三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛

三角形的五心

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 一．三角形的外心 定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 定理3：锐角三角形的外心在三角形内；

直角三角形的外心在斜边中点；

钝角三角形的外心在三角形外．

定理4：AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=

∠2

1

,21,21 1.如图所示，在锐角ABC ∆中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，O 为ABC ∆的外心. 求证：（1）AEF ∆∽ABC ∆ (2)EF AO ⊥

O F E D

C

B

A

2.设O 为锐角A B C ∆的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则

CN

BM AL 1

11+

+的值是_______________.(设R 为ABC ∆外接圆半径)

二．三角形的内心

定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．

定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 定理3：内切圆半径r 的计算：

设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S

p ．

特别的，在直角三角形中,有 r =1

2

(a +b －c )．

A

B C

O

I

K H

E F

D A

B

C

M

B C D A I

B C E D A 定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2

1

90A BIC ∠+

=∠

B CIA ∠+=∠2190 ，

C AIB ∠+=∠2190 。

3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。证明：D 是ABC ∆的内心.

4.如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数

5.如图，I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交ABC ∆的外接圆于D ，则，DC DB DI ==

6.如图所示，ABC ∆的三边满足关系)(2

1

AC AB BC +=

，I O ,分别为ABC ∆的外心，内心，BAC ∠的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .

求证：（1）BD AI =;(2)AE OI 2

1

=

三．三角形的重心

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）

定理1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 定理2：重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

定理3：重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

定理4：在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

7.证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比

8.设K 是ABC ∆内任意一点，KAB ∆，KBC ∆，KCA ∆的重心分别为F E D ,,，求

ABC DEF s S ∆∆:

A

B

C

D E

F

G

B

F

C 9.若ABC ∆的重心为G ，2=AG ，3=BG ，5=CG ，求ABC ∆的面积.

四．三角形的垂心

三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心． 斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．

三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

定理1：三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 定理2：三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且OG ∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））

定理3：垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 定理4：垂心分每条高线的两部分乘积相等。

10.在ABC ∆中，若7,6,5===CA BC AB ，H 为垂心，求AH 的长。

11.锐角ABC ∆中，已知H 为垂心，AD 为BC 边上的高，E 为BC 中点，若5==BC AD ，试求HE HD +的长.

12.已知ABC Rt ∆中，CD 是斜边AB 上的高，21,,O O O 分别是ABC ∆,ACD ∆,BCD ∆的内心。

求证：（1）21CO O O ⊥ (2)21O O OC ⊥

13.如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF 求证：BC PF ⊥

五．三角形的旁心

三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

定理1：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

定理2：每个三角形都有三个旁心。

定理3：旁心到三边的距离相等。

例题：已知三角形ABC中，角BAC=120度。I是角ABC和角ACB的平分线BE,CF的交点，连接AI交BC于D，证明：角EDF=90度

B A

B C

D

E F

I a