单目标规划和多目标规划的区别与联系
无人机的路径规划与多目标调度研究
无人机的路径规划与多目标调度研究无人机（Unmanned Aerial Vehicle，简称无人机）作为一种具有广泛应用前景的无人驾驶飞行器，正逐渐成为各个领域的研究热点之一。
路径规划和多目标调度是无人机应用中的重要问题，涉及到无人机飞行的安全性、效率和资源的优化利用。
本文将围绕无人机的路径规划和多目标调度展开研究，探讨如何提高无人机的飞行效能和应用效果。
首先，路径规划是指确定无人机在飞行过程中的最优航线或轨迹，以满足特定的任务需求。
路径规划问题可以分为单目标路径规划和多目标路径规划两类。
在单目标路径规划中，无人机需要根据特定的目标函数，在保证避免碰撞等基本约束条件的前提下，选择最短路径或最佳路径来实现特定任务，如货物投递、监测巡航等。
而在多目标路径规划中，无人机需要同时考虑多个目标，如时间成本、能耗、风险等方面，以达到最优平衡。
路径规划问题的解决方法较多，其中常用的包括启发式搜索算法和优化算法。
启发式搜索算法是一类通过启发式信息指导搜索的算法，如A*算法、Dijkstra算法等。
这些算法通过定义评估函数，根据启发式信息确定搜索顺序，从而寻找最优路径。
优化算法则通过数学建模，将路径规划问题转化为寻找最优解的优化问题，如遗传算法、粒子群算法等。
这些算法通过不断调整参数和解空间的搜索范围，寻找最佳路径方案。
其次，多目标调度是指根据无人机在不同任务之间的优先级和资源约束，合理分配任务以最大程度地提高整体效率。
在多目标调度中，无人机需要根据任务的紧急程度、距离、资源可用性等因素，平衡多个任务之间的关联性与时效性，实现最佳调度安排。
例如，在快递配送领域，无人机的调度需要考虑不同快递点之间的距离和快递量，以及无人机的飞行速度和可携带货物重量，通过优化算法实现最佳配送方案。
多目标调度问题的解决方法主要包括启发式调度算法和智能优化算法。
启发式调度算法通过规则和经验判断确定任务的执行顺序和资源分配，如最早截止时间优先调度算法、最短任务处理时间算法等。
目标规划
• 这种差异称为偏差变量（事先无法确定 的未知量） • 正偏差变量表示实现值超过目标值的部 分，记为d＋ • 负偏差变量表示实现值未达到目标值的 部分，记为d－
• 因为在一次决策 中，实现值不可 能既超过目标值， 同时又未达到目 标值，所以有d＋ ×d－ ＝0，并规 定d＋ >=0， d－ >=0
• P1：充分利用现有工时，必要时可以加班； • P2：A，B，C的最低产量分别为5，5，8台， 并依单位工时的利润比例确定权系数； • P3：生产线的加班时每月不超过20小时； • P4：A，B，C的月销售指标分别定为10，12， 10台，并依单位工时的利润比例确定权系数． 试建立其目标规划模型．
目标规划的特性
• 主观性 • 模糊性
当在实现规定的利润指标时，可能出现以下三种 情况之一： • 完成或超额完成规定的利润指标，则表示d＋ >0,d－=0； • 未完成规定的利润指标，则表示d＋ =0,d－>0； • 恰好完成利润指标，则表示d＋ =0,d－=0． 以上三种情况只能出现其中一种，故有 d＋ ×d－ ＝0
绝对约束与目标约束的相互转化
• 绝对约束化为目标约束已经讲了 • 那么，目标约束如何化为绝对约束呢？
2 x1 x2 d d 11 d 0
4
4
4
2 x1 x2 11
达成函数
• 满足目标约束和绝对约束的解，应如何 判别它的优劣呢？从决策者的要求来分 析，他总希望将来得到的结果与规定的 目标值之间的偏差愈小愈好，由此决策 者可根据自己的要求构造一个使总偏差 量为最小的目标函数，这种函数称为达 成函数，记为
目标规划中的差别
• 绝对的
– 优先因子
• 相对的
2025年咨询工程师《项目决策分析与评价》重点提前看
2025 年咨询工程师《项目决策分析与评价》重点提前看第一章绪论第一节项目目标与项目决策1.项目目标分为宏观目标和具体目标，宏观目标是指项目建设对国家、地区、部门或行业要达到的整体发展目标所产生的积极影响和作用，具体目标是指项目建设要达到的直接效果。
不同性质项目的宏观目标有区别、具体目标也不同。
2.项目具体目标主要有：效益目标、规模目标、功能目标、市场目标。
具体目标：效益目标：经济效益、社会效益、环境效益、生态效益的目标值；举例：财务内部收益率达到10%，满足30万居民的供水要求；污水处理率从36提高到70%。
