水力学与桥涵水文第三章
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桥涵水力水文学总复习
3、明渠均匀流水力特性、产生条件 • 特性：
• （1）：断面形状、尺寸、水深、沿程不变，流速 大小方向、分布沿程不变，平均流速、动能修正 系数、动量修正系数都沿程不变，流速水头也沿 程不变； • （2）：流线为平行直线，动水压强分布规律与静 水压强分布规律相同。水面线就是测压管水头线， 水深沿程不变； • （3）：总水头线、测管水头线及渠底线三者平行。
Pm PMa ml (1 PMa ) n l 1
( M 1,2a )
(m l 1,n)
1 a N a n x xj xi N j 1 n l i l 1
1 Cv x 1 a N a n 2 2 ( xj x ) ( xi x ) N 1 j1 n l i l 1
2、连续介质假说和理想液体概念
• 连续介质假说：假设液体完全充满所占空间，没 有任何孔隙存在，物理性质和运动要素在空间和 时间上都是连续分布的。
• 理想液体：假想没有粘滞性的液体为理想液体。
第二章 水静力学
• 1、静水压强、静水压强特性 • 静水压强：静止液体中，单位面积上的作用力， KN/m2 。
hW hf h j
• 3、雷诺数和流态判别
• 一般非圆管： Re vR
• 圆管： • 4、尼古拉兹试验
Re
vd
• 沿程阻力系数变化规律可以分为5个不同的流区。 • 第Ⅰ区：层流区；第Ⅱ区：层流向紊流转变的过渡 区；第Ⅲ区：紊流光滑区；第Ⅳ区：紊流光滑区转 变为紊流粗糙区的过渡区； 第Ⅴ区：紊流粗糙区或 者阻力平方区
Jp J i
• 明渠均匀流产生条件： • （1）顺坡，并且i沿程不变； • （2）长直的棱柱形渠道，过水断面大小形状、渠道 的糙率系数n沿程不变； • （3）属恒定流，流量沿程不变。 • 4、明渠均匀流基本公式及其应用
水力学课件：3第三章 水动力学基础
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
恒定总流的能量方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V22
2g
hw
1
Z1 1
0
Yangzhou Univ
V 2 总水头h线w
2g
测压管水头线
2
2 Z2
0
位压 流 置强 速 水水 水 头头 头
测总 压水 管头 水 头
H1 H 2hw
Yangzhou Univ
流线图
《水力学》
第三章 水动力学基础
§2 欧拉法的若干基本概念
2.2 过水断面 过水断面是指与水流运动方向成正交的横断面
过水断面的水力要素——影响水流运动的物理指标 例如：断面几何形状、过水断面面积、湿周和水力半径等
Yangzhou Univ
《水力学》
第三章 水动力学基础
2
水流总是从水头大处流 向水头小处；
水流总是从单位机械能大 处流向单位机械能小处
2
水力坡度Z2 J——单位长度流程上的水头损失
0
J dhw dH
dL dL
《水力学》
第三章 水动力学基础
§4 恒定总流的能量方程
4 恒定总流的能量方程
方程的应用条件：
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V22
2g
hw
水流必需是恒定流；
在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件， 但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；
流程中途没有能量H输入或输出。否则，修正方程式：
z1
p1
1V12
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章 水文
2 2 2 2 2
2
2
2
所以
Z0
Z a Z c 2Z b
三、水位流量关系曲线的应用
在给排水工程中，水位流量关系曲线主要用于设计中 最大流量、枯水流量与最高水位、枯水位之间的互相转 换。 水位流量关系曲线一般是指水文站基本水尺断面上的水 位流量关系。在应用中得移用到取水口处才能用于设计 情况。
---- 部分流量的计算
q i Vi Ai
3、断面流量及其其他水力要素的计算 断面流量
Q
q
i 1
n
i
断面平均流速
V Q/ A
第四节
水文数据处理
对水文数据的加工、处理过程的主要内容：收集校核 原始数据；编制实测成果，确定关系曲线。 本节主要介绍流量整编。 水文站上测流不是逐日连续进行的，每年测的次数 不多，很难由孤立的流量资料得流量过程，无法直接 用于规划设计。须进行加工、处理。
A
Q
(m / s)
3
A (m )
2
