江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题创新班[含答案]
2020年江苏省南通市启东中学创新班高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.当z=-时，z100+z50+1的值等于（）A. 1B. -1C. iD. -i2.（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10．则a1+a2+a3+…+a10=（）A. 1B. -1C. 1023D. -10233.从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则方程表示离心率为的椭圆的概率为（）A. B. C. D. 14.设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）|x i∈{-1，0，1}，i={1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（）A. 60B. 90C. 120D. 1305.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案（）A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种6.甲、乙、丙等6人排成一排,且甲、乙均在丙的同侧,则不同的排法共有( )种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3607.某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便．现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是（）A. P（X=4）B. P（X≤4）C. P（X=6）D. P（X≤6）8.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）A. 24B. 18C. 12D. 99.在（）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）A. B. 7 C. D. 2810.一个袋中装有大小相同的5个球，现将这5个球分别编号为1，2，3，4，5，从袋中取出两个球，每次只取出一个球，并且取出的球不放回．求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．12.已知a＞0，（ax-1）4（x+2）展开式中x2的系数为1，则a的值为______．13.计算：+++++…++=______．14.武汉臭豆腐闻名全国，某人买了两串臭豆腐，每串3颗（如图）．规定：每串臭豆腐只能至左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该人将这两串臭豆腐吃完，有______种不同的吃法．（用数字作答）15.在三行三列的方阵中有9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数，则这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是______．16.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中不共面的4点，不同的取法共有______种．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数w满足w-4=（3-2w）i（i为虚数单位），．（1）求z；（2）若（1）中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．18.已知复数z=1+i（i为虚数单位）．（1）设ω=z2+3-4，求|ω|；（2）若=2-i，求实数a的值．19.7个人排成一排，按下列要求各有多少种排法？（1）其中甲不站排头，乙不站排尾；（2）其中甲、乙、丙3人两两不相邻；（3）其中甲、乙中间有且只有1人；（4）其中甲、乙、丙按从左到右的顺序排列．20.已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n的值；（2）求展开式中所有二项式系数的和；（3）求展开式中所有的有理项．21.某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．22.已知函数f n（x）=（1+λx）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，其中λ∈R，n∈N．（1）若λ=-2，n=2018，求a0+a2+a4+…+a2018的值；（2）若n=8，a7=1024，求a i（i=0，1，2，3，…，8）的最大值；（3）若λ=-1，求证：x k f n-k（x）=x．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由z=-得，，∴z100+z50+1=（-i）50+（-i）25+1=-1-i+1=-i，故选：D．由已知求得z2=-i，代入z100+z50+1得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了虚数单位i得运算性质，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案．【解答】解：令x=1代入二项式（2-x）10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，得（2-1）10=a0+a1+…+a10=1，令x=0得a0=，∴+a1+a2+…+a10=1，∴a1+a2+…+a10=-1023，故选D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，古典概型概率的求法，考查计算能力．分别求解椭圆的离心率，然后求解概率即可．【解答】解：从集合{2，4，8}中随机选取一个数m，则m=2时：椭圆为：，离心率为：e===，方程，表示圆；m=8时，椭圆方程，离心率为：e===，方程表示离心率为的椭圆的概率为：．故选：C．4.【答案】D【解析】【分析】本题看似集合题，其实考查的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论x i所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由于|x i|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：①x i中有2个取值为0，另外3个从-1，1中取，共有方法数：；②x i中有3个取值为0，另外2个从-1，1中取，共有方法数：；③x i中有4个取值为0，另外1个从-1，1中取，共有方法数：．∴总共方法数是++=130．即元素个数为130．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有种，故最多有种栽种方案.故选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的=，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的=，∴不同的排法种数共有=480种．故选B．7.【答案】A【解析】解：由可得：此为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便的概率，故选：A．由古典概型及其概率计算公式得：此概率为从15个小镇中任意选取10个小镇，其中有4个小镇交通不太方便，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属简单题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查组合与分步乘法计数原理的简单应用，属基础题．假设向上的方向为北，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法有3种，利用分步乘法计数原理可得结论．【解答】解：假设向上的方向为北，从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段向东，另2段向北，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22=6种走法．同理从F到G，最短的走法，有C31C22=3种走法．∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．故选B．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项式系数的性质、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于中档题．利用二项展开式的中间项的二项式系数最大，列出方程求出n,利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：依题意+1=5，∴n=8，二项式为（）8，其展开式的通项为，令，解得r=6，故常数项为=7，故选B．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．先求出从5个小球中取出2个的个数，然后求出事件：取出的两个球上编号之积为奇数的个数，由概率计算公式，可得结论．【解答】解：设“取出的两个球上编号之积为奇数”为事件A，则Ω={（1，2）,（1，3）,（1，4）,（1，5）,（2，1）,（2，3）,（2，4）,（2，5） (5)1）,（5，2）,（5，3）,（5，4）}共包含20个基本件其中事件A={（1，3）,（1，5）,（3，1）,（3，5）,（5，1）,（5，3）}包含6个基本事件，所以P（A）==.故选：B．11.【答案】1080【解析】【分析】第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，由分步与分类计数原理计算即可.本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，属于中档题.【解答】解：第三件次品恰好在第4次被测出，说明第四次测出的是次品，而前三次有一次没有测出次品，最后一件次品可能在第五次、第六次或第七次被测出，由此知最后一件次品被检测出可以分为三类，故所有的检测方法有=1080种.故答案为：1080．12.【答案】【解析】解：（ax-1）4（x+2）=（1-ax）4（x+2）=（1-4ax+6a2x2+…）（x+2）；其展开式中x2的系数为-4a+12a2=1，即12a2-4a-1=0，解得a=或a=-（不合题意，舍去）；∴a的值为．故答案为：．利用二项展开式定理求出多项式的展开式，再求x2的系数，列方程求得a的值．本题考查了二项展定理的应用问题，是基础题．13.【答案】1140【解析】解：+++++…++=+++++…++，∵C n+13-C n3=C n2，∴C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193）=C203==1140，故答案为：1140．利用组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，可得C22+C32+C42+…+C192=C33+（C43-C33）+（C53-C43）+…+（C203-C193），化简得到结果．本题主要考查组合数公式的性质应用，利用了组合数公式的性质C n+13-C n3=C n2，即C n2+C n3=C n+13，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•=20种，故答案为20．总共要吃6口，选3口给第一串的3颗臭豆腐，顺序不变，剩下的3口给第二串，顺序不变，因此不同的吃法共有•种．本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，学生不易找到入手点：将6口转化为顺序不变的两个3口问题，属于中档题．15.【答案】【解析】解：从9个数a ij（i=1，2，3，j=1，2，3），从中任取3个数共=84种取法，则这3个数中既不同行也不同列的取法共有=6种，即这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，故答案为：．由古典概型及其概率计算公式得：这3个数中至少有2个数位于同行或同列的概率是1-=，得解．本题考查了古典概型及其概率计算公式，属中档题．16.【答案】141【解析】解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种．故答案为141．由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去补合题意的结果．本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．17.【答案】解：（1）解法一：∵w（1+2i）=4+3i，∴，∴．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），a+bi-4=3i-2ai+2b，得，∴∴w=2-i，以下解法同解法一．（2）∵z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根，∴（3+i）2-p（3+i）+q=0（8-3p+q）+（6-p）i=0，∵p，q为实数，∴，解得p=6，q=10．解方程x2-6x+10=0得∴实数p=6，q=10，方程的另一个根为x=3-i．【解析】（1）解法一：利用复数的运算计算出w，代入z即可得出．解法二：设w=a+bi（a、b∈R），利用复数的运算法则与复数相等解出w，即可得出．（2）把z=3+i代入关于x的方程x2-px+q=0，利用复数相等解出p，q，即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等解，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由复数z=1+i，得．则ω=z2+3-4=（1+i）2+3（1-i）-4=1+2i-1+3-3i-4=-1-i．故|ω|=；（2）===2-i，由复数相等的充要条件得：，解得a=3．【解析】（1）把z=1+i代入ω=z2+3-4，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简左边，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．19.【答案】解：（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，有种排法，②、甲不站在排尾，则甲有5个位置可选，有种排法，乙不能在排尾，也有5个位置可选，有种排法，剩余5人进行全排列，安排在其他5个位置，有种排法，则此时有种排法；故甲不站排头，乙不站排尾的排法有+=3720种．（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，有种情况，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，有A53种情况，则共有=1440种排法．（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，有种情况，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，有种选法，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，有种排法，则甲、乙中间有且只有1人共有=1200种排法．（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有A74种排法，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，只有1种排法，则甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有A74=840种．【解析】本题考查排列、组合的应用，注意特殊问题的处理方法，如相邻用捆绑法，不能相邻用插空法，其次要注意分类、分步计数原理的熟练运用．（1）根据题意，分2种情况讨论：①、甲站在排尾，剩余6人进行全排列，安排在其他6个位置，②、甲不站在排尾，依次分析甲、乙以及剩余5人的排法数目，结合乘法原理可得其排法数目，最后由分类计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析，①、将除甲、乙、丙之外的4人进行全排列，排好后，有5个空位，②、在5个空位种任选3个，安排甲、乙、丙3人，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（3）根据题意，分2步进行分析：①、先将甲、乙全排列，②、在剩余的5个人中任选1个，安排在甲乙之间，③、将三人看成一个整体，与其他四人进行全排列，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案；（4）根据题意，分2步进行分析：①、在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，②、将甲、乙、丙按从左到右的顺序安排在剩余的3个空位中，分别求出每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．20.【答案】解：二项式（x+）n展开式的通项公式为T r+1=•x n-r•=••，（r=0，1，2，…，n）；（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得•=•，即n=•，解得n=5；（2）展开式中所有二项式系数的和为+++…+=25=32；（3）二项式展开式的通项公式为T r+1=••，（r=0，1，2，…，5）；当r=0，2，4时，对应项是有理项，所以展开式中所有的有理项为T1=••x5=x5，T3=••x5-3=x2，T5=•x5-6=．【解析】本题考查了二项式展开式中二项式系数和的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的应用问题，是综合性题目．写出二项式（x+）n展开式的通项公式，（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，列出方程求出n的值；（2）利用展开式中所有二项式系数的和为2n，即可求出结果；（3）根据二项式展开式的通项公式，求出展开式中所有的有理项．21.【答案】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．【解析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．22.【答案】解：（1）λ=-2，n=2018时，=，令x=1得，（1-2）2018=a0+a1+a2+…+a2017+a2018=1，令x=-1得，（1+2）2018=a0-a1+a2-a3+，可得；（2）=，，解得λ=2，不妨设a i中a t（t=01，2，3，…8）最大，则，即，所以，5≤t≤6，则t=5或6，因此，a i的最大值为；（3）若λ=1，，=+∵，所以，==+=x[x+（1-x）]n-1=x．【解析】（1）分别令x=1，x=-1，利用二项展开式展开f（1）和f（-1），将两式相加可得出a0+a2+a4+…+a2018；（2）先由a7=1024求出λ=2，设a i中a t最大，由，求出t的取值范围，确定t的值后，可求出a i的最大值；（3）利用组合数公式计算，并在代数式x k f n-k（x）中提公因式x，再结合二项式定理可证明结论．本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题．。
