2019春年浙北G2高二数学下学期期中考试卷附答案解析
2019高二下学期数学期中试卷
2019高二下学期数学期中试卷xx学年度下学期孝感市普通高中联考协作体期中联合考试高二数学(理科)试卷【参考答案】1-1213、14、15、16、(x≦-2)17、【解析】XXXXX：：---------2分：由即---------4分（1）由为真命题---------7分（2）由为真命题------10分18、【解析】XXXXX：（1）依题意、、、，，由∥得：---------3分所求--6分（2）依题意，；渐近线斜率：，由---------9分由因为，所求---------12分19、【解析】XXXXX：(1)证明：连接A1交A1于，四边形AA11为平行四边形，为A1中点，又D为B中点，所以∥---------------5分(2)因为△AB是等边三角形，D是B的中点，所以AD⊥B、如图，以D为原点，建立如图所示空间坐标系、由A1D 与平面AB所成角为AA1＝AD＝-------------7分则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，)，1(0，-1，)，则＝(，0，0)，＝(0，-1，)，设平面A1D的一个法向量为＝(x，y，z)，则，即，取z＝1，则x＝0，y＝，∴＝(0，，1)-----------------------------------------------9分又＝(，0，)，设A1D与平面AD1所成角为θ，则故所求A1D与平面AD1所成角的正弦值为------------------------12分20、【解析】XXXXX：(1)由抛物线的定义得， |AF|＝3＋p2＝5-----------------------------------------------------------2分解得p＝4，所以抛物线的方程为-----------------------------4分（2）设直线的平行线：--------6分所求------------------------------------------------8分（3）由直线是抛物线的准线，∴=|PF|----------------10分所以最小值就等于F(0，2)到直线的距离：所求--------------12分21、【解析】XXXXX：(1)证明：∵四边形ABD是菱形，∴A⊥BD-----① ∵BE⊥平面ABD，∴BE⊥A-----②，∵BD∩BE＝B-----③ ∴由①②③：A⊥平面BEFD，A平面AE，∴平面AE⊥平面BEFD-----4分 (2)设A 与BD的交点为，由(1)得A⊥BD，如图：分别以A，B为x轴和y 轴，过点作垂直于平面ABD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系?xyz---5分∴BD＝22、设A＝a(a＞0)，则A(a,0,0)，(－a,0,0)，E(0，2，1)，F(0，－2，2)，∴＝(0，－22，1)，＝(－a，2，1)，＝(a，2，1)、----------------6分设＝(x1，y1，z1)是平面AEF 的法向量，则，即－22y1＋z1＝0－ax1＋2y1＋z1＝0，令z1＝，∴平面AEF的一个法向量为＝-----------------8分同理设n＝(x2，y2，z2)，是平面EF的法向量，则得平面EF的一个法向量为n＝-----------------9分∵二面角A?EF?是直二面角，∴?n ＝-------------------------10分∵，设异面直线AE与F所成角为故所求异面直线AE与F所成角为的余弦值为-------------12分22、【解析】XXXXX：（1）依题意：-----------2分得所求椭圆的方程为：-----------------4分（2）设(x1，y1)，N(x2，y2)，N的中点为Q(x0，y0)消去得：4应为16 韦达定理：x0＝x1＋x22＝ y0＝x0＋＝所以-----------------------6分由满足-------9分即--------10分顶点(3，－2)到底边N的距离------------11分所求--------------------------12分 xx。
浙江省湖州市2019版高二下学期期中数学试卷(理科)(II)卷
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中， ， ，其中 ， 为样本平均值，线性回归方程也可写为 ．
20. （15分） (2015高三上·河北期末) 如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行
C . [0，1]
D . （﹣∞，1]∪[2，+∞）
2. （2分） (2018高二下·抚顺期末) 复数 的共轭复数是（ ）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） 已知向量 ， 若 垂直，则 =（ ）
A . 1
B .
C . 4
D . 2
4. （2分） 已知实数 满足约束条件 ， 目标函数 只在点(1 ,1)处取最小值，则有（ ）
A . 有极大值，没有极小值
B . 没有极大值，有极小值
C . 既有极大值，也有极小值
D . 既无极大值，也没有极小值
7. （2分） 等差数列 的前n项和为Sn ， 已知 ， 则 （ ）
A . 8
B . 12
C . 16
D . 24
8. （2分） 函数 的部分图象如图所示，若 ， 且 ， 则 （ ）
浙江省湖州市2019版高二下学期期中数学试卷（理科）（II）卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） 已知集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|x2﹣2x≤0}，则A∩B=（ ）
A . [﹣1，0]
B . [﹣1，2]
浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 含解析
2018－2019学年浙江省浙南名校联盟高二（下）期中数学试卷一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则U A =ð （ ） A. {}0,1,2 B. {}2,1,0--C. {}1,2--D. {}1,2【答案】C 【解析】 【分析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可．【详解】由题意，集合{}{}2,1,0,1,2,,U A y y x x U =--==∈，则{}0,1,2A =， 所以根据集合的补集的运算，可得{}2,1U A =--ð． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的补集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再根据集合的补集的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.若向量b r 与向量()2,1a =-r是共线向量，且35b =r b =v （ ）A. ()6,3-B. ()6,3-C. ()6,3-或()6,3-D. ()3,6-或()3,6-【答案】C 【解析】 【分析】根据b r 与a r 共线，可设()2,1b λ=-r ，再根据35b =r λ的值，即可得出向量b v的坐标．【详解】由题意，根据b r 与a r共线，所以存在实数λ，使()2,1b λ=-r ；又35b =r535=，解得3λ=±；∴()6,3b =-r或()6,3-．故选：C ．【点睛】本题主要考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，以及向量坐标求向量长度的方法，其中解答中熟记向量的基本运算法则，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.若4sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A.45 B. 45-C.35D. 35-【答案】A 【解析】 【分析】πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）结合诱导公式求解即可【详解】π4sin 65α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin （ππ23α--）π4sin 65α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选A ．【点睛】本题考查诱导公式及角的变换，是基础题4.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+ ，则()7f = （ ）A. 2B. 2-C. 1D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】由()()4f x f x +=-，可得()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，据此可得()()71f f =-，结合函数的周期性与奇偶性，即可求解．【详解】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-，则有()()()84f x f x f x +=-+=， 则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()()211112f f -=-=-+=， 则()12f -=-，即()72f =-； 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ， 故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键6.可导函数()f x 在区间(), a b 上的图象连续不断，则“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据0()0f x '=和函数()f x 在区间(), a b 上有极值点的关系，结合具体函数，即可判断出结论．【详解】根据函数极值点的概念，可知()0, x a b ∈满足0()0f x '=，则0x 不一定是函数的极值点，例如()3,(2,2)f x x x =∈-，其中()00f '=，但0x =不是函数的极值点，此时函数()3f x x =在(2,2)x ∈-上没有最小值.又由函数(),(2,2)f x x x =∈-，其中当0x =时，函数()f x 取得最小值()00f =. 但0x =时，()f x '不存在，()2,0x ∈-时，()1f x '=-， ()0,2x ∈时，()1f x '=，所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”不成立.所以“存在()0, x a b ∈满足0'()0f x =”是“函数()f x 在区间(), a b 上有最小值”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数有极值点的概念及应用，以及充要条件判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.从数字1到9中任取3个数字，要求既有奇数也有偶数，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数共有（ ） A. 420B. 840C. 140D. 70【答案】A 【解析】 【分析】根据奇数和偶数的个数分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，然后进行全排列，即可求解，得到答案．【详解】由题意，9个数字中奇数为1，3，5，7，9，偶数为2，4，6，8， 三位数要求既有奇数也有偶数，则若1个奇数，2个偶数，有123543180C C A =个，若2奇数，1偶数，有213543240C A A =个， 由分类计数原理可得，共有180240420+=个， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中结合条件分1个奇数，2个偶数和2奇数，1偶数，分类求解是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设向量,,a b c r r r 满足||1,||2a b ==r r ，0,()0a b c b a c ⋅=⋅+-=r r r r r r ，则||c r的最大值等于（ ）A. 1B. 2C. 1【答案】D 【解析】 【分析】设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及圆的性质，可得所求最大值．【详解】由题意，向量,,a b c v v v 满足1,2a b ==v v ，0a b ⋅=v v ，可设()()()1,0,0,2,,a b c x y ===v v v，由()0c b a c ⋅+-=v v v v，可得()()()(),1,2120x y x y x x y y ⋅--=-+-=，整理得2220x y x y +--=，即()2215124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即圆心(1,12)，半径则c v的最大值为2r =， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了向量的加减运算和数量积的坐标表示，考查圆的方程的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.9.设F 为抛物线2:8C y x =的焦点，过点()2, 0P -的直线l 交抛物线C 于, A B 两点，点Q为线段AB 的中点，若FQ =，则AB = （ ）B.C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线l 的方程为()2y k x =+，联立方程组得2222240k x k x k +-+=（），由此利用韦达定理、点到直线距离公式能求出直线的斜率，然后利用弦长公式，即可求解．【详解】由题意，设直线l 的方程为()2y k x =+，112200, ,()()() , A x y B x y Q x y 、、，联立方程组28(2)y x y k x ⎧=⎨=+⎩，化简得2222(48)40k x k x k +-+=，∴212284k x x k -+=，124x x =，则1212()84y y k x x k +=++=， 由中点公式，可得20242k x k-=，04y k =，又由=k =±，所以21AB x =-== 故选：D ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式的合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.10.已知函数)2()log 3f x x x =--，当2019x y +=时，恒有()()()2019f x f f y +>成立，则x 的取值范围是（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1(,1)2C. (,0)-∞D. (1,)+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得出()f x 在R 上是奇函数且为减函数，据此对x 进行分情况讨论，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数)2()log 3f x x x =--，定义域为R ，且满足()))()22log 3log 3f x x x x x f x -=-+=+=-，所以函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则有()00f =，又由()f x 在[0, )+∞单调递减，则()f x 在(,?0]-∞上也为减函数， 则()f x 在R 上为减函数，则()20190f <，当0x <时，20192019y x =->，即()()()2019f x f f y >>， 则恒有()()()2019f x f f y +>成立，当0x =时，2019y =，此时()()()()20192019f x f f f y +==，()()()2019f x f f y +>不成立，当0x >时，20192019y x =-<，此时不能满足()()()2019f x f f y +>恒成立， 所以x 的取值范围是(,0)-∞． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，其中根据函数的解析式判定出函数的奇偶性和单调性，分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11.已知复数z 满足1iz i-=（i 是虚数单位），则2z =_____；z =_____．【答案】 (1). 2i 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，进一步求得2z ，再由复数模的计算公式求z ． 【详解】由题意，根据复数的运算，化简得21(1)()1i i i z i i i ---===---，所以()2212, z i i z =--==故答案为：2i ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及模的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.计算：4log =_____；满足log 1x >的实数x 的取值范围是_____．【答案】 (1). 14(2). 1x <． 【解析】 【分析】利用对数的换底公式及对数的运算性质求4log ；把log 1x >化为同底数，然后分类利用对数的运算性质求解．【详解】由题意，根据对数的运算法则，可得1242lg 21log lg 4lg 24===，由log 1log xx x >=，当01x <<时，得x >1x >时，得1x <<，∴实数x 的取值范围是1x <．故答案为：14；1x <． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记对数的运算公式和对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．.13.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12, A A 分别是双曲线的左、右顶点，00,() M x y 是双曲线上除两顶点外的一点，直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，则双曲线的离心率为_____；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为_____．【答案】 (1). 53 (2). 221916x y -=【解析】 【分析】根据000()), (M x y x a ≠±是双曲线上一点，代入双曲线的方程，由直线1MA 与直线2MA 的斜率之积是169，求出直线1MA 与直线2MA 的斜率，然后整体代换，进而求得双曲线的离心率，再根据双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，即可求出双曲线的方程．【详解】由题意，设000()), (M x y x a ≠±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点，则2200221x y a b -=，得到2220022y x a b a-=，故2202220y b x a a =-， 又()()12,0, ,0A a A a -， ∴1222000222000169MA MA y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅===+--，得43b a =∴53c e a ====， 其渐近线的方程为b y x a =±，即43y x =±，即430x y ±=， 设双曲线的一个焦点坐标为(),0c ，则双曲线的焦点到其渐近线的距离445c=，解得5c =，又因为222c a b =+，所以229, 16a b ==，故双曲线的方程为221916x y -=，故答案为：53，221916x y -=.【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，主要是离心率的求法，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查化简整理的运算能力，属于中档题．14.二项式()512x -的展开式中系数最大的项为_____；已知52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则123452345a a a a a -+-+=_____．【答案】 (1). 480x (2). 810-． 【解析】 【分析】由二项式()512x -的展开式中通项()152rr rr T C x +=-，列出不等式组，求得r 的值，即可得出最大的项．对于二项式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导，再令1x =-，即可求解．【详解】由题意，二项式()512x -的展开式中通项公式()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-．由()()()()115511552222r r r r r r r r C C C C --++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，解得4r =，即展开式的最大的项为()444455280T C x x =-⨯=． 由二项展开式52345012345(12)x a a x a x a x a x a x -=+++++，两边求导可得：()42341234525122345x a a x a x a x a x -⨯⨯-=++++， 令1x =-，可得()4123452345251210[1]8a a a a a -+-+=-⨯⨯-⨯-=-．故答案为：480x ，810-．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式、导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.15.已知向量()2,4a =v ，向量a v在向量b v 上的投影为3，且a b -=v v b =v _____．【答案】7． 【解析】 【分析】根据条件即可得出220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，然后对a b -=vv 两边平方，可得出2||670b b --=v v ，即可求解b v，得到答案．【详解】根据条件：220,cos ,3a a a b =〈〉=v v v v ，且a b -=vv则()22222cos ,||62027a b a a b a b b b b -=-〈〉+=-+=v v v v v v v v v v ；整理得2||670b b --=v v ，解得7b =v 或1-（舍去）．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量投影的计算公式，向量坐标的数量积运算等知识的综合应用，其中熟记向量的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.3名男生和3名女生共6人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3名女生有且只有2名女生相邻，则不同排法的种数是_____．（用数字作答） 【答案】168． 【解析】 【分析】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置；若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5的位置；据此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，假设有1、2、3、4、5、6，共6个位置， 若男生甲不站两端，则甲必须在2、3、4、5位置， 可分4种情况讨论：①当甲在2号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在4、5、6号位置，若乙在4号或5号位置，只有2个位置是相邻的，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 若乙在6号位置，有23212A ⨯=种排法，由分类计数原理可得，共有241236+=种排法； ②当甲在5号位置，同理①，有36种排法；③当甲在3号位置，甲乙不能相邻，则乙可以在1、5、6号位置， 若乙在1号位置，有23212A ⨯=种排法， 若乙在5号位置，有223212A A ⨯=种排法， 若乙在6号位置，有2232224A A ⨯⨯=种排法， 由分类计数原理可得，共有12122448++=种排法；④当甲在4号位置，同理③，有48种排法，则有36364848168+++=种不同的排法； 故答案为：168．【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理综合应用，本题解题的关键是在计算时，合理分类做到不重不漏，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.17.已知不等式()10x e a e x b -+++≤恒成立，其中e 为自然常数，则1b a+的最大值为_____． 【答案】1e【解析】 【分析】先利用导数确定不等式恒成立条件，再利用导数确定1b a+的最大值. 【详解】令()()1()()1xxf x e a e x b f x e a e '=-+++∴=-+ 当0e a -≥时，()0,,()f x x f x '>→+∞→+∞，不满足条件； 当0e a -<时，()0ln()f x x a e '=⇒=--，当ln()x a e >--时()0,f x '<当ln()x a e <--时()0,f x '> 因此()(ln())1ln()10f x f a e a e b ≤--=---++≤， 从而1ln()1,()b a e a e a a+-+≤>令2ln()ln()1(),()()ea e a e a e g x a e g x a a---+-'=>∴=再令21ln()0()e e y a e y a e a e a e-'=--∴=-<--- 所以当a e e ->时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'<-=∴<<=； 当0a e e <-<时1ln 0()0,()(2)e y e g x g x g e e e'>-=∴><=； 即max 1()(2)g x g e e ==，从而1b a+的最大值为1e .【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立以及利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属较难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.设函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+的图象关于直线x π=对称，其中常数1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）65π（2）[]1,2- 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解ω，即可求解函数的周期．（2）通过角的范围，求解相位的范围，利用正弦函数性质求得函数的最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=-+2cos 2x x ωω=-2sin 26x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由函数()2sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于直线x π=对称， 所以()2sin 226f ππωπ⎛⎫=-=± ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z πππωπ-=+∈， 解得1,23k k Z ω=+∈，又因为1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以56ω=，即5()2sin 36f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以最小正周期为265T w ππ==. （2）因为305x π≤≤，所以556366x πππ-≤-≤，则52sin [1,2]36x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()12f x -≤≤，即函数()f x 在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围[]1,2-. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的三角函数，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质，准确运算是解答的关键，着重考查转化思想以及计算能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是平行四边形，60ABC ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90,2BAP AB AC PA ∠=︒===．（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）若点M 为PD 中点，求直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）证明PA AB ⊥，推出PA ⊥面ABCD ，得到PA BD ⊥，证明BD AC ⊥，说明BD ⊥面PAC ，即可证明面PBD ⊥平面PAC ．（2）取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，求出面PBC 的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求解直线MC 与平面PBC 所成角的正弦值．【详解】（1）由题意，因为90BAP ∠=︒，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ， 所以PA ⊥面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥ 又因为四边形ABCD 为平行四边形，且60, ABC AB AC ∠=︒= 则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥又PA AC A =I ，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PBD ⊥平面PAC ．（2） 取BC 中点E ，以点A 为原点，分别以, , AE AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A，,1,0)B -，0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ， 由点M 为PD 中点，()0, 1, 1M ，则0,1),1,2),2)MC PB PC =-=--=-u u u u r u u u r u u u r，设面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00PB n PC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v，则1,0,2n ⎛= ⎝⎭r 设直线MC 与面PBC 所成角为θ，则||sin |cos ,|14||||MC n MC n MC n θ⋅=〈〉==u u u u r ru u u u r r u u u u r r 所以直线MC 与平面PBC所成角的正弦值为14．