规模目标：建设规模确定的目标值；全长18.7公里、车站17座、一个车辆基地；功能目标：项目功能的定位（非量化）举例：扩大生产规模、降低单位产品成本；向前（生产所需原料/向后延伸（延长产品生产链）；利用先进技术设备、进行技术改造；利用专利技术，开发高新技术产品；拓宽投资领域，分散经营风险。
市场目标：目标市场及市场占有份额；95%以上的产品留作企业自用。
3.决策过程可以分为信息收集、方案构造设计、方案评价、方案抉择四个相互联系的阶段。
4.决策分类5.政府投资项目与企业投资项目决策的区别：（1）投资主体不同，决策人不同；（2）决策内容和程序不同；（3）投资范围不同；（4）决策过程和管理模式不同。
6.政府直接投资、注入资本金的投资项目，项目建议书和可研报告分别是立项和决策的依据。
7.项目决策应遵循的原则：（1）科学决策原则（方法科学、依据充分、数据可靠）；（2）民主决策原则（专家论证、独立咨询、公众参与）；（3）效益（效果）最大化原则；（4）风险责任原则；（5）可持续发展原则。
8.政府投资项目实行审批制，审批项目建议书、可行性研究报告、初步设计。
除特殊情况影响重大的项目需要审批开工报告外，一般不再审批开工报告，同时应严格政府投资项目的初步设计、概算编制工作。
9.项目单位根据规划要求报送项目建议书（初步可行性研究报告），对项目建设的必要性、功能定位和主要建设内容、拟建地点、拟建规模、投资估算、资金筹措、社会效益和经济效益等进行初步分析。
运筹学第五章_目标规划
第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
第6讲DEA模型
•
DEA 是应用数学规划模型来评价具有多个 输入和多个输出的“部门”或“单位”的相对有 效性的。根据各DMU的观察数据判断其是否有效， 本质上是判断DMU 是否位于生产可能集的“前沿 面”上。 • 应用DEA 方法和模型可以确定生产前沿面的结 构，因此又可以将DEA 看作是一种非参数的统计 估计方法。特别当DEA 被用来研究多输入、多输 出的生产函数理论时，由于不需要预先估计参数， 因而在避免主观因素和简化算法、减少误差等方 面有着巨大的优越性。
二、 DEA基本原理和模型
一、DEA模型概述 对具有相同类型的部门、企业或者同一企业不同时期的相 对效率进行评价，这些部门、企业或时期称为决策单元。评价 的依据是决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。 投入指标是指决策单元在经济和管理活动中需要耗费的经 济量，例如固定资产原值、流动资金平均余额、自筹技术开发 资金、职工人数、占用土地等。 产出指标是指决策单元在某种投入要素组合下，表明经济 活动产生成效的经济量，例如总产值、销售收入、利税总额、 产品数量、劳动生产率、产值利润率等。
的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无
关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处 理（当然也可以）。
（3）无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际 数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客
观性
（4）DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出， 且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系 的显示表达式
企业
指标 x1（万元） 4 15 27
甲
乙
丙
x2 （万元）
x3 （万元）
15
8
4
2
5
5
y1 （万元）
目标规划图解法
( 可取一确定的非负实数)，
j j
目标规划的数学模型
M inZ P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 ) M in Z P 1 d 1 P 2 (1 0 d 2 2 d 3 )
70 x1
x1
1
2
0
x2
d
1
d
2
d
1
d
2
4
5000 250
s
.t.