江苏省南通市启东中学2019_2020学年高一数学下学期期初考试试题普通班含解析.doc
江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（普通班，含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：现根据表中所提供的数据,求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ21yx =-,则a 值等于( ) A. 4.5 B. 5C. 5.5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得x 与y 的值,代入线性回归方程求解a 值. 【详解】由所给数据可求得∴ 23433x ++==, 103ay +=, 代入线性回归方程为ˆ21yx =-, 得102313a+=⨯-, 解得5a = 故选:B.【点睛】本题考查线性回归方程的求法,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础题.2.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是（ ）A. 5,,6226ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B. 50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C. 50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】B 【解析】 【分析】将直线方程化为斜截式,得到斜率k ,从而可以求出k 的取值范围,进而得到倾斜角的范围.【详解】将直线方程cos 20x α++=化为斜截式:y x α=⋅-,故直线的斜率k α=, []cos 1,1α∈-,[k ∴∈, 所以直线的倾斜角范围为50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭, 故选:B.【点睛】本题考查直线的倾斜角,由斜率范围确定倾斜角范围时容易求反,答题时要仔细. 3.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上”；事件N ：“至少一次正面朝上”，则下列结果正确的是（ ）A. 11(),()32P M P N == B. 11(),()22P M P N == C. 13(),()34P M P N ==D. 13(),()24P M P N ==【答案】D 【解析】 试题分析：2113(),()1,4244P M P N ===-=∴选D. 考点：古典概型.4.已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( ) A. (－2，4) B. (－2，－4)C. (2，4)D. (2，－4)【答案】C 【解析】 【分析】求出A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，可写出BC 所在直线方程，与直线y ＝2x 联立，即可求出C 点坐标.【详解】设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则221424222y x y x -⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-+⎪=⨯⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩∴BC 所在直线方程为y －1＝2143---(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立直线y=2x ，解得24x y =⎧⎨=⎩，则C (2，4)．故选C.【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题. 5.在ABC中，2,60AC BC B ===，则BC 边上的中线AD 的长为( )A. 1C. 2【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理可得：2222cos 3AC AB BC AB BC B AB =+-⋅⇒=，在ABD 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，即可．【详解】由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．3AB ∴=在ABD 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，AD ∴=故选D ．【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.6.已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A(－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，若|PQ|＝3则直线l 的方程为( ) A. x ＝－1或4x ＋3y －4＝0 B. x ＝－1或4x －3y ＋4＝0 C. x ＝1或4x －3y ＋4＝0 D. x ＝1或4x ＋3y －4＝0 【答案】B 【解析】当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，过圆C 作CM⊥PQ，垂足为M ，由于|PQ|＝3|CM|＝1.由|CM|＝231k k -++＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.故选B.7.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A. 50 m B. 100 m C. 120 mD. 150 m【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，设水柱CD 的高度为h ．在Rt△ACD 中，由∠DAC=45°，可得AC=h ．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD 中，∠CBD=30°，可得BC=3h ．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出． 【详解】如图所示， 设水柱CD 的高度为h ．在Rt△ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AC=h． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B，A ，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以C 为直角顶点的直角三角形， 在Rt△BCD 中，∠CBD=30°，∴BC=3h ．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°． ∴（3h ）2=h 2+1002﹣121002h ⨯⨯， 化为h 2+50h ﹣5000=0，解得h=50． 故选A ．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8.已知直线l 方程为(),0f x y =，()111,P x y 和()222,P x y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示（ ）A. 过点1P 且与l 垂直的直线B. 与l 重合的直线C. 过点2P 且与l 平行的直线D. 不过点2P ，但与l 平行的直线【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线与l 平行，再判断直线过点2P ，得到答案.【详解】由题意直线l 方程为(),0f x y =，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --= 两条直线平行，()111,P x y 为直线l 上的点，()11,0f x y =，()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，化为()()22,,0f x y f x y -=，显然()222,P x y 满足方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，所以()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示过点2P 且与l 平行的直线． 故答案选C ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9.为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ） A. 2000名运动员是总体； B. 所抽取的20名运动员是一个样本； C. 样本容量为20； D. 每个运动员被抽到的机会相等.【答案】CD 【解析】 【分析】根据总体、样本、总体容量、样本容量等概念及在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会均等即可求解.【详解】由已知可得，2000名运动员的年龄是总体，20名运动员的年龄是样本，总体容量为2000，样本容量为20，在整个抽样过程中每个运动员被抽到的机会均为1100，所以A 、 B 错误，C 、D 正确. 故选：CD.【点睛】本题主要考查总体、样本、总体容量、样本容量等概念及抽样的公平性问题，属基础题.10.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A. 若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B. 若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形 D. 若2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理可得tan tan tan ,A B C A B C ====，可判断A ；由正弦定理可得22sin A sin B =，可判断B ；由正弦定理与诱导公式可得()sin sin ,sin sin B C B A B +==，可判断C ；由余弦定理可得角C 为锐角，角,A B 不一定是锐角，可判断D . 【详解】由cos cos cos a b c A B C ==，利用正弦定理可得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，即tan tan tan ,A B C A B C ====，ABC ∆是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =⇒=，22A B =或22A B π+=，ABC ∆是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得sin cos sin cos sin B C C B B +=，即()sin sin ,sin sin B C B A B +==， 则,A B ABC =∆等腰三角形，C 正确；由正弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=>，角C 为锐角，角,A B 不一定是锐角，D 不正确，故选AC.【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.11.（多选题）下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2B. 点(0,2)关于直线1y x =+的对称点为(1,1)C. 过11(,)x y ，22(,)x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- D. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线的方程及性质，逐项分析，A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，B 中0+121(,)22+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以B 正确，C 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =.【详解】A 中直线在坐标轴上的截距分别为2，2-，所以围成三角形的面积是2正确，B 中0+121(,)22+在直线1y x =+上，且(0,2),(1,1)连线的斜率为1-，所以B 正确，C 选项需要条件2121,y y x x ≠≠，故错误，D 选项错误，还有一条截距都为0的直线y x =.【点睛】本题主要考查了直线的截距，点关于直线的对称点，直线的两点式方程，属于中档题.12.设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k N -+-=∈.下列四个命题正确的是（ ）A. 存在k ，使圆与x 轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点 【答案】ABD【解析】 【分析】根据圆的方程写出圆心坐标，半径，判断两个圆的位置关系，然后对各选项进行分析检验，从而得到答案.【详解】根据题意得圆的圆心为（1，k ），半径为2k ，选项A,当k=2k ，即k=1时，圆的方程为()()22111x y -+-=，圆与x 轴相切，故正确； 选项B ，直线x=1过圆的圆心（1，k ），x ＝1与所有圆都相交，故正确；选项C,圆k ：圆心（1，k ），半径为k 2，圆k +1：圆心（1，k +1），半径为（k +1）2， 两圆的圆心距d ＝1，两圆的半径之差R ﹣r ＝2k +1，（R ﹣r ＞d ），∁k 含于C k +1之中， 若k 取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，故错误；选项D,将（0，0）带入圆的方程，则有1+k 2＝k 4，不存在 k ∈N *使上式成立， 即所有圆不过原点，正确． 故选ABD【点睛】本题考查圆的方程，考查两圆的位置关系，会利用反证法进行分析证明，会利用数形结合解决实际问题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13.直线3450x y -+=关于点(2,3)M -对称的直线的方程为_________. 【答案】34410x y --= 【解析】 【分析】设所求直线上任一点坐标为(,)P x y ，点P 关于点(2,3)M -对称的点()00,x y ，根据中点坐标公式00462x x y y=-⎧⎨=--⎩，点()00,x y 在直线3450x y -+=，可得所求直线方程，即可求得答案.【详解】设所求直线上任一点坐标为(,)P x y ，P 点关于点(2,3)M -对称的点为()00,x y根据坐标中点公式可得：002232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩解得：046x xy y=-⎧⎨=--⎩——①点()00,x y在直线3450x y-+=∴003450x y-+=——②将①代入②可得：3(4)4(6)50x y----+=整理可得：34410x y--=.故答案为：34410x y--=.【点睛】本题主要考查直线关于点对称的直线方程，设出所求直线上任一点的坐标，求出其关于定点对称的点的坐标，代入已知直线即可求出结果，属于基础题型.14.已知圆221:9C x y+=，圆222:4C x y+=,定点(1,0)M,动点A，B分别在圆2C和圆1C 上，满足90AMB︒∠=,则线段AB的取值范围_______.【答案】[231,231]【解析】【分析】因为90AMB︒∠=，可得MA MB⊥，根据向量和可得AB MA MB=+，即2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB+=++⋅=，由A，B分别在圆2C和圆1C上点设()11,A x y，()22,B x y，求得()21212||132AB x x y y-+=，由MA MB⊥，可得1212121x x y y x x+=+-，即可得到()212||152AB x x=-+，设AB中点为()00,N x y，求得x的取值范围，即可求得答案. 【详解】90AMB ︒∠=MA MB ∴⊥，2222||||||2||MA MB MA MB MA MB AB ∴+=++⋅=，A ，B 分别在圆2C 和圆1C 上点设()11,A x y ，()22,B x y ，∴2211222294x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 则()()()22221211212||132AB x x y y x x y y =-+-=-+， 由MA MB ⊥，可()()11221,1,0x y x y -⋅-=， 即()()1212110x x y y --+=， 整理可得：1212121x x y y x x +=+-，()()21212||1321152AB x x x x ∴=-+-=-+，设AB 中点为()00,N x y ，则20||154AB x =-，∴01201222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，()()()2200121212041321321114x y x x y y x x x ∴+=++=++-=+即2200132x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，点()00,N x y 的轨迹是以1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的圆，0x ∴的取值范围是1122⎡-+⎢⎣，20||154AB x ∴=-的范围为13⎡-+⎣，故：||AB的范围为1,1]故答案为：1,1]-．