b <在抛物线C 上，则下列说法正确的是（）A ．抛物线C 的准线方程为4x =-B ．b =C ．2OA OB ⋅=-D ．11AF BF+=10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对于任意的*n ∈N ，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”．则以下数列{}n a 为“T 数列”的是（）A ．{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <B ．{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <C ．()1212n n n a n n ++=+D ．11a =，()210nn n a a ++-=11．若函数()()321,R,0f x ax bx a b a =+-∈≠有且仅有两个零点1x ，2x ，则下列说法正确的是（）A ．当a<0时，120x x +<B ．当a<0时，120x x +>C ．当0a >时，120x x +<D ．当0a >时，120x x +>12．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，13AA AB = ，1BE BB λ= ，1DF DD μ=，其中01λ<<，01μ<<，则（）A ．存在实数,λμ，使得1A 在平面CEF 内B ．存在实数,λμ，使得平面CEF 截该正四棱柱所得到的截面是五边形C ．存在实数,λμ，使得平面CEF 截该正四棱柱所得到的截面是六边形D ．存在实数,λμ，使得直线EF 与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等三、填空题13．已知函数()cos(π)(0π)f x x ϕϕ=+<<是定义在R 上的奇函数，则()1f =___________.14．已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，过点(3,3)P 作不过圆心的直线交圆C 于,A B 两点，则ABC 面积的取值范围是___________.15．正项等比数列{}n a 中，3212a a a =+，且存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为___________.16．已知0m ∀>，0n ∀>，不等式212ln ln 222m n m n +≥+-恒成立，则22m n -=___________.四、解答题17．设函数1()cos()sin ,(0,(.262f x x x f ππϕϕ=--∈=(1)求函数f （x ）的最小值；(2)已知凸四边形ABCD 中，()100AB AC AD f BAD ∠====，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.18．已知数列{}n a 满足111,(1)(1).n n a na n a n n +==+++(1)证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列：(2)设数列{}n b 满足1ln n n na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .19．已知函数()2eln 1x f x x=-（其中e 为自然对数的底数），函数()32g 1x x ax =++.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若对[]12,1,e x x ∀∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AB C V 为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.21．已知点()2,0A ，104,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上．(1)求双曲线E 的方程；(2)直线l 与双曲线E 交于M ，N 两个不同的点（异于A ，B ），过M 作x 轴的垂线分别交直线AB ，直线AN 于点P ，Q ，当M P PQ =时，证明：直线l 过定点．22．已知函数()()ln ,R f x ax x b a b =+∈(1)讨论()f x 的单调性；(2)若34ln 2b ≤-，证明：对于任意0a >，()f x 有唯一零点.参考答案：1．B【分析】由交集的概念列式求解，【详解】由题意知112a a -=⎧⎨≥⎩解得2a =．故选：B 2．B【分析】由复数除法运算可求得z ，由虚部定义得到结果.【详解】由(1)i 1i z -⋅=-得：1i11i iz --==--，iz ∴=-z ∴的虚部为1-.故选：B.3．A【分析】根据向量加法的首尾相连,根据13BC DC = 将AC 往,AB AD上拼凑即可得出结果.【详解】解:由题知13,3DC DC BC BC =∴= ,AC AB BC =+ 13AB DC=+ ()13DA B ACA =++ 1133AD AC AB =-+ ,即2133A AC A B D =-3122AB AC AD ∴=- .故选:A 4．D【分析】由题可得()24110x a x +-+>恒成立，由Δ0<即可求出.【详解】因为命题“R x ∃∈，使()24110x a x +-+≤”是假命题，所以，命题“R x ∀∈，()24110x a x +-+>”是真命题，所以，2Δ(1)160a =--<，解得35a -<<，故实数a 的取值范围是(3,5)-．故选：D.5．B【分析】利用二倍角余弦公式和辅助角公式化简可得π43α⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据ππsin sin 44αα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得结果.【详解】22cos 2cos sin πcos sin sin cos sin cos 43αααααααααα-⎛⎫==-=--= ⎪++⎝⎭，ππ1sin sin 443αα⎛⎫⎛⎫∴-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.6．A【分析】根据椭圆的定义，设2PF t =，得1PF t =，结合圆的几何性质列方程，从而求得t ，然后求得12PF F ∠.【详解】依题意a b c ===，设2PF t =，由椭圆定义得1PF t =，由于以2F 为圆心的圆与直线1PF 恰好相切于点P ，所以2221212PF PF F F +=，即()(22212tt +==，整理得260t -+=，得t =12PF PF =，所以12145PF F PF ∠=︒==，故选：A 7．C【分析】记OP 与平面ABC 交于点G ，由球的性质可知OG ⊥平面ABC 且G 为ABC 外接圆的圆心，根据已知条件可知ABC 为边长与AP 相等的等边三角形，设AP a =，利用正弦定理可求得AG ，根据Rt Rt AGP OAP ∽可构造比例关系求得OP .【详解】记OP 与平面ABC 交于点G ，连接,AG OA ；,,A B C 三点构成球O 的一个截面，∴由球的性质知：OG ⊥平面ABC ，且G 为ABC 的外接圆圆心，PA PB PC == ，,,PA PB PC 两两所成角均为60 ，,,PAB PAC PBC ∴ 为全等的等边三角形，ABC ∴ 为等边三角形，设AP a =，则1π23sin 3AB AG a =⋅，APO APO ∠=∠ ，π2AGP OAP ∠=∠=，Rt Rt AGP OAP ∴ ∽，AG OA AP OP∴=，2AP OP OA AG ∴=⋅⨯=故选：C.8．C【分析】构造函数()()()1e ee 1e 10111x x f x x x x x +⎡⎤=-=-+<<⎣⎦--，利用导数可求得()()()1e 101x g x x x =-+<<的单调性，得到()()00g x g >=，进而可得1010f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，知c a <；令()()()e 10xh x x x =-+>，利用导数可求得110111e 01010h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，结合幂函数单调性可得c b >，由此可得大小关系.【详解】令()()1e e 011xf x x x +=-<<-，则()()e1e 11x f x x x ⎡⎤=-+⎣⎦-，令()()()1e 101x g x x x =-+<<，则()e 0xg x x '=>，()g x ∴在()0,1上单调递增，()()00g x g ∴>=，又e01x <-，()0f x ∴<，1110110e e 0109f ⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭，即111010e e 9<，c a ∴<；令()()()e 10x h x x x =-+>，则()e 10xh x '=->，()h x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00h x h ∴>=，110111e 01010h ⎛⎫∴=-> ⎪⎝⎭，即11011e 10>；11y x = 在R 上单调递增，11111011e 10⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，即c b >；综上所述：b<c<a .故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用构造函数的方式比较大小的问题，解题关键是能够根据,,a b c 的形式，确定合适的函数模型，从而利用导数求解函数单调性，得到函数最值，将问题转化为函数值大小关系的比较问题.9．AB【分析】将A 点坐标代入抛物线方程，即可求得抛物线方程，由此可得准线方程，知A 正确；将B 点坐标代入抛物线方程即可求得b ，知B 正确；由向量数量积坐标运算可知C 错误；利用抛物线焦半径公式可求得,AF BF ，由此可确定D 错误.【详解】,12a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在抛物线C 上，212a ∴=，又0a >，解得:a =，2:C y ∴=；对于A，由抛物线方程知：准线方程为4x =，A 正确；对于B ，(),B a b 在抛物线C上，22b ∴==，又0b <，解得：b =，B 正确；对于C，,12OA ⎫=⎪⎪⎝⎭，OB =，(112OA OB ∴⋅=+⨯= C 错误；对于D，244AF =+=，44BF ==，1115AF BF ∴+=，D 错误.故选：AB.10．BC【分析】求出数列的前n 项和n S ，然后判断对n S ，有无正实数A ，使得n S A <成立.【详解】A 中，若{}n a 是等差数列，10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，是关于n 的二次函数，当n →+∞时，n S →+∞，对于任意的*n ∈N ，不存在实数A ，使得n S A <恒成立，所以数列{}n a 不是“T 数列”．B 中，若{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，则()11111112111111n n n n a q a a q a a q a S qq q q q q-==-≤+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”．C 中，()()1121112212n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以()1223111111112222232212n n n S n n +=-+-++-⨯⨯⨯⨯⋅+⋅ ()11112122n n +=-<+⋅，则数列{}n a 是“T 数列”．D 中，在数列{}n a 中，11a =，()210nn n a a ++-=，当n 是奇数时，20n n a a +-=，数列{}n a 中奇数项构成常数列，且各项均为1；当n 是偶数时，20n n a a ++=，即任意两个连续偶数项和为0，则对于任意的*n ∈N ，42n S n =，不存在实数A ，使得n S A <恒成立．所以数列{}n a 不是“T 数列”．故选：BC ．11．