（1）. 由实测大断面资料延长 Z—A （2） 延长Z—V（高水时Z—V趋近于一条与纵轴平行的 直线） （3）. 由Q= A*V 求得 Q，由此延长 Q—Z。 2、由水力学公式延长 该法实质与上法相同，只是在延长Z—V时利用水力学 公式计算V。 1 V R I 由曼宁公式 n （1）、当n有资料时，R可用大断面资料求得。I由水 位资料计算，再由公式计算V。
1、取水口附近有水文站 可从基本水尺到取水口分别测几条高、中、低水位的 水面比降线，按不同比降，将基本水尺 处的设计最高、 最低水位推算到取水口。
2、取水口距水文站较远
按前法直接测比降线较困难。可在取水口处设置临时 水尺，并观测包括一个汛期和枯水期的水位，建立与 基本水尺断面处的水位相关，根据相关，将基本水尺 断面处的水位转换为取水口处的水位。
2
2
2
所以
Z0
Z a Z c 2Z b
三、水位流量关系曲线的应用
在给排水工程中，水位流量关系曲线主要用于设计中 最大流量、枯水流量与最高水位、枯水位之间的互相转 换。 水位流量关系曲线一般是指水文站基本水尺断面上的水 位流量关系。在应用中得移用到取水口处才能用于设计 情况。
---- 部分流量的计算
q i Vi Ai
3、断面流量及其其他水力要素的计算 断面流量
Q
q
i 1
n
i
断面平均流速
V Q/ A
第四节
水文数据处理
对水文数据的加工、处理过程的主要内容：收集校核 原始数据；编制实测成果，确定关系曲线。 本节主要介绍流量整编。 水文站上测流不是逐日连续进行的，每年测的次数 不多，很难由孤立的流量资料得流量过程，无法直接 用于规划设计。须进行加工、处理。
A
Q
(m / s)
3
A (m )
2
（1）. 由实测大断面资料延长 Z—A （2） 延长Z—V（高水时Z—V趋近于一条与纵轴平行的 直线） （3）. 由Q= A*V 求得 Q，由此延长 Q—Z。 2、由水力学公式延长 该法实质与上法相同，只是在延长Z—V时利用水力学 公式计算V。 1 V R I 由曼宁公式 n （1）、当n有资料时，R可用大断面资料求得。I由水 位资料计算，再由公式计算V。
1、取水口附近有水文站 可从基本水尺到取水口分别测几条高、中、低水位的 水面比降线，按不同比降，将基本水尺 处的设计最高、 最低水位推算到取水口。
2、取水口距水文站较远
按前法直接测比降线较困难。可在取水口处设置临时 水尺，并观测包括一个汛期和枯水期的水位，建立与 基本水尺断面处的水位相关，根据相关，将基本水尺 断面处的水位转换为取水口处的水位。
水力学_第三章
或：
dQ u1dA u2 dA2 常数 1
（元流的连续性方程）
§3-3 一维恒定总流的连续性方程
总流流量等于元流流量之和，故总流的连续性方 程为：
dQ
A1
u1dA u2 dA2 1
A2
引入断面平均流速： Q 1 A1 2 A2 对于理想液体或实际液体都适用。 注意：当流量有流进或流出时，可以写成： Q
§3-2 描述液体运动的概念
§3-2 描述液体运动的概念
一、恒定流与非恒定流
恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素都不 随时间改变。即： u x u y u z p 非恒定流：只要有一个运动要素随时间改变。 二、加速度及其表示方法 质点的加速度由两部分组成： 迁移加速度（位移加速度）：流动过程中质点由 于位移而发生流速变化而产生的加速度。 当地加速度（时间加速度）：由于时间过程，使 空间点上的流速发生变化而产生加速度。
§3-2 描述液体运动的概念
同理：
ay
duy dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
第一项为当地加速度，后三项为迁移加速度。
三、流线和迹线
过水断面A 过水断面为平面
过水断面A
过水断面为曲面
从总流中任取一个微小流束，过水
A
1
断面为dA ，其上的流速为u ，则微小流 束通过的流量为 dQ udA
2
u dQ
dA
1
Q dQ udA
Q A
2
§3-2 描述液体运动的概念
dQ u1dA u2 dA2 常数 1
（元流的连续性方程）
§3-3 一维恒定总流的连续性方程
总流流量等于元流流量之和，故总流的连续性方 程为：
dQ
A1
u1dA u2 dA2 1
A2
引入断面平均流速： Q 1 A1 2 A2 对于理想液体或实际液体都适用。 注意：当流量有流进或流出时，可以写成： Q
§3-2 描述液体运动的概念
§3-2 描述液体运动的概念
一、恒定流与非恒定流
恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素都不 随时间改变。即： u x u y u z p 非恒定流：只要有一个运动要素随时间改变。 二、加速度及其表示方法 质点的加速度由两部分组成： 迁移加速度（位移加速度）：流动过程中质点由 于位移而发生流速变化而产生的加速度。 当地加速度（时间加速度）：由于时间过程，使 空间点上的流速发生变化而产生加速度。
§3-2 描述液体运动的概念
同理：
ay
duy dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
第一项为当地加速度，后三项为迁移加速度。
三、流线和迹线
过水断面A 过水断面为平面
过水断面A
过水断面为曲面
从总流中任取一个微小流束，过水
A
1
断面为dA ，其上的流速为u ，则微小流 束通过的流量为 dQ udA
2
u dQ
dA
1
Q dQ udA
Q A
2
§3-2 描述液体运动的概念
水力学第3章
Z1 p1
2 2 u1 p2 u2 Z2 hw 2g 2g
z为单位重量液体的势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/为单位重量液体的压能（压强势能）。
• z+p/=该质点所具有的势能。 • z+p/+ u2/2g=总机械能 • hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2 过程中由于克服流动的阻力作功而消耗 的机械能。这部分机械能转化为热能而 损失，因此称为水头损失。
0
Δh
h1
h2
动 压 管
A-A
静 压 管
A
1
2
例3 试证明图中所示的具有底坎的矩形断面 渠道中的水流是否有可能发生．
（a） 假设这种水流可以发生 证：
以0-0为基准面，列1-1， 2-2断面能量方程：
p1 1V12 p2 2V22 Z1 Z2 hw12 2g 2g
Q3 Q1 Q2
Q3 Q1 Q2 Q1
Q1 Q2 Q3
Q3 Q2
对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ∑Q流入=∑Q流出 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用 力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积求断面平均流速或者已知流速求流量，它是 水力学中三个最基本的方程之一。
二、迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质 点不同时刻在空间位置的连线。 流线是某一瞬间在流场中画 出的一条曲线，这个时刻位于 曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切。 对于恒定流，流线的形状不随时间而变化， 这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流 线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不 重合。
Q dQ udA
2 2 u1 p2 u2 Z2 hw 2g 2g
z为单位重量液体的势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/为单位重量液体的压能（压强势能）。
• z+p/=该质点所具有的势能。 • z+p/+ u2/2g=总机械能 • hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2 过程中由于克服流动的阻力作功而消耗 的机械能。这部分机械能转化为热能而 损失，因此称为水头损失。
0
Δh
h1
h2
动 压 管
A-A
静 压 管
A
1
2
例3 试证明图中所示的具有底坎的矩形断面 渠道中的水流是否有可能发生．
（a） 假设这种水流可以发生 证：
以0-0为基准面，列1-1， 2-2断面能量方程：
p1 1V12 p2 2V22 Z1 Z2 hw12 2g 2g
Q3 Q1 Q2
Q3 Q1 Q2 Q1
Q1 Q2 Q3
Q3 Q2
对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ∑Q流入=∑Q流出 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用 力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积求断面平均流速或者已知流速求流量，它是 水力学中三个最基本的方程之一。
