2014-2015年北京市高考理科数学试题及答案
2014北京高考数学理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（ ）A ．{0}B ．{01}，C ．{02}，D ．{01,2}，2. 下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（）A．y =．()21y x =- C ．2x y -= D ．()0.5log +1y x =3. 曲线1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩ ，()θ为参数 的对称中心（）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．7B ．42C ．210D ．8405. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q “＞”是{}n a 为递增数列的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ．12-7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(1,1D ，若123S ,S ,S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A ．123S S S ==B ．12S =S 且31S S ≠C ．13S =S 且32S S ≠D ．23S =S 且13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ．10. 已知向量u r α、r b 满足1=r a ，()2,1=r b ，且()λλ+=∈0R r ra b ,则λ= ．11. 设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．12. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大．13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．14. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ωϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题共13分）如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 上，且=2CD ，1cos 7ADC ∠=（I ）求sin BAD ∠； （II ）求,BD AC 的长．16（本小题共13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：（1） 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过0.6的概率；（2） 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； （3） 记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比DCBA（）与x的大小（只需要写出结论）赛中命中次数，比较E X如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G 、H （Ⅰ）求证：//AB FG ；（Ⅱ）若PA ABCDE ⊥平面，且=PA AE ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.18.（本小题共13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈（I ）求证：()0f x …； （II ）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求与a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题共14分）已知椭圆22:24C x y +=（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.PHGFEDCA对于数对序列()11,P a b ，()22,a b ，⋅⋅⋅，(),n n a b ，记()111T P a b =+，()(){}()112max ,2k k k k T P b T P a a a k n -=+++⋅⋅⋅+剟，其中(){}112max ,k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示()1k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数， （1）对于数对序列()2,3P ，()4,1，求()1T P ，()2T P 的值．（2）记m 为a b c d 、、、四个数中最小值，对于由两个数对(),a b ，(),c d 组成的数对序列()(),,,P a b c d 和()()',,,P c d a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较()2T P 和()2'T P 的大小．（3）在由5个数对()11,8，()5,2，()16,11，()11,11，()4,6组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使()5T P 最小，并写出()5T P 的值．（只需写出结论）。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(理科)—北京卷
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y =2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）5.设n 是公比为的等比数列，则是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）. 17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数， （1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P c d a b ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.参考答案一、选择题（8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）. 1.C 【命题意图】本小题主要考查了一元二次方程的求解和集合的交集运算.【解析】∵2{|2}={0,2}A x x -x =，{0,1,2}B =，∴{0,2}A B =，故选C. 2.A 【命题意图】本小题主要考查了函数单调性的判定.【解析】对于选项A ，在[0,)+∞上为增函数，显然在(0,)+∞为增函数；对于选项B ，只在[1,)+∞上为增函数；对于选项C ，在R 上为减函数；对于选项D ，在(1,)-+∞上为减函数.故选A.3. B 【命题意图】本小题主要考查了图像的对称性、参数方程与普通方程相互转化及直线与曲线相交问题.【解析】由1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）可得22(1)(2)1x y ++-=，则表示圆心为(1,2)-，半径为1的圆，所以对称中心为(1,2)-，易知它在直线2y x =-上，故选B.4. C 【命题意图】本小题主要考查了算法程序框图的读取及其相关的运算.【解析】当输入7m =，3n =时，判断框内的判断条件是5k <，故能进入循环的k 值依次为7,6,5，顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⨯⨯=，故选C.5. D 【命题意图】本小题主要考查了等比数列的单调性的判定以及充分、必要条件的理解. 【解析】对于等比数列{}n a ，若1q >，且0n a <时，有{}n a 为递减数列，∴1q >⇒/ {}n a 为递增数列；若等比数列{}n a 为递增数列，则{}n a 中，满足10a <且01q <<，或者10a >且1q >.综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6. D 【命题意图】本小题主要考查了二元不等式组的求解及性规划问题.z y x =-在点2(,0)k-处取最小值， ，故选D.. 平面上的正投影为OBC∆，则12S =，设D 在yoz 平面平面上的正投影图形2D AC ∆，设D 在xoz 平面上的正投影为xoz 平面上的正投影图形3D AE ∆，显然23S S == D8. B 【命题意图】本小题主要考查了计数原理中的新定义，重在考查创新能力和逻辑应用能力. 【解析】用ABC 分别表示优秀、及格和不及格.显然语文成绩的A 的学生最多只有1个，语文成绩的B 的学生最多只有1个，语文成绩的C 的学生最多只有1个，因此学生最多只有3个.如（AC ），（BB ），（CA ）满足条件，故学生最多3个.故选B.二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.-1【命题意图】本小题主要考查了复数的四则运算. 【解析】212()112i ii i+==---..【解析】∵0a b λ+=,∴b a λ=-,于是||||||b a λ=，又∵(2,1)b =，可得||5b =，又∵||1a =，则||λ=11.221312x y -=,2y x =±【命题意图】本小题主要考查了双曲线方程的求解及其几何性质.【解析】双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±，故曲线C 的渐近线方程为2y x =±，设曲线C 的方程为224y x m -=，又因双曲线C 经过点(2,2)，∴22224m =-=3-，∴2234y x -=-，故双曲线C 的方程为221312x y -=. 12.8 【命题意图】本小题主要考查了等差数列的性质及其前n 项和最大的求解.【解析】由等差数列的性质得：789830a a a a ++=>，∴80a >，710890a a a a +=+<，∴90a <，∴87S S >，89S S >，故8S 为数列{}n a 前n 项和n S 的最大值. 13.36【命题意图】本小题主要考查了排列组合的应用.【解析】由题意得：42324232A A A A -=4812-=36.14.π 【命题意图】本小题主要考查了三角函数的单调性以及最小正周期的求解. 【解析】由()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且()()26f f ππ=-，知()f x 有对称中心(,0)3π，由2()()23f f ππ=知()f x 有对称轴127()22312x πππ=+=，设T 为最小正周期，则1226T ππ≥-，∴23T π≥，从而71234T ππ-=，故T π=. 三、解答题（共6小题，共80分） 15.（共13分）【命题意图】本题主要考查了同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的正弦公式以及正弦定理和余弦定理.解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=。