【点睛】本题主要考查了求同心圆上两点间距离的范围问题，解题关键是掌握向量加法原理和将两点间距离问题转化为中点轨迹问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2cos cos cos A b C c B a +=，ABC ∆的面积为， 则A =_______ ，b c +=_______． 【答案】 (1). 3π(2). 7 【解析】 【分析】()1由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2cos sin sin A A A =，从而求得1cos 2A =，结合范围()0A π∈，，即可得到答案 ()2运用余弦定理和三角形面积公式，结合完全平方公式，即可得到答案【详解】()1由已知及正弦定理可得()2cos sin cos sin cos sin A B C C B A +=，可得：()2cos sin sin A B C A +=解得2cos sin sin A A A =，即1cos 2A =()0A ，π∈，3A π∴=()2由面积公式可得：1sin 2bc A ==，即12bc = 由余弦定理可得：22132cos b c bc A =+- 即有()()2213336b c bc b c =+-=+- 解得7b c +=【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理和面积公式解三角形，题目较为基础，只要按照题意运用公式即可求出答案16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （1，－1），点P 为圆（x －4）2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是________． 【答案】23- 【解析】 【分析】设∠AOP ＝α，利用面积公式得21tan S S α=，求出α的最小值即可. 【详解】设∠AOP ＝α，易知OA ＝2，OB ＝2，∠AOB ＝2π，则∠BOP ＝2πα-，112sin 2S OP α=⨯⨯⨯，1122sin()cos 222S OP OP παα=⨯⨯⨯-=，故21tan S S α=，直线:,:OA y x OB y x ==-，圆（x －4）2＋y 2＝4圆心(4,0)C 到两条直线的距离均为4222=由图易知，圆在AOB ∠内部， 设:OP y kx =2421k k ≤+，即231k ≤，解得33[k ∈，所以POC ∠最大为6π，即直线OP 与圆相切时，当切点在第一象限的点的时候，4612πππα=-=，21tan S S α=取得最小值23. 故答案为：23【点睛】此题考查三角形面积公式的应用，结合直线与圆的位置关系解决问题.四、解答题：本题共6小题，共70分.17.为了了解高中新生的体能情况，某学校抽取部分高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12﹒（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．【答案】（1）0．08，150；（2）88％;（3）第四小组，理由见解析【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图中各小矩形面积之和为1结合面积之比得到第二小组的频率，从而求得样本容量；（2）由频率分布直方图中各小矩形的面积和为1与面积之比可求出达标的频率即达标率；（3）求出前四组的频数即可得到中位数所在的区间．试题解析：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：又因为频率=所以（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内． 考点：频率分布直方图18.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin cos b C a C =cos c A +，23B π=，3c =（1）求角C ；（2）若点E 满足2AE EC =，求BE 的长. 【答案】（1）6C π=；（2）1BE =【解析】 【分析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到sin C 的值，从而得到角C 的大小；解法三：利用射影定理相关内容进行求解.（2）解法一：在ABC 中把边和角都解出来，然后在ABE △中利用余弦定理求解；解法二：在ABC 中把边和角都解出来，然后在BCE 中利用余弦定理求解；解法三：将BE 用,BA BC 表示，平方后求出BE 的模长.【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=， 所以2sin sin sin B C B =. 由于3sin 0B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.【解法二】由题设及余弦定理可得2222222sin 22a b c b c a b C a cab bc+-+-=+， 化简得2sin b C b =.因为0b >，所以1sin 2C =. 又因03C π<<，所以6C π=.【解法三】由题设2sin cos cos b C a C c A =+， 结合射影定理cos cos b a C c A =+， 化简可得2sin b C b =. 因为0b >.所以1sin 2C =. 又因为03C π<<，所以6C π=.（2）【解法1】由正弦定理易知sin sin b c B C ==3b =. 又因为2AE EC =，所以2233AE AC b ==，即2AE =.在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===， 所以1BE =.【解法2】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==由余弦定理得3b ==.因为2AE EC =，所以113EC AC ==.在BCE ∆中，6C π=，BC =，1CE =由余弦定理得1BE === 所以1BE =.【解法3】在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，a c ==因为2AE EC =，所以1233BE BA BC =+. 则()()22221111||2|44|344319992BE BA BCBA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=-+⨯= ⎪⎝⎭所以1BE =.【点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题. 19.已知直线()():20++++-=l a b x a b y a b 及点()3,4P ．()1证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． ()2当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．【答案】（1）证明见解析,定点坐标为()2,3-（2）570x y ++= 【解析】 【分析】()1直线l 方程化成()()2110a x y b x y ++++-=，再联解关于x 、y 的方程组21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，即可得到直线l 经过的定点坐标； ()2设直线l 经过的定点为A ，由平面几何知识，得到当PA l ⊥时，点P 到直线l 的距离最大.因此算出直线PA 的斜率，再利用垂直直线斜率的关系算出直线l 的斜率，即可求出此时直线l 的方程．【详解】() 1直线l 方程可化为：()()2110a x y b x y ++++-=由21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得2x =-且3y =， ∴直线恒l 过定点A ，其坐标为()2,3-．()2直线恒l 过定点()2,3A -∴当点P 在直线l 上的射影点恰好是A 时，即PA l ⊥时，点P 到直线l 的距离最大PA 的斜率431325PA k -==+∴直线l 的斜率15PAk k -==- 由此可得点P 到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为()352y x -=-+，即570x y ++=．【点睛】本题主要考查直线过定点的问题，以及求直线外一点P 到直线的距离最大时直线的方程；熟记两直线交点的求法、点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程即可，属于基础题．20.树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 点和B 点处，AB BC a ==（a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段()BM M AD ∈方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，狼就会吃掉兔子.（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a ； （2）若兔子要想不被狼吃掉，求()DAC θθ=∠的取值范围.【答案】（1）249a π，（2）,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）建立坐标系xOy ，设(0,2),(0,),(,)A a B a M x y ，兔子的所有不幸点满足：2BMAMμμ≤，可得2222439a a x y ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，即可求得()S a ，即可求得答案；（2）设():20ADl y kx a k=+≠，由兔子要想不被狼吃掉：可得2222331aaak->+，求得k的范围，即可求得()DACθθ=∠的取值范围，即可求得答案.【详解】（1）如图建立坐标系xOy，设(0,2),(0,),(,)A aB a M x y由2BM AMμμ≤得2222439a ax y⎛⎫+-≤⎪⎝⎭∴M在以20,3a⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为23a的圆及其内部所以24()9aS aπ=（2）设():20ADl y kx a k=+≠由兔子要想不被狼吃掉：2222331aaak->+解得：(3,0)3)k∈⋃可得03ADBπ<∠<，∴,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【点睛】本题解题关键是掌握圆的基础知识和点到直线距离公式，及其圆在实际问题的中的应用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21.在平面直角坐标系xOy 中，圆22:64O x y +=，以1(9,0)O 为圆心的圆记为圆1O ，已知圆1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21. （1）求圆1O 的标准方程；（2）求过点(5,5)M 且与圆1O 相切的直线的方程；（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆1O 都相交，记直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若12dd =，求证：直线l 过定点. 【答案】（1）22(9)16x y -+=；（2）949408y x =-+或5x =；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）因为22:64O x y +=，可得圆(0,0)O 为圆心，半径为8，设1(9,0)O 为圆心的圆记为圆1O ，设1O 半径为R ，由圆1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21，可得8921R ++=，即可求得圆1O 方程，即可求得答案；（2）分别讨论切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况，当切线的斜率存在时，设直线方程为5(5)y k x -=-，设直线到圆的距离为d ，由直线和圆相切，可得4d ==，求得k ,即可求得答案；（3）设直线l 的方程为y kx m =+，求得圆心O ，圆心1O 到直线l 的距离分别为h =，1h =d =，1d =12dd =，即可求得k 和m 关系式，即可求得l 方程，进而求得直线l 过定点. 【详解】（1）22:64O x y +=∴圆(0,0)O 为圆心，半径为8设1(9,0)O 为圆心的圆记为圆1O ，设1O 半径为R 由圆1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21.可得8921R ++=解得4R =∴圆1O 的标准方程为22(9)16x y -+=.（2）①当切线的斜率不存在时，直线方程为5x =符合题意；②当切线的斜率存在时，设直线方程为5(5)y k x -=-，即(55)0kx y k -+-=，直线和圆相切，设直线到圆的距离为d∴4d ==， 解得940k =-，从而切线方程为949408y x =-+. 故切线方程为949408y x =-+或5x = （3）设直线l 的方程为y kx m =+，则圆心O ，圆心1O 到直线l的距离分别为h =，1h =，几何关系可得：d =，1d =∴d =1d =. 由12d d =，得22222126414(9)161m d k k m d k -+==+-+， 整理得224(9)m k m =+，故2(9)m k m =±+，即180k m +=或60k m +=， ∴直线l 为18y kx k =-或6y kx k =-，∴直线l 过点定点(18,0)或直线l 过定点(6,0).【点睛】本题主要考查了求圆标准方程和求圆的切线方程，及其求直线过定点问题，解题关键是掌握圆的基础知识和求圆的切线方程的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆O：224x y+=与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点,A B.（1）若直线l与y轴交于D，且16DP DQ⋅=，求直线l的方程；（2）设直线QA，QB的斜率分别是1k，2k，求12k k+的值；（3）设AB的中点为M，点4,03N⎛⎫⎪⎝⎭，若13MN=，求QAB∆的面积.【答案】（1）320x y--=（2）-1（3）125【解析】【分析】（1）可设点()0,D m，表示出,DP DQ，可求出参数2m=-或6，结合题意可舍去6m=，再由,D P两点已知求出直线l的方程；（2）可设()()1122,,,A x yB x y，设直线方程为()24y k x=-+，联立直线和圆的方程求出关于x的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出,QA QBk k，结合前式即可求解；（3）设()00,M x y，由133MN OM=建立方程，化简可得22000640x y x++-=，由（2）可得()()()1202002222122241k kx xxkky k xk-⎧+==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩，联立求解得3k=，再结合圆的几何性质和点到直线距离公式及三角形面积公式即可求解；【详解】（1）设()0,D m ，求出()2,0Q ，()()2,4,2,DP m DQ m =-=-，则244162DP DQ m m m ⋅=+-=⇒=-或6，结合直线圆的位置关系可知，2m =-一定满足，()0,2D -，()2,4P 此时直线l 的方程为：320x y --=；当6m =时，()0,6D ，()2,4P ，直线l 的方程为：60x y +-=，圆心到直线距离2d ==>（舍去）； （2）设直线l 的方程为：()24y k x =-+，联立()22424y k x y x ⎧=-++=⎨⎩ 可得：()()()2221422440k x k k x k +--+--=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()12221224212441k k x x k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪⋅=⎪+⎩，① 1212,22QA QB y y k k x x ==--， 则()()1212121221212424442222222k y k k x k x y k x x x x x x -+-+=+=+=++----+--，② 将①代入②化简可得()124842221116k k k k k k +=---+==-， 即121k k +=-；（3）设点()00,M x y ，由点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，MN =， 可得()2222000041339x y x y ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，化简得22000640x y x ++-=，③ 又()()()1202002222122241k k x x x k k y k x k -⎧+==⎪⎪+⎨--⎪=-+=⎪+⎩，④④式代入③式解得3k =或13k =，由圆心到直线的距离2244231k d k k -+=<⇒>+，故3k =，此时31,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆心到直线距离2241051k d k -+==+， 则210610245AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，直线方程为：320x y --=，()2,0Q ，Q 到直线的距离2105h =，则116102*********QAB S AB h ∆=⋅=⨯⨯=【点睛】本题考查圆中，由向量关系反求直线方程，由韦达定理求解圆锥曲线中的定值问题，由弦的中点问题求三角形面积，圆的几何性质，点到直线距离公式等，计算能力，综合性强，属于难题。