二、迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质 点不同时刻在空间位置的连线。 流线是某一瞬间在流场中画 出的一条曲线，这个时刻位于 曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切。 对于恒定流，流线的形状不随时间而变化， 这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流 线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不 重合。
Q dQ udA
《水力学》第三章 流线
2． 流线方程 根据流线定义
u dr 0
展开得流线方程
dx dy dz ux u y uz
注意，积分时时间变量 t 是参变量，按常量处理。 3． 流线和迹线的区别 流线是对时刻而言，迹线是对时段而言，物理概念也不同。 恒定流中两者几何上重合。
流线方程根据流线定义0dru展开得流线方程zudzyudyxudx注意积分时时间变量t是参变量按常量该曲线相切； ②一般情况下流线不能相交； ③流线不能是折线； ④恒定流的流线形状和位置不随时间变化，均匀流的流线是 相互平行的直线。 ⑤恒定流的流线也是质点流动的轨迹线。
《水力学》第三章 能量方程技巧
能量方程的运用技巧：
1． 选择基准面
✧ 原则上基准面可以任意选定，一旦确定，则上、下游断面能量值必须针对同一基准面取值。
✧ 一般基准面取在z 值计算较为方便和明确的地方。
✧ 通常对管道取在管出口中心水平面；对容器水体取在水面。
2． 选择上、下游计算断面
✧ 确保计算断面为渐变流；
✧ 计算断面已知运动要素尽可能多同时又含有待求未知数。
通常取水面、管的大气出口、均匀管段等处。
3． 选择断面上计算点
✧ 选择计算点主要是进行断面任一点测压管水头γp
z +的
计算，因此尽可能选在易于求出该值的地方，通常是水面点、管轴中心点。
4． 所有能量值都以水头表示
✧ 一般液体多为水，所以方程各项都为水柱高度，尤其注意压强项必要时需要转换。
5． 等式两边压强表达统一，一般情况采用相对压强
6． 工程实用上一般取12
α1α== 7． 常常和连续方程联解。
水力学：第三章 流体动力学理论基础
4
若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某
一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的 变化情况。 若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻， 通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况(即流速
场)。
5
3-2描述流体运动的若干基本概念
一、恒定流 恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等 于零：
3 流线不能相交。
4 流线充满整个流场。 5 对于不可压缩流体，流线簇的疏密程度反映了该 时刻流场中各点的流速大小。
9
三、 流管、元流、总流，过水断面
（ 一）流管
在水流中任意一微分面积dA（如图），通过该面积 的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个 封闭的管状曲面，称为流管。
10
（二）、元流（微小流束）
ux
图3-1
注：流体质点不同于固体质点和数 学上的空间点。是指具有无限小的体 积的流体质量。
uy uz
x(a, b, c, t ) t t y y (a , b, c, t ) t t z z (a , b, c, t ) t t
多个微小流束所组成。
11
（四）、过流断面
与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过 流断面。该面积dA或A称为过流面积，单位m2。
注意：过水断面可为平面 也可为曲面。
12
四、流量与断面平均流速
单位时间内通过某一过流断面的液体体积称为流量。 流量常用的单位为 米３／秒（m3/s），符号Ｑ表示。 微小流束流量 dQ 总流流量 Q
重力沿s方向分力
dG cos a gdAds cos a gdAds dz ds gdAdz
若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某
一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的 变化情况。 若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻， 通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况(即流速