数学高考真题-2015北京理科
2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）数学（理科）第I 卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的） 1．复数()i 2i -=( ) A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --2．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．32D ．23．执行如图1所示的程序框图，输出的结果为( ) A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，开始x =1，y =1，k =0s =x -y ，t =x +y x =s ，y =tk =k +1k ≥3输出(x ，y )结束是否4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的表面积是( )图1正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A ．25+B ．45+C ．225+D ．5 6．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是( )A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 7．如图3，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是( )A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图4描述了甲、乙、丙三 辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）图2图3图49．在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）10．已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a = ．11．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为 ．12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．13．在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x =；y = ．14．设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. (本小题共13分)已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(I )求()f x 的最小正周期； (II )求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．16．（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(I )求甲的康复时间不少于14天的概率；(II )如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(III )当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 17．（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点． (I )求证：AO BE ⊥；(II )求二面角F AE B --的余弦值；(III )若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．18．（本小题13分） 已知函数()1ln 1x f x x+=-． O F ECB A(I )求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；(II )求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； (III )设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．19．（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．(I )求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；(II )设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．(I )若16a =，写出集合M 的所有元素；(II )若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； (III )求集合M 的元素个数的最大值．参考答案一、选择题1.A2.D3.B4.B5.C6.C7.C8.D 二、填空题9.40 10.33 11.1 12.1 13.12；16 14.1，12≤ a <1 或a ≥ 2 三、解答题15.解：（I ）因为22()sin (1cos )22f x x x =-- 2sin()42x π=+-，所以()f x 的最小正周期为2π. （Ⅱ）因为0x π-≤≤，所以3444x πππ-≤+≤.当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值.所以()f x 在区间[],0π-上的最小值为32()142f π-=--. 16.解：设时间1A 为“甲是A 组的第i 个人”，时间1B 为“乙是B 组的第i 个人”，i=1,2，…，7.由题意可知111()()7P A P B ==, i=1,2，…，7. （Ⅰ）由题意知，时间“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是5675673()()()()7P A A A P A P A P A =++=U U （Ⅱ）设时间C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C=41516171526272736676A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B U U U U U U U U U . 因此4151617152()()()()()()P C P A B P A B P A B P A B P A B =++++6272736676()()()()()P A B P A B P A B P A B P A B +++++ =1041()P A B =1041()()P A P B =1049. （III ）a=11或a=18.17. 解：（I ）因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF.又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB.所以AO ⊥BE.（Ⅱ）取BC 中点G ，连接OG.由题设知EFCB 是等腰梯形， 所以OG ⊥EF. 由（I ）知AO ⊥平面EFCB 又OG ⊂平面EFCB ， 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz ，则E （a,0,0），A（0，0，3a ），B （2，3（2-a ），0），EA u u u r =（-a ，0，3a ），BE u u u r=（a-2，3（a-2）,0）.设平面ABE 的法向量为n=（x,y,z ），则n 0,?n 0,?EA BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r即30,(2)3(2)0,ax az a x a y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩ 令z=1，则x=3，y=-1.于是n=（3，-1,1）.平面AEF 的法向量为p=（0,1,0）， 所以cos （n ，p ）=n pn p⋅=55-. 由题知二面角F-AE-B 为钝角，所以它的余弦值为55-. （III ）因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即0BE OC ⋅=u u u r u u u r.因为BE u u u r=（a-2 ，3（a-2），0），OC u u u r =（-2，3（2-a ），0），所以BE OC ⋅u u u r u u u r =-2（a-2）-32(2)a -.由0BE OC ⋅=u u u r u u u r 及0<a<2，解得a=43，18.解：（I ）因为()f x =ln （1+x ）-ln （1-x ），所以()f x '=1111x x++-，(0)f '=2. 又因为(0)f =0，所以曲线y= ()f x 在点（0 ，(0)f ）处的切线方程为y=2x.（Ⅱ）令()g x =()f x -2(x+33x )，则()g x '=()f x '-2（1+2x ）=4221x x-. 因为()g x '>0（0<x<1），所以()g x 在区间（0,1）上单调递增. 所以()g x >(0)g =0，x ∈（0，1）， 即当x ∈（0，1）时，()f x >2(x+33x ).（III ）由（Ⅱ）知，当k 《2时，()f x >k(x+33x )对x ∈（0，1）恒成立.当k>2时，令()h x =()f x - k(x+33x )，则()h x '=()f x '-k （1+2x ）=4221kx kx +--.所以当420k x k -<<时，()h x '<0，因此()h x 在区间（0，42k k-）上单调递减. 当420k x k -<<时，()h x <(0)h =0，即()f x < k(x+33x).所以当K>2时，()f x > k(x+33x )并非对x ∈（0，1）恒成立.综上可知，k 的最大值为2.19.解：（Ⅰ）由题意得2221,2,2.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a =2.故椭圆C 的方程为2212x y += 设M （m x ，0）. 因为m ≠0，所以-1<n<1.