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一(创新班)下学期期初考试数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一（创新班）下学期期初考试数学试题一、单选题1．在ABC V 中，7,2,60AC BC B ===o ，则BC 边上的中线AD 的长为( )A ．1B ．3C ．2D ．7【答案】D【解析】由余弦定理可得：2222cos 3AC AB BC AB BC B AB =+-⋅⇒=，在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，即可． 【详解】由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．3AB ∴=在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，7AD ∴=故选D ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定B．有C．收D．获【答案】B【解析】试题分析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选B．【考点】展开图与直观图.3．直线cos320xα+=的倾斜角的范围是( )A．π[6，π5π][26⋃，π)B．[0，π5π][66⋃，π)C．[0，5π]6D．π[6，5π]6【答案】B【解析】求出直线斜率为3kα=，根据cosα的范围即可求得斜率的范围，再由正切函数的图象即可求出直线倾斜角的范围. 【详解】直线方程化为斜截式为：323y xα=，斜率为33kα=-，因为cos [1,1]α∈-，所以斜率33[,]k ∈-， 根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0，π5π][66⋃，π). 故选：B 【点睛】本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是( ) A ．1//D O 平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为22【答案】D【解析】A 项，通过证明11//OD BO 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r 、10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r推出1OD AM ⊥、1OD CM ⊥，从而证明线面垂直；C 项，利用公式11cos ||||AC BC AC BC θ⋅=⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r 可求得异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值从而求得夹角；D 项，由等体积法求点到平面的距离即可判断. 【详解】A 项，连接11B D ，交11AC 于点1O ，连接BD ，根据正方体的性质可知，11D O 与BO 平行且相等，所以四边形11BOD O 是平行四边形，即11//OD BO ，又因为1//D O 平面11A BC ，故A 选项正确；B 项，设正方体的边长为1，分别以BA ，BC ，1BB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(,,0)22B A C O ，11(0,0,),(1,1,1)2M D ，所以111,,122OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，11,0,2AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，10,1,2CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，因为10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r ，10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r，所以1OD AM ⊥，1OD CM ⊥，又因为AM CM M ⋂=，且AM ⊂平面AMC ，CM ⊂平面AMC ， 所以1D O ⊥平面AMC ，B 选项正确；C 项，根据B 项可得1(0,1,1)C ，所以1(0,1,1)BC =u u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u r， 设异面直线1BC 与AC 所成角为θ，则111cos 2||||AC BC AC BC θ⋅==⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r ， 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以60θ︒=，C 选项正确； D 项，设正方体的边长为a ，则2BO a =，所以由勾股定理可得223MO OB BM =+=，根据题意可知MA MC =，O 是AC 的中点，故MO AC ⊥，所以21624MAC S AC MO a =⋅=V ，设点B 到平面MAC 的距离为h ，则13B MAC MAC V S h -=⋅V ，又因为13B MAC M ABC ABC V V S MB --==⋅V ，解得622ABC MAC S MB h S ⋅==≠V V ，D 错误.故选：D 【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直的判定及异面直线和平面夹角的求解，属于中档题. 5．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)【答案】C【解析】求出A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，可写出BC 所在直线方程，与直线y ＝2x 联立，即可求出C 点坐标. 【详解】设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则221424222y x y x -⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-+⎪=⨯⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩ ∴BC 所在直线方程为y －1＝2143---(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立直线y=2x ，解得24x y =⎧⎨=⎩，则C (2，4)．故选C. 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m【答案】A【解析】如图所示，设水柱CD 的高度为h ．在Rt △ACD 中，由∠DAC=45°，可得AC=h ．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt △BCD 中，∠CBD=30°，可得．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出． 【详解】 如图所示，设水柱CD 的高度为h ．在Rt △ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AC=h ． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B ，A ，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以C 为直角顶点的直角三角形， 在Rt △BCD 中，∠CBD=30°，∴．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．∴（3h ）2=h 2+1002﹣121002h ⨯⨯， 化为h 2+50h ﹣5000=0，解得h=50． 故选A ．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7．已知直线l 方程为(),0f x y =，()111,P x y 和()222,P x y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示（ ） A ．过点1P 且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线【答案】C【解析】先判断直线与l 平行，再判断直线过点2P ，得到答案. 【详解】由题意直线l 方程为(),0f x y =，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --= 两条直线平行，()111,P x y 为直线l 上的点，()11,0f x y =，()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，化为()()22,,0f x y f x y -=，显然()222,P x y 满足方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，所以()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示过点2P 且与l 平行的直线． 故答案选C ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.8．如图，23BACπ∠=，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，1AD=，点P是圆M及其内部任意一点，且()AP x AD y AE x y R=+∈u u u v u u u v u u u v、，则x y+的取值范围是（）A．1,423⎡⎤+⎣⎦B．423,423⎡⎤-+⎣⎦C．1,23⎡⎤+⎣⎦D．23,23⎡⎤-+⎣⎦【答案】B【解析】连接AM并延长分别交圆M于Q T、，连接DE，DE与AM交于R，显然1122AR AD AEu u u r u u u r u u u r=+，此时1x y+=，分别过Q T、作DE的平行线，由于1,120AD AE BAC==∠=，则2,3AM DM==，则23AQ=-，12AR=，23(423)(23)(23)2AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r-==-=-+-，此时423x y+=-，同理可得：(23)(23)AT AD AEu u u r u u u r u u u r=+++，423x y+=+，选B.【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P在等和线DE上1x y+=去求x y+的取值范围，由于点P是圆M及其内部任意一点，所以分别过Q T、作圆的切线，求出两条等和线的x y+值，就可得出x y+的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.二、多选题9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β.若//αβ，a α⊂，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 与β内所有直线平行B ．a 与β内的无数条直线平行C ．a 与β内的任意直线都不垂直D ．a 与β没有公共点【答案】BD【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。
江苏省启东中学数学高一下期中经典测试题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12426]已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12424]圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ）A ．1B ．221-C ．22D ．23．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=4．(0分)[ID ：12412]一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）． A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6．(0分)[ID ：12382]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为433，则球O 的半径为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．47．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．28．(0分)[ID ：12374]如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的表面积为A ．20πB ．1256πC ．25πD ．100π9．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β10．(0分)[ID ：12356]在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．12B ．12-C ．32D ．32- 11．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2212．(0分)[ID ：12380]如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π13．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 14．(0分)[ID ：12368]α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n βB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．α，β都垂直于平面γD ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α15．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12488]经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.17．(0分)[ID ：12477]已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)18．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 19．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．20．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．21．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.22．(0分)[ID ：12480]已知α∈R ，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论：①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-； ③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行； 写出所有真命题的序号________23．(0分)[ID ：12441]如上图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是棱1AB CC 、的中点，1MB P ∆的顶点P 在棱1CC 与棱11C D 上运动，有以下四个命题：A ．平面1MB P 1ND ⊥； B ．平面1MB P ⊥平面11ND A ；C ．∆1MB P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值；D ．∆1MB P 在侧面11D C CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是__________.24．(0分)[ID ：12431]已知棱长等于31111ABCD A B C D -，它的外接球的球心为O ﹐点E 是AB 的中点，则过点E 的平面截球O 的截面面积的最小值为________.25．(0分)[ID ：12448]已知直线:0l x my m ++=，且与以A (-1,1)、B (2,2)为端点的线段相交，实数m 的取值范围为___________.三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12597]已知点(3,3)M ，圆22:(1)(2)4C x y -+-=.（1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.28．(0分)[ID ：12596]如图，梯形ABCS 中，//AS BC ，AB BC ⊥，122AB BC AS ===，D 、E 分别是SA ，SC 的中点，现将SCD ∆沿CD 翻折到PCD ∆位置，使23PB =（1）证明：PD ⊥面ABCD ；（2）求二面角E BD C --的平面角的正切值；（3）求AB 与平面BDE 所成的角的正弦值.29．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .30．(0分)[ID ：12619]如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AAC C ⊥平面11AA B B ,平面11AAC C ⊥平面ABC ，12AB AC AA ===,点P 、M 分别为棱BC 、1CC 的中点，过点B 、M 的平面交棱1AA 于点N ,使得AP ∥平面BMN .