BC【分析】求导，令()0f x '=得到23bx a=-或0，根据()f x 有两个零点，()010f =-<得到123bx a=-，32427b a =，然后根据203b f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭分0a >和a<0两种情况分析2x 的大小即可.【详解】()()23232f x ax bx x ax b '=+=+，令()0f x '=，解得23bx a=-或0，因为()f x 有两个零点，所以0b ≠，因为()010f =-<，所以123b x a=-，3322284103279b b b f a a a ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，整理得32427b a =，当0a >时，()f x 的图象如下所示，33322222228420271081032792727b bb b a a f a a aa a -⎛⎫=+-==> ⎪⎝⎭，所以223b x a <，则120x x +<，故C 正确，D 错；当a<0时，()f x 的图象如下所示，因为203b f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以223b x a >，则120x x +>，故A 错，B 正确.故选：BC.12．ABD 【分析】取12λμ==，即可证得四点共面，知A 正确；根据正棱柱截面特征判断即可知BC 正误；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可构造方程确定,λμ之间的关系，得到D 正确.【详解】对于A ，取12λμ==，设1AB =，则13AA =，则11CE A F A E CF =====∴四边形1CEA F 为菱形，1A ∴在平面CEF 内，A 正确；对于B 、C ，截面CEF 与四棱柱的底面ABCD 仅有一个交点C ，则平面CEF 截该正四棱柱所得到的截面最多是五边形，不能是六边形，C 错误；当λμ=且1,,12λμ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，//EF 平面1111D C B A ，此时截面如下图所示，其中//MN EF ，则截面为五边形，B 正确；对于D ，假设存在,λμ，使得直线EF 与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等，则只需EF 与DA ，DC ，1DD 所成角相等即可；以D 为坐标原点，1,,DA DC DD正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，设1AB =，则()1,0,0A ，()0,0,0D ，()0,1,0C ，()10,0,3D ，()1,1,3E λ，()0,0,3F μ，()1,1,33EF μλ∴=---，()1,0,0DA = ，()0,1,0DC = ，()10,0,3DD = ，11EF DA EF DC EF DD EF DA EF DC EF DD ⋅⋅⋅∴==⋅⋅⋅ ，整理可得：331-=μλ，即13μλ-=，则当满足13μλ-=时，直线EF 与该正四棱柱的12条棱所在直线所成的角都相等，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查正棱柱截面、两条直线所成角问题的求解，本题D 选项中，涉及到直线所成角问题的求解，求解关键是能够将与12条棱的夹角问题转化为与3条棱的夹角问题，进而通过向量法确定结果.13．0【分析】根据题意得到()f x 关于()0,0对称，根据余弦函数的性质可得到π2ϕ=，代入函数即可得到答案【详解】因为()cos(π)f x x ϕ=+是定义在R 上的奇函数，故()f x 关于()0,0对称，所以(0)cos 0f ϕ==，解得ππ,Z 2k k ϕ=+∈，因为0πϕ<<，所以π2ϕ=，所以π()cos(πsin π2f x x x =+=-，所以()1sin π=0f =-，故答案为：014．(【分析】设出直线方程，然后表示出圆心C 到该直线的距离，然后求出距离的范围，然后用距离表示出面积，即可得到答案.【详解】因为()3,4C ，过点(3,3)P 的直线不过圆心，所以该直线的斜率存在，设其方程为()33y k x -=-，即330kx y k --+=，所以圆心C到该直线的距离为(]0,1d =，因为AB ==所以(12ABC S AB d =⋅== ，故答案为：(15．32【分析】根据等比数列通项公式可构造方程求得2q =，进而化简已知等式得到6m n +=，根据()141146m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，由3212a a a =+得：11212a q q a a =+，则22q q =+，解得：1q =-（舍）或2q =，14a =得：22222111216m n m n m n a a a qa a +-+-==⋅=，24m n ∴+-=，即6m n +=；()141141413556662n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝（当且仅当2m =，4n =时取等号），14m n∴+的最小值为32.故答案为：32.16．1【分析】将恒成立的不等式整理为()221ln 1ln 221022m m n n -++-+≥，设()ln 1f x x x =-+，利用导数可求得()()10f x f ≤=，根据()2202m f f n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭可确定212m =，21n =，由此可得结果.【详解】由212ln ln 222m n m n +≥+-得：()221ln 1ln 221022m m n n -++-+≥，设()ln 1f x x x =-+，则()111xf x x x -'=-=，∴当()0,1x ∈时，()0f x ¢>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<；()f x \在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()10f x f ∴≤=；2221ln 10222m m f m ⎛⎫∴=+≤ ⎪⎝⎭，()()2ln 2210f n n n =-+≤，又()2202m f f n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，()2202m f f n ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，212m ∴=，21n =，22211m n ∴-=-=.故答案为：1.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是采用构造函数的方式，令()ln 1f x x x =-+，将恒成立的不等式转化为()2202m f f n ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的形式，通过对于()f x 最值的求解确定自变量的取值.17．(1)1-(2)50【分析】（1）根据给定条件，求出ϕ，再借助三角恒等变换化简，三角函数性质求解作答.（2）由（1）的函数式，求出cos A 及sin2A ，令(0)3BAC πθθ∠=<<，将ABCD 面积表示为θ的函数即可求解作答.【详解】（1）依题意，由162f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得：cos 16πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而0,2πφ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即,636πππφ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，于是得06πφ-=，解得6pf =.()11cos sin sin sin sin cos 6226f x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+-=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当()526x k k Z ππ=+∈时，()f x 的最小值为1-（2）由（1）知，()cos 06f BAD BAD π⎛⎫∠=∠+= ⎪⎝⎭，在凸四边形ABCD 中，0BAD ∠π<<，即7,666BAD πππ⎛⎫∠+∈ ⎪⎝⎭于是得62BAD ππ∠+=，解得3BAD π∠=，设03BAC π∠θθ=<<（），则3DAC πθ∠=-，令凸四边形ABCD 的面积为S ，11sin sin 50sin sin 223ABC ADC S S S AB AC BAC AD AC DAC πθθ⎡⎤⎛⎫=+=⋅∠+⋅∠=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 150sin 50sin 23πθθθ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时取等号，所以凸四边形ABCD 面积的最大值为50.18．(1)证明见解析(2)n S ()2ln 1n =+【分析】（1）对()()111n n na n a n n +=+++进行整理得到111n n a a n n +-=+，即可说明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）将n b 变形为()221lnnn b n +=或()22ln 1ln n b n n =+-，然后求和即可.【详解】（1）法1：由()()111n n na n a n n +=+++，两边同除以()1n n +得，111n n a a n n +=++，111n n a an n+-=+（1n ≥）为常数，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项111a =，公差为1，法2：由()()111n n na n a n n +=+++得()111n n n a a n n ++=++，∴1111n n n n a a a an n n n+⎛⎫-=+-= ⎪+⎝⎭（1n ≥）为常数，∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，首项111a =，公差为1.（2）由()1111n a a n n n =+-⨯=，∴2n a n =，法1：()2121ln lnn n n n ab a n ++==，则()222222123ln ln ln12n n S n +=+++ 2312ln 12n n +⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭ ()2ln 1n =+.法2：()()222121ln ln ln 1ln n n n n ab n n a n ++===+-，则()()()222222ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n S n n ⎡⎤=-+-+++-⎣⎦()22ln 1ln1n =+-()2ln 1n =+.19．(1)2e 2e 10x y ---=(2)[)1,-+∞【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率()1f '，结合()11f =-可求得切线方程；（2）将问题转化为()()max min f x g x ≤；利用导数可求得()f x 单调性，得到()max 1f x =；求得()g x '后，分别在213a -≤、21e 3a <-<和2e 3a-≥的情况下，讨论()g x 的单调性，得到()min g x ，由此可构造不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）()()22e 1ln x f x x-'=，()12e f ∴'=，又()11f =-，()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为：()12e 1y x +=-，即2e 2e 10x y ---=.