直线PA 的方程为y-1=1n x m-， 所以m x =1m n -，即M （1mn-，0）.（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B （m ，-n ），设N(N x ,0)，\则N x =1mn+. “存在点Q （0，Q y ）使得ZOQM=ZONQ 等价”，“存在点Q （0，Q y ）使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2Q M N y x x =.因为1M m x n =-，1N mx n=+，2212m n +=， 所以22221Q MN m y x x n===-. 所以Q y =2或Q y =-2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM=∠ONQ.点Q 的坐标为（0，2）或（0，-2）. 20.（Ⅰ）{6，12，24}.（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数.由12,18,236,18n n n nn a a a a a +≤⎧=⎨->⎩可归纳证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数.如果k=1，则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1，因为k a =21k a -或k a =21k a --36，所以21k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，；类似可得，2k a -，…，1a 都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数. （III ）由36a ≤，11112,18,236,18n n n n n a a a a a ----≤⎧=⎨->⎩可归纳证明36(2,3...)n a n ≤=.由于1a 是正整数，112112,18,236,18,a a a a a ≤⎧=⎨->⎩所以2a 是2的倍数.从而当3n ≥时，n a 是4的倍数.如果1a 是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n ，n a 是3的倍数.因此当3n ≤时，{}12,24,36n a ∈.这时M 的元素个数不超过5. 如果1a 不是3的倍数，由（Ⅱ）知所有正整数n ，n a 不是3的倍数. 因此当3n ≥时{}4,8,16,20,28,32n a ∈.这时M 的元素个数不超过8. 当1a =1时，{}1,2,4,8,16,20,28,32M =有8个元素. 综上可知，集合M 的元素个数最大值为8.。
2014北京高考数学理科
2014高考数学(北京理)一、选择题1．已知集合2{|20}A x x x =-=，{0,1,2}B =， 则AB =( )A .{0}B .{0, 1}C .{0, 2}D . {0, 1, 2} 2．下列函数中, 在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) A .1y x =+ B . 2(1)y x =- C . 2x y -= D . 0.5log (1)y x =+ 3．曲线1cos 2sin x y y θθ=-+⎧=⎨=+⎩，（θ为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B . 在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D . 在直线1y x =+上4．当7m =， 3n =时，执行如图所示的程序框图， 输出的S 值为()A . 7B . 42C . 210D . 8405．设{}n a 是公比为q 的等比数列， 则 “1q >” 是 “{}n a 为递增数列 ”的( ) A .充分且不必要条件 B . 必要且不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6．若x ，y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，且z y x =-的最小值为−4, 则k 的值为( )A . 2B . −2C .12 D .12- 7．在空间直角坐标系Oxyz 中， 已知(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(1,1,2)D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( ) A . 123S S S == B . 12S S = 且31S S ≠ C . 13S S =且32S S ≠ D . 23S S =且13S S ≠8．有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种. 若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好”. 现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。
2014-2015年大纲版高考理科数学试题及答案
绝密 ★ 启用前2014-2015年大纲版高考理科数学试题及答案数学（理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i - 【答案】D ．2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]- 【答案】B.3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．4.若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2B ．2C ．1D ．22【答案】B ．5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种【答案】C ．6.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 【答案】A ．7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于 （ ）A ．2eB ．eC ．2D ．1 【答案】C ．8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π【答案】A ．9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14 B ．13 C ．24 D ．23【答案】A ．10.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 【答案】C ．11.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 B ．24 C ．34D ．12 【答案】B.12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =-- 【答案】D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 8x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答） 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .【答案】5.15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 . 【答案】43． 16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\= ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨? ．18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，90ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小.D B 1C C 1A 1AB解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AA C C ，故平面11AA C C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AA C C ．连结1A C ，∵侧面11AA C C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AA C C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E =．∵1A C 为1ACC Ð的角平分线，故113A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1AFD Ð为二面角1A AB C --的平面角．由22111AD AA A D =-=得D 为AC 的中点，1115,tan 15,25A DAC BCDF A FD AB DF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为arctan 15．B 1C 1D C BAA 1EFzyx B 1C 1D CB AA 1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内． （I）设()1,0,A a c，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC AC AA a c BA a c =-=-=-=+=-=-由12AA =得()2222a c -+=，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =则1,,m CB m BB ^^即10,0m CBm BB ??．()0,1,0,CB =()112,0,,BB AA a c ==-故0y =，且()20a x cz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-，点A 到平面11BCC B 的距离为()222c o s ,2C A m cC A mC A c m c a ×?==+-．又依题设，点A 到平面11BCC B 的距离为3,3c \=．代入①解得3a =（舍去）或1a =．于是()11,0,3AA =-．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =，则1,n AA n AB ^^，即10,0,30n AA n AB p r ??\-+=，故且20p q -+=．令3p =，则23,1,q r ==()3,23,1n =．