（1）求证：AB ⊥平面11AAC C ;（2）若四棱锥B ACMN -31A AC ∠的正弦值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．C5．C6．C7．D8．C9．D10．A11．A12．A13．D14．D15．D二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P＝A1Q＝x∴PQ∥B1D1∥BD∥EF则PQ∥平面ME F又平面MEF∩平面MPQ＝l∴PQ∥ll∥EF∴l∥平面ABCD故①成立；又EF⊥AC∴l⊥AC故18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关20．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6 021．【解析】【分析】如图所示根据外接球的球心O恰好是的中点将棱锥的高转化为点到面的距离再利用勾股定理求解【详解】如图所示：设球O的半径为R球心O到平面的距离为d 由O是的中点得解得作平面ABC垂足为的外心22．①②【解析】【分析】①求出直线l的方向向量判断它与向量共线;②求出直线l和直线y＝x的斜率与倾斜角即可得出两直线的夹角;②根据两直线的斜率与在y轴上的截距得出两直线不一定平行【详解】对于①直线l的方23．【解析】由正方体的几何性质对4个命题进行判断对于A当动点P与点重合时以等腰三角形与不垂直所以不能得出平面A为假命题；对于B易证所以平面所以平面⊥平面故B为真命题；对于C在底面上的射影图形的面积为定值24．【解析】【分析】当过球内一点的截面与垂直时截面面积最小可求截面半径即可求出过点的平面截球的截面面积的最小值【详解】解：棱长等于的正方体它的外接球的半径为3当过点的平面与垂直时截面面积最小故答案为：【25．【解析】【分析】由直线系方程求出直线所过定点再由两点求斜率求得定点与线段两端点连线的斜率数形结合求得实数的取值范围【详解】解：由直线可知直线过定点又如图∵∴由图可知直线与线段相交直线的斜率或斜率不存三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．2．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.3．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．C解析：C【解析】【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．SC OA ⊥，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．2343123S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=⨯⨯=三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．故选：C ．【点睛】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．7．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形． ∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>． 又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴=+，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 8．C解析：C【解析】【分析】【详解】由三视图可知，这是三棱锥的三视图，如下图所示，三角形BCD 为等腰直角三角形，其外心为BD 中点1O ，设O 为AD 中点，则O 为外接球球心， 半径长度为1522AD =， 所以表面积为25π. 9．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.10．A解析：A【解析】如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，则,MN BD NP AC ，∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11,22PQ AB MQ CD ==. 设2AB BC CD ===，则2PM =. 又112,222MN BD NP AC ====, ∴PNM ∆为等边三角形，∴60PNM =︒∠，∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为12．选A ． 点睛：用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值． 11．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=233323⨯=， ∴116133OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．12．A解析：A【解析】【分析】【详解】由几何体的三视图分析可知，该几何体上部为边长为2的正方体，下部为底面半径为1、高为2的半圆柱体， 故该几何体的表面积是20＋3π，故选A.考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积. 13．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.14．D解析：D【解析】【分析】A 中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B 中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C 中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m ′，所以m ′与n 是两条相交直线，m ′⊂β，n ⊂β，且m ′∥β，n ∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】由题意，对于A 中，若m ，n 是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A 错误．对于B 中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B 错误．对于C 中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C 错误．对于D 中，在直线n 上取一点Q ，过点Q 作直线m 的平行线m′，所以m′与n 是两条相交直线，m′⊂β，n ⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】【分析】 先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程.【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-， 平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=，则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】 本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.17．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.18．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h 底面积为S 体积为V 则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积解析：2π 【解析】 试题分析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有2πr =2⇒r =1π，故底面面积S =πr 2=π×(1π)2=1π，故圆柱的体积V =Sh =1π×2=2π. 考点：圆柱的体积19．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
江苏省启东中学2019级高一实验班自主招生数学试题及答案【PDF版高清打印】
江苏省启东中学2019年创新人才培养实验班自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 把2232x y xy y -+分解因式正确的是 A ．()222y x xy y -+B ．()2y x y -C ．()22y x y -D ．()2y x y +2． 已知a ，b 为一元二次方程2290x x +-=的两个根，那么2a a b +-的值为A ．﹣7B ．0C ．7D ．113． 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，O 是△ABC 的内心，以O 为圆心，r 为半径的圆与线段AB 有交点，则r 的取值范围是 A ．r ≥1B ．1≤r ≤ 5C ．1≤r ≤10D ．1≤r ≤44． 如图，等边△ABC 中，AC ＝4，点D ，E ，F 分别在三边AB ，BC ，AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，且∠DFE ＝60°，则AD 的长为 A ．0.5B ．1C ．1.5D ．25． 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝4cm ，∠ABC ＝120°，点P 是射线AB 上的一个动点，∠MPN ＝∠ACP ，点Q 是射线PM 上的一个动点．则CQ 长的最小值为 AB ．2C．D ．4（第3题）B C（第4题）（第5题）NMQPCAB6． 二次函数228y x x m =-+满足以下条件：当21x -<<-时，它的图象位于x 轴的下方；当67x << 时，它的图象位于x 轴的上方，则m 的值为 A ．8 B ．10-C ．42-D ．24-二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7． 计算－82015×(－0.125)2016＝ ▲ ．8． 市政府为了解决老百姓看病贵的问题，决定下调药品的价格．某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x ，由题意，可列方程为 ▲ ．9． 在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别A (3，0)，B (8，0)，若点P 在y 轴上，且△P AB 是等腰三角形，则点P 的坐标为 ▲ ． 10．关于x 的方程2101x ax +-=-的解是正数，则a 的取值范围是 ▲ ． 11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )，N (t ，8)分别是边AB ，BC 上的两个动点，且OM ⊥12．如图，△ABC 在第一象限，其面积为5．点P 从点A 出发，沿△ABC 的边从A —B —C —A运动一周，作点P 关于原点O 的对称点Q ，再以PQ 为边作等边三角形PQM ，点M 在第二象限，点M 随点P 的运动而运动，则点M 随点P 运动所形成的图形的面积为 ▲ ．三、解答题（本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）图113．（本小题满分15分）阅读下面材料，并解决问题．材料：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y ax b =+与双曲线2ky x=交于 A （1，3）和B （－3，－1①当3x =-或1时，12y y =；②当30x -<<或x 即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax b +>问题：求不等式32440x x x +-->的解集．下面是他的探究过程，请将（2），（3），（4（1）将不等式按条件进行转化当x ＝0时，原不等式不成立；当x ＞0时，原不等式可以转化为2441x x x +->； 当x ＜0时，原不等式可以转化为2441x x x+-<． （2）构造函数，画出图象设2341y x x =+-，44y x=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象． 双曲线44y x=如图2画出抛物线．．．．．2341y x x =+-．（3）确定两个函数图象公共点的横坐标代入函数解析式验证可知满足34y y =所有x 的值为 ▲ ； （4）借助图象，写出解集结合（1可知不等式32440x x x +-->如图，“元旦”期间，学校在综合楼上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小芳所在的教学楼正好在综合楼的对面．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30 o ，测得条幅端点B 的俯角为45o ；小芳在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45o ，测得条幅端点B 的俯角为30 o ．若楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小芳测得的数据求出条幅AB 的长．（结果保留根号）15．（本小题满分14分）如图1，A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，过点C 的切线与AB 的延长线交于点E ．（1）求证：CE ∥BD ；（2）如图2，若AB 为⊙O 的直径，AC =2BC ，BE ＝5，求⊙O 的半径．（第14题）（第15题）图1图2惠民超市试销一种进价为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于进价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）满足一次函数y ＝kx ＋b ，且当x ＝70时，y ＝50；当x ＝80时，y ＝40． （1）求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设该超市获得的利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，超市可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该超市预期的利润不低于500元，试确定销售单价x 的取值范围．17．（本小题满分16分）如图，已知抛物线223y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ． （1）求直线B C 的解析式；（2）点M 在抛物线上，且△BMC 的面积与△BCD 的面积相等，求点M 的坐标； （3）若点P 在抛物线上，点Q 在y 轴上，以P ，Q ，B ，D 四个点为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．（第如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OACB的边OA，OB分别在x轴和y轴上，OA＝8，OB＝6．点P从点O开始沿OA边匀速移动，点M从点B开始沿BO边匀速移动，点P，点M同时出发，它们移动的速度均为每秒一个单位长度，设两个点运动的时间为t秒（0≤t≤6）．（1）连接矩形的对角线AB，当t为何值时，以P，O，M为顶点的三角形与△AOB 相似；（2）在点P，点M运动过程中，线段PM的中点Q也随着运动，请求出CQ的最小值；（3）将△POM沿PM所在直线翻折后得到△PDM，试判断D点能否在对角线AB上，如果能，求出此时t的值，如果不能，请说明理由．数学答案一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1． B2． D3． C4． C5． A6． D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7．－0.1258． ()272156x -= 9．（0，4），（0，－4） 10． a ＜－1且a ≠－211． 1012． 15三、解答题（本大题共6小题，共90分） 13．（本小题满分15分）（2）抛物线如图所示； ……………………5分（3）x =4-，1-或1；……………………11分 （4）41x -<<-或1x >．…………………15分14．（本小题满分12分）过D 作DM ⊥AE 于M ，过C 作CN ⊥AE 于N ，则DM ＝CN ，MN ＝CD ＝3米， 设AM ＝x ，则AN ＝x ＋3，由题意：∠ADM ＝30ｏ， ∴∠MAD ＝60ｏ． 在Rt △ADM 中，DM ＝AM ·tan60ｏ．在Rt △ANC 中，CN ＝AN ＝x ＋3， ………6分＝x ＋3，解之得，)312x =，…………10分∵MB ＝MD ，∴AB ＝AM ＋MB ＝x＝6＋．……12分EF15．（1）连接OC ，∵CE 为⊙O 的切线，∴OC ⊥CE ．……………………………………2分 ∵AC 平分∠BAD ，∴点C 平分弧BD ．∴OC ⊥BD ……………………………4分 ∵BD ∥CE ． ………………………6分 （2）∵BD ∥CE ，∴∠CBD ＝∠BCE ．∵∠CBD ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠CAE ， ∴∠CAE ＝∠BCE ． ∵∠E ＝∠E ，∴△ACE ∽△CBE ． ………………10分 ∴AC AE CE CBCEBE==．∴25AE CE CE==．∴CE =10，AE =20， ………………………12分 ∴AB =15，⊙O 的半径为7.5． ………………………14分16．（1）根据题意得7050,8040.k b k b ì+=ïí+=ïî解得k ＝－1，b ＝120．所求一次函数的表达式为y ＝－x ＋120． ………………………4分 （2）()()60120W x x =--+21807200x x =-+-()290900x =--+．…………………8分抛物线的开口向下，∴当x ＜90时，W 随x 的增大而增大， 而60≤x ≤84，∴当x ＝84时，()28490900864W =--+=．∴当销售单价定为84元时，商场可获得最大利润，最大利润是864元．……10分（3）由W ＝500，得500＝－x 2＋180x －7200，整理得，x 2－180x ＋7700＝0，解得，x 1＝70，x 2＝110． ……………………13分 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之 间．而60≤x ≤84，所以，销售单价x 的取值范围是70≤x ≤84．…………………15分17．（1）易得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3) ，D (1，4)，所以直线BC 的解析式为 y ＝－x ＋3 …………………4分 （2）过点D 作直线BC 的平行线交y 轴于点E ，直线DE 与抛物线的交点即为所求的点M ．易得直线DE 的解析式为y ＝－x ＋5，所以点E 的坐标为（0，5）．解25,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî 得点M 的坐标为（2，3）． …………………6分 在y 轴上取F (0，1)，则CE ＝CF ，所以过F 且平行于BC 的直线与抛物线的交点也是所要求的M 点． 解21,23y x y x x ì=-+ïí=-++ïî得点M 的坐标为：． …………………………10分 综合得点M 的坐标为： （2，3），．（3）符合要求的点P 有三个：（4，－5），（－2，－5），（2，3）． ……………16分（第17题）18．（1）由题意得OM ＝6－t ，OP ＝t ．若△POM ∽△AOB ，则624,867t tt -==解得； ……………3分若△POM ∽△BOA ，则618,687t tt -==解得． ……………6分 （2）过点Q 作QH ⊥OP ，垂足为易得1122OH OP t ==，QH ∴点Q （6,22t t-）．过点Q 作QG ⊥AC ，垂足为则182QG t =-,662t CG -=-∴CQ ∴当t =5时，CQ 有最小值2． ……… ……12分 （3）不能．理由如下：设OD 与PM 相交于点E ，则OE ⊥PM ，OD ＝2OE ．在Rt △POM 中， PM 则OE ＝2OP OM PM ?当t ＝3时，2(3)9t --+有最大值9， 所以，当t ＝3时，OE 所以OD 有最大值O 到AB 的最短距离为684.810´=． 因为 4.8，所以，点D 不可能在AB 上． ……………18分。