【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围． 【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤< 【解析】 【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件； 若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==， 当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件； 综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．21.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A（1）求椭圆C 的方程；（2）过A 作斜率分别为12, k k 的两条直线，分别交椭圆于点, M N ，且122k k +=，证明：直线MN 过定点．【答案】（1）2214x y +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用椭圆C 过点()0, 1A 3, a b ，即可得到椭圆方程． （2）设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，求得1t =-，当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：y kx b =+，与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理以及122k k +=，得到k 与b 的关系，代入直线的方程，即可求解．【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+过点()0, 1A ，即211b=，解得1b =，由离心率3c a =222a c b -=，解得2a =，所求椭圆方程为：2214x y +=. （2）当直线MN 斜率不存在时，设直线方程为x t =，则()(),, ,M t s N t s -，则1211,s s k k t t-+==--，所以121122s s k k t t t -++=+==---，解得1t =-， 当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，联立方程组2244x y y kx b⎧+=⎨=+⎩，得222(41)8440k x kbx b +++-=，设1122, , ,()() M x y N x y ，则2121222844,4141kb b x x x x k k -+=-⋅=++ （*）， 则()()121212121212121212122(1)11y x x y x x kx x b x x y y k k x x x x x x +-++-+--+=+==，将*式代入化简可得：288244kb kb -=-，即()()110k b b ---=，整理得1k b =+，代入直线MN 方程，得()()11y b x b b x x =++=++， 即()10b x x y ++-=，联立方程组10x y x +=⎧⎨=⎩，解得1,1x y =-=-，恒过定点()1,1--.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.22.设函数()2ln 1,) (f x ax x x a a R =-+-∈．（1）当0a =时，求证：()f x x ≤；（2）当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析（2）1a ≥ 【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln 1f x x x =--，不等式()f x x ≤化为ln 10x x x ++≥，构造函数()ln 1s x x x x =++，利用导数求函数()s x 的最小值，从而证明不等式成立；（2）方法1：不等式化为2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，令()2ln 1g x x x =+，利用导数判断()0g x >，不等式化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，求出()h x 的最大值，即可得出a 的取值范围．方法2：讨论1x =时，()10f ≥，求得a 的取值范围，再证明1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上()0f x ≥恒成立．【详解】（1）当0a =时，()()ln 1ln 1f x x x x x =--=-+， 要证明()f x x ≤，即证明ln 10x x x ++≥； 记()ln 1s x x x x =++，则1'()ln 1ln 2s x x x x x=+⋅+=+； 当20,()x e -∈时，()'0s x < ，函数()f x 在20,()x e -∈上单调递减；当2,()x e-∈+∞时，()'0s x >，函数()f x 在2,()x e -∈+∞上单调递增；所以()()()222212110s x s ee ee---≥=-++=-≥，即()f x x ≤； （2）方法1：2ln ln 10ax x x x a -+-≥ 即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+， 令()2ln 1g x x x =+，令()()'2ln 2ln 10g x x x x x x =+=+=，得12x e -=；所以()g x 在120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调减，在12,x e -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭单调增，则()211221111022g x g e e e --⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=⋅-+=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2ln 1()ln 1a x x x x +≥+，可化为2ln 1ln 1x x a x x +≥+，记()2ln 1ln 1x x h x x x +=+，则()()2222ln ln 2ln 1'ln 1x x x x x x h x x x -+-+-=+，且()'10h =； 再令()22ln ln 2ln 1F x x x x x x x =-+-+-，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()2222ln ln 2ln 1ln 12ln 1F x x x x x x x x x x x x =-+-+-=-+-+-， ()22ln 1F x x x x ≥-+-，由（1）可知1ln 1x x ≥-，0x >时成立，1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，221ln 1x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，由此22221()ln 111(1)0F x x x x x x x x x ⎛⎫≥-+-≥--+-=-≥ ⎪⎝⎭，()h x 在1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调增；当,()1x ∈+∞时，()()()22ln 12ln 10F x x x x x x =-+-+-≤，()h x 在,()1x ∈+∞上单调减；因此()()11h x h ≥=，故1a ≥；方法2：当1x =时，()110f a =-≥，由此1a ≥证明如下：当1a ≥时，()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立， ()()2ln 1(ln 1)f x a x x x x =+-+，同法1证明，()2ln 10g x x x =+>，()()()222ln 1ln 1l ()()()n 1ln 1ln 0f x a x x x x x x x x x x x =+-+≥+-+=-≥； 所以()f x 在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上，()0f x ≥恒成立，故1a ≥．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明和恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
2018-2019学年浙江省浙北G2高一(下)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省浙北G2高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.不等式x2+5x-6＞0的解集是（）A. 或B.C. 或D.2.若△ABC的三个内角满足sin A：sin B：sin C=5：11：13，则△ABC（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3.已知向量=（3，-4），=（6，-3），=（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A. B. C. D.4.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.5.平面向量与的夹角为60°，，，则||=（）A. B. 12 C. 4 D.6.在△ABC中角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（2b-c）cos A=a cos C，则∠A为（）A. B. C. D.7.已知-1＜2a+b＜2，3＜a-b＜4，则4a-b的取值范围是（）A. B. C. D.8.若数列{a n}满足a1=l，a2=2，a n a n-2=a n-1（n≥3），记数列{a n}的前n项积为T n，则下列说法错误的是（）A. 无最大值B. 有最大值C.D.9.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15＞0，a8+a9＜0，则使得＜的最小的n为（）A. 10B. 11C. 12D. 1310.数列{F n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数列{F n}的前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知等比数列{a n}满足：a1+a7=9，a2a6=8，且a n＜a n+1，则a4=______；q=______．12.已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，若S4=8．S8=4，则S12=______；S6=______．13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a=4，A=30°．若b=4，则△ABC的面积为______；若△ABC有两解，则b的取值范围是______．14.已知，是不共线的两个单位向量，，，若，则k=______；若对任意的k∈R，与都不可能垂直，则在上的投影为______15.已知向量，满足，||=1，||=， ⊥（+），则与夹角的大小是______．16.已知△ABC中，∠A的平分线交对边BC于点D，AB=3AC，且AD=kAC，则实数k的取值范围是______17.已知数列{a n}满足a1=l，且当n≥2时，n2（a n-a n-1）+a n-1=0，则a n=______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f（x）=ax2-3ax+a2-3．（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集是{x|l＜x＜b}，求实数a与b的值；（Ⅱ）若a＜0，且不等式f（x）＜4对任意x∈[-3，3]恒成立，求实数a的取值范围．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的周长为，且（Ⅰ）求边c的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求cos C的值．20.如图，在梯形ABCD中，AB CD，AD=CD=1，AB=3，（Ⅰ）若，求实数λ的值；（Ⅱ）若AD⊥BC，求数量积的值21.设公差不为0的等差数列{a n}中，a2=5，且a1，a3，a11构成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}的前n项和S n满足：，求数列{a n b n}的前n项和T n．22.已知数列{a n}满足a1=2，（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（Ⅲ）设，数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：不等式x2+5x-6＞0化为（x+6）（x-1）＞0，解得x＜-6或x＞1，∴不等式的解集是{x|x＜-6或x＞1}．故选：C．把不等式化为（x+6）（x-1）＞0，求出解集即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵根据正弦定理，又sinA：sinB：sinC=5：11：13 ∴a：b：c=5：11：13，设a=5t，b=11t，c=13t（t≠0）∵c2=a2+b2-2abcosC∴cosC===-＜0∴角C为钝角．故选：C．先根据正弦定理及题设，推断a：b：c=5：11：13，再通过余弦定理求得cosC的值小于零，推断C 为钝角．本题主要考查余弦定理的应用．注意与正弦定理的巧妙结合．3.【答案】C【解析】解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=-3，故选：C．先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：a，b，c∈R，且a＞b，可得a-b＞0，因为c2≥0，所以（a-b）c2≥0．故选：B．直接利用不等式的基本性质推出结果即可．本题考查不等式的基本性质，是基本知识的考查．5.【答案】D【解析】解：由题意可得=====2故选：D．由题意可得=，由数量积的定义，代入已知数据可得答案．本题考查向量的模长的求解，涉及向量的夹角，属中档题．6.【答案】C【解析】解：利用正弦定理化简已知等式得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，整理得：2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosA=，∵A为三角形的内角，∴∠A=．故选：C．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cosA的值，即可求出A的度数．此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：先根据约束条件画出可行域，由，解得A（，-），由解得B（2，-2）当直线z=4a-b过点A（，-）时，z最小是5，当直线z=4a-b过点B（2，-2）时，z最大是10，所以4a-b的取值范围是（5，10）．故选：D．先根据约束条件在坐标系aOb中画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4a-b表示直线在纵轴上的截距，只需求出可行域直线在纵轴上的截距最大最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}满足a1=l，a2=2，a n a n-2=a n-1（n≥3），∴a3==2，a4==1，同理可得：a5=，a6=，a7=1，a8=2，……，可得a n+6=a n．∴数列{a n}是周期为6的数列．∴T n有最大值，a n有最大值，T2019=•（a1a2a3）=4．a2019=a3=2．