又()0,0,1p =为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p⋅==⋅，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+= ，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+ ，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()2221221,2,141D m m AB m y y m +=+-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m+-+=．设()()3344,,,,M x y Bx y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为()22234222412122123,,1m m E m MN y y mmmm++骣÷ç++-=+-=÷ç÷ç桫． 由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. （本小题满分12分）函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0a a -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数． （ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+ 上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+ 是增函数．当()0,x ? 时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3l n 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立； （ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含解析)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（北京卷，含解析）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1．复数()i 2i -=A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A 【解析】试题分析：(2)12i i i -=+ 考点：复数运算2.若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为A ．0B ．1 C．32D ．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 考点：线性规划；3.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，开始x=1，y=1，k=0s=x-y，t=x+yx=s，y=tk=k+1k≥3输出(x，y)结束是否【答案】B考点：程序框图4.设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．“mβ∥”是“αβ∥”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：因为α，β是两个不同的平面，m是直线且mα⊂．若“mβ∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，mα⊂，则有mβ∥，则“mβ∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点：1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是正(主)视图11俯视图侧(左)视图21A．25+ B．45+ C．225+ D．5【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC⊥平面ABC，取AB棱的中点D，连接CD、PD，有,PD AB CD AB⊥⊥，底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABCPD S∆=1222,2=⨯⨯=,12552PABS∆=⨯⨯=,AC BC=5=，1512PAC PBCS S∆∆==⨯⨯5=,三棱锥表面积表252S=+.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.6.设{}n a是等差数列. 下列结论中正确的是A．若12a a+>，则23a a+> B．若13a a+<，则12a a+<C．若120a a<<，则213a a a> D．若1a<，则()()2123a a a a-->【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法7.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是A B Oxy -122CA ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】考点：1.函数图象；2.解不等式.8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】【解析】试题分析：“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A 中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A 错误；B 中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B 错误，C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ，消耗8升汽油，C 错误，D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油,选D.考点：1.函数应用问题；2.对“燃油效率”新定义的理解；3.对图象的理解.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（共6个小题，每题5分，共30分） 9.在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答）【答案】40 【解析】试题分析：利用通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325240C ⋅=考点：二项式定理10.已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．【答案】33考点：双曲线的几何性质11.在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 3sin 6ρθθ=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标3)，再把直线的极坐标方程()cos 3sin 6ρθθ=化为直角坐标方程360x y +-=，利用点到直线距离公式136113d +-==+.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离. 12.在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理13.在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =u u u u r u u u u r ，BN NC =u u u r u u u r ．若MN x AB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，则x =；y =．【答案】11,26- 【解析】试题分析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC为y 轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2A M CB N ，1(2,),(4,0),2MN AB =-=u u u ru u r (0,3)AC =u u u r ，则1(2,)(4,0)(0,3)2x y -=+，11142,3,,226x y x y ==-∴==-. 考点：平面向量14.设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ⎧-<⎪=⎨--⎪⎩‚‚‚≥①若1a =，则()f x 的最小值为；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1)1，(2)112a ≤<或2a ≥.考点：1.函数的图象；2.函数的零点；3.分类讨论思想.三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 15．（本小题13分）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期；(Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值． 【答案】（1）2π，（2）21-- 【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x mωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：212--. 试题解析：(Ⅰ) 211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos 222x x =+-2sin()42x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤Q ，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212--考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质. 16.（本小题13分）A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16B 组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明） 【答案】（1）37，（2）1049，（3）11a =或1817.（本小题14分）如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．