江苏省南通市启东中学创新班2022-2023学年高一数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

8．半径为1cm，圆心角为 的扇形的弧长为（）
A. B.
C. D.
9．直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，则直线l2的斜率为（）
A. B.
C.1D.﹣1
10．体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）
A.98B.99
C.99.5D.100
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若定义域为 的函数 满足：对任意能构成三角形三边长的实数 ，均有 ， ， 也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（ 是自然对数的底）
12．函数 的最小值为__________
13．在平面直角坐标系 中，以 轴为始边作两个锐角 ， ，它们的终边分别与单位圆相交于 ， 两点， ， 的纵坐标分别为 ， .则 的终边与单位圆交点的纵坐标为_____________.
14．已知函数 的零点为 ，不等式 的最小整数解为 ，则 __________
15．直线 与圆 相交于A，B两点，则线段AB的长为__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值及相应的 的值.
所以 ，解得 或-1，
当 时， ， ， ，不满足仅有一个实数根，故舍去，
当 时， ，当 时，由复合函数的单调性知 是增函数，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以仅有 ，满足题意，
综上： .
故选：B
6、B
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性分别求出 的范围，即可得结果.
【详解】根据指数函数的单调性可得 ，
【详解】因为 ，故 即 ，
而 ，故 ，即 ，
而 ，故 ，故 即 ，
故 ，
故选：C
8、D
【解析】利用扇形弧长公式直接计算即可.
【详解】圆心角 化为弧度为 ，
则弧长为 .
故选：D.
9、C
【解析】利用直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，则 ，解出即可.
【详解】因为直线l1：x+ay+1＝0与l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直.
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
3、C
【解析】①函数 为偶函数，因为 是正确的；
②函数 在 上单调递增， 单调增是正确的；
③函数 是偶函数，在区间 上单调递增，故选项不正确；
④函数 与 互为反函数，根据反函数的概念得到图像关于 对称.是正确的.
所以 ，即 .
解得： .
故选：C
【点睛】本题考查由两条直线互相垂直求参数的问题，属于基础题
10、C
【解析】根据分位数的定义即可求得答案.
【详解】这组数据的60%分位数是 .
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、 ##
【解析】不妨设三边的大小关系为： ，利用函数的单调性，得出 ， ， 的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出 的最大值即可.
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，
，
其中 ，
要使 ，只需 ，解得 ，
(iii)当 ，即 时，函数 在 上单调递减，由对称性知， 在 上单调递减，
从而 在 上单调递减．此时
要使 ，只需 ，解得 ，
综上可知，实数 的取值范围是
19、 (1) x＝2或4x－3y－5＝0(2)见解析
【解析】（1）设过两直线的交点的直线系方程，再根据点到直线的距离公式，求出 的值，得出直线 的方程；（2）先求出交点P的坐标，由几何的方法求出距离的最大值
【详解】(1)因为经过两已知直线交点 直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
【解析】由任意角三角函数的定义可得 ， ，
（Ⅰ） 可求
（Ⅱ）有 ， ，利用诱导公式及同角基本关系即可化简求解
【详解】解：由题意可得cosα= ，sin ，
（Ⅰ）cos（α-π）=-cosα= ，
（Ⅱ）∵tanβ=2 ，tanα= ，
∴ = = = =
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．
根据对数函数的单调性可得
,
则 ，故选B.
【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
7、C
【解析】根据对数函数的单调性和中间数可得正确的选项.
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
点 到直线 的距离为3， 所以 ＝3，
解得λ＝ 或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由 解得交点P(2，1)，
如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)
所以dmax＝|PA|＝
此时直线l的方程为: 3x－y－5＝0
20、（I） ；（II） .
（Ⅰ）求cos（α-π）的值；
（Ⅱ）若tanβ=2 ，求 的值
21．已知函数 ；
（1）若 ，使得 成立，求 的集合
（2）已知函数 的图象关于点 对称，当 时， ．若对 使得 成立，求实数 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
由 ，解得 ，
即函数 在 上单调递增，
所以 的最小正周期是 ，单调递增区间是 .
【小问2详解】
当 时， ，则当 ，即 时， ，
所以函数 的最小值为 ，此时 .
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据分数指数幂、对数的运算法则及换底公式计算可得；
（2）根据换底公式的性质得到 ，再根据指数对数恒等式得到 ，即可得解；
1．“ ”是“ ”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知 ，且 ，则 的最小值为（）
A.3B.4
C.5D.6
3．给出下列命题：①函数 为偶函数；②函数 在 上单调递增；③函数 在区间 上单调递减；④函数 与 的图像关于直线 对称．其中正确命题的个数是（）
A.1B.2
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1） ； ；
（2） ； .
【解析】（1）利用余弦函数的周期公式计算可得最小正周期，借助余弦函数单调增区间列出不等式求解作答.
（2）求出函数 的相位范围，再利用余弦函数性质求出最小值作答.
【小问1详解】
函数 中，由 得 的最小正周期 ，
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解： ， ，
，
18、（1） ；
（2） .
【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式，结合正弦型函数最小正周期公式进行求解即可；
（2）结合（1）的结论，利用正弦型函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
，
函数 的最小正周期为 ；
【小问2详解】
由 ，则 ，则 ，
即 ，所以函数 在 上的值域为 .
17．计算：
（1） ；
（2）若 ，求 的值
18．已知函数
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的值域
19．已知直线 经过直线 与 的交点 .
(1)点 到直线 的距离为3，求直线 的方程；
(2)求点 到直线 的距离的最大值,并求距离最大时的直线 的方程
20．在平面直角坐标系中，已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（- ， ）
1、A
【解析】利用 或 ，结合充分条件与必要条件的定义可得结果.
详解】根据题意，由于 或 ，
因此 可以推出 ，反之，不成立，
因此“ ”是“ ”的充分而不必要条件，故选A.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
【详解】 在 上严格增，所以 ，不妨设 ，
因为对任意能构成三角形三边长的实数 ，均有 ， ，
也能构成三角形三边长，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为对任意 都成立，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以m的最大值为
故答案为： .
12、
【解析】
所以，当 ，即 时， 取得最小值 .
所以答案应填： .
考点：1、对数的运算；2、二次函数的最值.
21、（1）