下列说法错误的是A．故选：A．由数列{a n}满足a1=l，a2=2，a n a n-2=a n-1（n≥3），可得a3==2，a4==1，同理可得：a5=，a6=，a7=1，a8=2，……，可得a n+6=a n．即可判断出结论．本题考查了数列的通项公式与周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：设等差数列{a n}的首项和公差分别为a1和d，则可得S15=15a8=15（a1+7d）＞0，解得a1+7d＞0，①又∵a8+a9＜0，∴2a1+15d＜0，②又∵a8=＞0，a8+a9＜0，∴a9＜0，∴d＜0，∴由①可得＜-7，由②可得＞，故＜＜-7，而=a1+（n-1）d+a1+d=2a1+d，令2a1+d＜0可解得n＞1-，∵＜＜-7，∴7＜-＜，∴＜-＜10，∴＜1-＜11∴使得的最小的n为11故选：B．由已知数据可得a1+7d＞0，①，2a1+15d＞0，②和d＜0，由不等式的性质可得的范围，而要满足的式子可化为2a1+d＜0，可得n＞1-，由不等式的性质结合的范围可得．本题考查等差数列的求和公式，涉及不等式的性质的应用，属中档题．10.【答案】B【解析】解：数列为：1，1，2，3，5，8…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．则：F n+2=F n+F n+1=F n+F n-1+F n=F n+F n-1+F n-2+F n-1=F n+F n-1+F n-2+F n-3+F n-2=…=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，∴S2019=F2021-1故选：B．利用迭代法可得F n+2=F n+F n-1+F n-2+F n-3+…+F2+F1+1，可得S2019=F2021-1，代值计算可得结果．本题考查的知识要点：迭代法在数列中的应用．11.【答案】2【解析】解：等比数列{a n}满足：a1+a7=9，a2a6=8=a1a7，解得a1=1，a7=8；a1=8，a7=1．∵a n＜a n+1，∴取a1=1，a7=8；且q＞1．∴a4===2，q6=8，解得q=．故答案为：2，．利用等比数列的通项公式及其单调性即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】-12【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4=8．S8=4，∴4a1+d=8，8a1+d=4，联立解得：a1=，d=-，则S12=12×+=-12，S6=6×+×=．故答案为：-12，．设等差数列{a n}的公差为d，由S4=8．S8=4，可得4a1+d=8，8a1+d=4，联立解得：a1，d，利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】44＜b＜8【解析】解：在△ABC 中，由正弦定理，把 a=4，A=30°，b=4，可得：C=180°-A-B=120°，可得：S△ABC =absinC==4．由于：a=4，A=30°．由题意得，△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，则bsin30°＜4＜b，解得：4＜b＜8．故答案为：4，4＜b＜8．由已知可求C的值，根据三角形的面积公式即可计算得解；△ABC有两解时需要：bsinA＜a＜b，代入数据，求出b的范围．本题考查了三角形面积公式的求法，考查了解三角形一题多解的问题，注意理解，属于基础题．14.【答案】-【解析】解：由是不共线的两个单位向量，，，若，则可设=，所以k +=，所以，解得，故k=-．由对任意的k∈R ，与都不可能垂直，则≠0恒成立，即k2-22+（1-2k）≠0恒成立，即（1-2）k+-2≠0恒成立，即=，则在上的投影为：=，故答案为：-，由两向量共线的充要条件得：设=，所以k +=，所以，解得，故k=-．由平面向量数量积运算得：≠0恒成立，即k2-22+（1-2k）≠0恒成立，即（1-2）k+-2≠0恒成立，即=，则在上的投影为：=，得解．本题考查了两向量共线的充要条件及平面向量数量积运算，属中档题．15.【答案】【解析】解：∵⊥（+），∴=+=0．设与夹角的大小是θ，则由题意可得1+1×cosθ=0，解得cosθ=-．再由0≤θ＜π，可得θ=，故答案为．由两个向量垂直的性质可得=+=0，再由两个向量的数量积的定义可得cosθ=-，由此求得θ的值，即为所求．本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于基础题．16.【答案】，【解析】解：AB=3AC，且AD=kAC，可设AC=t，则AB=3t，AD=kt，∠BAD=α，0＜α＜，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，即为t•3t•sin2α=t•kt•sinα+•kt•3t•sinα，化为3sin2α=6sinαcosα=4ksinα，sinα＞0，即为k=cosα，由0＜α＜，可得0＜cosα＜1，可得k的范围是（0，）．故答案为：（0，）．设AC=t，则AB=3t，AD=kt，∠BAD=α，0＜α＜，由S△ABC=S△ABD+S△ACD，运用三角形的面积公式和二倍角公式、余弦函数的单调性，可得所求范围．本题考查三角形的面积公式的运用，考查二倍角公式和余弦函数的性质，考查运算能力，属于基础题．17.【答案】【解析】解：当n≥2时，n2（a n-a n-1）+a n-1=0，化为：=•．∴a n=••…•••a1=••••…••×1=．n=1时，上式也成立．∴a n=．故答案为：．当n≥2时，n2（a n-a n-1）+a n-1=0，化为：=•．利用“累乘求积”方法即可得出．本题考查了数列递推关系、通项公式、“累乘求积”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（I）由题意可得，a＞0且1，b是方程ax2-3ax+a2-3=0的根根据方程的根与系数关系可得，∴a=3，b=2；（II）∵ax2-3ax+a2-3＜4对任意x∈[-3，3]恒成立即ax2-3ax+a2-7＜0对任意x∈[-3，3]恒成立令g（x）=ax2-3ax+a2-7，x∈[-3，3]，则g（x）max＜∵g（x）=ax2-3ax+a2-7，x∈[-3，3]先增后减，当x=时，函数取得最大值g（）=＜∵a＜0，解可得，＜＜【解析】（I）由题意可得，a＞0且1，b是方程ax2-3ax+a2-3=0的根，根据方程的根与系数关系可求（II）由已知可得ax2-3ax+a2-7＜0对任意x∈[-3，3]恒成立，构造函数g（x）=ax2-3ax+a2-7，x∈[-3，3]，则g（x）max＜0，结合二次函数的性质可求本题主要考查了二次不等式与二次方程的关系的简单应用及二次不等式恒成立与最值的相互转化思想的应用．19.【答案】解：（I）由已知及正弦定理得，解得c=1．（II）∵△ABC的面积为，即ab sin C=，解得：ab=．由（I）得a+b=，再由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cos C=（a+b）2-2ab（1+cos C），即 1=2-（1+cos C），所以：cos C=．【解析】（I）由已知及正弦定理得，由此解得c的值．（II）由△ABC的面积为．解得ab的值，由（I）得a+b=，利用余弦定理求得cosC的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由在梯形ABCD中，AB CD，AD=CD=1，AB=3，得=，因为==，所以=，又因为=，所以==，即．（Ⅱ）由AD⊥BC，所以=0，即•（）=0，即，所以=，所以=（）•（）=22-=-3，故答案为：-3．【解析】（Ⅰ）由平面向量的线性运算得：==，所以=，又因为=，所以==，即．（Ⅱ）及平面向量数量积的运算得：由AD⊥BC，所以=0，即•（）=0，即，所以=，所以=（）•（）=2 2-=-3，得解．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵a1，a3，a11构成等比数列．∴ =a1•a11，又a2=5，∴（5-d）（5+9d）=（5+d）2⇒d=3………………（3分）∴a n=a2+（n-2）d=3n-1…………………………（2分）（Ⅱ）数列{b n}的前n项和S n满足：，n≥2时，b n=S n-S n-1=-=．∴…………………………………（5分）∴T n=+++……+，T n=++……++，错位相减，可得：T n=+3（++……+）-=3×--，求得…………………………………（5分）【解析】（Ⅰ）由a1，a3，a11构成等比数列．可得=a1•a11，又a2=5，可得（5-d）（5+9d）=（5+d）2⇒d=3，利用通项公式即可得出．（Ⅱ）数列{b n}的前n项和S n满足：，n≥2时，b n=S n-S n-1．n=1时，b1=S1．可得a n b n，利用错位相减法即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】（Ⅰ）证明：，……（3分）且首项a1+1=3≠0，∴数列是等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，∴ ，∴ ………………………………………………………（3分）下面利用数学归纳法证明：．（i）n=1时，|a1|=|3-1|=2，=2．∴|a1|≥．（ii）假设n=k∈N*，|a k|≥．则n=k+1，|a k+1|=|3×2k-1|=|2（3×2k-1-1）+1|≥+1≥．综上可得：n=k+1时成立．综上可得：假设成立．因此∀n∈N*，．…（3分）（Ⅲ）解：=………………………………（3分）∴＜，∴……………………………………………………………………………（3分）【解析】（Ⅰ），即可证明数列是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，可得，利用数学归纳法即可证明：．（Ⅲ）=，利用裂项求和方法、数列的单调性即可证明结论．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、猜想归纳能力、数学归纳法、裂项求和方法、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2018-2019学年浙江省浙北G2高一第二学期期中联考数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省浙北G2高一第二学期期中联考数学试题一、单选题 1．不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先分解因式再解不等式. 【详解】 因为，所以或，选C.【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题.2．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C 是最大的角，由余弦定理,所以C 为钝角，因此三角形ABC 一定是钝角三角形 【考点】三角形形状的判定及正、余弦定理的应用3．已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(2,1)OC m m =+．若AB OC ∥，则实数m 的值为（ ） A ．15B ．35-C ．3-D ．17-【答案】C【解析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果. 【详解】因为//AB OC ，所以()()3,1//2,1m m +,3(1)2 3.m m m ⨯+=∴=-选C. 【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题. 4．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据不等式性质确定选项. 【详解】 当时，不成立； 因为，所以；当时，不成立；当时，不成立；所以选B. 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5．平面向量a 与b 的夹角为60,||2|,|1a b ==,则|2|a b +=（ ）A B ．12C ．4D ．【答案】D【解析】由题意可得2|2|(2)a b a b +=+，由数量积的定义，代入已知数据可得答案． 【详解】由题意可得2|2|(2)a b a b +=+22224444||||cos60a b a b a b a b =++⋅=++︒==故选：D ．【点睛】本题考查向量的模的计算，涉及向量的夹角，以及向量的数量积运算，属于常考题型． 6．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=，则A ∠为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．56π 【答案】C【解析】试题分析：()2cos cos b c A a C -=，则有()2sin sin cos sin cos B C A A C -=，则有2sin cos cos sin sin cos B A A C A C -=，即sin cos cos sin 2sin cos A C A C B C +=，即()sin 2sin cos A C B C +=，则有()sin 2sin cos B B C π-=，即sin 2sin cos B B C =，因为0B π<<，所以sin 0B >，故有2cos 1C =，解得1cos 2C =，因为0C π<<，所以3C π=，故选C.【考点】1.正弦定理；2.边角互化7．已知122a b -<+<，34a b <-<，则4a b -的取值范围是（ ） A ．(4,11) B ．(5,11)C ．(4,10)D ．(5,10)【答案】D【解析】先寻找4a b -与2a b +、a b -的关系，再根据不等式性质得结果. 【详解】因为42a b a b -=+（）+2（a b -），所以41628510a b -∈-++=，（，），选D. 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8．若数列{}n a 满足11a =，22a =，21(3)n n n a a a n --=>，记数列{}n a 的前n 项积为n T ，则下列说法错误的是（ ）A ．n T 无最大值B ．n a 有最大值C ．20194T =D ．20192a =【答案】A【解析】先求数列{}n a 周期，再根据周期确定选项. 【详解】因为()12211,2,3n n n a a a a a n --===≥，所以34567811=2=1===1=222a a a a a a ，，，，，， 因此数列{}n a 为周期数列，6n n a a +=，n a 有最大值2，201932a a ==， 因为123456781,2,=4=4=2=1=1=2T T T T T T T T ==，，，，，，,所以{}n T 为周期数列，6n n T T +=，n T 有最大值4，201934T T ==, 综上选A. 【点睛】本题考查数列周期，考查基本分析求解能力，属中档题.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且150S >，890a a +<，则使得0nn s a n+<最小的n 为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】先根据条件得首项与公差关系，再结合选项判断nn S a n+符号. 【详解】因为15890,0S a a >+<， 所以1111111515140,215070,215000,2a d a d a d a d a d +⨯⨯>+<∴+>+<><，，当10n =时，10111011272722()01022714S aa a a d a +=+>+-=>， 当11n =时，11111215011Sa a d +=+<所以选B. 【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式，考查基本分析判断能力，属中档题. 10．