O FECBA【答案】(1)证明见解析，（2）55-，（3）43a = 【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF ⊥平面EFCB ，借助性质定理证明AO ⊥平面EFCB ，进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF 的法向量易得，只需求平面AEB 的法向量，设平面AEB 的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO BE ⊥，要想BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，利用向量、BE OC u u r u u r的坐标，借助数量积为零，求出a 的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：(Ⅰ)由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF △为等边三角形，O 为EF 的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥.(Ⅱ)取CB 的中点D ，连接OD,以O 为原点，分别以、、OE OD OA 为、、x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,03)A a ，(,0,0),(2,233,0),(,0,3)E a B a AE a a -=-u u r ，(2,233,0)EB a a =--u u r，由于平面AEF 与y 轴垂直，则设平面AEF 的法向量为1(0,1,0)n =u u r，设平面AEB 的法向量2(,,1)n x y =u u r ，2,-30,3n AE ax a x ⊥==u u r u u r，2,(2)(233)0,1n EB a x a y y ⊥-+-==-u u ru u r，则2n =u u r(3,1,1)-，二面角F AE B --的余弦值12121215cos ,55n n n n n n ⋅〈〉===-⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r ，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的余弦值为55-. （Ⅲ）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，(2,EB a =-u u r 233,0)a -，又(2,233,0)OC a =--u u r，22(2)(233)0BE OC a a ⋅=--+-=u u ru u r，解得2a =或43a =，由于2a <，则43a =. 考点：1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题. 18.（本小题13分）已知函数()1ln1xf x x+=-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 【答案】（Ⅰ）20x y -=，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为2.试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011x f x x f x f f x x+''=∈-===--，曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程为20x y -=；（Ⅱ）当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，即不等式3()2()03x f x x -+>，对(0,1)x ∀∈成立，设331()ln 2()ln(1)ln(1)2()133x x x F x x x x x x +=-+=+---+-，则422()1x F x x'=-，当()01x ∈，时，()0F x '>，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F >=，因此对(0,1)x ∀∈，3()2()3x f x x >+成立；（Ⅲ）使()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭成立，()01x ∈，，等价于31()ln()013x x F x k x x +=-+>-，()01x ∈，；422222()(1)11kx k F x k x x x +-'=-+=--，当[0,2]k ∈时，()0F x '≥，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F >=，符合题意；当2k >时，令402()0,(0,1)k F x x k-'==∈，()(0)F x F <，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 19.（本小题14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】 【解析】试题分析：椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，在椭圆上，利用条件列方程组，解出待定系数222,1ab ==，写出椭圆方程；由点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠，写出PA 直线方程，令0y =求出x 值，写出直线与x 轴交点坐标；由点(0,1),(,)P B m n -，写出直线PB 的方程，令0y =求出x 值，写出点N 的坐标，设0(0,)Q y ，,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠Q求出tan OQM ∠和tan ONQ ∠，利用二者相等，求出0y =Q （0，±使得OQM ONQ ∠=∠.试题解析：（Ⅰ）由于椭圆C ：()222210x y ab a b +=>>过点()01P ，且离心率为2，2211,1,b b==222c e a=22221112a b a a -==-=，22a =，椭圆C 的方程为2212x y +=. (0,1),(,)P A m n Q ,直线PA 的方程为：11n y x m -=+，令0,1m y x n ==-，(,0)1mM n∴-； 考点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. 20.（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试北京理科数学本试卷共5页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.) 1.(2015北京,理1)复数i(2-i)=( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 答案:A解析:i(2-i)=2i -i 2=2i -(-1)=1+2i .2.(2015北京,理2)若x ,y 满足{x −y ≤0,x +y ≤1,x ≥0,则z=x+2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2答案:D解析:根据题意,由约束条件画出可行域如图阴影部分所示. 目标函数z=x+2y ,即y=-12x+z 2.由图可知当直线y=-12x+z 2过点B (0,1)时,z 取最大值,且z max =0+2×1=2.3.(2015北京,理3)执行如图所示的程序框图,输出的结果为( )A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8) 答案:B解析:x=1,y=1,k=0,进入循环:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=0+1=1<3;s=0-2=-2,t=0+2=2,x=-2,y=2,k=1+1=2<3;s=-2-2=-4,t=-2+2=0,x=-4,y=0,k=2+1=3≥3,跳出循环,输出(x ,y ),即(-4,0). 4.(2015北京,理4)设α,β是两个不同的平面,m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B解析:充分性:若m ⊂α,m ∥β,则平面α和β可能平行也可能相交,所以充分性不成立;必要性:若α∥β,m ⊂α,则m ∥β,必要性成立.故“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件,选B .5.(2015北京,理5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( )A.2+√5B.4+√5C.2+2√5D.5 答案:C解析:由三视图还原几何体如图.∴S表面积=S△BCD+2S△ACD+S△ABC=1 2×2×2+2×12×√5×1+12×2×√5=2+√5+√5=2+2√5.6.(2015北京,理6)设{a n}是等差数列.下列结论中正确的是()A.若a1+a2>0,则a2+a3>0B.若a1+a3<0,则a1+a2<0C.若0<a1<a2,则a2>√a1a3D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0答案:C解析:设等差数列公差为d.对于A选项,a1+a2=2a1+d>0,而a2+a3=2a1+3d不一定大于0;对于B选项,a1+a3=2a1+2d<0,a1+a2=2a1+d不一定小于0;对于C选项,0<a1<a2,则公差d>0.所以a2=a1+a32>√a1a3;对于D选项,(a2-a1)(a2-a3)=-d2≤0.故只有C正确.7.(2015北京,理7)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}答案:C解析:如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC 的方程为y=-x+2,由{y =−x +2,y =log 2(x +1)得D 点坐标为(1,1).由图可知,当-1<x ≤1时,f (x )≥log 2(x+1),所以所求解集为{x|-1<x ≤1}.8.(2015北京,理8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案:D解析:对于选项A,从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5,故A 项错误;对于选项B,同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多,所以行驶相同路程,甲车油耗最少,故B 项错误;对于选项C,甲车以80千米/小时的速度行驶,1升汽油行驶10千米,所以行驶1小时,即行驶80千米,消耗8升汽油,故C 项错误;对于选项D,速度在80千米/小时以下时,相同条件下每消耗1升汽油,丙车行驶路程比乙车多,所以该市用丙车比用乙车更省油,故D 项正确.