七年级数学代数式专题练习(解析版)
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（2）解：①123 不是“友好数”.理由如下： ∵ 12+21+13+31+23+32＝132≠123， ∴ 123 不是“友好数”； ②十位数字是 9 的“和平数”有 198，297，396，495，594，693，792，891，一个 8 个； 十位数字是 8 的“和平数”有 187，286，385，584，682，781，一个 6 个； 十位数字是 7 的“和平数”有 176，275，374，473，572，671，一个 6 个； 十位数字是 6 的“和平数”有 165，264，462，561，一个 4 个； 十位数字是 5 的“和平数”有 154，253，352，451，一个 4 个； 十位数字是 4 的“和平数”有 143，341，一个 2 个； 十位数字是 3 的“和平数”有 132，231，一个 2 个； 所以，“和平数”一共有 8+（6+4+2）×2＝32 个. 故答案为 32； ③设三位数 既是“和平数”又是“友好数”，
（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） ＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5. 即 x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以 x2﹣5x+5 是“PQ 类整式”
（3）解：∵ x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）， ∴ 该整式为 PQR 类整式. 【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若 a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R 类整 式”；若 a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR 类整式”. （2）根据"PQ 类整式"定义，由 x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q， 据此求出结论. （3） 由 x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.
2． （1）一个两位正整数，a 表示十位上的数字，b 表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），则这个 两位数用多项式表示为（含 a、b 的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新 两位数，则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除. （2）一个三位正整数 F，各个数位上的数字互不相同且都不为 0.若从它的百位、十位、个 位上的数字中任意选择两个数字组成 6 个不同的两位数.若这 6 个两位数的和等于这个三位 数本身，则称这样的三位数 F 为“友好数”，例如：132 是“友好数”. 一个三位正整数 P，各个数位上的数字互不相同且都不为 0，若它的十位数字等于百位数字 与个位数字的和，则称这样的三位数 P 为“和平数”； ①直接判断 123 是不是“友好数”？ ②直接写出共有个“和平数”； ③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数. 【答案】 （1）解：这个两位数用多项式表示为 10a+b， （10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b）， ∵ 11（a+b）÷11＝a+b（整数）， ∴ 这个两位数的和一定能被数 11 整除； （10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b）， ∵ 9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整数）， ∴ 这两个两位数的差一定能被数 9 整除， 故答案为：11，9
________
（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：
①已知：
，求 的值；
②己知：
，求
的值.
【答案】 （1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
（2）解：①把
代入
∴
，
∴
②原式可化为：
∴ ∴ ∴
【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面积=（a-b）（a-b）=
．
方法②：草坪的面积=
∵ 三位数 是“和平数”，
∴ y＝x+z. ∵ 是“友好数”，
∴ 10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，
∴ 22x+22y+22z＝100x+10y+z， ∴ 12y＝78x﹣21z. 把 y＝x+z 代入，得 12x+12z＝78x﹣21z， ∴ 33z＝66x， ∴ z＝2x， 由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是 396，264，132. 【解析】【分析】（1）分别求出两数的和与两数的差即可求解； （2）①根据“友好数”的定义即可判断求解； ②根据“和平数”的定义列举出所有的“和平数”即可求解；
③设三位数 既是“和平数”又是“友好数”，根据“和平数”的定义，得出 y＝x＋z．再由 “友好数”的定义，得出 10x＋y＋10y＋x＋10x＋z＋10z＋x＋10y＋z＋10z＋y＝100x＋10y＋ z，化简即为 12y＝78x−21z．把 y＝x＋z 代入，整理得出 z＝2x，然后从②的数字中挑选出 符合要求的数即可．
3．已知整式 P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以 表示为 aP+bQ+cR（其中 a，b，c 为常数）.则可以进行如下分类 ①若 a≠0，b＝c＝0，则称该整式为 P 类整式； ②若 a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为 PQ 类整式； ③若 a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为 PQR 类整式； （1）模仿上面的分类方式，请给出 R 类整式和 QR 类整式的定义，若，则称该整式为“R 类 整式”，若，则称该整式为“QR 类整式”； （2）说明整式 x2﹣5x+5 为“PQ 类整式； （3）x2+x+1 是哪一类整式？说明理由. 【答案】 （1）解：若 a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R 类整式”. 若 a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR 类整式”. 故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．如图所示,在边长为 a 米的正方形草坪上修建两条宽为 b 米的道路.
（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：
方法①：________ 方法②：________
请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母 a，b 代数式的等式是：
；
Fra Baidu bibliotek
等式为：
故答案为：
，
；
【分析】（1）方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即
可得出答案；方法②是正方形的面积减去两条道路的面积，即可得出剩余草坪的面积；根
据（1）得出的结论可得出
；（2）①分别把
的值和
的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根据题意，把（x-2018）和（x-2020） 变成（x-2019）的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案.