9
.2
x1
甲厂 乙厂 存贮费 利润
A药 2h 2.5h 8元 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每1月2×258天×25=2400 7台，每天16h，每7月×2156×天25=2800
成本 18元 15元
该公司依下列次序为目标的优先次序，以实现 次月的生产与销售目标，试确定A、B药生产多少，使目标达到最好。 P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，模型如下：
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
)
P3
考虑多目标和不确定性的优化决策方法及其应用
考虑多目标和不确定性的优化决策方法及其应用一、前言优化决策方法是现代工业生产、商业经营和决策管理的基础。
在实践中，我们面临的问题往往是多目标和不确定性的，如何考虑多目标和不确定性因素，从而制定出最优化的决策方案，一直是决策者和研究者关注的焦点。
本文将从多目标和不确定性两个方面，分别介绍一些优化决策方法及其应用。
二、考虑多目标的优化决策方法2.1 优化决策方法的分类优化决策方法可以分为单目标和多目标两种类型。
单目标决策方法旨在寻找最大化或最小化一个性能指标的最优解，常用的方法有线性规划、非线性规划和整数规划等。
多目标决策方法则旨在找到多个相互矛盾的性能指标的最优解，由于存在多个最优解，因此需要采用一些综合评价方法来确定最优解。
2.2 综合评价方法综合评价方法是将多个性能指标综合考虑，从而得出最终的评价结果。
目前常用的综合评价方法有加权平均法、TOPSIS、熵权法、模糊综合评价法和群决策等。
其中，加权平均法的基本思想是通过对各项指标给予不同的权重，进行加权平均来达到决策的目的。
TOPSIS方法则是将决策对象从最优决策点和最劣决策点的距离比较大小，判断决策对象在这两个点之间的位置，从而确定决策对象的最优位置。
熵权法是将性能指标的不确定程度作为权重，来进行评价。
模糊综合评价法则是通过建立模糊数学模型，来进行不确定性决策。
2.3 应用案例多目标决策方法广泛应用于制造业、军事、金融等领域中。
例如，在制造业中，生产成本和产品质量是最为关键的指标之一。
一个不断优化的生产过程可以在生产成本和产品质量之间寻找平衡点。
在金融领域中，投资组合优化是一个常见的多目标决策问题。
通过同时考虑收益和风险，可以选择最优的投资组合。
三、考虑不确定性的优化决策方法3.1 不确定性的分类不确定性可以分为随机性和模糊性两种类型。
随机性的不确定性是指相关变量的值是随机的，并且能够被统计学方法表征。
例如，市场需求和销售量等因素的波动。
模糊不确定性则是指相关变量的值无法精确描述或者存在模糊性。
解决单目标和多目标优化问题的进化算法
解决单目标和多目标优化问题的进化算法一、本文概述随着科技的发展和现实问题的复杂性增加，优化问题在我们的日常生活和工程实践中变得越来越重要。
特别是单目标和多目标优化问题，这两类问题在诸如工程设计、经济决策、物流规划等众多领域都有广泛的应用。
进化算法作为一种模拟自然选择和遗传机制的优化方法，在解决这类问题上展现出了强大的潜力和效率。
本文旨在探讨进化算法在解决单目标和多目标优化问题中的应用，分析其原理、特点、优势以及面临的挑战，并展望未来的发展方向。
我们将介绍进化算法的基本原理和主要特点，包括其如何模拟自然选择和遗传机制，以及其在优化问题中的通用性和灵活性。
然后，我们将重点讨论进化算法在解决单目标和多目标优化问题上的具体应用，包括算法设计、性能评估以及实际应用案例。
我们还将分析进化算法在解决这些问题时所面临的挑战，如计算复杂度、收敛速度、全局最优解的保证等，并探讨可能的解决策略。
我们将展望进化算法在解决单目标和多目标优化问题上的未来发展趋势，包括与其他优化方法的结合、自适应和动态调整策略的发展、以及在新兴领域如深度学习、大数据处理中的应用等。
我们期望通过本文的探讨，能够为读者提供一个全面而深入的理解，以推动进化算法在优化问题中的更广泛应用和发展。
二、单目标优化问题的进化算法单目标优化问题（Single-Objective Optimization Problem, SOOP）是优化领域中最基本也是最常见的一类问题。
在SOOP中，我们的目标是在给定的搜索空间中找到一个最优解，使得某个预定的目标函数达到最优值。
