小议三角形中位线定理的几种证明方法

小议三角形中位线定理的几种证明方法

三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。

下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点

求证：⑴DE∥BC⑵DE=BC

证明方法1：

∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE

∴==

∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC ==

∴DE∥BCDE=BC

[小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。

证明方法2：

延长DE至F，使EF=DE，连接CF

∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF

∴△ADE≌△CEF

∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD

∵∠ADE=∠CFE

∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD

∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC

∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC

[小结] 用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。

证明方法3：（同第二种方法的图）

过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F

∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE

∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD

∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）

[小结] 作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。

证明方法4

过点E作EG∥AB，交BC于G

∵EG∥AB，∴△CEG ～△CAB，∴===

∵=，∴EG=BD，∵EG∥BD，∴四边形BGED是平行四边形

∴DE=BG=BC，DE∥BC

[小结] 作平行线的方法构造相似三角形，利用相似三角形、平行四边形的判定和性质。

证明方法5：

作BC的中点G，连接GE并延长，过点A作AH∥BC，与GE的延长线相交于H

∵AH∥BC，∴∠AHE=∠CGE

∵∠AEH=∠CEG，AE=CE

∴△AEH≌△CEG（AAS）

∴AH=CG，EH=GE=GH，

∵CG=BG，∴AH=BG，∵AH∥BG，∴四边形ABGH是平行四边形

∴AB=GH，AB∥GH，∵BD=AB，GE=GH

∴BD=GE，∵AB∥GH，∴BD∥GE

∴四边形DBGE是平行四边形

∴DE∥BG，DE=BG，∴DE∥BC，DE=BC

[小结]构造全等三角形和平行四边形，并利用其有关知识解决问题。

证明方法6：

延长DE至F,使DE=EF，∵AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD=CF，AD∥CF∵AD=BD，∴BD=CF，∵AD∥CF，∴AB∥CF，∴BD ∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC

∵DE=EF=DF，∴DE=BC，DE∥BC

[小结]利用对角线互相平分构造平行四边形

证明方法7:

过点D作DE憽蜝C，∵DE挕蜝C，∴△ADE挕鰽BC

∴===，∵=

∴==，∴AE=AE?∴点E和点E捴睾?∴DE∥BC，DE=BC

[小结]：利用“同一法”有时会使问题简单化。

了解了上述几种证明方法，我们对三角形的中位线定理有了进一步认识，也对如何作辅助线有了一定程度的感悟。今后，我们要熟练掌握这一定理，并能灵活地运用它解决有关线段平行和倍分问题。

(作者单位: 629000四川省遂宁经济开发区明月小学校)

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