第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)9.(2015北京,理9)在(2+x )5的展开式中,x 3的系数为 .(用数字作答) 答案:40解析:(2+x )5展开式的通项为T r+1=C 5r 25-r x r ,令r=3,得T 4=C 5322x 3=10×4x 3=40x 3,∴x 3的系数为40. 10.(2015北京,理10)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a>0)的一条渐近线为√3x+y=0,则a= . 答案:√33解析:∵双曲线x 2a2-y 2=1的渐近线方程为y=±x a ,即y±xa=0.又a>0,∴1a =√3,∴a=√33.11.(2015北京,理11)在极坐标系中,点(2,π3)到直线ρ(cos θ+√3sin θ)=6的距离为 . 答案:1解析:∵x=ρcos θ,y=ρsin θ,∴点(2,π3)的直角坐标为(2cos π3,2sin π3),即(1,√3). ∵ρ(cos θ+√3sin θ)=6,∴ρcos θ+√3ρsin θ=6, ∴x+√3y-6=0.∴点(1,√3)到直线x+√3y-6=0的距离 d=|1+√3×√3−6|2=1. 12.(2015北京,理12)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC= .答案:1解析:在△ABC 中,由正弦定理知,sin2A sinC =2sinAcosA sinC =2cos A ·a c =2cos A×46=43cos A ,再根据余弦定理,得cos A=36+25−162×6×5=34,所以sin2A sinC=43×34=1.13.(2015北京,理13)在△ABC 中,点M ,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x= ,y= .答案:12-16解析:如图,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x=12,y=-16.14.(2015北京,理14)设函数f (x )={2x −a,x <1,4(x −a)(x −2a),x ≥1.①若a=1,则f (x )的最小值为 ;②若f (x )恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .答案:①-1 ②[12,1)∪[2,+∞)解析:①当a=1时,f (x )={2x −1,x <1,4(x −1)(x −2),x ≥1,当x<1时,2x -1∈(-1,1);当x ≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故f (x )的最小值为-1.②若函数f (x )=2x -a 的图象在x<1时与x 轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时,f (1)=2-a>0,所以0<a<2.同时函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有一个交点,所以{a <1,2a ≥1.故12≤a<1.若函数f (x )=2x-a 的图象在x<1时与x 轴没有交点,则函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1时与x 轴有两个不同的交点,当a ≤0时,函数f (x )=2x -a 的图象与x 轴无交点,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象在x ≥1上与x 轴也无交点,不满足题意.当21-a ≤0,即a ≥2时,函数f (x )=4(x-a )(x-2a )的图象与x 轴的两个交点x 1=a ,x 2=2a 都满足题意.综上,a 的取值范围为[12,1)∪[2,+∞).三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题13分)(2015北京,理15)已知函数f (x )=√2sin x 2cos x 2−√2sin 2x2. (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间[-π,0]上的最小值. 解:(1)因为f (x )=√22sin x-√22(1-cos x )=sin (x+π4)−√22, 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4. 当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f (x )取得最小值. 所以f (x )在区间[-π,0]上的最小值为f (−3π4)=-1-√22. 16.(本小题13分)(2015北京,理16)A,B 两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组:10,11,12,13,14,15,16 B 组:12,13,15,16,17,14,a假设所有病人的康复时间相互独立,从A,B 两组随机各选1人,A 组选出的人记为甲,B 组选出的人记为乙. (1)求甲的康复时间不少于14天的概率;(2)如果a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(3)当a 为何值时,A,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)解:设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”,事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”,i=1,2, (7)由题意可知P (A i )=P (B i )=17,i=1,2, (7)(1)由题意知,事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)=P (A 5)+P (A 6)+P (A 7)=37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”,由题意知,C=A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6.因此P (C )=P (A 4B 1)+P (A 5B 1)+P (A 6B 1)+P (A 7B 1)+P (A 5B 2)+P (A 6B 2)+P (A 7B 2)+P (A 7B 3)+P (A 6B 6)+P (A 7B 6) =10P (A 4B 1) =10P (A 4)P (B 1) =1049.(3)a=11或a=18.17.(本小题14分)(2015北京,理17)如图,在四棱锥A-EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面AEF ⊥平面EFCB ,EF ∥BC ,BC=4,EF=2a ,∠EBC=∠FCB=60°,O 为EF 的中点. (1)求证:AO ⊥BE ;(2)求二面角F-AE-B 的余弦值; (3)若BE ⊥平面AOC ,求a 的值.解:(1)因为△AEF 是等边三角形,O 为EF 的中点,所以AO ⊥EF.又因为平面AEF ⊥平面EFCB ,AO ⊂平面AEF , 所以AO ⊥平面EFCB ,所以AO ⊥BE.(2)取BC 中点G ,连接OG. 由题设知EFCB 是等腰梯形, 所以OG ⊥EF.由(1)知AO ⊥平面EFCB , 又OG ⊂平面EFCB , 所以OA ⊥OG.如图建立空间直角坐标系O -xyz , 则E (a ,0,0),A (0,0,√3a ),B (2,√3(2-a ),0),EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,0,√3a ),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0).设平面AEB 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−ax +√3az =0,(a −2)x +√3(a −2)y =0.令z=1,则x=√3,y=-1. 于是n =(√3,-1,1).平面AEF 的法向量为p =(0,1,0). 所以cos <n ,p >=n·p|n||p|=-√55. 由题知二面角F-AE-B 为钝角,所以它的余弦值为-√55.(3)因为BE ⊥平面AOC ,所以BE ⊥OC ,即BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,√3(a-2),0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3(2-a ),0), 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2(a-2)-3(a-2)2.由BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0及0<a<2,解得a=43.18.(本小题13分)(2015北京,理18)已知函数f (x )=ln 1+x1−x. (1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求证:当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33); (3)设实数k 使得f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立,求k 的最大值.解:(1)因为f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),所以f'(x )=11+x +11−x,f'(0)=2. 又因为f (0)=0,所以曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=2x. (2)令g (x )=f (x )-2(x +x 33), 则g'(x )=f'(x )-2(1+x 2)=2x 41−x2.因为g'(x )>0(0<x<1),所以g (x )在区间(0,1)上单调递增. 所以g (x )>g (0)=0,x ∈(0,1), 即当x ∈(0,1)时,f (x )>2(x +x 33). (3)由(2)知,当k ≤2时,f (x )>k (x +x 33)对x ∈(0,1)恒成立.当k>2时,令h (x )=f (x )-k (x +x 33), 则h'(x )=f'(x )-k (1+x 2)=kx 4−(k−2)1−x 2.所以当0<x<√k−2k4时,h'(x )<0,因此h (x )在区间(0,√k−2k4)上单调递减. 当0<x<√k−2k 4时,h (x )<h (0)=0, 即f (x )<k (x +x 33).