这个目标函数通常是一个实数函数，可以是线性的，也可以是非线性的，甚至可能是离散的或连续的。
进化算法（Evolutionary Algorithms, EAs）是一类基于自然进化原理的优化算法，特别适合于解决单目标优化问题。
EAs通过模拟自然进化过程中的选择、交叉、变异等机制，在搜索空间中逐步搜索并逼近最优解。
第四章多目标规划模型
第四章 多目标规划模型多目标决策问题的理论基础之一是向量优化问题，也称多目标优化问题。
这类问题，从方法论的角度看，它是一个目标函数中具有向量值的数学规划问题；从决策论角度看，它又是决策规则中含有各个目标极值的决策问题。
因此，多目标决策问题属于向量优化问题。
向量优化问题的解与标量优化问题的解是不同的。
标量优化问题对任何两个函数的解，只要比较它们的两个函数值的大小，总可以从中找出一个最优解，且能排出它们的顺序；而多目标优化问题的解都是非劣解，且不是唯一的，究竟谁优谁劣，很难直接作出判断。
非劣解的概念是由经济学家pareto 于1896年提出的。
但是发展为向量优化问题的生成非劣解技术，还是在1951年Kuhn-Tucker 非劣性条件发表以后的事。
由于向量优化问题是在标量优化问题的基础上发展起来的，只要通过适当的途径将向量优化问题转化为标量优化问题，就可以利用求解标量优化问题的现有方法，求解具有一定特征的向量优化问题。
本章主要介绍有关向量优化问题的基本理论，如非劣解概念，特征非裂解的标量优化解法及非劣性的充要条件。
其中提到的许多概念和术语，在本书的后继章节中都是很有用的。
第一节、多目标规划基本概念与原理1.1非劣解概念设求解()x f 1和()x f 2两个目标的最大值，他们的可行解域如图4.1所示。
图中可行解域内部的各点数据，总是劣于可行域边界上的某点值。
这是因为内部的任一点，总可在边界上至少找出一个相应点，它的目标函数值不劣于内部这点所反映的目标函数值，而且至少有一个目标函数值优于内部这点的目标函数值。
图4.1 多目标非劣解集示意图例如，图中的C 点就劣于A 点和B 点之间任一点所反映的目标函数值。
所以，在优选中类似C 点的一些点可以舍去，并将这些可以舍去的解称为劣解。
但是可行域边界上各点所代表的解，就不能直接判断它们的优劣（如A 点、B 点就是这样）。
因为这些点中任一个与其他任一个相比较，总会发现一个目标函数值比其他另一个函数值优越，但又不是两个目标函数值都优越，否则其中的一个作为劣解而舍去。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
单目标规划和多目标规划的区别与联系1.最优化概念最优化是应用数学的一个重要分支，最优化可定义为一种数学方法，用它可以对各种生产活动进行规划，在可供利用资源(资源泛指矿藏、水能、人力、设备、原料、运输条件、生态环境、资金、时间、空问等等)的限制条件下，使生产活动得到最大的效益或用最少的资源完成指定的生产活动。
最优化问题的数学表现形式为：式中，123()n f x x x x ⋅⋅⋅、、称为目标函数，若具体问题是求123max ()n f x x x x ⋅⋅⋅、、，则令123123()()n n x x x x f x x x x ϕ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅、、、、，于是最大值问题就转化为最小值问题123min ()n x x x x ϕ⋅⋅⋅、、。
123()j n h x x x x ⋅⋅⋅、、称为等式约束条件，123g ()i n x x x x ⋅⋅⋅、、称为不等式约束条件，如果约束条件中有123()0i n s x x x x ⋅⋅⋅≤、、，则可令123123()g ()i n i n s x x x x x x x x ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅、、、、，于是原来的“≤”就变为了“≥”。
满足约束条件的一组123n x x x x ⋅⋅⋅、、称之为一组可行解。
满足目标函数的可行解称为最优解，即我们需要寻求的答案。
许多现实和理论问题都可以建模成这样的一般性框架，最优化问题种类繁多，分类的方法也有许多。
按目标函数的个数分类：1）单目标规划:只存在一个目标函数时，称这一类问题为单目标规划。
2）多目标规划：当存在多个目标函数时，称为多目标规划。
2.单目标规划方法非线性规划问题的求解一般要比线性规划困难很多，而且目前尚没有适合于各类非线性问题的一般算法，每种算法都有自己的特定的使用范围。