（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） ＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5. 即 x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以 x2﹣5x+5 是“PQ 类整式”
（3）解：∵ x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）， ∴ 该整式为 PQR 类整式. 【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若 a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R 类整 式”；若 a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR 类整式”. （2）根据"PQ 类整式"定义，由 x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q， 据此求出结论. （3） 由 x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.
2． （1）一个两位正整数，a 表示十位上的数字，b 表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），则这个 两位数用多项式表示为（含 a、b 的式子）；若把十位、个位上的数字互换位置得到一个新 两位数，则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除. （2）一个三位正整数 F，各个数位上的数字互不相同且都不为 0.若从它的百位、十位、个 位上的数字中任意选择两个数字组成 6 个不同的两位数.若这 6 个两位数的和等于这个三位 数本身，则称这样的三位数 F 为“友好数”，例如：132 是“友好数”. 一个三位正整数 P，各个数位上的数字互不相同且都不为 0，若它的十位数字等于百位数字 与个位数字的和，则称这样的三位数 P 为“和平数”； ①直接判断 123 是不是“友好数”？ ②直接写出共有个“和平数”； ③通过列方程的方法求出既是“和平数”又是“友好数”的数. 【答案】 （1）解：这个两位数用多项式表示为 10a+b， （10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b）， ∵ 11（a+b）÷11＝a+b（整数）， ∴ 这个两位数的和一定能被数 11 整除； （10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b）， ∵ 9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整数）， ∴ 这两个两位数的差一定能被数 9 整除， 故答案为：11，9
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（2）根据（1）中的等式，解决如下问题：
①已知：
，求 的值；
②己知：
，求
的值.
【答案】 （1）（a-b）2；a2-2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2
（2）解：①把
代入
∴
，
∴
②原式可化为：
∴ ∴ ∴
【解析】【解答】解：（1）方法①：草坪的面积=（a-b）（a-b）=
．
方法②：草坪的面积=
∵ 三位数 是“和平数”，
∴ y＝x+z. ∵ 是“友好数”，
∴ 10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，
∴ 22x+22y+22z＝100x+10y+z， ∴ 12y＝78x﹣21z. 把 y＝x+z 代入，得 12x+12z＝78x﹣21z， ∴ 33z＝66x， ∴ z＝2x， 由②可知，既是“和平数”又是“友好数”的数是 396，264，132. 【解析】【分析】（1）分别求出两数的和与两数的差即可求解； （2）①根据“友好数”的定义即可判断求解； ②根据“和平数”的定义列举出所有的“和平数”即可求解；
③设三位数 既是“和平数”又是“友好数”，根据“和平数”的定义，得出 y＝x＋z．再由 “友好数”的定义，得出 10x＋y＋10y＋x＋10x＋z＋10z＋x＋10y＋z＋10z＋y＝100x＋10y＋ z，化简即为 12y＝78x−21z．把 y＝x＋z 代入，整理得出 z＝2x，然后从②的数字中挑选出 符合要求的数即可．
3．已知整式 P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以 表示为 aP+bQ+cR（其中 a，b，c 为常数）.则可以进行如下分类 ①若 a≠0，b＝c＝0，则称该整式为 P 类整式； ②若 a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为 PQ 类整式； ③若 a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为 PQR 类整式； （1）模仿上面的分类方式，请给出 R 类整式和 QR 类整式的定义，若，则称该整式为“R 类 整式”，若，则称该整式为“QR 类整式”； （2）说明整式 x2﹣5x+5 为“PQ 类整式； （3）x2+x+1 是哪一类整式？说明理由. 【答案】 （1）解：若 a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R 类整式”. 若 a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR 类整式”. 故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．如图所示,在边长为 a 米的正方形草坪上修建两条宽为 b 米的道路.
（1）为了求得剩余草坪的面积，小明同学想出了两种办法，结果分别如下：
方法①：________ 方法②：________
请你从小明的两种求面积的方法中，直接写出含有字母 a，b 代数式的等式是：
；
Fra Baidu bibliotek
等式为：
故答案为：
，
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【分析】（1）方法①是根据已知条件先表示出矩形的长和宽，再根据矩形的面积公式即
可得出答案；方法②是正方形的面积减去两条道路的面积，即可得出剩余草坪的面积；根
据（1）得出的结论可得出
；（2）①分别把
的值和
的值代入（1）中等式，即可得到答案；②根据题意，把（x-2018）和（x-2020） 变成（x-2019）的形式，然后计算完全平方公式，展开后即可得到答案.