场)。
5
3-2描述流体运动的若干基本概念
一、恒定流 恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等 于零：
3 流线不能相交。
4 流线充满整个流场。 5 对于不可压缩流体，流线簇的疏密程度反映了该 时刻流场中各点的流速大小。
9
三、 流管、元流、总流，过水断面
（ 一）流管
在水流中任意一微分面积dA（如图），通过该面积 的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个 封闭的管状曲面，称为流管。
10
（二）、元流（微小流束）
ux
图3-1
注：流体质点不同于固体质点和数 学上的空间点。是指具有无限小的体 积的流体质量。
uy uz
x(a, b, c, t ) t t y y (a , b, c, t ) t t z z (a , b, c, t ) t t
多个微小流束所组成。
11
（四）、过流断面
与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过 流断面。该面积dA或A称为过流面积，单位m2。
注意：过水断面可为平面 也可为曲面。
12
四、流量与断面平均流速
单位时间内通过某一过流断面的液体体积称为流量。 流量常用的单位为 米３／秒（m3/s），符号Ｑ表示。 微小流束流量 dQ 总流流量 Q
重力沿s方向分力
dG cos a gdAds cos a gdAds dz ds gdAdz
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9.8
2-4 解：2 点与大气连通，相对压强 p2 0
p1 (h1 h2 )* p2 0 ， 所以 p1 (h1 h2 )* (1.15 0.68)*9.8 4.606KPa p2 (h2 h3 ) * p3 ， 所以 p3 0 (h2 h3 )* (0.68 0.44) * 9.8 2.352 KPa
1.9 解： D 12cm ， d 11.96cm ， l 14cm ， 0.172Pa* s ， v 1m/ s
接触面面积 A 2 ( d )l 3.1415 *11.96 *102 *14 *102 0.0526 m2
作
2
用 力 F A dv A v 0.0526*0.172*
3 点和 4 点压强相等，所以有 p4 p3 2.352 KPa
2-8 解：设水的作用力为 P1，作用点距 C 点的斜长为e1 设油的作用力为 P2，作用点距 B 点的斜长为e2 根据已知条件有：
P1
1* 2
1*
h
*1
2
*1 3
1
*8 2
*
2
4.62 KN 3
P2
1 (
2
*1
h
1
(
*
1h
1
* h2 )) *2 4 *1
水下 0.3m 处相对压强 p p0 0.3 44.5 0.3* 9.8 41.56(KPa)
绝对压强 p p pa 41.56 98 56.44(KPa) 真空度 pv Pa p 98 56.44 41.56(KPa) 4.24(m)
2
测压管水头 z p 0.3 41.56 4.54(m)
2
P P1 P2 4.62 41.107 45.727KN
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第三章 水动力学基础
3-1 描述液体运动的两种方法 3-2 欧拉法的基本概念 3-3 恒定流连续性方程 3-4 恒定流元流能量方程（元流伯诺里方程） 3-5 恒定流实际液体总流能量方程（总流伯 诺里方程） 3-6 恒定流总流动量方程
1
3-1 描述液体运动的两种方法
概述
流场——液体的流动空间
一元流动有
u u ( s, t )
u u as u t s p p ( s, t )
（3-5）
12
3-2 欧拉法的有关概念
液流计量方法
液体是一种不可数物质，其计量采用如下方法： 流量Q——单位时间内流经过水断面的液体积， 以此作水量计量。 断面平均流速v（断面流速计量）——即断面各点 流速加权均平均值。
2
3-1 描述液体运动的两种方法
描述液体运动的两种方法
拉格朗日法（迹线法）概述
把液体看成为质点系 流场由质点迹线构成，综合迹线运动状况，求解液 体运动要素（即 p、v 分布） 迹线方程
x=x(a，b，c，t)
y=y(a，b，c，t)
z=z(a，b，c，t)
（3-1）
动水压强特性：
因水的粘性很小，动水压强与静水压强特性基本相同。 流场中的压强大小受流速影响，各点压强一般情况：
p z C γ
本章理论适用于 v＜50 m/s 的低速流体