（2）对[]12,1,e x x ∀∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，()()max min f x g x ∴≤；()()22e 1ln x f x x-'=，∴当[]1,e x ∈时，()0f x '≥恒成立，()f x \在[]1,e 上单调递增，()()max e 1f x f ∴==；()()23232g x x ax x x a '=+=+，令()0g x '=，解得：0x =或23ax =-；①当213a -≤，即32a ≥-时，()0g x '≥在[]1,e 上恒成立，()g x ∴在[]1,e 上单调递增，()()min 12g x g a ∴==+，由()()max min f x g x ≤得：12a ≤+，解得：1a ≥-；②当21e 3a <-<，即3e 322a -<<-时，若21,3a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，则()0g x '<；若2,e 3a x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，则()0g x '>；()g x ∴在21,3a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在2,e 3a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，()3min 2411327a ag x g ⎛⎫∴=-=+< ⎪⎝⎭，不满足()()max min f x g x ≤；③当2e 3a -≥，即3e2a ≤-时，()0g x '≤在[]1,e 上恒成立，()g x ∴在[]1,e 上单调递减，()()32min e e e 1g x g a ∴==++，由()()max min f x g x ≤得：321e e 1a ≤++，解得：e a -≥（舍）；综上所述：实数a 的取值范围为[)1,-+∞.20．(1)证明见解析(2)点E 存在，125CE CC =.【分析】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，证明1AB ⊥平面BFC ，可得1AB BC ⊥，再利用已知条件证明1AB ⊥平面1A BC ，可证得11AB AC ⊥.（2）建立空间直角坐标系，设出点E 坐标，利用法向量表示平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦，求出点E 坐标.【详解】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，如图所示：四边形11AA B B 为菱形，∴F 为1AB 的中点，有1BF AB ⊥，1AB C V 为等边三角形，有1CF AB ⊥，,BF CF ⊂平面BFC ，BF CF F ⋂=，∴1AB ⊥平面BFC ，BC ⊂平面BFC ，∴1AB BC ⊥，四边形11AA B B 为菱形，∴11AB BA ⊥，1,BA BC ⊂平面1A BC ，1BA BC B ⋂=，1AB ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，∴11AB AC ⊥（2）,O G 分别为,AC AB 的中点，连接1,B O OG ，由（1）可知1AB BC ⊥，又AC BC ⊥，1,AB AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，BC ⊥平面1AB C ，//OG BC ，OG ⊥平面1AB C ，1AB C V 为等边三角形，1B O AC ⊥，以O 为原点，OG，OC ，1OB 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(3,2,0)B，1B ，由11AB A B = ，11BC B C =，∴1(3,A --，1(C -，设()101CE CC λλ=≤≤ ，则1OE OC CC λ-=，有(()()13,2,0,2,03,22,OE CC OC λλλλ=+=--+=--,∴()3,22,E λλ--，()3,42,AE λλ=--，(10,2,AB =，设平面1AB E 的一个法向量(),,n x y z = ，则有()1342020AE n x y z AB n y λλ⎧⋅=-+-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令z ==3y -，44x λλ-=，即44,n λλ-⎛=-⎝ ，平面ABC 的一个法向量为1OB的方向上的单位向量()0,0,1m = ，若平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14，则有1cos ,4n m n m n m ⋅===⋅，24436λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，由01λ≤≤，∴446λλ-=-，解得2=5λ.所以，点E 存在，125CE CC =.21．(1)2214x y -=(2)证明见解析【分析】（1）将点坐标代入双曲线方程，即可求解,a b 的值，进而得双曲线方程；（2）设直线方程，联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，根据向量关系，转化为坐标关系，即可得,m k 的关系，进而可得直线过定点.【详解】（1）由题知，222224111014133a a b ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，得21b =，所以双曲线E 的方程为2214x y -=．（2）由题意知，当l ⊥x 轴时，Q 与N 重合，由M P PQ =可知：P 是MQ 的中点，显然不符合题意，故l 的斜率存在，设l 的方程为y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得()222148440k x kmx m ----=，则()()()222222641611416140k m m k m k ∆=++-=+->，即2214m k +>，且2140k -≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--，AB 方程为()124y x =-，令1x x =，得112,4x P x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，AN 方程为()2222y y x x =--，令1x x =得11222,2x Q x y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，由M P PQ = ，得111222222x x y y x --=+⋅-，即12121222y y x x +=--，即()()()()()12211212122242kx m x kx m x x x x x +-++-=-++⎡⎤⎣⎦，即()()()121214422480k x x k m x x m -+--+++=，将122814km x x k +=-，21224414m x x k+=--代入得即22416161680m km k k m ++--=，所以()()2220m k m k ++-=，得22m k =-或2m k =-，当22m k =-，此时由0∆>，得58k <，符合题意；当2m k =-，此时直线l 经过点A ，与题意不符，舍去所以l 的方程为22y kx k =+-，即()22y k x =-+，所以l 过定点()2,2．22．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，得到()0f x x '=>），对a 进行分类讨论，得到()f x 的单调性；（2）对a 进行分类讨论，①116a ≥时，利用导数的性质，通过证明()2111ln ln 244f x a x b x b a a a ⎫=-+≥-++⎪⎭，进而证明当116a ≥时，f （x ）有唯一零点；②1016a <<，记()0f x '=的两根为3434,()x x x x <，再研究其导函数，利用零点存在定理证明1016a <<时，f （x ）有唯一零点，题目得证.【详解】（1）()10f x a x x =='>），()2022t t g t at t =>=-+（）①若0a =，令()0g t >，得()0,2t ∈，所以()0,4x ∈令()0g t <，得()2,t ∞∈+，所以()4,x ∈+∞所以()f x 的增区间为(0,4)，减区间为(4,)+∞；②若0a <，令()0g t >，得10,4t a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以2180,8a x a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭令()0g t <，得t ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭所以x ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭所以()f x 的增区间为(0，减区间为，+∞）：③若0a >，116a ∆=-，若116a ≥，则()0g t >恒成立，f (x )的增区间为()0,+∞；若1016a <<，令()0g t >，得t ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令()0g t <，得11,44t a a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以22181888a a x a a ⎛⎫--∈ ⎪ ⎪⎝⎭所以f (x )的增区间为∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭减区间为⎝⎭（2）若34ln 2b ≤-，证明：对于任意0a >，()f x 有唯一零点.①当116a ≥时，由（1）知，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0x >时，令()ln 1h x x x =-+，()11h x x '=-，()h x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()10h x h ≤=，则ln 1x x ≤-，()()111f x ax x b a x b ≤-+=+--，()()2011t h t a t t b=>=+-+-，因为10124ln20a b+>-≤-<，，取()1121ta=+，此时()12141xa=+，则()10<f x又()2111ln ln244f x a x b x ba a a⎫=-++≥-++⎪⎭，令1ln04x ba-++>，得14,b ax e->取1421bax e-=+，则()2f x>所以当116a≥时，f(x)有唯一零点.②当116a<<时，由（1）知，记()0f x'=的两根为3434,()x x x x<，则()10,44a=∈，所以()30,16x∈，又()33f x'=，所322ax=所以()33333ln ln ln1f x ax x b x b x b=+=+=--，令()()φln10162x x b x=--<<，则()4φ04xx'=>所以()ϕx单调递增，所以()()164ln2214ln230x b bϕϕ<=-+-=-+≤，所以3()0xϕ<，即3()0f x<；又()44f x=='，所422ax=，()44444ln ln ln1f x ax x b x b x b=-+=+=--，由（1）得，()f x在3()0,x x∈和4(,)x+∞单调递增，在34(,)x x x∈时单调递减，14a+=(4,)∈+∞，故4(16,)x∈+∞，当4x x>时，取44x x=，所以，()44444ln4f x ax x b=-+444ln4ln44x b x b=-+=+-令()ln44k x x b=+-，则()10k xx'=>，所以()k x 单调递增，所以()(64)7ln 243ln 210k x k b >=+-=->，所以，故4(4)0f x >，根据()f x 的单调性，以及34()(4)0f x f x ⋅<，故()f x 在(0,)+∞上有唯一零点，所以当1016a <<时，()f x 有唯一零点.综上，当34ln 2b ≤-，对于任意0a >，()f x 有唯一零点【点睛】思路点睛：（1）求导，得到()0f x x '=>），通过换元法，转变为讨论二次函数的图像问题，讨论时，注意0a =，a<0和0a >三种情况（2）利用导数证明不等式问题，要注意，把证明进行转化，问题转化为，证明()2111ln ln 244f x a x b x b a a a ⎫=-+≥-++⎪⎭，再通过讨论a 的范围，利用导数性质，结合零点存在定理，进行化简证明.。

