2022《创新设计》江苏专用理科高考数学二轮专题复习课件 专题六 概率与统计
高三数学二轮复习建议——专题二：概率统计 PPT课件 图文
目目 录录
CCOONNTTEENNTTSS
1 历年高考分析 22 重点、热点分析 3 复习目标、方案专题 4 命题预测、优题展示
一 高考试题分析
1.1 2012——2017年高考考查内容分析
2 道 小 题
1 道 大 题
年份 题号
理科 考查 内容
题号
文科 考查 内容
2017 年
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
T1 9
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
T14 二项式定理
2016 年
T4 几何概型
T3 古典概型
从文科高考试题看，解答题一般以工农业生产和生活中的实 频数分布、频率与概率、事件的
频数分布、频率与概率、事件的
T19 独立性、互斥事件、分布列、概 T19 独立性、互斥事件、分布列、概
√√
√
古典概型
几何概型 率 随机模拟
√√√ √ √
随机变量间的函数关系
√
√
二 重点、热点分析
重点、热点、规律方法（一）二项式定理
例
1.（1）（2017▪全国卷Ⅰ理科▪T6）
(1
1 x2
)(1
x)6
展开式中
x2
的系数为
A.15
B.20
C.30
D.35
（2）（2016▪全国卷Ⅰ理科▪T14） (2x x )5 的展开式中，x3 的系数是
T1 8
分步乘法计数原理、组合
正态分布、对立事件
T3
函数、频率与概率、分布列、期 望、方差、概率的意义
T 18
数字特征及其意义 几何概型
相关系数、统计、均值、方差、3 σ原则、概率的意义
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第1讲概率课件文苏教版
以由古典概型的概率计算公式可得所求概率为16．
[答案]
1 6
2．从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率 是________ ．
[解析] 取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共
6 种．乘积为 6 的情况有：(1，6)，(2，3)，共 2 种．故所求事件的概率为26＝13．
【解析】 (1)由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则 D＝[－2，3]，则所求概率为35－－（（－－24））＝59．
(2)法一：设分别以 OA，OB 为直径的两个半圆交于点 C，OA 的中点为 D，如图，连
结 OC，DC．
不妨令 OA＝OB＝2，则 OD＝DA＝DC＝1．
在以
OA
为直径的半圆中，空白部分的面积
两年是古典概型，一年是几何概
第 7 题 型，难度以中低档题为主，试题
主要是教材习题的改编．
1．古典概型 古典概型有两个特点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； ②每个基本事件出现的可能性相等．判断满足以上两个特征，便可用古典概型概率公 式 P＝mn 求解．其中，n 是基本事件总数，m 是所求事件所含的基本事件数．
3．几何概型与古典概型的区别是几何概型试验中的可能结果不是有限个，它的特点是 试验结果在一个区域内均匀分布，故随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状 位置无关，只与该区域的大小有关．几何概型中，线段的端点、图形的边界是否包含 在事件之内不影响所求结果．
古典概型 [典型例题] (1)(2019·高考江苏卷)从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服 务，则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是________． (2)(2018·高考江苏卷)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加 活动，则恰好选中 2 名女生的概率为________．
【创新设计】高考数理科(江苏专用)二轮专题复习配套课件：常考问题3
知识与方法
热点与突破
[真题感悟] [考题分析]
知识与方法
热点与突破
1．不等式的解法 (1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋ bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0) 的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定 一元二次不等式的解集． (2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是 找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚 地求解．
热点与突破
3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题 若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 f(x)min>A； 若不等式f(x)<B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上 f(x)max<B； (2)能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立，则等价于在 区间D上f(x)max>A； 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立，则等价于在 区间D上f(x)min<B；
知识与方法
热点与突破
【训练2】 (2013·陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2 所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________． 解析 如图，曲线y＝|x－1|与y＝2所 围成的封闭区域如图中阴影部分，令 z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x， 在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当 经过点(－1,2)时，z取得最小值，此时 z＝2×(－1)－2＝－4. 答案 －4
∴－ －a2a2－ ＋
c＝m， c＝m＋6，
① ②
②－①，得 2 c＝6，∴c＝9.