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(下)开学数学试卷
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（下）开学数学试卷试题数：20，总分：1601.（填空题，5分）设全集U=R ，若A={-2，-1，0，1，2}，B={x|y=log 2（1-x ）}，则A∩（∁U B ）=___2.（填空题，5分）已知命题：p ：（x-3）（x+1）＞0，命题q ：x 2-2x+1-m 2＞0（m ＞0），若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是___ ．3.（填空题，5分）已知f （x ）=tanx ，则 f′(4π3) 等于___ ．4.（填空题，5分）方程 x 2m−1 + y 22−m =1表示双曲线，则m 的取值范围是___ ．5.（填空题，5分）已知a∈[-1，1]，不等式x 2+（a-4）x+4-2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为___ ．6.（填空题，5分）设M是椭圆 x 2a 2+y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）上一点，F 1，F 2为焦点，如果∠MF 1F 2=75°，∠MF 2F 1=15°，则椭圆的离心率___ ．7.（填空题，5分）已知x ，y∈R 且满足x 2+2xy+4y 2=3，则xy 的取值范围是___ ．8.（填空题，5分）若直线y=x+b 与曲线y=3- √4x −x 2 有公共点，则b 的取值范围是___ ． 9.（填空题，5分）给出以下四个命题：① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面； ③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行； ④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的是___ ．10.（填空题，5分）化简 1+cos20°2sin20° -sin10°（ 1tan5° -tan5°）的值为___ ．11.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1，0），B （1，0）均在圆C ：（x-3）2+（y-4）2=r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP⊥BP ，则半径r 的值为___ ． 12.（填空题，5分）如图，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R ，弦AB 将扇形分成两个部分，这两部分各以AO 为轴旋转一周，所得旋转体的体积V 1和V 2之比为 ___ ．13.（填空题，5分）如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB || CD ， AC =3√10 ，AB=2CD=6，则当tanA=3时， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．14.（填空题，5分）已知方程|ln|x-1||=m•（x-1）2，有且仅有四个解：x 1，x 2，x 3，x 4，则m•（x 1+x 2+x 3+x 4）=___ ．15.（问答题，14分）在四棱锥S-ABCD 中，SA⊥面ABCD ，底面ABCD 是菱形． （1）求证：面SAC⊥面SBD ；（2）若点M 是棱AD 的中点，点N 在棱SA 上，且 AN =12NS ，求证：SC || 面BMN ．16.（问答题，14分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 为AC 的中点，已知2sin 2A+B2- √3 sinC=1，a= √3 ，b=4． （1）求角C 的大小和BD 的长；（2）设∠ACB 的角平分线交BD 于E ，求△CED 的面积．17.（问答题，14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB=4米，AD=3米，设AN的长为x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．18.（问答题，16分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C在第二象限，半径为√2．（1）求圆C的方程；（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．19.（问答题，16分）如图，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B1=4，直线y=x+ √2与圆O：x2+y2=b2相切．（1）求椭圆C的离心率；（2）若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P 于点E，问直线EF是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．20.（问答题，16分）已知函数f（x）=ax- 1-lnx，g（x）=ax-a（a∈R）．x，e)（e为自然对数的底数）上的零点个数；（1）若a=0，求函数f（x）在(1e（2）若方程f（x）=g（x）恰有一个实根，求a的取值集合；（3）若方程f（x）=g（x）有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），求证：2＜x1+x2＜3e a-1-1．2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析试题数：20，总分：1601.（填空题，5分）设全集U=R，若A={-2，-1，0，1，2}，B={x|y=log2（1-x）}，则A∩（∁U B）=___【正确答案】：[1]{1，2}【解析】：可解出B，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】：解：B={x|x＜1}；∴∁U B={x|x≥1}；∴A∩（∁U B）={1，2}．故答案为：{1，2}．【点评】：考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集和补集的运算．2.（填空题，5分）已知命题：p：（x-3）（x+1）＞0，命题q：x2-2x+1-m2＞0（m＞0），若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数m的范围是___ ．【正确答案】：[1]（0，2）【解析】：先求出命题p和命题q的取值范围，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意有A⫋B，由此列出方程组可求出实数m的范围．【解答】：解：由命题p得x＜-1或x＞3，由命题q得x＜-m+1或x＞m+1，它们的取值范围分别用集合A，B表示，由题意有A⫋B，∴ {−m+1≥−1，解得m≤2，又m＞0，m+1≤3∴0＜m≤2．当m=2，命题p和命题q一样，∴m不能等于m≠2．故答案为：（0，2）．【点评】：本题考查充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，解题的关键是借助集合问题进行求解．3.（填空题，5分）已知f（x）=tanx，则f′(4π3)等于___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：根据f（x）=tanx，先求得f′（x），可得f′（4π3）的值．【解答】：解：由f（x）=tanx，可得f′（x）= 1cos2x ，故f′(4π3) = 1cos24π3=4故答案为：4．【点评】：本题主要考查求正切函数的导数，求三角函数的值，属于基础题．4.（填空题，5分）方程x2m−1 + y22−m=1表示双曲线，则m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1）∪（2，+∞）【解析】：根据双曲线方程的特点进行求解即可．【解答】：解：若方程表示双曲线则（m-1）（2-m）＜0，得（m-1）（m-2）＞0，得m＞2或m＜1，故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）【点评】：本题主要考查双曲线方程的判断，结合双曲线的定义和方程特点是解决本题的关键．比较基础．5.（填空题，5分）已知a∈[-1，1]，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，则x的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞，1）∪（3，+∞）【解析】：把原不等式看成是关于a的不等式（x-2）a+x2-4x+4，在a∈[-1，1]时恒成立，只要满足在a∈[-1，1]时直线在a轴上方即可．【解答】：解：设关于a的函数y=f（a）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）a+x2-4x+4，对任意的a∈[-1，1]，当a=-1时，y=f（a）=f（-1）=x2+（-1-4）x+4+2＞0，即f（-1）=x2-5x+6＞0，解得x＜2或x＞3；当a=1时，y=f（1）=x2+（1-4）x+4-2＞0，即f（1）=x2-3x+2＞0，解得x＜1或x＞2；综上，x的取值范围是{x|x＜1或x＞3}；故答案为：（-∞，1）∪（3，+∞）．【点评】：本题考查了含有参数的一元二次不等式得解法，解题时应用更换主元的方法，使繁杂问题变得简洁，是易错题．6.（填空题，5分）设M是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2为焦点，如果∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，则椭圆的离心率___ ．【正确答案】：[1] √63【解析】：在三角形MF1F2中，运用正弦定理，结合椭圆的定义和离心率公式，化简求值，即可得到．【解答】：解：由正弦定理得2csin90°=MF1sin15°=MF2sin75°=MF1+MF2sin15°+sin75°=2asin15°+sin75°，所以e=ca =1sin15°+sin75°=√2sin60°=√63．故答案为：√63．【点评】：本题考查椭圆的定义和性质，同时考查正弦定理的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．7.（填空题，5分）已知x，y∈R且满足x2+2xy+4y2=3，则xy的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][- 32，12]【解析】：由已知可得（x+y）2+（√3y）2=3，然后利用换元法x+y= √3cosα，√3 y= √3sinα，代入后结合三角函数的性质可求．【解答】：解由x2+2xy+4y2=3可得（x+y）2+（√3y）2=3，设x+y= √3cosα，√3 y= √3sinα，所以y=sinα，x= √3cosα−sinα，所以xy= √3sinαcosα−sin2α = √32sin2α−1−cos2α2，= √32sin2α+12cos2α−12=sin（2 α+π6）- 12∈[−32，12]所以xy的范围[- 32，12]故答案为：[- 32，12]【点评】：本题主要考查了三角函数的性质在求解范围问题中的应用，解题的关键是换元法的应用．8.（填空题，5分）若直线y=x+b与曲线y=3- √4x−x2有公共点，则b的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][1- 2√2，3]【解析】：曲线即（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆，由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，解得 b=1+ 2√2 b=1- 2√2．结合图象可得b的范围．【解答】：解：如图所示：曲线y=3- √4x−x2，即y-3=- √4x−x2，平方可得（x-2）2+（y-3）2=4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y=x+b的距离等于半径2，可得|2−3+b|√2=2，∴b=1+ 2√2，或b=1- 2√2．结合图象可得1- 2√2≤b≤3，故答案为：[1- 2√2，3]．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．9.（填空题，5分）给出以下四个命题：① 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；② 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③ 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④ 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 其中真命题的是___ ． 【正确答案】：[1] ① ② ④【解析】：根据直线与平面平行的性质定理可推断出 ① 正确；根据直线与平面垂直度判定定理推断出 ② 正确；如果这两条直线都在一个平面内，且此平面与直线平行的平面平行，则直线也可相交，推断出 ③ 不正确；利用直线与平面垂直度判定定理可知 ④ 正确【解答】：解：根据直线与平面平行的性质定理可知 ① 正确； 根据直线与平面垂直度判定定理可知 ② 正确；如果这两条直线都在一个平面内，且此平面与直线平行的平面平行，则直线也可相交，故 ③ 不正确；利用直线与平面垂直度判定定理可知 ④ 正确 故答案为： ① ② ④【点评】：本题主要考查了直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定．考查了基础知识的综合运用．10.（填空题，5分）化简 1+cos20°2sin20° -sin10°（ 1tan5° -tan5°）的值为___ ． 【正确答案】：[1] √32【解析】：利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简表达式，求解即可．【解答】：解：原式= 2cos 210°4sin10°cos10°−sin10°(cos5°sin5°−sin5°cos5°)=cos10°2sin10°−sin10°2cos10°sin10°= cos10°−2sin (30°−10°)2sin10°=cos10°−2(12cos10°−√32sin10°)2sin10°=√3sin10°2sin10°=√32， 故答案为： √32 ．【点评】：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力． 11.（填空题，5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1，0），B （1，0）均在圆C ：（x-3）2+（y-4）2=r 2外，且圆C 上存在唯一一点P 满足AP⊥BP ，则半径r 的值为___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意，分析可得点P 在以AB 为直径为圆上，设AB 的中点为M ，由AB 的坐标分析可得圆M 的方程，进而分析可得若圆C 上存在唯一一点P 满足AP⊥BP ，则圆C 与圆M 只有一个交点，即两圆外切，由圆与圆的位置关系可得r+1=|MC|= √32+42 =5，计算可得r的值，即可得答案．【解答】：解：根据题意，点A（-1，0），B（1，0），若点P满足AP⊥BP，则点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，则M的坐标为（0，0），|AB|=2，则圆M的方程为x2+y2=1，若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|= √32+42 =5，解可得r=4，故答案为：4．【点评】：本题考查圆与圆的位置关系，注意将原问题转化为两圆的位置关系的问题．