山东省实验中学高三上学期第三次诊断考试——数学文数

山东省实验中学2018届高三上学期第三次诊断考试数学（文）试题说明：本试卷满分150分。

分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I 卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{}{}260,2A x x x B x x =--≤=≥，则集合 A ．B ．C ．D ．2．设向量()(),1,4,,//a x b x a b ==且，则实数x 的值是 A ．0B ．C ．2D ．±23.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是 A.46，45，56 B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，534．设是两个不同的平面，直线．则“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知满足约束条件2212y x x y z x y x ⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为A ．B ．C ．3D ．46．已知等差数列的前项和为，若，则公差d 的值为： A ．1B ．2C ．4D ．87．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b -=⊥-=满足且，则 A ．B ．2C.D ．48．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，b 升，c 升，1斗为10升；则下列判断正确的是 A ．依次成公比为2的等比数列，且 B ．依次成公比为2的等比数列，且 C ．依次成公比为的等比数列，且 D ．够次成公比为的等比数列，且9．如图是函数()sin ,0,0,02y x x R A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y =sin x 的图象A ．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变B ．向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变D ．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 10．函数的图象可能是11．三棱锥面ABC ，1,AC BC AC BC PA ⊥===，A ．B ．C ．D ．12已知定义在R 的函数是偶函数，且满足()()[]2202fx f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是 A ． B ． C ． D ．第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．若点在函数的图象上，则=__________．14．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________． 15．已知函数()()sin 01f x x x a b π=<<≠，若，且，则的最小值为_____________. 16．己知数列{}111212312391:,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若，数列的前n 项和记为，则_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.) (一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知函数()222cos 1,f x x x x R =+-∈． (I)求函数的最小正周期和单调递减区间；(II)在中，A ，B ，C的对边分别为(),,1,sin 2sin a b c c f C B A ==，已知，求的值．18.(本小题满分12分)已知数列的前项和为()211,5,1n n n S a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列为等差数列； (II)令，求数列的前n 项和．19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损． (I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语知识的的时间y (单位：小时)与年龄x (单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)：由表中数据分析，x ，y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是()1221,ni ii nii x y nxyb a y bx xn x==-==--∑∑．20．(本小题满分12分)正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD ⊥===，点M 是EC 中点.（I ）求证：BM ∥平面ADEF ；（II ）求三棱锥M －BDE 的体积.21．(本小题满分12分)已知函数()()0.xf x e ax a a R a =+-∈≠且(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值； (Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a 的取值范围；(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中，点M 的坐标为，曲线C 的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l 经过点M ． (I)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程：(II)若P 为曲线C 上任意一点，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲](10分) 已知函数(I)当时，求的解集；(II)若不等式的解集包含，求的取值范围．参考答案1．选择题 DDABC CBDAA AC 二、填空题 13. 14. 15. 16.三、解答题 17. 解： )62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ……………2分(1)周期为 …………………………3分因为)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ…………………………4分所以ππππk x k +≤≤+326 所以函数的单减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ…………………………6分（2）因为1)62sin(2)(=+=πC C f ，所以…………………………7分所以3cos2)3(222πab b a -+=， (1)………………………9分又因为，所以 (2) …………………………10分由（1），（2）可得 …………………………12分18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+211得……………………………………3分又，所以数列是首项为，公差为的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知()415+=-+=n n nS n所以…………………………………5分当时，()()321414221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n又也符合上式，所以……………………………………………6分所以 ……………………………………………………7分所以()nn n T 23229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T所以()()()22122221023211431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T…………………………12分19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种情况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为； ……………………4分（2）由题意可知=35， =3.5， ……………6分所以 ……………8分所以． ……………10分当时， 201032021601007=+⋅=∧y =5.25小时．预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。