答案 9
知识与方法
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第4讲算法初步课件文苏教版
[解析] 运行该流程图，x＝1，S＝1；x＝2，S＝5；x＝3，S＝14＞5，结束运行．故输 出 S 的值为 14． [答案] 14
伪代码 [典型例题] (2018·高考江苏卷)一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的 值为________．
【解析】 该伪代码运行 3 次，第 1 次，I＝3，S＝2；第 2 次，I＝5，S＝4；第 3 次， I＝7，S＝8，结束运行．故输出的 S 的值为 8． 【答案】 8
算法语句包括条件语句和循环语句，不论是哪种语句，只要按照语句的算法规则求解 就能顺利解题．
[对点训练] 2．下列伪代码执行后输出的结果是________．
[解析] n 初值是 5，S 初值是 0，每循环一次 n 减 1，S 增加，共循环 5 次，故 n＝0． [答案] 0
Hale Waihona Puke 流程图 [典型例题] (2019·高考江苏卷)如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是________．
【解析】 执行算法流程图，x＝1，S＝12，不满足条件；x＝2，S＝32，不满足条件；x ＝3，S＝3，不满足条件；x＝4，S＝5，满足条件，结束循环，故输出的 S 的值是 5． 【答案】 5
[第二部分 高考20题各个击破]
专题六 概率、统计、复数、算法、 推理与证明 第4讲 算法初步
数学
01
要点整合 夯基释疑
02
导学导练 核心突破
03
专题强化 精练提能
[2019 考向导航]
考点扫描
三年考情 2019 2018 2017
考向预测
1．流程图 第 3 题
第 4 题 江苏高考对算法考查形式是填空题，试题
难度中等偏易，试题主要以考查循环结构
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习专题六概率、统计、复数、算法、推理与证明第2讲统计课件文苏教版
(2)方差： s2＝n1[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]． 标准差： s＝ n1[（x1－－x ）2＋（x2－－x ）2＋…＋（xn－－x ）2]．
抽样方法 [典型例题] (1)(2019·南通市高三调研)为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况， 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 500 的样本，其中大一年级抽取 200 人，大二 年级抽取 100 人．若其他年级共有学生 3 000 人，则该校学生总人数是________． (2)(2019·江苏名校高三入学摸底)某班有学生 45 人，现将所有学生按 1，2，3，…， 45 随机编号，并采用系统抽样的方法从中抽取 5 名学生参加学习情况问卷调查，已知 抽取的学生的编号分别为 3，a，21，b，39，则 a＋b＝________．
[解析] 总体容量为 6＋12＋18＝36． 当样本容量是 n 时，由题意知，系统抽样的间隔为3n6，分层抽样的比例是3n6，抽取的 工程师人数为3n6×6＝n6，技术员人数为3n6×12＝n3，技工人数为3n6×18＝n2，所以 n 应 是 6 的倍数，36 的约数，即 n＝6，12，18． 当样本容量为(n＋1)时，总体容量是 35 人，系统抽样的间隔为n3＋51，因为n3＋51必须是 整数，所以 n 只能取 6．即样本容量 n＝6． [答案] 6
[解析] 依题意，女运动员有 98－56＝42(人)．设应抽取女运动员 x 人，根据分层抽样 特点，得4x2＝2988，解得 x＝12． [答案] 12
2．某公路设计院有工程师 6 人，技术员 12 人，技工 18 人，要从这些人中抽取 n 个人 参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除 个体；如果参会人数增加 1 个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除 1 个个体， 则 n＝________．
【创新设计】高考数理科(江苏专用)二轮专题复习配套课件：常考问题20
b1 00
02＝01
20b.
在曲线 C1 上任意选一点 P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变
换作用下变为 P′(x′，y′)，
知识与方法
热点与突破
则有01 20bxy00＝xy′′，即2x0by0＝xy′′.
＝11，并且 M 对应的变换将点(－1,2)变换成(9,15)，求矩阵 M.
解 设 M＝ac db，则ac db11＝311＝33，故ac＋＋db＝＝33.，
a c
db－12＝159，
知识与方法
热点与突破
方程 y2－2x＋1＝0 比较得，a＝0，b＝1，c＝12，d＝1 或 a＝0，
0 －1
b＝－1，c＝12，d＝－1.所以 M－1＝
1 2
－1，
0 1
或 M－1＝ 1 2
1.
