泄洪最终版

1 泄洪设施修建计划 摘要 本文针对泄洪设施问题，对修建计划进行规划，以及对河道网络进行优化，得到修建新泄洪河道的最优修建计划，最后为该乡提出一个更加合理的泄洪方法。 对于问题一，首先，用Matlab对题中所给2001-2009四条天然河流可泄洪量数据进行回归拟合，从而用拟合方程预测得到2010-2014年天然河流的总泄洪量；然后，根据题中排洪沟的修建费用和当年排洪量要求以及天然河流年的排洪量，基于0-1整数规划，建立总费用优化模型；最后，用Lingo求解，得到2010-2012年的总投资费用为165万元，每年具体的投资修建计划为：

年份 2010年 2011年 2012年 投资总费用/万元 60 55 52 修建排洪沟编号 4、5、6、7、8 3 2 新泄洪河道投资费用/万元 37 50 52

对于问题二，在综合考虑问题的基础上，结合图论知识，建立河道修建模型。在求解问题的过程中，提出基于Prim算法的改进算法。第一步，以各村为顶点v，任意两村庄之间的河道为边e，以其两点之间距离d赋值，建立无向赋

权图G；第二步，针对河道泄洪的积累问题，引入权值12iiinvvvw，然后在无向图中

以村庄8为起始点，按算法求出总费用最少的最小生成树。即该方案的总费用为578.4347万元。

对于问题三，结合问题二得出的新泄洪河道，综合考虑维护人员每日的状态，从而建立马氏链模型。通过问题求解得出，该马氏链是正则链。然后，根据正则链的性质，正则链存在唯一的极限状态概率，从而得出维护人员在各村留宿的概率分布是稳定的。其概率分布为：

村号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 概率 1/18 1/18 1/6 1/9 1/6 1/18 1/9 1/6 1/18 1/18

对于问题四，首先，在综合考虑天然河道泄洪潜力的基础上，提出一种双赢式的清淤方案；然后，找到影响总费用的四个因素：清淤疏浚河道的费用、加固河道的费用、开挖河道的费用和清淤获取泥沙的收益，其次，综合分析四个因素，建立经济泄洪模型；最后，分析讨论所有影响因素的约束条件，找出使目标函数最优化的解决泄洪方案。

【关键词】 0-1整数规划 无向赋权图 最小生成树 Prim算法的改进算法 极限状态概率 2

一、 问题重述 位于我国南方的某个偏远贫困乡，地处山区，一旦遇到暴雨，经常发生洪涝灾害。造成大面积水灾，不仅夏粮颗粒无收，而且严重危害到当地群众的生命财产安全。 为此，乡政府打算立即着手解决防汛水利设施建设问题。从两方面考虑，一是在各村开挖一些排洪沟,以满足近两三年的短期防汛需要；二是从长远考虑，可以通过修建新泄洪河道的办法把洪水引出到主干河流。经测算，修建新泄洪河道

的费用为LQP51.066.0（万元），其中Q表示泄洪河道的可泄洪量（万立方米/小时），L表示泄洪河道的长度（公里）。 要求通过数学建模方法，解决以下问题： （1）该乡的某个村区域内原有四条天然河流，由于泥沙沉积，其泄洪能力逐年减弱。在附录1中给出它们在近年来的可泄洪量（万立方米/小时）粗略统计数字。水利专家经过勘察，在该村区域内规划了8条可供开挖排洪沟的路线。由于它们的地质构造、长度不同，因而开挖的费用和预计的可泄洪量也不同（详见附录2），而且预计每条排洪沟的可泄洪量还会以平均每年10%左右的速率减少。同时开始修建一段20公里长的新泄洪河道。修建工程从开工到完成需要三年时间，且每年投资修建的费用为万元的整数倍。要求完成之后，通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 乡政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村开挖排洪沟和修建新泄洪河道，为了保证该村从2010至2014年这五年间每年分别能至少达到可泄洪量150、160、170、180、190万立方米/小时的泄洪能力，请作出一个从2010年起三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，以使整个方案的总开支出尽量节省（不考虑利息的因素在内）。 （2）该乡共有10个村,分别标记为①—⑩，它们大致的相对地理位置（见附录3），海拔高度总体上呈自西向东逐渐降低的态势。 其中村⑧距离主干河流最近，且海拔高度最低。乡政府打算拟定一个修建在各村之间互通的新泄洪河道网络计划，将洪水先通过新泄洪河道引入村⑧后，再经村⑧引出到主干河流。要求完成之后，每个村通过新泄洪河道能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 根据附录4中的数据，为该乡提供一个各村之间修建新泄洪河道网络的合理方案，使得总费用尽量节省。（说明：从村A→村B的新泄洪河道，一般要求能够承载村A及上游新泄洪河道的泄洪量。） （3）新泄洪河道网络铺设完成后，打算安排一位维护人员，每天可以从一个村到与之直接有新泄洪河道连接的相邻村进行设施维护工作，并在到达的村留宿，次日再随机地选择一个与该村直接有新泄洪河道连接的相邻村进行维护工作。试分析长此以往，他在各村留宿的概率分布是否稳定？ （4）是否能够为该乡提出一个更加合理的解决泄洪的办法？ 3