2018届山东省实验中学高三上学期第三次诊断考试数学(文)试题(解析版)

2018届山东省实验中学高三上学期第三次诊断考试文科数学试题（解析版）2017．12 说明：本试卷满分150分。

分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设集合，则集合A. B. C. D.【答案】D【解析】集合，根据集合的交集的概念得到集合。

故得到答案为：D。

2. 设向量，则实数x的值是A. 0B.C. 2D. ±2【答案】D【解析】向量因为，由向量平行的坐标运算得到故答案为：D。

3. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A. 46，45，56B. 46，45，53C. 47，45，56D. 45，47，53【答案】A【解析】中位数在45到47之间，众数为45，极差为68-12=56，所以选A4. 设是两个不同的平面，直线．则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：若，则存在过直线的平面与不平行，所以充分性不成立；必要性：若，则平面内的任意直线都与平行，则必要性成立，所以是必要不充分条件。

故选B。

5. 已知满足约束条件的最大值为A. B. C. 3 D. 4【答案】C【解析】根据不等式组画出可行域，可得可行域是一个封闭的三角形区域，记和交于点A（1，1），目标函数化为，根据图像可知，当目标函数过点A时，有最大值，代入得到3.故答案为：C。

6. 已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】由等差数列的概念及前n项和公式得到故答案为：C。

山东省实验中学2016届高三上学期第三次诊断考试(文)数学试题Word版含答案

山东省实验中学2013级高三第三次诊断性考试数学试题（文科） 2015.12第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|40,|2M x x x N x x =-<=≤，则M N ⋃=( ) A ．()2,4- B ．[)2,4- C ．()0,2 D ．(]0,2 2.下列说法不正确的是( )A ．若“p q ∧”为假，则,p q 至少有一个是假命题B ．命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“2,10x R x x ∀∈--≥” C ．“2πϕ=”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．当0α<时，幂函数y x α=在()0,+∞上单调递减 3.已知等差数列{}n a 中，74a π=，则()678tan a a a ++等于( )A ．3-B ．C ．-1D ．15.平面向量a 与b 夹角为23π，()3,0,2a b ==，则2a b +等于（）A ．13BC ．36.将函数()()f x x π=图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图像上所有的点向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调递减区间是（）A ．[]()41,43k k k Z ++∈B ．[]()21,23k k k Z ++∈C ．[]()21,22k k k Z ++∈D ．[]()21,22k k k Z -+∈7.设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线，则由下列命题： ①若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥ ②若,,l m m n n α⊥，则n α⊥ ③若,,l m m n αα⊥⊥，则l n ④若,,m n l αα⊂⊥⊥，则l m 则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 8.函数sin ln sin x x y x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图像大致是( )9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上是单调递减函数，若()()1ln ln 210f x f f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(),e +∞D ．()10,,e e ⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭10.已知M 是ABC 内的一点（不含边界），且23,30AB AC BAC ⋅=∠=︒，若,,MBC MAB MCA 的面积分别为,,x y z ，记()149,,f x y z x y z=++，则(),,f x y z 的最小值为( )A ．26B ．32C ．36D ．48第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q = . 12.已知ABC中，60a b B ===︒，那么角A 等于 .13.在ABC 中，90A ∠=︒，边1,2AC AB ==，过A 作AP BC ⊥交BC 于P ，且AP AB AC λμ=+，则λμ= .14.一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为.15.若函数()()2sin 21063f x x x ππ⎛⎫=+-<<⎪⎝⎭的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图像交于,B C 两点，则()OB OC OA +⋅= .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知向量()()sin ,sin ,cos ,cos ,sin 2m A B n B A m n C ==⋅=，且,,A B C 分别为ABC 的三边,,a b c 所对的角.⑴求角C 的大小；若sin ,sin ,sin A B C 成等差数列，且ABC的面积为c 边的长.17.（本小题满分12分）已知单调递增的等差数列{}n a 满足：352645,14a a a a =+=. ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的n N +∈，不等式2n T n λ<+恒成立，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，,,1,2,4,AD CD AB CD AB AD CD DE M ⊥====为CE 的中点.⑴求证：BM 平面ADEF ； ⑵求证：BC ⊥平面BDE ⑶求三棱锥C MBD -的体积.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，12a =，且()1212,n n a a n n N +-=+≥∈. ⑴求证：数列{}1n a -是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； ⑵设()1n n b n a =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：14n S ≤< 20.（本小题满分13分）设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. ⑴当m e =（e 为自然对数的底数）时，若函数()f x 在()()1,11a a a -+>上有极值点，求实数a 的范围； ⑵若函数()()'3xg x fx =-有两个零点，试求m 的取值范围. 21.（本小题满分14分）已知函数()()21+ln 1f x a x x =-+. ⑴若函数()f x 在区间[]2,4上是减函数，求实数a 的取值范围； ⑵当[)1,x ∈+∞时，函数()y f x =图像上的点都在1x y x ≥⎧⎨-≤⎩所表示的平面区域内，求实数a的取值范围.。