12.（填空题，5分）如图，扇形的圆心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和V2之比为 ___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：所得旋转体分别为圆锥和半球中去掉一个圆锥，分别计算所得旋转体的体积即可得出答案．【解答】：解：△AOB绕AO旋转后所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径和高均为R，故V1= 13×πR2×R= πR33，弓形部分绕AO旋转后所得几何体为半球去掉一个圆锥，半球的半径为R，圆锥为△AOB绕AO旋转后所得几何体，故V2= 12×4πR33- πR33= πR33，∴ V1V2=1．故答案为：1．【点评】：本题考查了旋转体的体积计算，属于基础题．13.（填空题，5分）如图，已知AC 与BD 交于点E ，AB || CD ， AC =3√10 ，AB=2CD=6，则当tanA=3时， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：利用三角形相似可得AE=2 √10 ，将 BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再利用向量数量积可得．【解答】：解：易知△ABE∽△CDE ，∴AE ：EC=AB ：CD=6：3=2：1， 又AE+EC=AC=3 √10 ，所以AE=2 √10 ，∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（- 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=- 12 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ • AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=- 12 | AE ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BAD+ 12×36． ∵tanA=3∴cosA= 1secA =√1+tan 2A=√1+9= √1010 ， ∴ BE⃗⃗⃗⃗⃗ • CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =- 12×2 √10 ×6× √1010+18=12． 故答案为：12【点评】：本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.（填空题，5分）已知方程|ln|x-1||=m•（x-1）2，有且仅有四个解：x 1，x 2，x 3，x 4，则m•（x 1+x 2+x 3+x 4）=___ ． 【正确答案】：[1] 4e【解析】：作出两侧函数的图象，根据对称性可知x 1+x 2+x 3+x 4=4，根据图象有4个交点可知两图象相切，利用导数的几何意义求出m 即可计算答案．【解答】：解：令f （x ）=|ln|x-1||，g （x ）=m （x-1）2， 则f （x ）与g （x ）的图象均关于直线x=1对称， ∴x 1+x 2+x 3+x 4=4，作出f （x ）与g （x ）的函数图象如图所示： ∵方程|ln|x-2||=m （x-2）2有且仅有四个解， ∴y=m （x-1）2与y=ln （x-1）相切，设切点为（x 0，y 0），则 {y 0=m(x 0−1)2y 0=ln (x 0−1)2m (x 0−1)=1x 0−1，解得x 0= √e +1 ，m= 1e ．∴m（x1+x2+x3+x4）= 4．e．故答案为：4e【点评】：本题考查了方程的根与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．15.（问答题，14分）在四棱锥S-ABCD中，SA⊥面ABCD，底面ABCD是菱形．（1）求证：面SAC⊥面SBD；NS，求证：SC || 面BMN．（2）若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN=12【正确答案】：【解析】：（1）推导出SA⊥BD，AC⊥BD，由此能证明BD⊥面SAC，从而面SAC⊥面SBD．（2）推导出AD || BC，NE || SC，由此能证明SC || 面BMN．【解答】：证明：（1）因为SA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，所以SA⊥BD，………………………………（2分）又因为底面ABCD是菱形，得AC⊥BD，由SA，AC都在面SAC内，且SA∩AC=A，所以BD⊥面SAC，………………………………（5分）由BD⊂面SAC，得面SAC⊥面SBD；…………（7分）（2）由底面ABCD是菱形，得AD || BC所以AEEC =AMBC=AMAD=12………………（9分）又因为AN=12NS，所以AEEC =ANNS=12，所以NE || SC…，………………………（11分）因为NE⊂面BMN，SC⊄面BMN，所以SC || 面BMN．………………………………（14分）【点评】：本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.（问答题，14分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin2A+B2- √3 sinC=1，a= √3，b=4．（1）求角C的大小和BD的长；（2）设∠ACB的角平分线交BD于E，求△CED的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanC= √33，结合范围C∈（0，π），可求C 的值，由余弦定理可得BD 的值．（2）由（1）可知BD 2+BC 2=4=CD 2，可求∠DBC= π2 ，可得S △DBC = √32，利用三角形的面积公式可求S △BCE = √32 S △CED ，代入S △BCE +S △CED =S △BCD = √32 ，即可解得S △CED 的值．【解答】：解：（1）∵由题意可得： √3 sinC+1-2sin 2 A+B2=0， ∴ √3 sinC+cos （A+B ）=0， 又A+B=π-C ，∴ √3 sinC-cosC=0，可得tanC= √33 ，∵C∈（0，π）， ∴C= π6 ，∴在△BCD 中，由余弦定理可得：BD 2=3+4-2× √3×2×cos π6 =1， 解得：BD=1，（2）由（1）可知BD 2+BC 2=4=CD 2， ∴∠DBC= π2 ，∴S △DBC = 12 BD•BC= √32 ， ∵CE 是∠BCD 的角平分线， ∴∠BCE=∠DCE ，在△CEB 和△CED 中，S △BCE = 12BC •CE •sin∠BCE ， S △CED = 12CD •CE •sin∠DCE ， 可得： S △BCE S △CED= BE DE = √32 ，∴S △BCE = √32 S △CED ，∴代入S △BCE +S △CED =S △BCD = √32，（1+ √32）S △CED = √32， ∴S △CED = √32+√3= √3 （2- √3 ）=2 √3 -3．【点评】：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．17.（问答题，14分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB=4米，AD=3米，设AN的长为x米（x＞3）．（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积．【正确答案】：【解析】：（1）求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值．【解答】：解：设AN的长为x米（x＞3）∵ABCD是矩形，∴ |DN||AN|=|DC||AM|，∴|AM|= 4xx−3∴S AMPN=|AN|•|AM|= 4x2x−3（x＞3）----------（4分）（1）由S AMPN＞54，得4x2x−3＞54，∵x＞3，∴（2x-9）（x-9）＞0∴3＜x＜92或x＞9∴AN长的取值范围是(3，92)∪(9，+∞）-----------（8分）（2）令y= 4x 2x−3，令t=x-3（t＞0）），则x=t+3----------（10分）∴y= 4(t+3)2t = 4(t+9t+6)≥48当且仅当t= 9t （t ＞0），即t=3时取等号．----------（14分） 此时AN=6，AM=8，最小面积为48平方米．----------（16分）【点评】：本题考查矩形面积的计算，考查解不等式，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，属于中档题．18.（问答题，16分）已知圆C ：x 2+y 2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y-1=0对称，圆心C 在第二象限，半径为 √2 ． （1）求圆C 的方程；（2）是否存在直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意，求得圆心C （- D2 ，- E2 ）在x+y-1=0上，且半径r= 12 √D 2+E 2−12 = √2 ．联解得D 、E 的值，即可得到圆C 的标准方程；（2）按直线l 经过原点、不经过原点两种情况加以讨论，分别设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式建立关于参数k 、m 的等式，解之即可得到满足条件的直线l 方程．【解答】：解：（1）将圆C 化成标准方程，得（x+ D2 ）2+（y+ E2 ）2= 14 （D 2+E 2-12） ∴圆C 的圆心坐标为（- D2 ，- E2 ），半径r= 12 √D 2+E 2−12 ∵圆C 关于直线x+y-1=0对称，半径为 √2 ． ∴- D2 - E2 -1=0且 12 √D 2+E 2−12 = √2 ， 解之得 {D =2E =−4 或 {D =−4E =2结合圆心C 在第二象限，得C 的坐标为（-1，2），（舍去C （1，-2）） ∴圆C 的方程是（x+1）2+（y-2）2=2 （2）当直线l 过原点时，设为y=kx ，√1+k 2 = √2 ，解之得k= 2±√6 ，得直线l 方程为y=（ 2±√6 ）x ，当直线l 不过原点时，设l ：x+y-m=0√2= √2 ，解之得m=-1或3此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0综上所述，与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=（2±√6）x或x+y+1=0或x+y-3=0．【点评】：本题给出圆C满足的条件，求圆C方程并求与圆C相切的直线l方程，着重考查了圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．19.（问答题，16分）如图，椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B1=4，直线y=x+ √2与圆O：x2+y2=b2相切．（1）求椭圆C的离心率；（2）若P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交直线B2P于点E，问直线EF是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）根据直线与圆相切计算b，结合菱形面积计算a，从而可求出椭圆的离心率；（2）设AP斜率为k，用k表示出P点坐标，得出直线B2P的方程，联立方程组求出E点坐标得出直线EF的方程，从而得出结论．【解答】：解：（1）∵直线y=x+ √2与圆O：x2+y2=b2相切，∴ √2√2=b，即b=1，又S四边形A1B2A2B1 = 12ab×4=2a=4，∴a=2，∴c= √a2−b2 = √3，∴椭圆C的离心率e= ca = √32．（2）A1（-2，0），B1（0，-1），B2（0，1），直线A1B1的方程为y=- 12x-1，由题意可知直线A 1P 存在斜率且斜率不为0， 设直线A 1P 的方程为y=k （x+2），则F （0，2k ），联立方程组 {y =k (x +2)x 24+y 2=1 ，消去x 可得（4+ 1k 2 ）y 2- 4k y=0，∴y=0或y= 4k 4k 2+1 ， 把y= 4k4k 2+1 代入y=k （x+2）可得x= 2−8k 24k 2+1 ，故P （ 2−8k 24k 2+1 ， 4k4k 2+1 ），∴直线B 2P 的方程为y= 4k−1−4k 22−8k 2x+1， 联立方程组 {y =4k−1−4k 22−8k 2x +1y =−12x −1，解得 {x =−2−1k y =12k，故E （-2- 1k ， 12k ），∴直线EF 的方程为y=2k−12x+2k ， ∴直线EF 过定点（-2，1）．【点评】：本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知函数f （x ）=ax- 1x -lnx ，g （x ）=ax-a （a∈R ）． （1）若a=0，求函数f （x ）在 (1e ，e) （e 为自然对数的底数）上的零点个数； （2）若方程f （x ）=g （x ）恰有一个实根，求a 的取值集合；（3）若方程f （x ）=g （x ）有两个不同的实根x 1，x 2（x 1＜x 2），求证：2＜x 1+x 2＜3e a-1-1．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数f （x ）的导函数f'（x ），得到单调性和极值点，根据极值点的正负即可判断出函数f （x ）在 (1e ，e) 的零点个数．（2）令φ（x ）=f （x ）-g （x ），求得函数φ（x ）的导数，求得单调区间和最大值，通过最大值的符号，讨论a 的大小，即可得到a 的取值；（3）先证x 1+x 2＞2．依题设，有a= 1x 1+lnx 1= 1x 2+lnx 2，整理，构造函数g （x ）=x 2−12x-lnx ，x ＞1．通过导数判断单调性，即可得证；再证x 1+x 2＜3e a-1-1，仿（1）知，p 是h （x ）的唯一最大值点，故有 {ℎ(p )＞0x 1＜p ＜x 2 ，作函数m （x ）=lnx- 2(x−p )x+p -lnp ，通过导数判断单调性，整理，变形，即可得证．【解答】：解：（1）当a=0时，f （x ）= −1x −lnx ，x ∈(1e ，e) ， ∴f'（x ）=1x 2−1x =1−xx 2，令f'（x ）=0得，x=1，∴当x ∈(1e ，1) 时，f'（x ）＞0，函数f （x ）单调递增；当x∈（1，e ）时，f'（x ）＜0，函数f （x ）单调递减，∴当x=1时，f （x ）极大值=f （1）=-1＜0，∴函数f （x ）在 (1e ，e) 上恒小于0，所以函数f （x ）在（ 1e ，e ）上无零点．（2）令φ（x ）=f （x ）-g （x ）=- 1x −lnx +a ，则φ′（x ）= 1−xx 2 ，令φ′（x ）=0，得x=1． 当x ＞1时，φ′（x ）＜0，φ（x ）在（1，+∞）上单调递减；当0＜x ＜1时，φ′（x ）＞0，φ（x ）在（0，1）上单调递增， 故φ（x ）max =φ（1）=a-1，① 当a-1=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设； ② 当a-1＜0，即a ＜1时，φ（x ）＜0恒成立，不符合题设；③ 当a-1＞0，即a ＞1时，一方面，∃e a ＞1，φ（e a ）=- 1ea ＜0；另一方面，∃e -a ＜1，φ（e -a ）≤2a -ea ＜0（易证：e x ≥ex ），于是，φ（x ）有两零点，不合题设． 综上所述，a 的取值集合为{1}． （3）证明：先证x 1+x 2＞2，依题设，有a= 1x 1 +lnx 1= 1x 2 +lnx 2，于是x 2−x 1x 2x 1 =ln x2x 1， 记 x2x 1=t ，t ＞1，则lnt= t−1tx 1，故x 1= t−1tlnt ，于是x 1+x 2=x 1（t+1）= t 2−1tlnt ，x 1+x 2-2= 2(t 2−12t−lnt)lnt，记函数g （x ）= x 2−12x-lnx ，x ＞1， 因g′（x ）=(x−1)22x 2＞0，故g （x ）在 （1，+∞）上单调递增，于是，t ＞1时，g （t ）＞g （1）=0， 又lnt ＞0，所以，x 1+x 2＞2， 再证x 1+x 2＜3e a-1-1，f （x ）=0⇔h （x ）=ax-1-xlnx=0，故x 1，x 2也是h （x ）=0的两个零点， 由h′（x ）=a-1-lnx=0，得x=e a-1（记p=e a-1）， 仿（1）知，p 是h （x ）的唯一最大值点，故有 {ℎ(p )＞0x 1＜p ＜x 2，作函数m （x ）=lnx- 2(x−p )x+p-lnp ，则m′（x ）= (x−p )2x (x+p)2 ≥0，故m （x ）单调递增，当x＞p时，m（x）＞m（p）=0；当0＜x＜p时，m（x）＜0，+x1lnp，于是，ax1-1=x1lnx1＜2x1(x1−p)x1+p整理，得（2+lnp-a）x12-（2p+ap-plnp-1）x1+p＞0，即x12-（3e a-1-1）x1+e a-1＞0，同理x22-（3e a-1-1）x2+e a-1＜0，故x22-（3e a-1-1）x2+e a-1＜x12-（3e a-1-1）x1+e a-1，即（x2+x1）（x2-x1）＜（3e a-1-1）（x2-x1），于是x1+x2＜3e a-1-1，综上，2＜x1+x2＜3e a-1-1．【点评】：本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的零点的求法和取值范围，同时考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，运用构造函数判断单调性是解题的关键，属于中档题．。
江苏省启东中学2019-2020高三第二学期期初学生素质调研测试数学试卷(解析版)word