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,n F ，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-【解析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n a a a a a a a a a ++---=+=+++++++，即11n n a S +=+成立，即可得到答案.【详解】由题意，熟练数列{}n F ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，即该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，则211121n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++----=+=++=+++1232n n n n n a a a a a ----=++++=123211n n n n a a a a a a ---=+++++++，即11n n a S +=+成立，所以201920211S a =-成立，故选B. 【点睛】本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中根据数列的结构特征，合理利用迭代法得出11n n a S +=+是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题11．已知等比数列{}n a 满足：179a a +=，268a a =，且1+<n n a a ，则4α=______；q =______．【答案】22【解析】根据条件列方程组解得首项与公比，再求4a . 【详解】因为17269,8a a a a +==，所以6611112611+98+9=1,88a a q a a q a a q ⎧==∴=⎨=⎩，或611=8,8a q =，因为1n n a a +<，所以31411,=1,q a q a a q >===本题考查等比数列首项与公比，考查基本分析求解能力，属中档题.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若48S =．84S =，则=12S ______；=6S ______．【答案】12-152【解析】根据等差数列和项性质求12S .根据首项与公差求6S . 【详解】因为等差数列中484128,,S S S S S --仍成等差数列，所以84412812122()(),2(48)8(4),12S S S S S S S -=+--=+-∴=-， 因为488,4S S ==,所以11611251443811582665.1322887424a a d S a d a d d ⎧⎧=+⨯⨯=⎪⎪⎪⎪∴∴=+⨯⨯=⎨⎨⎪⎪+⨯⨯==-⎪⎪⎩⎩， 【点睛】本题考查等差数列求和公式以及性质，考查基本分析求解能力，属中档题.13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知4a =，30A =︒．若4b =，则ABC ∆的面积为______；若ABC ∆有两解，则b 的取值范围是______．【答案】 48x <<【解析】根据等腰三角形性质可得ABC ∆的面积，根据正弦定理确定有两解条件. 【详解】若4b =，则B 30,120A C ===,因此ABC ∆的面积为0144sin1202⨯⨯⨯= 由正弦定理得8sin sin sin b ab B B A=∴=, 因为ABC ∆有两解，所以0115030,90sin (,1),(4,8).2B B B b >>≠∴∈∈ 【点睛】本题考查正弦定理以及三角形面积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 14．已知1e ,2e 是不共线的两个单位向量，122a e e =-,12b ke e =+,若a b ,则k =______；若对任意的k ∈R ,a 与b都不可能垂直，则1e 在2e 上的投影为______【答案】21-12【解析】根据向量平行可列方程解得k ;先根据向量数量积探求12e e 的值，再根据向量投影公式可得结果. 【详解】因为//a b ，12,e e 是不共线的两个单位向量，所以1112,2k k ⨯=-⨯∴=- 由题意得()()1212121212221212k 20a b e e ke e k k e e e e e e =-+=-+-=-+-≠, 对任意的k R ∈恒成立，所以1212e e = 所以1e 在2e 上的投影为1212212||e e e e e ⋅=⋅=.【点睛】本题考查向量共线、垂直与投影，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 15． 已知向量a ,b 满足||1a =，||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的大小是______． 【答案】34π【解析】由向量垂直的充分必要条件可得2a b a ⋅=-，据此求得向量夹角的余弦值，然后求解向量的夹角即可. 【详解】由()a a b ⊥+得，()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，据此可得：2cos ,a b a b a b a ⋅=⋅⋅=-，12cos ,212a b ∴=-=-⨯， 又a 与b 的夹角的取值范围为[0,]π，故a 与b 的夹角为34π. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．已知ABC ∆中，A ∠的平分线交对边BC 于点D ，3AB AC =，且AD kAC =，则实数k 的取值范围是______. 【答案】3(0,)2【解析】根据三角形面积公式列函数关系式，再根据三角形内角范围求结果. 【详解】由题意得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯, 所以11132sin cos 3sin sin 2222222A A A A AC AC AC kAC AC kAC ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯,即3π3cos ,(0,)cos (0,1),(0,).222222A A A k k =∈∴∈∈ 【点睛】本题考查三角形面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.17．已知数列{}n a 满足11a =，且当2n ≥时，()2110n n n n a a a ---+=，则n a =______．【答案】12n n+ 【解析】变形递推关系式，再根据叠乘法求结果. 【详解】当2n ≥时，()2110n n n n a a a ---+=，所以()1+11n n na n n a n -=-，因此当2n ≥时，()()12111113111=2111222n n n n n nn nn n na n a n a a a n n n n n --+++++=-⋅-==⋅⋅⋅⨯⨯==--所以1=2n n a n+ 因为当1n =时，1112n a n +==，所以1=2n n a n+. 【点睛】本题考查利用叠乘法求数列通项，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.三、解答题18．已知函数22()33f x ax ax a =-+-．（Ⅰ）若不等式0)(<x f 的解集是{|}x l x b <<，求实数a 与b 的值；（Ⅱ）若0a <，且不等式()4<f x 对任意[3,3]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）3,2a b ==（Ⅱ）704a -<< 【解析】（Ⅰ）根据不等式解集与对应方程根的关系列式求解，（Ⅱ）分离变量，转化为求对应函数最值问题. 【详解】（Ⅰ）因为不等式()0f x <的解集是{}1x x b <<， 所以1b ，为22330ax ax a -+-=两根，且0a >,因此2132033b b a a a b a +=⎧=⎧⎪>∴⎨⎨-==⎩⎪⎩（Ⅱ）因为0a <，所以不等式()4f x <可化为2273a x x a --> 因为当[]3,3x ∈-时223993x 244x x -=--≥-，,所以2974a a-->，因为0a <，解得70.4a -<<【点睛】本题考查不等式解集与对应方程根的关系以及不等式恒成立问题，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知ABC ∆1，且sin sin A B C +=（Ⅰ）求边c 的长；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为1sin 5C ，求cos C 的值． 【答案】（Ⅰ）1c =（Ⅱ）1cos =4C 【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理得边的关系，再根据周长求c ；（Ⅱ）根据三角形面积公式得ab 的值，再根据余弦定理求结果. 【详解】（Ⅰ）因为sin sin A B C +=，所以由正弦定理得a b +=,1，所以1,1,a b c c c ++=+==（Ⅱ）因为ABC ∆的面积为1sin 5C ，所以112sin sin 255ab C C ab ==，，所以222222221()215cos .222425a b c a b ab c C ab ab -⋅-+-+--====⋅ 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及面积公式，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 20．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD CD ==，3AB =，（Ⅰ）若AC AB BD λ+=，求实数λ的值； （Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD ⋅的值 【答案】（Ⅰ）43-（Ⅱ）3- 【解析】（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解. 【详解】（Ⅰ）因为AC AB BD λ+=，所以AD DC AB BA AD λ++=+,103AB AB AB λ++=,因此43λ=-，（Ⅱ）()()()()()22222········3?3 3.AC BD AD DC BC CD AD CD DC BC CD AD BC CD CD AB BC CD BC CD CD CD CD CD CD CD =++=+-=--=++--=-+-=-=- 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题. 21．设公差不为0的等差数列{}n a 中，25a =，且1311,,a a a 构成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和n S 满足：11123n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）31n a n =- （Ⅱ）767443n nn T +=-⋅ 【解析】（Ⅰ）根据条件列方程解得公差，再根据等差数列通项公式得结果，（Ⅱ）先根据和项求通项，再根据错位相减法求和. 【详解】（Ⅰ）因为1311,,a a a 构成等比数列，所以23111a a a =，()()()255953d d d d ∴-+=+⇒=（0舍去）所以()2231n a a n d n =+-=-（Ⅱ）当1n =时111111233b S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， 当2n ≥时11111112333n n n n n n b S S S --⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭， 313n n nn a b -∴= ， 22531333n n n T -=+++ 2311253431 33333n n n n n T +--=++++ 相减得2312233331 333333n n n n T +-=++++- 所以121111311?213323n n nn T （）--=++++- 11113131?122313n n n ---=+--（） 即767443n nn T +=-⋅ 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.22．已知数列{}n a 满足12a =,()*12(1)n n n a a n N ++=-∈． （Ⅰ）求证：数列{}(1)n n a --是等比数列； （Ⅱ）比较n a 与312n +的大小，并用数学归纳法证明； （Ⅲ）设12nn n n b a a +-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m <对任意*n N ∈成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）312n n a +≥（Ⅲ）13m ≥ 【解析】（Ⅰ）根据等比数列定义证明，（Ⅱ）先求n a ，再根据数学归纳法证明，（Ⅲ）先化简n b ，再利用裂项相消法求和得n T ，最后根据n T 最大值得结果.【详解】（Ⅰ）()()()()()()()11112112212111n n n n n n n n n n n n n a a a a a a +++---+----+-===------- 且1130a +=≠,(){}1n n a ∴--是以3为首项，2-为公比的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()()1132n n n a ---=⨯-()()()()11132+11321n n n n n a ---∴=⨯--=-⨯- 1321n n a -∴=⨯-312n n a +≥,下面用数学归纳法证明 （1）当1n =时,31 22n n a +=≥ （2）假设当*,n k k N =∈时,31 2k k a +≥, 当1n k =+时,()()131131 3212112113222k k k k k a a k ++++⎛⎫=⨯-=+-≥+-=+> ⎪⎝⎭,即当1n k =+时,结论成立，由（1）（2）得312n n a +≥, （Ⅲ）因为()()()()1112213211321n nn n n n n n n b a a --+--==-⨯--⨯- ()()1122113321321321321n n n n n --⎛⎫==- ⎪⨯-⨯-⨯-⨯-⎝⎭ 011212112112112111332132133213213321321323213n n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13m ∴≥ 【点睛】本题考查证等比数列、数学归纳法以及裂项相消法求和，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.。
浙江省宁波市2019年数学高二下学期理数期中考试试卷D卷