知识与方法
热点与突破
热点三 特征值与特征向量
【例 3】 已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝3 及对应的一个特征向量 e1
(3)如果 λ 是二阶矩阵 M 的特征值，则 λ 是 M 的特征多项式的
一个根，它满足 f(λ)＝0，此时将 λ 代入acxx＋＋dbyy＝＝λλyx， 可得到
一组非零解yx00，它即为 M 的属于 λ 的一个特征向量．
知识与方法
热点与突破
4．熟练掌握二阶矩阵与列向量的运算的运算法则，注意不 能将列向量写在二阶矩阵左边；使用待定系数法过程中 务必注意解方程或方程组的准确性，检验是一个好习 惯．
热点与突破
热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法
【例 2】 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换 成点(－1，－1)与(0，－2)．求矩阵 M 的逆矩阵 M－1.
江苏专用高考数学二轮复习专题六概率统计复数算法推理与证明第3讲复数学案文苏教版
第3讲 复 数[2019考向导航]必记的概念或定理(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数的相等：a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔a ＝c ，b ＝d ．(3)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (4)运算法则：(a ＋b i )±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i )÷(c ＋d i)＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －dac 2＋d2i(c ＋d i ≠0)．(5)复数的模：若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．复数的概念与运算 [典型例题](1)(2019·高考江苏卷)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．(2)(2019·高考江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．(3)(2019·镇江期末)记复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)的共轭复数为z －＝a －b i(a ，b ∈R )，已知z ＝2＋i ，则z －2＝________．【解析】 (1)(a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，因为实部是0，所以a －2＝0，a ＝2． (2)复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，则|z |＝（－1）2＋32＝10． (3)因为z ＝2＋i ，所以z 2＝(2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝3＋4i ， 从而z －2＝3－4i ．【答案】 (1)2 (2)10 (3)3－4i(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[对点训练]1．(2019·苏州期末)已知2＋3ii ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．[解析] 由2＋3ii ＝a ＋b i 得2＋3i ＝－b ＋a i ，从而得a ＝3，b ＝－2， 故a ＋b ＝1． [答案] 12．(2018·高考江苏卷)若复数z 满足i ·z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．[解析] 复数z ＝1＋2ii ＝(1＋2i)(－i)＝2－i 的实部是2．[答案] 2复数的几何意义 [典型例题](1)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．(2)(2019·盐城中学开学考试)记(1＋2i)2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点P (a ，b )位于第________象限．【解析】 (1)因为z 2＝3＋4i ，所以|z 2|＝|z |2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z |＝5． (2)因为a ＋b i ＝－3＋4i ，所以a ＝－3，b ＝4，从而点(a ，b )为(－3，4)，位于第二象限．【答案】 (1) 5 (2)二对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →． (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[对点训练]3．(2019·南京、盐城模拟)已知复数z ＝(2－i)(1＋3i)，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第________象限．[解析] 复数z ＝(2－i)(1＋3i)＝5＋5i ，它在复平面上对应的点的坐标为(5，5)，位于第一象限．[答案] 一4．(2019·南通模拟)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝1(i 为虚数单位)，则z 的模为________． [解析] 因为(3＋4i)z ＝1，所以z ＝13＋4i ＝3－4i 25＝325－425i ，即|z |＝16＋925＝15．[答案] 151．(2019·扬州模拟)已知i 是虚数单位，则1－i（1＋i ）2的实部为________．[解析] 因为1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝－12－12i ，所以1－i （1＋i ）2的实部为－12．[答案] －122．(2019·泰州模拟)复数z 满足i z ＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________． [解析] 因为i z ＝3＋4i ，所以z ＝3＋4i i ＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ．[答案] 4－3i3．(2019·南京、盐城模拟)若复数z ＝a ＋ii(其中i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a ＝________．[解析] 因为z ＝a ＋ii＝1－a i ，它的实部与虚部相等，故－a ＝1，即a ＝－1．[答案] －14．