2019-2020高三第二学期期初学生素质调研测试高三数学试卷 Ⅰ参考公式：正棱锥的侧面积公式：S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 是正棱锥底面的周长，h ′为斜高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 是底面面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1． 已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A ð＝ ▲ ． 2． 复数3i i+（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．3． 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．4． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ． 5． 函数()22log 43y x x =+-的定义域为 ▲ ． 6． 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中， 准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦 教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ． 7． 已知抛物线y 2=8x的焦点恰好是双曲线()22102y x a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ．S ←1 I ←0While I ＜7 S ←S ＋2I I ←I ＋2 End While Print S（第4题）注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。
江苏省启东中学2019-2020学年高一下学期期初考试数学试题(普通班)(含答案)
江苏省启东中学2019-2020第二学期期初考试高一数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：产量(万件)x 234单位成本(元件)y /3a 7现根据表中所提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则值等于( )y x ˆ21y x =-a A ．B ．C ．D ．4.55 5.562. 直线x cos α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )3A.∪ B.∪ C. D.[π6，π2][π2，5π6][0，π6][5π6，π)[0，5π6][π6，5π6]3. 掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M ＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N ＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )A ．P (M )＝，P (N )＝B ．P (M )＝，P (N )＝13121334C ．P (M )＝，P (N )＝D ．P (M )＝，P (N )＝123412124. 已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)5. 在中，，则BC 边上的中线AD 的长为 ABC ∆2,60AC BC B === ()A ．1BC ．2D 6. 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝2，3则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝07. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m8. 已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程 f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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江苏省启东中学2019-2020学年高一数学下学期期初考试试题（创新班）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC ∆中，7AC =，2BC =，60B =o ，则BC 边上的中线AD 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．72．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中 “努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ） A ．定B ．有C ．收D ．获3．直线cos 320x y α++=的倾斜角的范围是（ ）A ．π[6，π5π][26U ，π)B ．[0，π5π][66U ，π)C ．[0，5π]6D ．π[6，5π]64．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是（ ） A ．1D O ∥平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为25．已知直线2y x =是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为（ ）A ．(－2，4)B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水 柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在 B 点测得水柱顶端的仰角为30︒，则水柱的高度是（ ）A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m7．已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示（ ） A ．过点P 1且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线8．如图，2π3BAC ∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且()AP xAD y AE x y =+∈R u u u r u u u r u u u r、，则x y +的取值范围是（ ） A ．[1，423]+ B ．[423-，423]+ C ．[1，23]+D ．[23-，23]+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β．若αβ∥，a α⊂，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．α与β内所有直线平行B ．α与β内的无数条直线平行C ．α与β内的任意直线都不垂直D ．α与β没有公共点10．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的命题是（ ） A ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆一定是等边三角形 B ．若cos cos a A b B =，则ABC ∆一定是等腰三角形 C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC ∆一定是等腰三角形D ．若222+a b c >，则ABC ∆一定是锐角三角形11．下列说法正确的是（ ） A ．直线20x y --=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B ．点(0， 2)关于直线1y x =+的对称点为(1，1) C ．过1(x ，1)y 、2(x ，2)y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=--D ．经过点(1，1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=12．设有一组圆224*:(1)()()k C x y k k k -+-=∈N ．下列四个命题正确的是（ ） A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 13．直线3x －4y ＋5＝0关于点M (2，－3)对称的直线的方程为 ． 14．已知圆1C ：229x y +=，圆2C ：224x y +=，定点(1M ，0)，动点A 、B 分别在圆2C 和圆1C 上，满足90AMB ︒∠=，则线段AB 的取值范围 ．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________. (本题第一空2分，第二空3分)16．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1，1)，B (1，－1)，点P 为圆(x －4)2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则12S S 的最小值是________． 四、解答题：本题共6小题，共70分． 17．(本小题满分10分)已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2sin cos cos b C a C c A =+，2π3B =，3c =． ⑴求角C ；⑵若点E 满足2AE EC =u u u r u u u r，求BE 的长．18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点． ⑴求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；⑵若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．19． (本小题满分12分)已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3，4)．⑴证明直线l过某定点，并求该定点的坐标；⑵当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．20．(本小题满分12分)树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB BC a==(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M CD∈）方向以速度μ进行追击(μ为正常数)，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．⑴求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积()S a；⑵若兔子要想不被狼吃掉，求θ(DACθ=∠的取值范围．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9，0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21．⑴求圆O1的标准方程；⑵求过点M(5，5)且与圆O1相切的直线的方程；⑶已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1．若dd1＝2，求证：直线l过定点．22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2，4)，圆O ：x 2＋y 2＝4与x 轴的正半轴的交点是Q ，过点P 的直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ． ⑴若直线l 与y 轴交于D ，且DP →·DQ →＝16，求直线l 的方程； ⑵设直线QA ，QB 的斜率分别是k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；⑶设AB 的中点为M ，点N （43，0），若MN ＝133OM ，求△QAB 的面积．江苏省启东中学高一创新班数学答案（2020.4.8）一：单项选择题：1：D ，2:B ．，3:B.，4:D ， 5:C ，6:A ，7:C.，8：B . 二：多项选择题：9: BD.10: AC.11:AB12: ABD 三：填空题：13:3x －4y －41＝0.14:[132,132+-]15: （1）π3 (2) 716:2－3 四：解答题：本题共6小题，共70分。
17：【答案】（1）6C π=；（2）1BE =【详解】（1）由题设及正弦定理得2sin sin sin cos sin cos B C A C C A =+， 又()()sin cos sin cos sin sin sin A C C A A C B B π+=+=-=，所以2sin sin sin B C B =.由于sin 02B =≠，则1sin 2C =.又因为03C π<<，所以6C π=.（2）由正弦定理易知sin sin b cB C==，解得3b =. 又因为2AE EC =u u u v u u u v，所以2233AE AC b ==，即2AE =. 在ABC ∆中，因为23B π=，6C π=，所以6A π=，所以在ABE ∆中，6A π=，AB =2AE =由余弦定理得1BE ===，所以1BE =.18:解：(1) 如图，连结A 1C.在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形． 因为N 为线段AC 1的中点， 所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点． 因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN∥BC. 又MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN∥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC. 又AD ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥AD. 因为AD⊥DC 1，DC 1⊂平面BB 1C 1C ， CC 1⊂平面BB 1C 1C ，CC 1∩DC 1＝C 1， 所以AD⊥平面BB 1C 1C.又BC ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD⊥BC. 又由(1)知，MN ∥BC ，所以MN⊥AD.19: 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5. 故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.20:答案, (2)21:答案(1)(x －9)2＋y 2＝16；(2)y ＝－940x ＋498或x ＝5；(3)直线l 过定点(18,0)或直线l 过定点(6,0)．解析(1)由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16.(2)①当切线的斜率不存在时，直线方程为x ＝5符合题意；②当切线的斜率存在时，设直线方程为y －5＝k (x －5)，即kx －y ＋(5－5k )＝0，因为直线和圆相切，所以d ＝|5＋4k |k 2＋1＝4，解得k ＝－940，从而切线方程为y ＝－940x ＋498.故切线方程为y ＝－940x ＋498或x ＝5(3)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则圆心O ，圆心O 1到直线l 的距离分别为h ＝|m |1＋k 2，h 1＝|9k ＋m |1＋k 2，从而d ＝264－m 21＋k 2，d 1＝216－(9k ＋m )21＋k 2.由d d 1＝2，得d 2d 21＝64－m 21＋k 216－(9k ＋m )21＋k 2＝4，整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )，即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ，因此直线l 过点定点(18,0)或直线l 过定点(6,0)． 22:答案(1)y ＝3x －2；(2)－1；(3)4.解析(1)若直线l 垂直于x 轴，则方程为x ＝2，与圆只有一个交点，不合题意.(考虑特殊情形) 故l 存在斜率，设直线l 的方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0， 圆心到直线l 的距离d ＝|－2k ＋4|k 2＋1，因为直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ， 所以d ＝|－2k ＋4|k 2＋1<2，解得k >34.(求出k 的范围)又D (0，－2k ＋4)，Q (2,0)，所以DQ →＝(2,2k －4)，DP →＝(2,2k )，所以DP →·DQ →＝4＋2k (2k －4)＝16，解得k ＝3或k ＝－1(舍去)，(利用条件DP →·DQ →＝16，求出k )所以直线l 的方程为y ＝3x －2.(写出直线方程) (2)联立，得(1＋k 2)x 2－4k (k －2)x ＋(2k －4)2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (应用韦达定理)所以k 1＋k 2＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2＝k (x 1－2)＋4x 1－2＋k (x 2－2)＋4x 2－2＝2k ＋4x 1－2＋4x 2－2＝2k ＋4(x 1＋x 2－4)x 1x 2－2×(x 1＋x 2)＋49分(将k 1＋k 2等价变形，用x 1＋x 2，x 1x 2表示)＝2k ＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫4k (k －2)1＋k 2－4(2k －4)2－41＋k 2－2×4k (k －2)1＋k 2＋4＝2k －4×(8k ＋4)16＝2k －2k －1＝－1.即k 1＋k 2的值是－1. (3)设中点M (x 0，y 0)，则由(2)知 (*)又由MN ＝133OM ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－432＋y 20＝139(x 20＋y 20)，化简得x 20＋y 20＋6x 0－4＝0，将(*)代入解得k ＝3.13分(利用条件MN ＝133OM ，求出k )因为圆心到直线l 的距离d ＝|－2k ＋4|k 2＋1＝210，所以AB ＝24－d 2＝6510，(求出AB )Q 到直线l 的距离h ＝2510，所以S △ABQ ＝12AB ·h ＝125，即△QAB 的面积为125.。