浙江省宁波市2019年数学高二下学期理数期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·鸡西模拟) 已知i是虚数单位，则复数的虚部为（）A . -1B . -2C . 4D . 22. （2分）(2017·东城模拟) 动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·成都期中) 给出下列命题，其中正确的命题的个数（）①函数图象恒在轴的下方；②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④函数的图像关于对称的函数解析式为A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）下列命题中的假命题是（）A .B .C .D .5. （2分）使函数是奇函数，且在上是减函数的一个值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·阳高期末) 函数在上与轴有一个交点，则的范围为（）A .B . 或C .D .7. （2分）下列方程的曲线不关于x轴对称的是（）A . x2﹣x+y2=1B . x2y+xy2=1C . 2x2﹣y2=1D . x+y2=﹣18. （2分）已知函数的定义域为，且对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同零点，则实数的取值范围为（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数m＞0，对任意x∈R，有|f（x）|≤m|x|，则称函数f （x）为F﹣函数．给出下列函数：①f（x）=x2；②；③f（x）=2x；④f（x）=sin2x．其中是F﹣函数的序号为（）A . ①②B . ①③C . ②④D . ③④10. （2分） (2019高三上·沈阳月考) 已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高三上·汉中月考) 已知函数若函数有6个不同的零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高一下·黑龙江月考) 已知函数 f（x）=ax3-3x2+1 ，若 f（x）存在唯一的零点 x0 ，且 x0 ＞0 ，则 a 的取值范围是（）A . （2，+∞）B . （1，+∞）C . （-∞，-2）D . （-∞，-1）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知数列{an}满足a1=1，an+1﹣2an=2n ，则an=________14. （1分） (2019高三上·杨浦期中) 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图像，以下两个结论是正确的：①偶函数在区间（）上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为________.15. （1分） (2016高一上·海安期中) 函数的零点所在的区间为（n，n+1）（n∈Z），则n=________16. （1分） (2016高一上·南通期中) 函数f（x）= 的单调递增区间是________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高一下·集宁期末) 已知为第三象限角，．（1）化简（2）若，求的值.18. （5分）若n是大于1的自然数，求证： .19. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．（1）画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调区间；（2）求函数在上的解析式．20. （10分） (2016高二上·邗江期中) 设函数g（x）=x2﹣2x+1+mlnx，（m∈R）．（1）当m=1时，求函数y=g（x）在点（1，0）处的切线方程；（2）当m=﹣12时，求f（x）的极小值；（3）若函数y=g（x）在x∈（，+∞）上的两个不同的数a，b（a＜b）处取得极值，记{x}表示大于x的最小整数，求{g（a）}﹣{g（b）}的值（ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．21. （5分）(2020·日照模拟) 某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.产品品质立品尺寸的范围价格与产量的函数关系式优中差以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数的值；（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.22. （5分）(2017·石景山模拟) 已知集合Rn={X|X=（x1 ， x2 ，…，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1 ， a2 ，…，an）∈Rn ， B=（b1 ， b2 ，…，bn）∈Rn ，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|= ．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3 ，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆Rn ， P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、。
浙江省九加一联盟2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
2019学年第二学期9+1高中联盟期中考试高二年级数学学科试题一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选，错选均不得分）1.设集合{}1,2,3,4A =，,m n A ∈，则方程221x y m n+=表示焦点位于x 轴上的椭圆有( )A. 6个B. 8个C. 12个D. 16个【答案】A 【解析】 【分析】根据m n >，对A 中元素进行分析即可求解. 【详解】因为椭圆焦点在x 轴上， 所以m n >， 当2m =时，1n =； 当3m =时，1,2n =； 当4m =时，1,2,3n =， 一共有6个符合要求的椭圆， 故选：A【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆焦点的位置，属于容易题.2.设,x y R ∈，则11()()22x y>是22log log x y <成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，可得出结论.【详解】因为1()2xy =为R 上的减函数，2log y x =是(0,)+∞上的增函数，所以由11()()22x y>可得x y <（,x y R ∈）22log log x y <，由22log log x y <可得x y <（,x y R +∈）⇒11()()22x y >，故11()()22x y>是22log log x y <成立的必要不充分条件，故选：B【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，必要不充分条件，属于中档题.3.下列函数中是偶函数，且在0∞+（，）上单调递增的是 （）A. 3y x = B. 2y lgx =-C. 2xy = D. y =【答案】D 【解析】 【分析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可. 【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件．B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ，()()f x f x -===，该函数为偶函数，当0x >时，y =,满足条件,故选：D ．【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型. 4.用数学归纳法证明“1112n n ++++ (111)()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A. 12(1)k +B.112122k k +++ C.11121221k k k +-+++ D.1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k时，左边为11112k k k k+++++，当n=k+1时，左边为11111231(1)(1) k k k k k k k k +++++++++++++所以增加项为两式作差得：11121221k k k+-+++，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．5.现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有( ) A. 1440种 B. 1400种 C. 1320种 D. 1200种【答案】D【解析】【分析】根据题意,分2步进行分析: ①将甲、乙按要求安排，②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分2步进行分析:①要求甲、乙安排在相邻两天，且甲不排在周三，先把周一周二、周二周三、⋯、周六周日看作6个位置，任选一个位置，排上甲乙两人，有126212A A=种方法，其中甲排在周三去掉，则甲乙的安排方法有1262210A A-=种,②将剩下的5人全排列，安排在剩下的5天，有55120A=种情况；由分步计数乘法原理知，则有101201200⨯=种安排方法.故选：D【点睛】本题主要考查了排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题.6.已知函数2In||()xf x xx=-，则函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，可以化简函数的解析式，用导数研究函数在0x <时的单调性，运用排除法可以选出正确的答案.【详解】222In ,(0)In ()=In(),(0)x x x x x f x x x x x x x ⎧->⎪⎪=-⎨-⎪-<⎪⎩，当x ＜0时，3221ln()21ln()()2x x x f x x x x '---+-=-=．令3()21ln()g x x x -=+-，由32161()60x g x x x x'+=+==，得316x =-，当x ∈（﹣∞，316'()0g x ＞，当x ∈（3160）时，'()0g x <． 所以()g x 有极大值为333311141()2()1ln ln 6066633g =⨯--+=--<． 又20(0)x x >≠，所以'()f x 的最大值小于0．所以函数()f x 在（﹣∞，0）上为减函数，这样可以排除A 、B 、C ，故选D. 【点睛】本题考查了函数的图象，应用导数研究函数的单调性是解题的关键.7.设1x <<，随机变量ξ的分布列如下：则当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时（ ） A. ()E ξ减小，()D ξ减小 B. ()E ξ增大，()D ξ增大 C. ()E ξ增大，()D ξ减小 D. ()E ξ减小，()D ξ增大【答案】B 【解析】 【分析】分别计算()E ξ和()D ξ的表达式，再判断单调性.【详解】()00.51(0.5)20.5E x x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时, ()E ξ增大()222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24D x x x x x x x ξ=⨯+-+-⨯+-++-=-++ ()25(1)4D x ξ=--+，当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()D ξ增大 故答案选B【点睛】本题考查了()E ξ和()D ξ计算，函数的单调性，属于综合题型.8.已知定义在(0,)+∞上的函数2(),()6ln 4f x x m h x x x =-=-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 值等于（ ）A. 3-B. 1C. 3D. 5【答案】D 【解析】 【分析】设曲线()y f x =与()y h x =在公共点()00,x y 处的切线相同，得出方程组()()()()0000f x h x f x h x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，即可求解，得到答案.【详解】依题意，设曲线()y f x =与()y h x =在公共点()00,x y 处的切线相同. 因为2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-则()2f x x '=，6()4h x x'=- 所以()()()()0000f x h x f x h x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2000006ln 4624x m x x x x ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩， ∵00x >，解得01x =，5m =. 故选D.【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练导数的运算公式，以及利用导数的几何意义列出相应的方程组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF .分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF 的周长为12，则2ab 取得最大值时，该双曲线的离心率为( )【答案】B 【解析】 【分析】根据AB x ⊥轴且过左焦点1F 可得22b ABa，由题意知2ABF 的周长为2PQF 周长的2倍，可得2224AB AF BF ++=，化简得2226a b a c +==，转化22(6)a ab a a =-，利用导数确定取最值时a ，即可求解. 【详解】因为1(,0)F c -，所以把x c =-代入双曲线方程可得：2by a=±，故22||b AB a=，因为//PQ AB ，12PQ AB =，2PQF 周长为12， 所以2ABF 的周长为24， 即2224AB AF BF ++=，所以22222+224b b b a a a a a+++=，化简得：2226a b a c +==，()223266ab a a a a a ∴=-=-+，令32()6(0)f a a a a =-+>，则2()3123(4)f a a a a a '=-+=--，∴当04a <<时，()0f a '>，函数单调递增，当4a >时，()0f a '<，函数单调递减，4a ∴=时函数有唯一极大值也是最大值，此时26424c =⨯=，c = 所以6c ea ， 故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.10.下列函数使方程()()f f x x =的实根个数最多的为( ) A. 2()f x x x =-B. ()xf x e =C. ()sin f x x =D.()21f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据()()f f x x =，写出具体方程，转化为判断对应的方程有解无解，有解时根的个数问题. 【详解】对于A ，由()()f f x x =可得()()222x xxx x ---=，即4320x x -=，解得0,2x x ==共有2个实数根；对于B ，由()()f f x x =可得xe e x =，因为e 1x x +，所以1e e 2xex x x ++>，所以方程无实根；对于C ，由()()f f x x =可得sin(sin )x x =，在区间 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上sin x x <，所以sin(sin )sin x x x <<成立，显然,2x π⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时也成立，结合奇函数的性质知，方程只有一解0x =；对于D ，由21x x -=，可解的121,13x x ==，所以原方程等价于()1132f x x =-=或()211f x x -==，解得123412,,1,033x x x x ====，故方程()()f f x x =有4个根.故选：D【点睛】本题主要考查了判断方程的根的个数问题，涉及函数与方程思想，分类讨论，属于难题.二、填空题（本大题共7题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 11.若全集4{|}U x x =≥-，{|32}A x x =-≤≤，{|13}B x x =-≤<，AB =______；UA______.【答案】 (1). {|12}x x -≤≤ (2). {4|3x x ≤<--或2}x > 【解析】 【分析】根据集合的交集、补集运算，即可求解. 