若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝________．[解析] 由已知得z －＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ． [答案] 1－i5．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的________条件．[解析] 若复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．[答案] 必要不充分6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →，其中O 为坐标原点，则|AB →|＝________．[解析] 由题意知A (1，1)，B (－1，3)，故|AB →|＝（－1－1）2＋（3－1）2＝22． [答案] 2 27．(2019·广东实验中学模拟改编)已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别为A (1，2)，B (－1，3)，则z 2z 1＝________．[解析] 由复数的几何意义可知，z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋3i ， 所以z 2z 1＝－1＋3i 1＋2i ＝（－1＋3i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋5i5＝1＋i ．[答案] 1＋i8．设复数z 满足|z |＝|z －1|＝1，则复数z 的实部为________．[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝|z －1|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，（a －1）2＋b 2＝1，两式相减得2a ＝1，a ＝12．[答案] 129．(2019·徐州模拟)已知集合A ＝{x |x 2＋y 2＝4}，集合B ＝{x ||x ＋i|<2，i 为虚数单位，x ∈R }，则集合A 与B 的关系是________．[解析] |x ＋i|＝x 2＋1<2，即x 2＋1<4，解得－3<x <3，所以B ＝(－3，3)，而A＝[－2，2]，所以BA ．[答案] BA10．已知m ∈R ，复数1－mi 在复平面内对应的点在直线x －y ＝0上，则实数m 的值是________．[解析] 1－mi ＝1＋m i ，该复数对应的点为(1，m )，所以1－m ＝0，m ＝1． [答案] 111．(2019·南京调研)定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．[解析] 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2． 故x ＋y i ＝1＋2i 或x ＋y i ＝－1－2i ． [答案] 1＋2i 或－1－2i12．(2019·泰州期末)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．[解析] |z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3． 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝3．[答案] 313．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为________． [解析] |z |＝（x －1）2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时， y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－12×1×1＝π－24．又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－12π．[答案] 14－12π14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题的序号是________． ①若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2； ②若z 1＝z －2，则z －1＝z 2；③若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2; ④若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22．[解析] 由|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，所以z 1＝z 2， 所以z －1＝z －2，故①为真命题； 由于z 1＝z －2，则z －1＝z =2＝z 2，故②为真命题；由|z 1|＝|z 2|，得|z 1|2＝|z 2|2，则有z 1·z －1＝z 2·z －2，故③为真命题，④为假命题．[答案] ①②③。
【创新设计】高考数理科(江苏专用)二轮专题复习配套课件：常考问题2
f(x)＝212－x2＋131x，，xx>≤00，
的图象，
如图所示．直线 y＝mx 的图象是绕坐标原点
旋转的动直线．当斜率 m≤0 时，直线 y＝mx
与函数 f(x)的图象只有一个公共点；
知识与方法
热点与突破
当 m>0 时，直线 y＝mx 始终与函数 y＝2－13x(x≤0)的图象有一个 公共点，故要使直线 y＝mx 与函数 f(x)的图象有三个公共点，必须 有直线 y＝mx 与函数 y＝12x2＋1(x>0)的图象有两个公共点，即方程 mx＝12x2＋1，在 x>0 时有两个 不相等的实数根，即方程 x2－2mx＋2＝0 的判别式 Δ＝4m2－4×2>0，且 m>0，解得 m> 2.故所求实数 m 的取值范 围是 2，＋∞. 答案 ( 2，＋∞)
知识与方法
热点与突破
2．应用函数模型解决实际问题的一般程序
读题
建模
求解
反馈
文字语言⇒数学语言⇒数学应用⇒检验作答
与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等
实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解
答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函
数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．
常考问题2 函数与方程及函数的应用
知识与方法
热点与突破
[真题感悟] [考题分析]
知识与方法
热点与突破