有些情况下，为方便计算，也会把非线性规划问题近似为线性规划问题进行求解。
2.1一维搜索一维搜索是求解单变量非线性规划问题的方法。
这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。
常用的一维最优化方法有黄金分割法、切线法和插值法。
2.1.1.黄金分割法黄金分割法又称0.618法。
它适用于单峰函数。
其基本思想是：在初始寻查区间中设计一列点，通过逐次比较其函数值，逐步缩小寻查区间，以得出近似最优值点。
2.1.2切线法又称牛顿法。
它也是针对单峰函数的。
其基本思想是：在一个猜测点附近将目标函数的导函数线性化，用此线性函数的零点作为新的猜测点，逐步迭代去逼近最优点。
2.1.3插值法又称多项式逼近法。
其基本思想是用多项式（通常用二次或三次多项式）去拟合目标函数。
此外，还有斐波那契法、割线法、有理插值法、分批搜索法等。
2.2无约束法无约束法是求解无约束条件的非线性规划问题的方法，指寻求 n元实函数f 在整个n维向量空间Rn上的最优值点的方法。
这类方法的意义在于：虽然实用规划问题大多是有约束的，但许多约束最优化方法可将有约束问题转化为若干无约束问题来求解。
无约束最优化方法大多是逐次一维搜索的迭代算法。
这类迭代算法可分为两类。
一类需要用目标函数的导函数，称为解析法。
另一类不涉及导数，只用到函数值，称为直接法。
这些迭代算法的基本思想是：在一个近似点处选定一个有利搜索方向，沿这个方向进行一维寻查，得出新的近似点。
然后对新点施行同样手续，如此反复迭代，直到满足预定的精度要求为止。
根据搜索方向的取法不同，可以有各种算法。
属于解析型的算法有：①梯度法：又称最速下降法。
这是早期的解析法，收敛速度较慢。
②牛顿法：收敛速度快，但不稳定，计算也较困难。
③共轭梯度法：收敛较快，效果较好。
④变尺度法：这是一类效率较高的方法。
其中达维登-弗莱彻-鲍威尔变尺度法，简称 DFP 法，是最常用的方法。
属于直接型的算法有交替方向法（又称坐标轮换法）、模式搜索法、旋转方向法、鲍威尔共轭方向法和单纯形加速法等。
2.3约束法指前述一般非线性规划模型的求解方法。
常用的约束最优化方法有4种。
①拉格朗日乘子法：它是将原问题转化为求拉格朗日函数的驻点。
②制约函数法：又称系列无约束最小化方法，简称SUMT 法。
它又分两类，一类叫惩罚函数法，或称外点法；另一类叫障碍函数法，或称内点法。
它们都是将原问题转化为一系列无约束问题来求解。
③可行方向法：这是一类通过逐次选取可行下降方向去逼近最优点的迭代算法。
如佐坦迪克法、弗兰克－沃尔夫法、投影梯度法和简约梯度法都属于此类算法。
④近似型算法：这类算法包括序贯线性规划法和序贯二次规划法。
前者将原问题化为一系列线性规划问题求解，后者将原问题化为一系列二次规划问题求解。
2.4凸规划这是一类特殊的非线性规划。
在前述非线性规划数学模型中，若f 是凸函数，诸i g 都是凹函数，诸j h 都是一次函数，则称之为凸规划。
所谓f 是凸函数，是指f 有如下性质：它的定义域是凸集，且对于定义域中任意两点x 和y 及任一小于1的正数α，下式都成立：((1)x y)(1)(x)(y)f f f ααααα-+≤-+ （2.1）将上述不等式中的不等号反向即得凹函数的定义。
所谓凸集，是指具有如下性质的集合：连结集合中任意两点的直线段上的点全部属于该集合。
对于一般的非线性规划问题，局部解不一定是整体解。
但凸规划的局部解必为整体解，而且凸规划的可行集和最优解集都是凸集。
2.5二次规划二次规划是一类特殊的非线性规划。
它的目标函数是二次函数，约束条件是线性的。
求解二次规划的方法很多。
常用方法是拉格朗日法，较简便易行的是沃尔夫法。
它是依据库恩－塔克条件，在线性规划单纯形法的基础上加以修正而成的。
此外还有莱姆基法、毕尔法、凯勒法等。
2.6非线性规划算法未来研究方向就算法的发展来看，早期的方法以最速下降法和共轭梯度法为主，目前，序贯二次规划法是一类被用于广泛求解一般非线性规划的有效算法，同时也还有许多研究者在为改善这类算法作努力，其中包括序列线性规划算法以及内点算法等。
非线性规化算法通常使用线搜索策略选取步长，或通过求解信赖域子问题而得到新的迭代点。
这两个方面的研究非常基本，但仍有改善的空间。
对于大规模问题，如何设计子空间算法；以及如何有效求解一般非线性规划的全局最优，和一些来自于图像处理等领域的特殊的非光滑问题是目前非线性规划比较重要的研究问题。