【详解】{|32}A x x =-≤≤，{|13}B x x =-≤<，[1,2]A B ∴=-， {|4}U x x =≥-，UA {4|3x x ≤<--或2}x >，故答案为： {|12}x x -≤≤；{4|3x x ≤<--或2}x > 【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，属于容易题.12.已知随机变量X ，Y 满足1~(5,)4X B ，23Y X =+，则()E Y =______；()D Y =______.【答案】 (1). 112(2). 154【解析】 【分析】利用公式()2()3E Y E X =+，2()2()D Y D X =直接计算即可. 【详解】因为1~(5,)4X B ，所以15()544E X =⨯=，1115()51)4416D X =⨯⨯-=（，又23Y X =+，11()2()32E Y E X ∴=+=, 21515()2()4164D Y D X ==⨯=,故答案为：112；154【点睛】本题主要考查了二项分布及期望、方差的运算，考查了推理运算能力，属于中档题. 13.用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数.（1）可以组成______个不同的偶数；（2）若要求相邻两个数字奇偶性不同，则可以组成______个.（用数字作答）. 【答案】 (1). 312 (2). 60 【解析】 【分析】(1)根据尾数为0或尾数2或4分别求解即可； (2)分首位为偶数和奇数分别求解即可.【详解】用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的6位自然数，（1）末位为0时有：55120A =个；末位为2或4时有：14442192A A ⨯⨯=个，故共有120192312+=个偶数.（2）若首位为偶数，则首位不为0，有12322324C A A ⨯⨯=， 若首位为奇数，则有：333336A A ⨯=个；故共有：243660+=个. 故答案为：312；60【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，分类讨论的思想，计数原理，属于中档题. 14.设()9210012101241b x x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭，则12100210222a a a a ++++=_______. 【答案】5 【解析】分析：先求出b 值，再赋值12x =，即可求得所求式子的值. 详解：由题易知：()999b 11C =⨯-=-令12x =，可得1012021032b 222a a a a =+++++∴10120210222a a a a ++++＝5故答案为5点睛：本题考查了二项式定理的有关知识，关键是根据目标的结构合理赋值，属于中档题. 15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()10f -=，当0x >时，()()2f x xf x '>则使得()0f x ≥成立的x 的取值范围是______.【答案】][,1]01(,-∞-⋃ 【解析】 【分析】构造函数设函数2()()f x g x x=，利用导数得到()g x 在(0,)+∞是减函数，再根据()f x 为奇函数，f （1）(1)0f =-=，画出奇函数()g x 图象的大致形状，数形结合即可解得()0f x 的解集．【详解】设函数2()()f x g x x =，当0x >时，243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x '-'-'==，当0x >时，2()()f x xf x '>， ()0g x ∴'<，∴函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为定义在R 上的奇函数，2()()f x g x x ∴=为奇函数， 可得()g x 在(,0)-∞上单调递减． 再由(1)0f -=，得(1)g g -=（1）0=． 作出函数()g x 图象的大致形状如图，由图可知，当(x ∈-∞，1])(0-⋃，1]时，()0g x ， 则()0f x ．又()f x 为定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=．综上，使得()0f x 成立的x 的取值范围是(,1][0-∞-，1]． 故答案为：(,1][0-∞-，1]．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是关键，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.已知椭圆22:14y C x +=，(0,)P m 为y 轴上一动点.若存在以点P 为圆心圆P 与椭圆C有四个不同的公共点，则m 的取值范围是______.【答案】33(,)22- 【解析】 【分析】设圆P 的方程，联立椭圆方程，可得关于y 的二次方程，利用判别式为0,以及圆P 经过点(0, -2)，可得圆与椭圆有3个交点时32m =-，同理可得圆过(0,2)且与椭圆有3个交点时，32m =，数形结合可求出m 的取值范围. 【详解】由题意，设圆P 的方程为222()x y m r +-=，联立椭圆22:14y C x +=可得：222384440y my m r --+-=，由()2222264124441648480m m r mr ∆=-+-=+-=可得：22330m r +-=①，由圆P 过点(0,2)-，(0,2) 可得：22(2)m r --=②， 由①②可得32m =-， 同理，由圆P 过点(0,2)时可得32m =， 如图，结合图形可知，当33,22m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，以P 为圆心的圆与椭圆C 有四个不同的公共点， 故答案为：33(,)22-【点睛】本题主要考查了椭圆与圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力、推理能力，属于中档题.17.若函数()(0)f x a a =-≠不存在零点，则a 的取值范围是______.【答案】()0,24(),⋃+∞ 【解析】 【分析】函数()(0)f x a a =≠不存在零点，转化为方程(0)a a =≠无实根，等价于22a a =+的取值范围，即可求解.【详解】函数要有意义，则需00a x a x -≥⎧⎨+≥⎩，解得a x a -≤≤，所以a a -≤，又0a ≠，所以0a >，函数定义域为[,]x a a ∈-，因函数()(0)f x a a =-≠不存在零点，(0)a a =≠无实根，平方可得：22a a =+22[0,]a x a -，2[2,4]a a a ∴+，因为方程无实根， 所以22a a <或24a a >， 解得2a <或4a >， 故答案为：()0,24(),⋃+∞【点睛】本题主要考查了函数零点，方程的根的判定，转化思想，属于难题.三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.一个袋子里装有7个球，其中有红球4个.白球3个.这些球除颜色外全相同. （1）若一次从袋中取出3个球，取出的球颜色不完全相同的概率；（2）若一次从袋中取出3个球.其中若取到红球得0分，取到白球得1分，记随机变量ξ为取出的三个小球得分之和，求ξ的分布列，并求其数学期望.【答案】（1）67；（2）分布列见解析，97.【解析】【分析】（1）根据组合知识可知一次从袋中取出3个球的基本事件总数为37C，分类可知取出的球颜色不完全相同的取法总数，利用古典概型求解即可；（2）ξ的可能取值为0,1,2,3，利用古典概型分别计算其概率，列出分布列，求期望即可.【详解】（1）一次从袋中取出3个球的基本事件总数为3735C=种. 设“取出的球颜色不完全相同”为事件A，共有两大类，两红一白：211318C C=，两白一红：124312C C=，306()357P A==.（2）3个红球得0分：344 (0)3535CPξ===；2红1白得1分：214318 (1)3535C CPξ===；1红2白得2分：224312 (2)3535C CPξ===；3个白球得3分：331 (3)3535CPξ===；4181219 ()0123353535357 Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了组合的应用，古典概型，随机变量的分布列，期望，属于中档题.19.如图，在四棱锥P ABCD-中，PC⊥平面ABCD，//AB CD，AB AD⊥，222AB AD CD===，5PD=，E为PB的中点.（1）证明：平面EAC⊥平面PBC；（2）求直线PD与平面AEC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1515.【解析】【分析】（1）可先证明PC AC⊥，AC BC⊥，从而AC⊥平面PBC，由此能证明平面EAC⊥平面PBC；（2）推导出PC CD⊥,以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法直线PD与平面AEC所成角的正弦值【详解】（1）证明：由PC⊥平面ABCD，故PC AC⊥.又2AB=，1CD=，AD AB⊥，所以2AC BC==故22AC BC AB+=，AC BC ⊥.又PC BC C⋂=，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面ACE所以平面ACE⊥平面PBC. （2）PC⊥平面ABCD，故PC CD⊥. 又5PD=，2PC=. 如图建立坐标系，()0,0,0C ，()0,1,0D ，()0,0,2P ，()1,1,0A ，()1,1,0B -，11(,,1)22E -.∴()0,1,2PD =-， (1,1,0)CA →=， 11(,,1)22CE →=-. 设平面ACE 的一个法量为(,,)n x y z =，由00n CA n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得020x y x y z +=⎧⎨-+=⎩，取1y =，则1,1x z =-=故(1,1,1)n →=-，设直线PD 与平面AEC 所成角为θ， 则()15sin cos ,35n PD θ===⨯. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，属于中档题.20.已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象经过坐标原点，且在1x =处取得极大值. （1）求实数a 的取值范围；（2）若方程2(23)()9a f x +=-好有两个不同的根求()f x 的解析式.【答案】（1）(,3)-∞-；（2）32()915f x x x x =-+. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由题意知()10f '=，且1x =处取得极大值，即可求出a 的范围；（2）根据（1）可求出函数在233a x +=-时的极小值26(23)27a a ++，只需当226(23)(23)279a a a +++=-时，方程2(23)()9a f x +=-恰好有两个不同的根，即可求解. 【详解】（1）()00f =，0c，2()32f x x ax b '=++，()1023f b a '=⇒=--，∴2()32(23)(1)(323)f x x ax a x x a '=+-+=-++， 由()01f x x '=⇒=或233a x +=-， 因为当1x =时取得极大值，所以23133a a +-><-⇒ 所以a 的取值范围是(,3)-∞-.（2）由表：26(23)27a a ++依题意得：226(23)(23)279a a a +++=-，解得：9a =-， 所以函数()f x 的解析式是：32()915f x x x x =-+.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值问题，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题. 21.如图，过点10,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 交抛物线C ：2y x =于A ，B 两点（点A 在P ，B 之间），设点A ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ，过点A 作x 轴的垂线交直线OB 于点D .（1）求证：12112y y +=； （2）求OAD ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）27256【解析】 【分析】（1）设直线l 的方程为12y kx =+，联立方程组，运用韦达定理，化简即可得到证明； （2）由>0∆，求得k 的范围，点A 在P 、B 之间，可得()10,1y ∈，求得D 的坐标，运用三角形的面积公式和导数，得出函数的单调性和最值，即可求解面积的最大值． 【详解】（1）由题意，设直线l 的方程为12y kx =+， 联立方程组212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2102ky y -+=，所以1212112120y y k y y k k ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪∆=->⎪⎪⎩，则所以121212112y y y y y y ++==． （2）由（1）可得120k ∆=->，解得12k <， 因为点()211,A y y 在P ，B之间，所以112y k ==， 所以()10,1y ∈，由已知可设点()21,D D y y ，由点D 在直线OB ：21y x y =上可得212D y y y =， 所以OAD ∆的面积22111212y S y y y ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭，因为21112y y =-，所以22341111111122S y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()21134S y y '=-，可得1304y <<时，0S '>，函数S 单调递增，当1314y <<时，0S '<，函数S 单调递减， 所以当134y =，即49k =时，OAD ∆的面积S 的最大值27256.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程及几何性质、以及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线联立方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力．22.已知函数()xe f x x=，()ln g x x x =-.（1）若函数()()()()h x af x g x a R =+∈在[)1,+∞单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若()(),0g x mx n m R n ≤+∈>恒成立，求()1m n +的最小值()n ϕ的最大值.【答案】（1）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）21e .【解析】 【分析】（1）由题设有()()'0,1,h x x ≥∀∈+∞，参变分离后可得a 的取值范围. （2）()(),0g x mx n m R n ≤+∈>等价于()ln 10x m x n -+-≤，令()()ln 1F x x m x n =-+-，分10m +≤和10m +>后可得()max 11F x F m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，其中10m +>，故101F m ⎛⎫≤⎪+⎝⎭即11n m e --+≥，从而()11n m n ne --+≥，令()1n n ne ϕ--=，利用导数可求其最大值.【详解】（1）()ln xe h x a x x x=+-，()()()()2211111x x x ae e x h x a x x x ---'∴=+-=， 若函数()()()()h x af x g x a R =+∈ 在[)1,+∞单调递增，()()()2110x x ae h x x--'∴=≥ 对任意[)1,x ∈+∞恒成立， 110x xae a e ∴-≥⇒≥，1x y e=在[)1,+∞单调递减， ∴当1x =时，max 11x e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1a e ∴≥.故所求实数a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()g x mx n ≤+ ()()ln ln 10g x x x mx n x m x n =-≤+⇒-+-≤ 即令()()ln 1F x x m x n =-+- ，则()0F x ≤恒成立()()()1111m x F x m x x-+'=-+= 若10m +≤，则当n x e >时()0F x >，与()0F x ≤恒成立矛盾，所以10m +>, 由()0F x '=得11x m =+， 当10,1x m ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时()0F x '> ，()F x 单调递增； 当1,1x m ⎛⎫∈+∞ ⎪+⎝⎭时()0F x '<， ()F x 单调递减； ()()1ln 1101F x F m n m ⎛⎫∴≤=-+--≤ ⎪+⎝⎭，11n m e --∴+≥， 0n > ，()11n m n ne--∴+≥ ,()1m n ∴+的最小值()1n n ne ϕ--= . 又()()1111n n n n e ne n e ϕ------'=-=-，∴当()0,1n ∈时，()0n ϕ'> ，()n ϕ单调递增；当()1,n ∈+∞时，()0n ϕ'< ，()n ϕ单调递减，()()2max 11n e ϕϕ∴==. 【点睛】一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．求函数的最值，应结合函数的定义域去讨论函数的单调性，有的函数的单调性可以利用基本初等函数的单调性、复合函数的单调性判断法则得到，有的函数的单调性需结合导数的符号进行判断，如果导数的符合还不能判断，则需构建新函数（也就是原函数的导函数），再利用导数判断其符号．。