本章任务——建立三大方程（质量守恒、能量守恒及动 量守恒关系）求解 p、v、R ，即压强、流速及液流对边 壁的作用力
x、y 、z 、t ——欧拉变数
（3-3）
6
3-1 描述液体运动的两种方法
dux ux ux u x u x ax ux uy uz dt t x y z du y u y u y u y u y ay uy uy uz dt t x y z duz uz uz uz u z az ux uy uz dt t x y z
（3-8）
有： 体积流量
Q udA （m3 / s） A 重量流量 QG γQ （kN / s） 质量流量 Qρ ρQ （kg / s）
（3-9）
15
流量定义公式
13
3-2 欧拉法的有关概念
（图3-4）
ds udt
dV dsdA udtdA
14
3-2 欧拉法的有关概念
如图3-4a）所示，设元流过水断面为dA，断面上的
各点流速为 u，dt 时间内充水的距离为ds，则通过
元流过水断面的液体体积 dV 有： ds udc, dV dsdA udtdA dV dQ udA dt
a、b、c——质点初始位置；a、b、c、t——拉格朗日变数
3
3-1 描述液体运动的两种方法
运动要素描述，见公式（3-2）u x u (a, b, c, t ) x x t 式中：ux、uy、uz——分别为 y 液体质点流速 u 沿三坐标轴 uy u y ( a , b, c , t ) t 的分量； z ax、ay、az——分别为液体质 u u z ( a , b, c , t ) z t 点加速度沿三坐标轴的分量。 （3-2） u 应用场合 a x x a x ( a , b, c , t ) t 研究波浪运动 u y 水文测验，模型试验示踪测 ay a y ( a , b, c , t ) 速 t 因数学关系复杂，水力学 u z 中少用。 az a z ( a , b, c , t ) t
du z 等首项称为当地加速度 dt u u x x 等后三项统称为迁移加速度 x
7
（3-4）
3-2 欧拉法的有关概念
欧拉法有关概念
流线——同一时刻与流场各点速度矢量相切的 曲线。
流谱——流场中的流线图形（如图3-1）
（图3-1）
8
3-2 欧拉法的有关概念
流线的性质
光滑曲线（连续介质关系）
（图3-2）
10
3-2 欧拉法的有关概念
过水断面——垂直于流线簇所取的断面。
过水断面特性：
1. 沿过水断面方向流速为零。
2. 流线不平行时，过水断面为曲面。（如图3-2c）
3. 流线平行时，过水断面为平面。（如图3-2d）
元流与总流
元流——过水断面无限小的流股，如图3-2，dA1、 dA2 上各点流速压强相等（均匀分布）。
流线一般不相交（如图3-1b中的驻点A除外），不成折 线
流线可随时间变化
流线方程
dx dy dz ds ux u y uz u
u——M（x、y、z）点流速
（3-6）
9
3-2 欧拉法的有关概念
流管与流股
流管——封闭曲线C上各点流线构成的中空管状界 面，如图3-2a。 流股——流管中的液流，如图3-2b。
总流
元流总和（断面上各点流速压强不等）
11
3-2 欧拉法的有关概念
三元、二元及一元流动
三元流动——运动要素为三坐标的函数 u=u(x,y,z,t)
二元流动——运动要素为二坐标的函数 u=u(x,y,t) 一元流动——运动要素为一坐标的函数 u=u(s,t)
水力学中常用（又称为流束理论），如管道中的水流。
4
3-1 描述液体运动的两种方法
欧拉法（又称流线法）概述
以流场中各点流速大小为研究对象
各点流速方向用流线表示（待后详述） 运用三大方程求解 p、 v、R 水力学的基本方法
5
3-1 描述液体运动的两种方法
运动要素描述（三坐标轴分量）
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )
3-1 描述液体运动的两种方法 3-2 欧拉法的基本概念 3-3 恒定流连续性方程 3-4 恒定流元流能量方程（元流伯诺里方程） 3-5 恒定流实际液体总流能量方程（总流伯 诺里方程） 3-6 恒定流总流动量方程
1
3-1 描述液体运动的两种方法
概述
流场——液体的流动空间
一元流动有
u u ( s, t )
u u as u t s p p ( s, t )
（3-5）
12
3-2 欧拉法的有关概念
液流计量方法
液体是一种不可数物质，其计量采用如下方法： 流量Q——单位时间内流经过水断面的液体积， 以此作水量计量。 断面平均流速v（断面流速计量）——即断面各点 流速加权均平均值。
2
3-1 描述液体运动的两种方法
描述液体运动的两种方法
拉格朗日法（迹线法）概述