1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对 于 函 数 f(x) ， 我 们 把 使 f(x) ＝ 0 的 实 数 x 叫 做 函 数 f(x) 的 零 点． (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数 y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习——专题一 函数与导数、不等式(课件+提升训练)(共33张P
第5讲 导数与实际应用及不等式问题一、填空题1．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )＞0，得x ＞4或x ＜0.∴f (x )在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增，∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4)．∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞2．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是________． 解析 ∵2x(x －a )＜1，∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．答案 (－1，＋∞)3．(2014·江苏卷)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析 作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，04．(2015·南师附中调研)已知函数f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋43，直线l ：9x ＋2y ＋c ＝0，若当x ∈[－2，2]时，函数y ＝f (x )的图象恒在直线l 下方，则c 的取值范围是________．解析 根据题意知13x 3－x 2－3x ＋43＜－92x －c 2在x ∈[－2，2]上恒成立，则－c 2＞13x 3－x 2＋32x ＋43， 设g (x )＝13x 3－x 2＋32x ＋43， 则g ′(x )＝x 2－2x ＋32， 则g ′(x )＞0恒成立，所以g (x )在[－2，2]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (2)＝3，则c ＜－6.答案 (－∞，－6)5．如图，某飞器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为______________．解析 设所求解析式为y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， ∵函数图象过(0，0)点，∴d ＝0. 又图象过(－5，2)，(5，－2)， ∴函数为奇函数．∴b ＝0，代入可得－125a －5c ＝2，①又y ′＝3ax 2＋c ，当x ＝－5时，y ′＝75a ＋c ＝0，② 由①②得a ＝1125，c ＝35， ∴函数解析式为y ＝1125x 3－35x .答案 y ＝1125x 3－35x6．(2015·全国Ⅱ卷改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f （x ）x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f （x ）x ＜0⇔f (x )＞0.综上，得使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．答案 (－∞，－1)∪(0，1)7．(2015·苏、锡、常、镇模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x ＞0时，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减．因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4.当x ＜0时，即x ∈[－1，0)时， 同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1，0)上单调递增，所以g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4.答案 48．(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．解析 由于f ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0，因此函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以x ∈[0，1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1，2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1，2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1，2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞二、解答题9．(2015·天津卷改编)已知函数f (x )＝nx －x n ，x ∈R ，其中n ∈N *，n ≥2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)设曲线y ＝f (x )与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g (x )，求证：对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )．(1)解 由f (x )＝nx －x n ，可得f ′(x )＝n －nx n －1＝n (1－x n －1)．其中n ∈N *，且n ≥2，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时．令f ′(x )＝0，解得x ＝1，或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：②当n 为偶数时．当f ′(x )＞0，即x ＜1时，函数f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞1时，函数f (x )单调递减；所以，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)证明 设点P 的坐标为(x 0，0)， 则x 0＝n1n －1，f ′(x 0)＝n －n 2. 曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)， 即g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)．