浙江省浙北G2联考2018-2019学年高一第二学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省浙北G2高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.不等式2560xx 的解集是（）A.23x x x 或 B. 23x x C. 61x x x 或 D. 61x x 【答案】C【解析】【分析】先分解因式再解不等式. 【详解】因为2560x x ，所以(1)(6)01x x x 或6x ，选C .【点睛】本题考查解一元二次不等式，考查基本求解能力，属基础题. 2.若ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C ，则ABC （）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理得,所以C 是最大的角，由余弦定理,所以C 为钝角，因此三角形ABC 一定是钝角三角形考点：三角形形状的判定及正、余弦定理的应用【此处有视频，请去附件查看】3.已知向量(3,4)OA ，(6,3)OB ，(2,1)OC m m ．若AB OC ∥，则实数m 的值为（）A. 15 B. 35- C. 3 D. 17【答案】C【解析】【分析】根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为//AB OC ，所以3,1//2,1m m ,3(1)2 3.m m m 选C.【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题. 4.若,,a b c R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）A. a c b cB. 2()0a b c C. ac bc D. b b ca a c【答案】B【解析】【分析】根据不等式性质确定选项.【详解】当0c 时，a c b c 不成立；因为20,0c a b ，所以20a b c ；当0c 时，ac bc 不成立；当0c 时，b b ca a c 不成立；所以选 B.【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.。
浙江省金华市2019版高二下学期期中数学试卷(理科)A卷
浙江省金华市2019版高二下学期期中数学试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）是虚数单位，复数的实部是（）A . 2B . 1C . -1D . -22. （2分）下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个3. （2分）有5本不同的书，其中语文2本，数学2本，英语1本。
若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为（）A .B .C .D .4. （2分）已知,，，，则（）A . 1B .C . 2D .5. （2分）函数f（x）=ax3+6x2+（a﹣1）x﹣5有极值的充要条件是（）A . a=﹣3或a=4B . ﹣3＜a＜4C . a＞4或a＜﹣3D . a∈R6. （2分）含有数字3，且能被3整除的三位整数共有（）A . 84个B . 120个C . 216个D . 300个7. （2分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A . 甲B . 乙C . 丙D . 丁8. （2分）已知函数，求（）A . -1B . 5C . 4D . 39. （2分）(2013·安徽理) 若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1 ， x2 ，且f（x1）=x1＜x2 ，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）由“ ，，”得出：“若a＞b＞0且m＞0，则”这个推导过程使用的方法是（）A . 数学归纳法B . 演绎推理C . 类比推理D . 归纳推理11. （2分）已知函数，下列结论中错误的是（）A . 当﹣2＜a＜2时，函数f（x）无极值B . 当a＞2时，f（x）的极小值小于0C . 当a=2时，x=1是f（x）的一个极值点D . ∀a∈R，f（x）必有零点12. （2分） (2016高一下·六安期中) 已知非零向量，，，满足 =2 ﹣， =k + ，给出以下结论：①若与不共线，与共线，则k=﹣2；②若与不共线，与共线，则k=2；③存在实数k，使得与不共线，与共线；④不存在实数k，使得与不共线，与共线．其中正确结论的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题： (共3题；共3分)13. （1分） (2016高三上·崇礼期中) 曲线y=e2x在x=0处切线方程为________．14. （1分） (2018高二下·聊城期中) 2018年3月22 日,中国杯四国足球邀请赛在南宁市体育中心开赛,小张带着儿子，女儿和爸爸、妈妈、弟弟一起去观看中国国家队与威尔士国家队的比赛,赛场-排有个位置,若这人并排而坐,则小张儿子、女儿三人中恰有两人相邻的坐法有________种．15. （1分）已知{an}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得 =________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （5分） (2017高二下·蚌埠期中) 满足z+ 是实数且z+3的实数与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z，若不存在，请说明理由．17. （15分） (2016高二下·连云港期中) 排列组合（1） 7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2） 7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？（3） 7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？18. （5分） (2017高二下·绵阳期中) 已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2（a＞1）在x=﹣1时的极值为0．求常数a，b的值并求f（x）的单调区间．19. （10分）已知数列{an}，a1=2，an+1= an ，（n∈N*）．（1）求a2，a3，a4，猜测通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论．20. （15分）(2019·上饶模拟) 已知函数，曲线与在原点处的切线相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
2019春年浙北G2高二数学下学期期中考试卷
满分150分，时间120分钟；
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.已知全集{0,1,2,3,4,5,6}U，集合1,2,3,4,0,2,4AB，则UCAB（▲）
A．2,4B．5,6C．0,1,3,5,6D．
0,1,2,3,4
2.若
5
4
sin
，则（▲）
A.
4cos()25B.3sin()25C.4sin5D.4
sin()5=
3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是（▲）
A.83B.43C.6D.8
4.设,为不重合的平面，,mn为不重合的直线，则下列命题正确的是（）
A.若，n，mn，则m
B.若m，n，//mn，则
//
C.若n，n，m，则
m
D.若//m，//n，mn，则
5.已知直线0)2(3:1ayaxl与直线03:2yaxl平行，则实数a（▲）
A.13或B.3C.1D.1
6.已知数列na满足
2
2nanknb，当且仅当2020n时，na取到最小值，则k的取值范围（▲）
A.}2020{B.)2021,2019(C.与b有关D.以上均不对
7.已知平面向量AC在AB上的投影是1，1,7ABBC，则AC的值为（▲）
A．3B．22C．１D．2
8.在平面直角坐标系xOy中，若圆
1)1()2(:221yxC上存在点P，且点P关于直线0yx
的
对称点Q在圆
)0()2(:2222rryxC上，则r
的取值范围是（▲）
A.]117,117[B.
]122,122[
C.]12,12[D.
]15,15[
2
9.已知a为正数，222,32,xaxxafxxaxaxa，若存在,42，满足sincosff，则实数a
的取值范围是（▲）
A.2,12B.12,22C.
1,2
D.
1
,1
2
10.在矩形ABCD中，已知3AB，1AD，M为AB的三等分点（靠近A点），现将三角形ADM沿
DM翻折，记二面角ADMC，ADCM和ACMD的平面角分别为
,,，则当平面ABD
平面BCDM时（▲）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，
共36分）
11.设函数31,1()ln,1xxfxxx，则1ff__▲__；fx的值域为__▲__
12.函数sin()(0,0,0)fxAxA的部分图象如图
所示，则A__▲__，对称轴方程为__▲__
13.若实数x，y满足4440xyxyy，则2xy的最大值是__▲__；最小值是__▲___.
14.在三角形ABC的中，已知内角,,ABC所对的边分别是,,abc，且3a，
3
A
，
则该三角形的外接圆半径为__▲__，若D为BC的三等分点，AD的最大值为__▲__.
15.已知直线:0lxayaR是圆22:4210Cxyxy的一条对称轴，过点1,Pa的直线
m
与圆C交于,AB两点，且4AB，则直线m的斜率为__▲__.
16.已知向量a和单位向量b满足33abab，则ab的最大值是__▲__.
17.已知0,0xy，且1111212xy，则xy的最小值为__▲__.
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（本题14分）已知函数
)
3sin()6
sin(3)(
xxxf
（Ⅰ）求
)
6
(f
的值；
（Ⅱ）若]2,0[x，求)(xf的单调递减区间．
3
19.（本题15分）如图，直角梯形ABEF等边ABC，
22,,//FAABABFAEBFA
（Ⅰ）求证：BCFA;
（Ⅱ）求直线FC与平面EBC所成角的正弦值．
20.（本题15分）已知数列
}{
n
a
满足
2
532222221nn
aaa
n
n
；
（Ⅰ）求
1
a
的值；
（Ⅱ）求数列
}{
n
a
的通项公式；
（III）求数列}{na的前n项和
n
S
21.（本题15分）已知数列na满足
134a，11
210nnnaaa.
（Ⅰ）求证：数列11na为等差数列，并求数列na的通项公式；
（Ⅱ）若数列
nb满足111,3nnn
bbbna
，．
①求证：
1112nn
n
bbn
b
②求证：
12111223n
n
bbb
A
BC
E
F
4
22.（本题15分）已知函数
axabxaxxf
2
)(
（Ⅰ）若3b，且)(xf在),(a上递减，求a的取值范围．
（Ⅱ）设]2,1[a，0)(xf对任意]2,1[x恒成立，求ba25的最大值．
浙北G2期中联考2019学年第二学期高二数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号12345678910
答案CAACCDDDBB
二、填空题（本题共有7小题，其中第11、12、13、14小题每空3分，第15、16、17小题每空4分，
共36分）
11.ln2(,2]12.2()32kxkZ，13.82
14.33115.116.317.4.5
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18解：（Ⅰ）
)
3sin(2)6cos()6
sin(3)(
xxxxf
…………４分
2)6(
f
…………３分
（Ⅱ）
]2,0[x
]37,3[3x
…………２分
时当]
23,2[3
x
，)(xf递减，…………２分
所以)(xf的单调递减区间是
]
67,6
[
…………３分
19.（Ⅰ）证：
ABFAABCABEF,平面平面
ABCFA平面
…………３分
BCFA
…………３分
（Ⅱ）解：
EBFA//
EBCFA平面//
…………３分
5
的距离到平面等于的距离到平面EBCAhEBCF
3h
…………３分
5FC又
…………１分
5
1553
sin
…………２分
20.解：（Ⅰ）当1n时，
42
1a，21
a
…………３分
（Ⅱ）当2n时，
2
)1(5)1(3222211221nn
aaa
n
n
…………２分
所以，132nann，对1n也成立
n
n
na213
…………２分
（III）
nnnS213210272432
1432213210272421n
n
n
S
…………２分
132213)212121(3221nn
n
n
S
…………２分
1213)2121(32nn
n
1
2732
7nn
…………２分
n
n
nS273
7
…………２分
21.证：（Ⅰ）由条件知：1112nnnaaa，…………１分
1
1
121111111111nnnnnaa
aaa
…………２分
所以数列11na为等差数列，且首项为4111a，公差1d…………２分
3
11na
n
…………１分
6
32n
n
a
n
…………１分
（Ⅱ）①132nnnbbnan…………１分
112nn
bbnn
，（）
…………１分
两式相减，得：
1)(
11
nnn
bbb
1112nn
n
bbn
b
…………２分
②
nbbbb1111321
11352413
1
nn
bbbbbbbb
…………２分
1211nn
bbbb
…………１分
322221nbbb
nn
…………１分
22.解（Ⅰ）当axb,3时，
222
)3()(3)(axaaxaxaxaxxf
……２分
a
aaa23
0
…………２分
得：
2
3
a
…………２分
（Ⅱ）
0a
)(xf
开口向下…………１分
0)(0)2(0)1(af
f
f
只要
…………３分
002202322aba
baa
baa
…………３分
线性规划，求得当821,23ba时，ba25取得.最大值为49…………２分