所以当k>2时,f (x )>k (x +x 33)并非对x ∈(0,1)恒成立.综上可知,k 的最大值为2.19.(本小题14分)(2015北京,理19)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点P (0,1)和点A (m ,n )(m ≠0)都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M.(1)求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标(用m ,n 表示);(2)设O 为原点,点B 与点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N.问:y 轴上是否存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由题意得{b =1,c a=√22,a 2=b 2+c 2.解得a 2=2.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1. 设M (x M ,0).因为m ≠0,所以-1<n<1. 直线PA 的方程为y-1=n−1m x , 所以x M =m 1−n, 即M (m1−n,0). (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称,所以B (m ,-n ).设N (x N ,0),则x N =m1+n.“存在点Q (0,y Q )使得∠OQM=∠ONQ ”等价于“存在点Q (0,y Q )使得|OM||OQ|=|OQ||ON|”,即y Q 满足y Q 2=|x M ||x N |.因为x M =m 1−n ,x N =m 1+n ,m 22+n 2=1, 所以y Q 2=|x M ||x N |=m 21−n 2=2.所以y Q =√2或y Q =-√2.故在y 轴上存在点Q ,使得∠OQM=∠ONQ ,点Q 的坐标为(0,√2)或(0,-√2).20.(本小题13分)(2015北京,理20)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解:(1)6,12,24.(2)因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数.由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n −36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k ,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数.如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36,所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数.类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数,从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数.综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数.(3)由a 1≤36,a n ={2a n−1,a n−1≤18,2a n−1−36,a n−1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1−36,a 1>18,所以a 2是2的倍数.从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}. 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n ,a n 不是3的倍数. 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}. 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.。
2015年高考试题及解析：理科数学(北京卷)_中小学教育网
2015年北京高考数学（理科）真题本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数()i2i-=A．12i+B．12i-C．12i-+D．12i--【答案】A【解析】i（2－i）＝1＋2i【难度】容易【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
2．若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为A．0 B．1 C．32D．2【答案】D 【解析】可行域如图所示目标直线的斜率为12-，易知在（0，1）处截距取得最大值，此时z＝4．【难度】容易【点评】本题考查分段函数值域求解。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第二章《函数》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对函数相关知识的总结讲解。
3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．()22-，B ．()40-，C ．()44--，D ．()08-，【答案】B 【解析】程序运行过程如下表所示故输出结果为（－4，0） 【难度】容易【点评】本题算法初步。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。
4．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】两平面平行，则一平面内的任意一条直线与另一平面平行，故“m β∥”是“αβ∥”的必要条件． 若“m β∥”，“αβ∥”不一定成立，反例如下图所示．【难度】容易【点评】本题考查立体几何中点到直线的距离问题。
2015年高考理科数学北京卷(含详细答案)
无A．充分而不必要条件
--------------------
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
效数学试卷第1页（共18页）
1
211
正(主)视图侧(左)视图
俯视图
A．25B．45C．225D．5
6．设{a}是等差数列.下列结论中正确的是（）
n
A．若aa0，则aa0B．若aa0，则aa0--------在绝密★启用前
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
--------------------2015年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学（理科）
此
--------------------本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上.
9．在（2x）的展开式中，x3的系数为________（用数字作答）.
10．已知双曲线x2y2（a0）的一条渐近线为3xy0，则a________.
a2
11．在极坐标系中，点（2‚π
12．在△ABC中，a4，b5，c6，则sin2A
13．在△ABC中，点M，N满足AM2MC，BNNC．若MNxAByAC，则x
_______；y_______.
2xa‚x1‚
14．设函数（x）
4(xa)(x2a)‚x≥1.
①若a1，则f(x)的最小值为__________；
②若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
2015年北京高考数学(理科)真题
2015年北京高考数学（理科）真题本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效•考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项. 1.复数i 2 iA . 1 2iB . 1 2iCx y 三0 ,2.若 x ,y 满足 x y 三1,则 z x 2y 的最大值为x> 0 ,A . 0B . 1CD . 1 2i4.设A .充分而不必要条件 C .充分必要条件是两个不同的平面,4, 4m 是直线且m? . m // "是B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件// ”的3 •执行如图所示的程序框图，输出的结果为1 2i B .5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是A. 2 5B. 4 5C. 2 2 5D. 5 6•设a n是等差数列.下列结论中正确的是A LT *A .右a1320 ,则32 33 0B .若a133 0 ,贝U 31 32 0C.若0a32，则32 aQ3 D .若玄丄0，贝y 32 31 32 33 07.如图，函数f x的图象为折线ACB，则不等式 f x > log2x 1的解集是C. x| 1 x < 1A •消耗1升汽油，乙车最多可行驶 5千米B •以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D •某城市机动车最高限速 80千米/小时•相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分.②若f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________59.在2 x 的展开式中,x 3 的系数为•（用数字作答）210.已知双曲线x 2a0的一条渐近线为3x y 0 ,则a11.在极坐标系中，点 2?n到直线 cos 3sin 6的距离为12.在△ ABC 中，a c 6,则 Sin2Asi nC13.在△ ABC 中，点N 满足 uuuAMUlLU UJIT uuir » ujun uuu uuu2MC , BN NC •若 MNxAB yAC ，贝U x14•设函数x2 a?1? 4 x a x 2a ? x > 1.①若a 1,则 f x 的最小值为&汽车的 燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽三、解答题(共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程) 15.(本小题13分)已知函数f(x)施sin —cos—\ 2 si n2.2 2 2(I )求f(x)的最小正周期；(H )求f (x)在区间［n, 0］上的最小值.16.