山东省实验中学2022届高三上学期第三次诊断考试数学(文)试题 Word版含答案

山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12说明：本试卷满分150分。

分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合{}{}260,2A x x xB x x=--≤=≥，则集合A B⋂=A．[]2,3-B．[]2,2-C．(]0,3D．[]2,32．设向量()(),1,4,,//a xb x a b==且，则实数x的值是A．0 B．2-C．2 D．±23.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A.46，45，56B.46，45，53C.47，45，56D.45，47，534．设,αβ是两个不同的平面，直线mα⊂．则“//mβ”是“//αβ”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知,x y满足约束条件2212y xx y z x yx⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为A．32B．52C．3 D．46．已知等差数列{}na的前n项和为nS，若45624,48a a S+==，则公差d的值为：A．1 B．2 C．4 D．87．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b-=⊥-=满足且，则A．2B．2 C. 22D．48．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗仆人要求赔偿5斗粟．羊仆人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马仆人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的仆人应偿还a升，b升，c升，1斗为10升；则下列推断正确的是A．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507a=B．,,a b c依次成公比为2的等比数列，且507c=C．,,a b c依次成公比为12的等比数列，且507a=D．,,a b c够次成公比为12的等比数列，且507c=9．如图是函数()sin,0,0,02y x x R Aπωϕωϕ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x的图象A．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B．向左平移至3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D．向左平移6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．函数()()sin ln 2x f x x =+的图象可能是11．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，为A ．5πB 2πC ．20πD ．72π12已知定义在R 的函数()f x 是偶函数，且满足()()[]2202f x f x +=-，在，上的解析式为()21,011,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨-≤≤⎩，过点()3,0-作斜率为k 的直线l ，若直线l 与函数()f x 的图象至少有4个公共点，则实数k 的取值范围是A ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,6423⎛-+ ⎝C ．1,623⎛-- ⎝D ．162,3⎛⎫- ⎪⎝⎭第II 卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.) 13．若点()4,tan θ在函数2log y x =的图象上，则sin cos θθ⋅=__________．14．一简洁组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．15．已知函数()()sin 01f x x x a bπ=<<≠，若，且()()f a f b =，则41a b +的最小值为_____________.16．己知数列{}111212312391:,,,,,,23344410101010n n n n a b a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅若，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，则2018S =_________.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.) (一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)已知函数()23sin 22cos 1,f x x x x R=+-∈．(I)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(II)在ABC ∆中，A ，B ，C 的对边分别为(),,3,1,sin 2sin a b c c f C B A===，已知，求,a b 的值．18.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为()211,5,1n n nS a nS n S n n +=-+=+.(I)求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(II)令2n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视状况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语学问的的时间y (单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对比表(如下表所示)：由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程y bx a=+，并猜测年龄为60岁观众周均学习成语学问的时间．参考数据：线性回归方程中,b a的最小二乘估量分别是()1221,ni iiniix y nxyb a y bxx n x==-==--∑∑．20．(本小题满分12分)正方形ADEF与梯形ABCD所在平面相互垂直，,//,2,4AD CD AB CD AB AD CD⊥===，点M是EC中点. （I）求证：BM∥平面ADEF；（II）求三棱锥M－BDE的体积.21．(本小题满分12分)已知函数()()0.xf x e ax a a R a=+-∈≠且(I)若函数()0f x x=在处取得极值，求实数a的值；并求此时()[]21f x-在，上的最大值；(Ⅱ)若函数()f x不存在零点，求实数a的取值范围；(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)在极坐标系中，点M的坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的方程为22sin4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为1-的直线l经过点M．(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．23．[选修4—5：不等式选讲](10分)已知函数(),f x x a a R=-∈(I)当1a=时，求()11f x x≥++的解集；(II)若不等式()30f x x+≤的解集包含{}1x x≤-，求a的取值范围．山东省试验中学2021级高三第三次诊断性考试数学试题(文科)2021．12一、选择题 DDABC CBDAA AC二、填空题 13. 52 14. π312- 15. 9 16. 20198072三、解答题 17. 解：)62sin(22cos 2sin 3)(π+=+=x x x x f ……………2分 (1)周期为π=T …………………………3分由于)(2236222Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ …………………………4分所以ππππk x k +≤≤+326所以函数的单减区间为Z k k k ∈++],32,6[ππππ…………………………6分（2）由于1)62sin(2)(=+=πC C f ，所以3π=C …………………………7分所以3cos2)3(222πab b a -+=，322=-+ab b a (1)………………………9分又由于A B sin 2sin =，所以a b 2= (2) …………………………10分由（1），（2）可得2,1==b a …………………………12分18. 解：⑴由()n n S n nS n n +=+-+211得111=-++nS n S nn ……………………………………3分又511=S ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是首项为5，公差为1的等差数列…………………………4分 ⑵由⑴可知()415+=-+=n n nS n所以n n S n 42+=…………………………………5分当2≥n 时，()()321414221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n又1a 也符合上式，所以()*32N n n a n ∈+=……………………………………………6分所以()nn n b 232+= ……………………………………………………7分所以()nn n T 23229272532++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=()()13322322122927252+++++⋯⋯+⋅+⋅+⋅=n n n n n T所以()()()22122221023211431-+=+⋯⋯++--+=+++n n n n n n T…………………………12分19. 解：（1）设被污损的数字为a ，则a 有10种状况．令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a ＜8， ……………………2分东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种状况，其概率为54108=； ……………………4分（2）由题意可知=35， =3.5，52541=∑=ii i yx 5400412=∑=i i x ……………6分所以2021,1007==∧∧a b ……………8分所以20211007+=∧x y ． ……………10分当60=x 时， 201032021601007=+⋅=∧y =5.25小时．猜测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。

山东省实验中学2018届高三上学期第三次诊断考试数学(文)试卷参考答案

数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题BDACDC CBBADA 二、填空题 13.)4,0[ 14.6667 15.)1,31( 16.512 三．解答题17、（1）数列{a n }为等差数列，∴d=（a 5﹣a 3）=2，又∵a 3=5，∴a 1=1，∴a n =2n ﹣1，当n=1时，S 1=b 1+，∴b 1=1，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=b n﹣b n ﹣1，∴b n =﹣2b n ﹣1，即数列{b n }是首项为1，公比为﹣2的等比数列，∴b n =（﹣2）n ﹣1…………………………6分（2）c n =a n •|b n |=（2n ﹣1）•2n ﹣1，∴T n =1×1+3×21+5×22+…+（2n ﹣3）•2n ﹣2+（2n ﹣1）2n ﹣1，则2T n =1×2+3×22+5×23+…+（2n ﹣3）•2n ﹣1+（2n ﹣1）2n ，两式相减，﹣T n =1+2（21+22+…+•2n ﹣1）﹣（2n ﹣1）2n=1+2×﹣（2n ﹣1）2n =1+2n ﹣1﹣4﹣（2n ﹣1）2n =﹣3+（3﹣2n ）2n，∴T n =（2n ﹣3）•2n+3． ………………………………………………………………………12分 18、分平面平面平面又的中点，、分别为、中，在，则连接与交设6..............................................................//,//,)1(AEC PB AECPB AEC OE PBOE PD BD E O BDP OE O AC BD ∴⊄⊂∴∆66641222131)41(316)2(22=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==∴⊥=-=∆--PO S V V ABCD PO OD PD PO ABD ABD F BDFA 面且，易知 ………………………………………………………………………12分19、（1）由题意可得如下列联表：……………………………………………………………………………………4分635.6061.6332001109050150)90302060(20022<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K …………………………………5分所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断 “课外体育达标”与性别有关．………6分（2）由题意，样本中“课外体育不达标”的学生有3人，记为：321A A A 、、；“课外体育达标”的学生有1人，记为：B .从这4人中抽取2人共有),(),(),(),(),(),(323213121B A B A A A B A A A A A 、、、、、6种情况，其中“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”有),(),(),(321B A B A B A 、、3种情况. 设“恰好抽到一名‘课外体育不达标’学生”为事件C ，则2163)(==C P . …………12分 20、（1）由椭圆C 的左顶点的坐标为)0,(a A -，上下定点的坐标为),0(),0(b C b B -、，右焦点的坐标为)0,(c F ，则直线AB 的方程为b x a b y +=，直线CF 的方程为b x cby -=。

【最新经典文档】山东省日照市高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)