令F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)， 则F ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)．由于f ′(x )＝－nx n －1＋n 在(0，＋∞)上单调递减， 故F ′(x )在(0，＋∞)上单调递减， 又因为F ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，F ′(x )＞0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在(0，x 0)内单调递增， 在(x 0，＋∞)上单调递减， 所以对于任意的正实数x ， 都有F (x )≤F (x 0)＝0， 即对于任意的正实数x ，都有f (x )≤g (x )．10．(2015·苏州调研)根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式p ＝⎩⎪⎨⎪⎧215－x，1≤x ≤9，x ∈N *，x 2＋60540，10≤x ≤20，x ∈N *(日产品废品率＝日废品量日产量×100%)已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元(该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额)． (1)将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解 (1)由题意可知y ＝2x (1－p )－px ＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x，1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180，10≤x ≤20，x ∈N *.(2)考虑函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x ，1≤x ≤9，53x －x 3180，10≤x ≤20，当1≤x ≤9时，f ′(x )＝2－90（15－x ）2，令f ′(x )＝0，得x ＝15－3 5.当1≤x ＜15－35时，f ′(x )＞0，函数f (x )在[1，15－35)上单调递增； 当15－35＜x ≤9时，f ′(x )＜0， 函数f (x )在(15－35，9]上单调递减．所以当x ＝15－35时，f (x )取得极大值，也是最大值， 又x 是整数，f (8)＝647，f (9)＝9， 所以当x ＝8时，f (x )有最大值647.当10≤x ≤20时，f ′(x )＝53－x 260＝100－x260≤0，所以函数f (x )在[10，20]上单调递减，所以当x ＝10时，f (x )取得极大值1009，也是最大值．由于1009＞647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是1009千元．11．已知函数f (x )＝mxx 2＋n(m ，n ∈R )在x ＝1处取得极值2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝ln x ＋ax ，若对任意的x 1∈R ，总存在x 2∈[1，e]，使得g (x 2)≤f (x 1)＋72，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝m （x 2＋n ）－2mx 2（x 2＋n ）2＝mx 2－2mx 2＋mn （x 2＋n ）2＝－mx 2＋mn （x 2＋n ）2，由于f (x )在x ＝1处取得极值2，故f ′(1)＝0，f (1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧mn －m（1＋n ）2＝0，m 1＋n＝2，解得⎩⎨⎧m ＝4，n ＝1，经检验，此时f(x)在x＝1处取得极值．故f(x)＝4xx2＋1.(2)由(1)知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数，f(0)＝0.当x＞0时，f(x)＞0，f(x)＝4x＋1x≤2，当且仅当x＝1时取“＝”．故f(x)的值域为[－2，2]，从而f(x1)＋72≥32.依题意有g(x)min≤32，x∈[1，e]，g′(x)＝1x－ax2＝x－ax2，①当a≤1时，g′(x)≥0，函数g(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为g(1)＝a≤1＜3 2，符合题意；②当1＜a＜e时，函数g(x)在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，所以函数g(x)的最小值为g(a)＝ln a＋1.由ln a＋1≤32，得0＜a≤e，从而知当1＜a≤ e 时，符合题意；③当a≥e时，显然函数g(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为g(e)＝1＋ae≥2＞32，不符合题意．综上所述，a的取值范围为(－∞，e]．。
【创新设计】高考数理科(江苏专用)二轮专题复习配套课件：常考问题18
知识与方法
热点与突破
【训练 1】 (2013·南京模拟)已知数列{an}的首项为 1， p(x)＝a1C0n(1－x)n＋a2C1nx(1－x)n－1＋a3C2nx2(1－x)n－2＋… ＋anCnn－1xn－1(1－x)＋an＋1Cnnxn (1)若数列{an}是公比为 2 的等比数列，求 p(－1)的值； (2)若数列{an}是公比为 2 的等差数列，求证：p(x)是关于 x 的 一次多项式．
知识与方法
热点与突破
(2)证明 若数列{an}是公差为 2 的等差数列，则 an＝2n－1. p(x)＝a1C0n(1－x)n＋a2C1nx(1－x)n－1＋…＋anCnn－1xn－1·(1－x)＋ an＋1Cnnxn ＝C0n(1－x)n＋(1＋2)C1nx(1－x)n－1＋(1＋4)C2nx2(1－x)n－2＋… ＋(1＋2n)Cnnxn ＝[C0n(1－x)n＋C1nx(1－x)n－1＋Cn2x2(1－x)n－2＋…＋Cnnxn]＋ 2[C1nx(1－x)n－1＋2C2nx2(1－x)n－2＋…＋Cnnxn]． 由二项式定理知， C0n(1－x)n＋C1nx(1－x)n－1＋C2nx2(1－x)n－2＋…＋Cnnxn＝ [(1－x)＋x]n＝1.
知识与方法
热点与突破
解得：cos(k＋1)A＝2cos kAcos A－cos(k－1)A ∵cos A，cos kA，cos(k－1)A 均是有理数， ∴2cos kAcos A－cos(k－1)A 是有理数， ∴cos(k＋1)A 是有理数． 即当 n＝k＋1 时，结论成立． 综上所述，对于任意正整数 n，cos nA 是有理数.