(本小题13分)A , B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10, 11, 12, 13, 14, 15, 16B 组：12, 13, 15, 16, 17, 14, a假设所有病人的康复时间互相独立，从 A , B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.(I )求甲的康复时间不少于14天的概率；(n )如果a 25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(川)当a为何值时，A , B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)18. （本小题13分）1 X 已知函数f x ln .1 x（I ）求曲线y f x 在点0, f 0处的切线方程;x 3（n ）求证：当 x 0,1 时，f X 2 x ;33x k x x 对x 0, 1恒成立，求k 的最大值.17.（本小题14分）如图，在四棱锥 A EFCB 中，△ AEF 为等边三角形，平面 AEF 平面 EFCB ,EF II BC , BC (I )求证：AO(n )求二面角F4, EF 2a , EBC BE ;AE B 的余弦值；FCB 60 , O 为EF 的中点.（川）若BE 平面AOC ,求a 的值.（川）设实数k 使得C19. （本小题14分）2 2 f2已知椭圆C : x2y2 1 a b 0的离心率为，点P 0, 1和点Am, n m工0都a b 2在椭圆C上，直线PA交x轴于点M .（I）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m , n表示）;（n）设o为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N •问：y轴上是否存在点Q，使得OQM ONQ ?若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由.20. （本小题13分）、，* 2a n, a n w 18,已知数列a n满足：a1 N , a w 36，且a n 1 n 1, 2,…2a n 36 , a. 18记集合M a n | nN* .（I）若a t 6，写出集合M的所有元素；（n）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数; （川）求集合M的元素个数的最大值.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
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绝密 ★ 启用前 2014-2015年北京市高考理科数学试题及答案
数学（理工类）
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合2{|20},{0,1,2}AxxxB，则AB( )
.{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)上为增函学科网数的是（ ） .1Ayx 2.(1)Byx .2xCy
0.5.log(1)Dyx
3.曲线1cos2sinxy（为参数）的对称中心（ ） .A在直线2yx上 .B在直线2yx上
.C在直线1yx上 .D在直线1yx上
4.当7,3mn时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） .7A .42B .210C .840D
5.设{}na是公比为q的等比数列，则"1"q是"{}"na为递增数列的（ ） .A充分且不必要条件 .B必要且不充分条件 .C充分必要条件 .D既不充分也不必要条件
6.若,xy满足20200xykxyy且zyx的学科网最小值为-4，则k的值为（ ） .2A .2B 1.2C 1.2D
7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，1,1,2D，若 1S，2S，3S分别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx坐标学科网平面上的正投影
图形的 面积，则（ ）
（A）123SSS （B）12SS且 31SS
（C）13SS且 32SS （D）23SS且 13SS 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A同学每科成绩不 低于B同学，且至少有一科成绩比B高，则称“A同学比B同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.复数211ii________. 10.已知向量a、b满足1a，2,1b，且0abR，则________. 11.设双曲线C经过点2,2，且与2214yx具有相同渐近线，则C的方程为________； 渐近线方程为________.
12.若等差数列na满足7890aaa，7100aa，则当n________时na的前n 项和最大.
13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(xxf，0,0A，若)(xf在学科网区间]2,6[上具有单调性，且
6322
fff，则)(xf的最小正周期为________.
三．解答题（共6题，满分80分） 15. （本小题13分）如图，在ABC中，8,3ABB，点D在BC边上，且
71cos,2ADCCD
（1）求BADsin （2）求ACBD,的长
16. （本小题13分）. 李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一
场不超过6.0的概率.
（3）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(XE与x的大小学科网（只需写出结论）
17.（本小题14分） 如图，正方形AMDE的边长为2，CB,分别为MDAM,的中点，在五棱锥ABCDEP 中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PCPD,分别交于点HG,. （1）求证：FGAB//； （2）若PA底面ABCDE，且PEAF，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并 求线段PH的长.
18.（本小题13分） 已知函数()cossin,[0,]2fxxxxx，
（1）求证：()0fx； （2）若sinxabx在(0,)2上恒成立，求a的学科网最大值与b的最小值. 19.（本小题14分） 已知椭圆22:24Cxy， （1）求椭圆C的离心率. （2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，求直线AB
与圆222xy的位置关系，并证明学科网你的结论. 20.（本小题13分） 对于数对序列1122(,),(,),,(,)nnPababab，记111()TPab，
112()max{(),}(2)kkkkTPbTPaaakn，其中
112max{(),}kkTPaaa表示1()kTP和12kaaa两个数中最大的数，
（1）对于数对序列(2,5),(4,1)PP，求12(),()TPTP的值. （2）记m为,,,abcd四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)abcd组成的数对序列(,),(,)Pabcd和'(,),(,)Pabcd，试分别对ma和md的两种情况比较2
()TP
和2(')TP的大小. （3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组学科网成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使5()TP最小，并写出5()TP的值.（只需写出结论）. 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）5
（11）221312xy 2yx （12）8 （13）36 （14） 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
解：（I）在ADC中，因为17COSADC，所以43sin7ADC。 所以sinsin()BADADCB
sincoscossinADCBADCB
。 （Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得 338sin143sin437ABBADBDADB
，
在ABC中，由余弦定理得 2222cosACABBCABBCB 22185285492
所以7AC
（16） 所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05. （Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”， 事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。
则C=ABAB，A,B独立。
根据投篮统计数据，32(),()55PAPB.
()()()PCPABPAB 33225555
1325
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325.
（Ⅲ）EXx.
（17）（共14分） 解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE。 又因为AB平面PDE， 所以AB∥平面PDE，
因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDFFG， 所以AB∥FG。 （Ⅱ）因为PA底面ABCDE,所以PAAB，PAAE
.
如图建立空间直角坐标系Axyz，则(0,0)A，(1,0,0)B,(2,1,0)C,(0,0,2)P
,(0,1,1)F,
BC (1,1,0)
. 设平面ABF的法向量为(,,)nxyz，则 0,0,nABnAF
即0,0.xyz
令1,z，则1y。所以(0,1,1)n，设直线BC与平面ABF所成角为a,则1sincos,2nBCanBCnBC。
设点H的坐标为(,,).uvw。 因为点H在棱PC上，所以可设(01),PHPC， 即(,,2)(2,1,2).uvw。所以2,,22uvw。 因为n是平面ABF的法向量，所以0nAB，即(0,1,1)(2,,22)0。 解得23，所以点H的坐标为422(,,).333。
所以222424()()()2333PH （18）（共13分） 解：（I）由()cossinfxxxx得
'()cossincosfxxxxxxx。
因为在区间(0,)2上'()fxsin0xx，所以()fx在区间0,2上单调递减。 从而()fx(0)0f。
（Ⅱ）当0x时，“sinxax”等价于“sin0xax”“sinxbx”等价于“sin0xbx”。 令()gxsinxcx，则'()gxcosxc，