把液体看成为质点系 流场由质点迹线构成，综合迹线运动状况，求解液 体运动要素（即 p、v 分布） 迹线方程
x=x(a，b，c，t)
y=y(a，b，c，t)
z=z(a，b，c，t)
（3-1）
动水压强特性：
因水的粘性很小，动水压强与静水压强特性基本相同。 流场中的压强大小受流速影响，各点压强一般情况：
p z C γ
本章理论适用于 v＜50 m/s 的低速流体
本章任务——建立三大方程（质量守恒、能量守恒及动 量守恒关系）求解 p、v、R ，即压强、流速及液流对边 壁的作用力
x、y 、z 、t ——欧拉变数
（3-3）
6
3-1 描述液体运动的两种方法
dux ux ux u x u x ax ux uy uz dt t x y z du y u y u y u y u y ay uy uy uz dt t x y z duz uz uz uz u z az ux uy uz dt t x y z
（3-8）
有： 体积流量
Q udA （m3 / s） A 重量流量 QG γQ （kN / s） 质量流量 Qρ ρQ （kg / s）
（3-9）
15
流量定义公式
13
3-2 欧拉法的有关概念
（图3-4）
ds udt
dV dsdA udtdA
14
3-2 欧拉法的有关概念
如图3-4a）所示，设元流过水断面为dA，断面上的
各点流速为 u，dt 时间内充水的距离为ds，则通过
元流过水断面的液体体积 dV 有： ds udc, dV dsdA udtdA dV dQ udA dt
a、b、c——质点初始位置；a、b、c、t——拉格朗日变数
3
3-1 描述液体运动的两种方法
运动要素描述，见公式（3-2）u x u (a, b, c, t ) x x t 式中：ux、uy、uz——分别为 y 液体质点流速 u 沿三坐标轴 uy u y ( a , b, c , t ) t 的分量； z ax、ay、az——分别为液体质 u u z ( a , b, c , t ) z t 点加速度沿三坐标轴的分量。 （3-2） u 应用场合 a x x a x ( a , b, c , t ) t 研究波浪运动 u y 水文测验，模型试验示踪测 ay a y ( a , b, c , t ) 速 t 因数学关系复杂，水力学 u z 中少用。 az a z ( a , b, c , t ) t
du z 等首项称为当地加速度 dt u u x x 等后三项统称为迁移加速度 x
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（3-4）
3-2 欧拉法的有关概念
欧拉法有关概念
流线——同一时刻与流场各点速度矢量相切的 曲线。
流谱——流场中的流线图形（如图3-1）
（图3-1）
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3-2 欧拉法的有关概念
流线的性质
光滑曲线（连续介质关系）
（图3-2）
10
3-2 欧拉法的有关概念
过水断面——垂直于流线簇所取的断面。
过水断面特性：
1. 沿过水断面方向流速为零。
2. 流线不平行时，过水断面为曲面。（如图3-2c）
3. 流线平行时，过水断面为平面。（如图3-2d）
元流与总流
元流——过水断面无限小的流股，如图3-2，dA1、 dA2 上各点流速压强相等（均匀分布）。
流线一般不相交（如图3-1b中的驻点A除外），不成折 线
流线可随时间变化
流线方程
dx dy dz ds ux u y uz u
u——M（x、y、z）点流速
（3-6）
9
3-2 欧拉法的有关概念
流管与流股
流管——封闭曲线C上各点流线构成的中空管状界 面，如图3-2a。 流股——流管中的液流，如图3-2b。
总流
元流总和（断面上各点流速压强不等）
11
3-2 欧拉法的有关概念
三元、二元及一元流动
三元流动——运动要素为三坐标的函数 u=u(x,y,z,t)
二元流动——运动要素为二坐标的函数 u=u(x,y,t) 一元流动——运动要素为一坐标的函数 u=u(s,t)
水力学中常用（又称为流束理论），如管道中的水流。
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3-1 描述液体运动的两种方法
欧拉法（又称流线法）概述
以流场中各点流速大小为研究对象
各点流速方向用流线表示（待后详述） 运用三大方程求解 p、 v、R 水力学的基本方法
5
3-1 描述液体运动的两种方法
运动要素描述（三坐标轴分量）
u x u x ( x, y , z , t ) u y u y ( x, y , z , t ) u z u z ( x, y , z , t )