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只有 D 符合条件．故选： D．
10．（ 5 分）函数形状是（）
（其中 e 为自然对数的底数）图象的大致
A．
B．
C
．
D．【解答】解： f（x） =（
﹣1）cosx=
cosx，
f（﹣ x）=
cos（﹣ x）=
cosx=﹣f（ x）．
∴ f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除当 0＜x＜时， ex＞1，cosx＞0，
7．（ 5 分）设变量 x，y 满足约束条件
，则 z=| x﹣ 3y| 的最大值为（）
A．4 B．6 C．8 D．10 8．（5 分）已知曲线 C1：y=sinx，
，则下列说法正确的是（）
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A．把 C1 上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C2
且公差相等，则 a6=（） A． B． C． D．1
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} 都是等差数列，
12．（ 5 分）已知函数 f（x）=k| x|+ 2（k∈R），若函数 y=| f（x）|+ k 有四个零点，
则实数 k 的取值范围是（
）
A．k＜2 B．k＜0 C．﹣ 2＜k＜0 D．k＞2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
图得：﹣ 2＜ k＜0．
故选： C．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．（ 5 分）设
=
．
14．（ 5 分）函数
的递减区间是
．
15．（ 5 分）已知正数 x， y 满足 x+y=1，则

山东省实验中学高三数学上学期第三次诊断考试试题文(

山东省实验中学2013级高三第三次诊断性考试数学 (文科)参考答案一选择题：DCCAC ABADC 二．填空题11.2 12.︒45 13.25414.3216 15. 32三、解答题16.解：（I ）)sin(cos sin cos sin B A A B B A +=⋅+⋅=⋅....................6分ABC ∆中，π=++C B A ，C B A sin )sin(=+∴，C sin =⋅∴....................3分又ΘC 2sin =⋅21cos ,cos sin 22sin sin =∴==∴C C C C C ，又π<<C 03π=∴C ..............6分（II ）ΘB C A sin ,sin ,sin 成等差数列，B A C sin sin sin 2+=∴，b a c +=∴2 ......8分36 ,39sin 21=∴=ab C ab Θ又..........10分由余弦定理ab ab b a C ab b a c --+=-+=2)(cos 22222.........11分363422⨯-=∴c c 6=∴c .........12分17.解：（1）由已知得 45,145353==+a a a a ,即53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,又数列{}n a 递增等差数列，得9,553==a a ，所以2=d ，得.12-=n a n -----------------------4分（2）11+⋅=n n n a a b )121121(21+--=n n ------5分所以)1211215131311(21+--++-+-=n n T n K 111)22n 121nn =-=++（． --8分由2+<n T n λ恒成立得，522)12)(2(++=++<nn n n n λ恒成立， -----------9分即min )522(++<nn λ，而95222522=+⋅≥++n n n n ，当且仅当nn 22=，即1=n 时等号成立， ∴9<λ．综上，实数λ的取值范围)9,(-∞. -----------12分18.解（I ）证明：取DE 的中点N ，连接AN MN ,在EDC ∆中，N M ,分别为ED EC ,的中点，所以CD MN //，且CD MN 21=,由已知CD AB //，CD AB 21=，所以AB MN //，且AB MN =所以四边形ABMN 为平行四边形-----------2分所以AN BM //，又因为⊂AN 平面ADEF ，⊄BM 平面ADEF ，BM ∥平面ADEF ----------4分（II ）证明：在矩形ADEF 中，AD ED ⊥又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD AD = 所以ED ⊥平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ，所以BC ED ⊥-----------6分在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC在BCD ∆中，2==BC BD ，2=CD ，因为222CD BC BD =+，所以BD BC ⊥，又因为D ED BD =I ，⊂ED BD ,平面BDE 所以⊥BC 平面BDE -----------8分（III ）取CD 中点G ，连接MG ，则DE MG //，且221==DE MG因为⊥ED 平面ABCD ，所以⊥MG 平面ABCD 又DB BC ⊥，且2==BD BCMG S V V BCD BCD M MBD C ⋅==∴∆--31=MG DB BC ⋅⋅⋅⋅2131=322222131=⨯⨯⨯⨯----------12分19.解：（I ）证明：)1(211)2121(111-=-+=---n n n a a a ，又0111≠=-a 所以数列{}1-n a 是首项为1，公比为2的等比数列. ----------3分1211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n a ，得1211+⎪⎭⎫⎝⎛=-n n a ----------5分（II ）121)1(-⎪⎭⎫⎝⎛=-=n n n n a n b ---------6分设12322212423221--+-+++++=n n n nn S Λ………………① 则n n n nn S 22124232221 211432+-+++++=-Λ……………②…………………8分 ①-②得：n n n n n nn S 22122212121212112111432--=-++++++=--Λ，所以1112242224---+-=--=n n n n nn S …………10分 42241<+-=-n n n S ,又0211>⎪⎭⎫⎝⎛=-n n n b ，所以数列{}n S 是递增数列，故11=≥S S n ，所以41<≤n S …………12分20.(I)当e m =时，xex x f +=ln )(，其定义域为).0(∞+………1分 221)(xe x x e x xf -=-='，当e x <<0时，0)(2<-='x e x x f ；当e x >时，0)(2>-='xex x f故)(x f 在),0(e 上单调递减，在),(+∞e 上单调递增………4分若函数()()()1,11f x a a a -+>在上有极值点，须,111⎪⎩⎪⎨⎧>>+<-a e a e a 解得11+<<-e a e ………6分（II ）313)()(2x x m x x x f x g --=-'=23333xx m x --=,其定义域为),0(+∞………7分令0)(=x g ，得x x m +-=331，令x x x h +-=331)(，其定义域为),0(+∞.则)(x g 的零点为)(x h 与m y =的公共点的横坐标. ………9分)1)(1(1)(2-+-=+-='x x x x h故当1=x 时，)(x h 取得最大值32)1(=h ………12分又,0→x 时，0)(→x h ；+∞→x 时，-∞→)(x h ，所以当320<<m 时，)(x g 有两个零点………13分 21（1）,1)1(2)(xx a x f +-='Θ函数)(x f 在区间[]4,2上单调递减, 01)1(2)(≤+-='∴x x a x f 在区间[]4,2上恒成立,即xx a +-≤212在[]4,2上恒成立, …………3分只需a 2不大于xx +-21在[]4,2上的最小值即可.当42≤≤x 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈+-121,2112x x , …………5分 212-≤∴a ,即41-≤a ,故实数a 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-41,. …………6分（2）因)(x f 图象上的点都在⎩⎨⎧≤-≥0,1x y x 所表示的平面区域内,即当[)+∞∈,1x 时,不等式x x f ≤)(恒成立,即01ln )1(2≤+-+-x x x a 恒成立,设)1(1ln )1()(2≥+-+-=x x x x a x g ,只需0)(max ≤x g 即可. …………9分由,1)12(211)1(2)(2xx a ax x x a x g ++-=-+-=' （i ）当0=a 时,xxx g -='1)(,当1>x 时,0)(<'x g ,函数)(x g 在),1(+∞上单调递减,故0)1()(=≤g x g 成立.（ii ）当0>a 时,由,)21)(1(21)12(2)(2xa x x a xx a ax x g --=++-='令0)(='x g ,得11=x 或ax 212=, ①若121≤a ,即21≥a 时,在区间[)+∞,1上,0)(≥'x g ,函数)(x g 在[)+∞,1上单调递增,函数)(x g 在[)+∞,1上无最大值,不满足条件； ②若121<a ,即210<<a 时,函数)(x g 在)21,1[a 上单调递减,在区间),21[+∞a上单调递增,同样)(x g 在[)+∞,1无最大值,不满足条件.（iii ）当0<a 时,由,)21)(1(2)(xa x x a x g --='因),1[+∞∈x ,故0)(≤'x g ,则函数)(x g在[)+∞,1上单调递减,故0)1()(=≤g x g 成立.综上所述,实数a 的取值范围是(]0-，∞. ………………………………14分。