总之，尽管在表面上看非线性规划已经有许许多多的研究，但由于非线性的存在，好的研究结果还将会不断出现，并且随着问题的不同而产生更加具有针对性的特殊算法。
3.多目标规划方法多目标规划问题的直接求法通常是寻找它的整个最优解集，除了特殊的情况，计算所有最优解是比较困难的。
由于这个原因，对直接解法的研究结果还比较少。
本节只介绍一些间接的求解多目标规划的方法，这些方法的共同特点是将多目标规划问题转换成一个或多个单目标规划问题，然后，通过求解单目标优化问题得到一个或多个最优解。
一般的，并不要求间接解法给出问题的所有最优解。
3.1 基于一个单目标问题的方法这类方法的基本思想如下：首先，将原来的多目标规划问题转换成一个单目标优化问题，然后，利用非线性优化算法求解该单目标问题，把所求得的最优解作为问题的最优解。
这种方法的核心在于，保证所构造的单目标问题的最优解是有效解或若有效解。
包括线性加权和法、主要目标法、极小极大法。
3.1.1 线性加权和法线性加权和法是根据p个目标函数的重要程度，分别赋予一定的权系数，然后将所有的目标函数加权求和作为新的目标函数，在多目标规划问题的可行域上求出新的目标函数的最优值。
3.1.2 主要目标法对于多目标问题，主要目标法是根据实际情况，首先确定一个目标函数为主要目标，而把其余p-1个目标函数作为次要目标，然后，借助于决策者的经验，通过选定一定的界限值把次要目标函数转化为约束条件，通过求解这样一个单目标问题获得原问题的解。
3.1.3 极小极大法极小极大法的基本思想是在目标函数的p个分量中，极小化目标函数的最大分量，将该问题的最优解作为原问题的弱有效解。
一般的，通过引入目标函数的权向量将问题转换为单目标问题，把该情况下的最优解称为原问题的极小化极大意义下的最优解。
3.2 基于一个单目标问题的方法这类方法的基本思想是，根据某种规则，首先将多目标规划问题转换成有一定次序的多个单目标优化问题；然后，依次分别求解这些单目标优化问题，并且把最后一个单目标优化问题的最优解作为原问题的最优解。
基于多个单目标问题的方法的核心是，保证最后一个单目标优化问题的最优解是多目标问题的有效解或弱有效解。
包括分层排序法，重点目标法，分组排序法。
3.2.1分层排序法分层排序法是根据目标的重要程度将它们一一排序，然后，分别在前一个目标的最优解集中，需求后一个目标的最优解集，并把最后一个目标函数的最优解作为原问题的最优解。
3.2.2重点目标法重点目标法是在p个目标函数中，首先确定最重要的目标，并求出其最优解集，然后在此最优解集上求解其余p-1个目标对应的多目标规划问题.3.2.3分组排序法分组排序法的基本思想是根据某种规则，首先将多目标函数的目标分成若干组，使得在每个组内的目标的重要程度相差不多，此时，每组目标实际上对应着一个新的多目标规划问题，然后，依次在前一组目标对应问题的最优解集中，寻找后一组目标对应问题的最优解集，并把最后一组目标对应问题的最优解作为原问题的最优解。
3.3多目标规划未来的研究方向在很多实际问题中，例如经济、管理、军事、科学和工程设计等领域，衡量一个方案的好坏往往难以用一个指标来判断，而需要用多个目标来比较，而这些目标有时不甚协调，甚至是矛盾的，因此有许多学者致力于这方面的研究。
然而至今关于多目标最优解尚无一种完全令人满意的定义，所以在理论上多目标规划仍处于发展阶段。
4.区别与联系4.1区别表1单目标规划与多目标规划对比（1）对于单目标规划，给定任意两个可行解，通过比较它们的目标函数值就可以确定哪个更优；对于多目标规划，给定任意两个可行解，因目标函数均为向量，故可能不存在大小关系。
多目标优化问题的各个子目标之间是矛盾的 ,一个子目标的改善有可能会引起另一个或者另几个子目标的性能降低 , 也就是要同时使多个子目标一起达到最优值是不可能的 , 而只能在它们中间进行协调和折中处理 , 使各个子目标都尽可能地达到最优化。
其与单目标优化问题的本质区别在于 ,它的解并非唯一,而是存在一组由众多 Pareto最优解组成的最优解集合 ,集合中的各个元素称为 Pareto最优解或非劣最优解。
多目标规划分别有：绝对最优解(一般情况下是不存在的，将多目标规划中的P个单目标规划问题分别考虑，若P个单目标规划问题没有公共的最优解，则多目标规划问题就没有绝对最优解)、有效解（含义为在所有可行解中找不到比它好的可行解）、弱有效解（含义是所有可行解中找不到比它严格好的可行解）。