知识与方法
热点与突破
(4)用数学归纳法证明整除性问题时，可把n＝k＋1时的被除 式变形为一部分能利用归纳假设的形式，另一部分能被除式 整除的形式. (5)解题时经常用到“归纳——猜想——证明”的思维模式．
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概率与统计 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机大事的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式消灭，B级要求．
真 题 感 悟 1．(2021·江苏卷)袋中有外形、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． 解析 用a表示1只白球，b表示1只红球，c1，c2表示2只黄球，从中一次随机摸出2只球的全部基本大事有如下6种：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，其中除了(c1，c2)余下的5种均表示取出的两球颜色不同，故所求概率为56. 答案 56 2．(2022·江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________． 解析 取两个数的全部状况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种状况． 乘积为6的状况有：(1，6)，(2，3)，共2种状况． 所求大事的概率为26＝13. 答案 13 3．(2021·江苏卷)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________． 解析 这组数据的平均数为16(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6. 答案 6 4．(2022·江苏卷)为了了解一片经济林的生长状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
解析 由频率分布直方图可知，抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24. 答案 24
考 点 整 合 1．概率问题 (1)求某些较简单的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的大事的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此大事A的对立大事A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解； (2)用列举法把古典概型试验的基本大事一一列出来，然后再求出大事A中的基本大事，利用公式P(A)＝mn求出大事A的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必需依据某一挨次做到不重复，不遗漏； (3)求几何概型的概率，最关键的一步是求大事A所包含的基本大事所占据区域的测度，这里需要解析几何的学问，而最困难的地方是找出基本大事的约束条件． 2．统计问题 (1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简洁随机抽样、系统抽样和分层抽样； (2)用样本频率分布来估量总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估量总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用； (3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够呈现数据分布状况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太便利了．
热点一 统计中的命题热点 [微题型1] 抽样方法 【例1－1】 (1)(2021·湖南卷改编)在一次马拉松竞赛中，35名运动员的成果(单位：分钟)的茎叶图如图所示 13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 9 14 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 8 15 0 1 2 2 3 3 3 若将运动员按成果由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成果在区间[139，151]上的运动员人数是________． (2)(2021·北京卷改编)某校老年、中年和青年老师的人数见下表，接受分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，青年老师有320人，则该样本中的老年老师人数为________. 类别 人数 老年老师 900
中年老师 1 800 青年老师 1 600
合计 4 300
解析 (1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名． (2)由题意抽样比为3201 600＝15， ∴该样本的老年老师人数为900×15＝180(人)． 答案 (1)4 (2)180 探究提高 系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例． [微题型2] 用样本估量总体 【例1－2】 (2021·湖北卷)某电子商务公司对10 000名网络购物者2022年度的消费状况进行统计，发觉消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________； (2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 解析 由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为：0.6×10 000＝6 000，故应填3，6 000. 答案 (1)3 (2)6 000 探究提高 频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，求解此类问题的关键是精确 把握数与形的相关转换，留意频率分布直方图中每一个小矩形都是等宽的，且宽都等于组距，高是“频率组距”．因此，每一个小矩形的面积表示这一组的频率，全部小矩形的面积之和等于1. 【训练1】 (1)(2021·江苏卷)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成果(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成果较为稳定(方差较小)的那位运动员成果的方差为________． (2)(2022·山东卷改编)为了争辩某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．全部志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的挨次分别编号为第一组，其次组，……，第五组．如图是依据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与其次组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．
解析 (1)对于甲，平均成果为x－甲＝15(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差为s2甲＝15(32＋12＋02＋12＋32)＝4；对于乙，平均成果为x－乙＝15(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
所以方差为s2乙＝15(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成果稳定． (2)全体志愿者共有200.24＋0.16＝200.4＝50(人) 所以第三组有志愿者0.36×1×50＝18(人) ∵第三组中没有疗效的有6人， ∴有疗效的有18－6＝12(人)． 答案 (1)2 (2)12 热点二 概率中的命题热点 [微题型1] 古典概型 【例2－1】 (1)(2021·广东卷改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________． (2)(2021·江苏卷)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________． 解析 (1)5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p＝610＝0.6. (2)基本大事总数为N＝7×9＝63，其中m，n都为奇数的大事个数为M＝4×5＝20，所以所求概率p＝MN＝2063. 答案 (1)0.6 (2)2063 探究提高 求古典概型的概率的关键是求试验的基本大事的总数和大事A包含的基本大事的个数，这就需要正确列出基本大事，基本大事的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可依据需要机敏选择． [微题型2] 几何概型 【例2－2】 (2021·陕西卷改编)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________． 解析 由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，
由几何概型概率公式可得所求概率为： p＝14π×12－12×12π×12＝π4－12π ＝14－12π. 答案 14－12π 探究提高 几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解经常用到线性规划学问，也就是用二元一次不等式(或其他简洁不等式)组表示区域．几何概型的试验中大事A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和外形无关． 【训练2】 (1)(2022·新课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________． (2)(2022·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． (3)设a，b是区间[0，3]上的两个随机数，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1没有公共点的概率是________． 解析 (1)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的全部可能状况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的全部可能状