二、 问题分析 第一问，题中要求三年的开挖排洪沟和修建新泄洪河道计划，且使整个方案的总开支尽量节省。为此需要得到泄洪量的分配情况，根据数据预测出该村的四条天然河道的2010-2014年天然河道的泄洪量，8条排洪沟的可泄洪量会以平均每年10%左右的速率减少，且新泄洪河道需要三年时间完成，然后根据以上约束条件，采用0-1规划求出总开支最少的方案。 第二问，由于新河道的流向趋势为自西向东，需要修建一个在各村之间互通的新泄洪河道，终点为8村，其余9个村都将与8村相连成网络，因而可将此问题转化为图论问题。综合考虑河道泄洪的积累问题，基于传统的Prim算法提出改进算法，从而在无向图中可以8村为起始点，得到总费用最少的最小生成树。 第三问，在第二问得出新泄洪道网络基础上，综合考虑维护人员每日在一村中进行设施维护工作并留宿，次日在随机选择一个有新泄洪道相邻村进行维护。由于维护人员每天在每个村所处的状态是随机的，并且次日选择相邻村是按照一定的概率进行选择，所以维护人员的转移概率只与当前的状况有关，与过去的无直接关系，即无后效性。因而可以通过马氏链解决此类随机现象，从而得出维护人员在各村留宿的概率分布是否稳定。 第四问，由题中数据分析可得天然河道具有很大的泄洪潜力，如果充分利用天然河道的天然优势，则可以大大减少修建新泄洪河道花费的资金。对此提出一种利用天然河道的新方法，同时综合考虑所有影响费用的因素，建立经济泄洪模型，从而提出一个更加合理的解决泄洪的方案。

三、 问题假设 1. 每年修建好的排洪沟可当年排洪。 2. 泄洪河道从2013年起开始排洪。 3. 排洪沟的可泄洪量每年以10%的速率减少。 4. 按自西向东方向，9村在1村西边，10村在4村西边。 4

四、 符号说明 符号 符号说明 2R

回归方程的决定系数

SSE 方差

RMSE 标准差

F F统计量值 P 转移矩阵

iM 第i年的投入资金

iH 第i年投入新洪道的资金

iT 第i年四个天然河道总泄洪量 注：其他符号将在文中所在处予以说明。

五、 模型建立与求解 5.1费用优化模型 5.1.1问题分析 该村本身拥有四条天然河道，在洪水发生期间能够承担一定的泄洪量，天然河道的泄洪量逐年减少。通过对数据的分析和处理，发现4条河道每年的泄洪量减少量差别很大，得不到一致结果，因而需要深入分析2001-2009天然河道的总泄洪量。通过对其数据进行拟合，通过F检验，从而预测出2010-2014年天然河道的泄洪量。 对于8条排洪沟，每条排洪沟3年内只修建一次，投入使用后不再修理，并且每年的泄洪量按10%减少。新泄洪河道从第四年开始排洪，根据题中所给的约束条件，列出每年投入资金与修建项目之间的关系，采用0-1规划求出总开支最少的方案。

5.1.2模型建立 对于问题一，必须满足 1）连续三年，每一年的费用都必须不超过60万元。 2）从2010至2014年，每年的泄洪量依次至少为150、160、170、180、190万立方米/小时。 3）现有的四条天然河道在2010至2014年的泄洪量变化遵循它们在2001至2009年的变化。 4）挖好的排洪沟当年汛期就会发挥作用，随后会以每年10%的速率减少。 5）新泄洪河道至少能够达到可泄洪量100万立方米/小时的泄洪能力。 6）经计算，修建新泄洪河道的总费用至少为138万元，总工期为三年。 5

综上所述，可得最少总费用的优化模型： 123min()MMM

8181118821211888231231111/0.513241260(1,2,,8,1,2,3)(90%)15090%160(90%)90%170..(90%)(90%)0.66iijiiikiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiMxaHijTxbTxbxbTxbxbxbHstTxbxbL



88831111/0.518884325123111313190%180(90%)(90%)(90%)1900.66138101iiiiiiiiiiiiiiiiiijjijxbHTxbxbxbLHxx















或

其中，ia表示第i条排洪沟的开挖费用。ib表示第i个泄洪道当年的泄洪量。L 表示新泄洪河道的长度。ijx表示第j年第i个泄洪道是否在工作。 5.1.3模型求解 天然河道可泄洪量的预测 四条天然河道的泄洪量逐年减少，其每年4条天然河道泄洪量减少的百分比 如表1所示：

表1 天然河道泄洪量减少的百分比 年份 编号 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009

1号 2.80% 5.11% 3.70% 3.85% 5.09% 3.07% 6.32% 4.22% 2号 26.05% 25.79% 26.27% 25.29% 26.15% 27.08% 25.71% 23.08% 3号 7.53% 7.75% 9.24% 9.72% 10.77% 10.92% 14.19% 15.79% 4号 29.44% 18.10% 13.86% 13.04% 5.50% 7.41% 6.86%

分析表1可得，4条河道的泄洪量每年减少量的百分比变化很大，得不到一定值，因而需要对题目中数据深入分析。 对2001-2009年每条天然河道的总泄洪量进行拟合，结果如下：