山东省实验中学2018届高三上学期第三次诊断考试数学(文)试题含答案

山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试数学试题（文科）2017．12说明：本试卷满分150分。

分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第I 卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．第I 卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题。

每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合{}{}260,2A x x x B x x =--≤=≥，则集合A B ⋂=A ．[]2,3-B ．[]2,2-C ．(]0,3D ．[]2,3 2．设向量()(),1,4,,//a x b x a b ==且，则实数x 的值是A ．0B ．2-C ．2D ．±2 3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是A.46，45，56B.46，45,53C 。

47，45，56D 。

45，47,534．设,αβ是两个不同的平面,直线m α⊂．则“//m β"是“//αβ"的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知,x y 满足约束条件2212y x x y z x y x ⎧⎪≥⎪+≤=+⎨⎪⎪≥⎩，则的最大值为 A ．32B ．52C ．3D ．46．已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若45624,48a a S +==,则公差d 的值为:A ．1B ．2C ．4D ．8 7．已知不共线的两个向量(),22a b a b a a b b -=⊥-=满足且，则AB ．2 C. D ．48．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半."马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半。

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- 1 - 山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）设集合，则A∪B=（）

A． {x|﹣1≤x＜2} B． C． {x|x＜2} D． {x|1≤x＜2}

2．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（） A． 7 B． C． ﹣ D． ﹣7

3．（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（） ①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 ②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件 ③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0 ④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0” A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

4．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（） A． y=sinx B． a＜b C． D．

5．（5分）函数y=的图象可能是（）

A． B． C． D． 6．（5分）设a=log3π，b=log2，则（） A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． b＞a＞c D． b＞c＞a 7．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（） A． B．（﹣2，0） C．（﹣2，1） D．（0，1）

8．（5分）在△ABC中，若sin（A﹣B）=1+2cos（B+C）sin（A+C），则△ABC的形状一定是（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不含60°角的等腰三角形 - 2 -

9．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（） A． {x|﹣1＜x＜1} B． {x|＜﹣1} C． {x|x＜﹣1或x＞1} D． {x|x＞1}

10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9

二、填空题（本题包括5小题，共25分） 11．（5分）设g（x）=，则g（g（））=．

12．（5分）△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足a2+c2=b2+ac，则B=． 13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．

14．（5分）对任意实数x，若不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则k的取值范围是． 15．（5分）若函数f（x）满足∃m∈R，m≠0，对定义域内的任意x，f（x+m）=f（x）+f（m）恒成立，则称f（x）为m函数，现给出下列函数：①y=； ②y=2x；③y=sinx；④y=lnx 其中为m函数的序号是．（把你认为所有正确的序号都填上）

三、解答题（本题包括5小题，共75分） 16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． - 3 -

17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．

18．（12分）已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）+sinxcosx+cos2x （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）若0≤x≤，求函数f（x）的最值及取得最值时相应x的值．

19．（12分）已知函数f（x）=x2+2ax﹣a+2 （1）若对于任意x∈R，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若对于任意x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）若对于任意a∈[﹣1，1]，x2+2ax﹣a+2＞0恒成立，求实数x的取值范围．

20．（12分）已知函数．其图象的

两个相邻对称中心的距离为，且过点．（I）函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边，，，角C为锐角．且

满，求c的值．

21．（15分）已知函数f（x）=x2﹣（a+3）x+（2a+2）lnx．（1）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与2x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若不等式4n2ln（）≤2mn2+1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

山东省实验中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意） 1．（5分）设集合，则A∪B=（）

A． {x|﹣1≤x＜2} B． C． {x|x＜2} D． {x|1≤x＜2} - 4 -

考点：并集及其运算；一元二次不等式的解法．分析：根据题意，分析集合B，解x2≤1，可得集合B，再求AB的并集可得答案．

解答：解：∵，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}， ∴A∪B={x|﹣1≤x＜2}，故选A．点评：本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法．属于基础知识、基本运算的考查．

2．（5分）已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（） A． 7 B． C． ﹣ D． ﹣7

考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，

∴sinα=﹣=﹣， ∴tanα==，

则tan（﹣α）===．故选B 点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．

考点：特称命题；全称命题．专题：常规题型；计算题． - 5 -

分析：直接利用复合命题的真假判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；特称命题的否定判断③的正误；四种命题的逆否关系判断④的正误．解答：解：①若p∨q为真命题，p或q一真命题就真，而P∧Q为真命题，必须两个命题都是真命题，所以①不正确． ②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以②正确． ③命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则﹣p：∀x∈R，使得x2+x﹣1≥0；满足特称命题的否定形式，所以③正确． ④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．所以只有②③正确．故选B．点评：本题考查命题真假的判断，充要条件关系的判断，命题的否定等知识，考查基本知识的应用．

4．（5分）下列函数中既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减的是（） A． y=sinx B． a＜b C． D．

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的单调性．分析：本题考查的知识点是函数的奇偶性、函数的单调性．我们根据基本函数的性质，分别判断四个答案中是否满足既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，易得到答案．解答：解：y=sinx是奇函数，但在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错误； a＜b不是函数的解析式，故B错误；

既是奇函数又在区间[﹣1，1]上单调递减，故C正确；

为偶函数，故D错误；故选：C 点评：（1）若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．（2）对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解．可导函数则可以利用导数解之．（3）运用函数的单调性是求最值（或值域）的常用方法之一，特别对于抽象函数，更值得关注．

5．（5分）函数y=的图象可能是（）

A． B． C． D． - 6 -

考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．

分析：当x＞0时，，当x＜0时，

，作出函数图象为B．解答：解：函数y=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选B 点评：本题考查了函数奇偶性的概念、判断及性质，考查了分段函数的图象及图象变换的能力．

6．（5分）设a=log3π，b=log2，则（） A． a＞b＞c B． a＞c＞b C． b＞a＞c D． b＞c＞a 考点：对数值大小的比较．分析：利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．

解答：解：∵

∵，故选A 点评：本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．

7．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（） A． B．（﹣2，0） C．（﹣2，1） D．（0，1）

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，根据方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，可得f（1）＜0，从而可求实数m的取值范围．解答：解：构造函数f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2， ∵方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1， ∴f（1）＜0