解直角三角形的知识点总结
解直角三角形
在中考试卷中，对于锐角三角形的概念，直角三角形中的边角关
系，简单的解直角三角形等知识点的考查多以填空题和和选择题的形
式出现，而运用解直角三角的知识解决实际问题，则成为近年来中考
的热点。
解直角三角形问题，关键是正确运用直角三角形中的边角关系，
同时要注意运用勾股定理、代数式的变形及方程思想。解非直角三角
形时，一定要通过作辅助线构造出直角三角形，将非直角三角形问题
转换为直角三角形问题。
本知识点复习备考时应注意以下几点：
1、熟练掌握锐角三角函数的概念，灵活应用特殊三角函数值来
解决相关计算、求直角三角形的边和角等问题，能根据实际情况构造、
构造出直角三角形解决问题。
2、解答有关斜角问题时，能灵活地将其转换为易解答的直角三
角形问题求解。
知识点总结
一、锐角三角函数
（一）、基础知识
1．锐角三角函数定义
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，
锐角A的四个三角函数是：
(1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边
的比叫做角A的正弦，记作sinA，即
sin A = ca,
（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边
的比叫做角A的余弦，记作cosA，即
cos A = cb,
（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与
邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即
tan A =ba ，
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字
母表示。 否则，不存在上述关系
2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比
为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：
（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1；
4、互为余角的两个三角函数关系
若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.
5、特殊角的三角函数：
00 300 450 60
0
sinα 0
2
1
22 2
3
cos
α
1
23 2
2
2
1
tan
α
0 33 1 3
二、勾股定理
1、勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
2、勾股定理的数学表达;若三角形ABC为直角三角形，∠A，∠B,
∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=∠90，则222cba,反之，已知a,b,c
为三角形ABC的边。若222cba,则三角形ABC为直角三角形。
典型例题：
1.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦 （ ）
（A） 都扩大2倍 （B） 都扩大4倍
（C） 没有变化 （D） 都缩小一半
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=54，则cosB的值等于（ ）
A．53 B. 54 C. 43 D. 55
3.在正方形网格中，ABC△的位置如图所示，则cosB的值为（ ）
A．12 B．22 C．32 D．33
4.在RtABC中，C=90º，A=15º，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：
MB等于（ ）
（A）2：3 （B）3：2 （C）3：1 （D）1：3
5.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）
（A） 600 （B） 900 （C） 1200 （D） 150
0\
6.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地
面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( )
同学 甲 乙 丙
放出风筝
线长
100m 100m 90m
线与地面
夹角
40º 45º 60º
A、甲的最高 B、丙的最高 C、 乙的最低 D、丙的最低
7..如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/
时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15O方向，此
时，灯塔M与渔船的距离是（ ）
Ａ．km27 Ｂ．km214
Ｃ．km7 Ｄ．km14
8、河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是
坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．53米 B．10米 C．15米 D．103米
9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距
离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火
车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间
为
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
10、084sin45(3)4=
11、在△ABC中，∠A=30º，tan B= 13，BC=10，则AB的长为 .
12、锐角A满足2 sin(A-150)=3,则∠A= .
13、已知tan B=3，则sin2B= .
14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为
52
米，则这个破面的坡度为 .
15、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线
上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A
处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电
６０Ｏ
Ａ
Ｂ
Ｍ
东
梯楼的高BC为______米（保留根号）．
16.如图，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正
方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin ．
17.△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，若AC=3．求线
段AD的长．
16.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高
度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部
B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如
图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考
数据3173.）．
D
C
B
A
② ①
（第16
A
B
C
D
α
A
1
l
3
l
2
l
4
l
A B C D
17.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘
员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输
气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在
主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.
18.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，
求AB的长．
第18题
19、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距
CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一
点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4
米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物CD的高度．
20、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠
ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
21、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的
一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10
米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N
点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位
有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
A
C
D
B
E
F
G
直角三角形的基本概念与性质知识点总结
直角三角形的基本概念与性质知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和概念。
了解直角三角形的基本概念和性质对于数学学习和实际应用具有重要意义。
本文将总结直角三角形的基本概念和一些核心性质，帮助读者更好地理解和应用相关知识。
一、基本概念直角三角形是指一个内角为90度（直角）的三角形。
常用符号表示直角三角形的三个角度如下：- 直角：用∠A表示，∠A = 90°，是直角三角形最重要的特征之一。
- 钝角：用∠B表示，∠B > 90°，是大于90度的角度。
- 锐角：用∠C表示，∠C < 90°，是小于90度的角度。
直角三角形的特殊性质使得它在计算和实际应用中具有广泛的适用性。
二、性质总结1. 边与角的关系：- 斜边：直角三角形中最长的一边称为斜边，通常用c表示。
- 相邻边：直角三角形中与直角相邻的两条边称为相邻边。
- 对边：直角三角形中与直角不相邻的边称为对边。
- 斜边平方定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两个相邻边的平方和。
即c² = a² + b²。
2. 辅助角的关系：- 正弦定理：对于一个直角三角形，斜边的长度与任意一个角的正弦值成正比。
即sinA = a / c，sinB = b / c，sinC = 1。
- 余弦定理：对于一个直角三角形，斜边的平方与两个相邻边的平方之差成正比。
即c² = a² - b²，c² = b² - a²。
- 正切定理：对于一个直角三角形，任意一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。
即tanA = a / b，tanB = b / a。
3. 角度关系：- 直角三角形中的两个锐角的和为90度，即∠B + ∠C = 90°，∠A + ∠C= 90°，∠A + ∠B = 90°。
- 锐角三角函数：直角三角形中的锐角可以用三角函数来表示，如正弦函数、余弦函数和正切函数等。
初中数学 锐角三角函数 知识点 考点 思维导图 锐角三角函数 解直角三角形
定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程．
计算型
边角型
俯角、仰角、方位角、坡度与坡角的
概念不清楚．
应用中的常见模型
学习误区
勾股定理 ａ＋ｂ＇＝ｃ
常 用 的 边角关系
角的关系 ＬＡ＋ＬＢ＝９０°
实际应用型
知能提升
总结升华
ｓｉｎ＝ｇ
边角关系 ｃｏｓ１－ｂ
方案决策问题． 范围选择问题
向
包’
三角关系
求值
已知锐角Ａ的三
角函数，求Ａ．
ｔａｎｕ＞０ ０＜ｃｏｓａ＜Ｔ 、宁台工“
倒数关系ｔａｎ Ａ·ｃｏｔ Ａ＝１
互余两角之间 ｓｉｎ Ａ＝ｃｏｓ（９０－４）
的函数关系 ｃｏｓ Ａ＝ｓｎ（９０－４）
临３ 、 ｔａｎ０ １ 众
利用单调性比．
同名函数
比较两个函
数值的大小
十工
特殊角的三角函数值
ｔａｎ Ａ＝ｃｏｔ（９０°－４）
特殊角的值记错．
定义
锐角Ａ的正弦，余弦，正切，余切合称为ＬＡ的锐角三角函数．
ｃ Ｃ４的正弦 ｓｉｎＡ＝乙Ａ斜的对边边 红
切的积为１ ｔａｎ Ａ·ｃｏｔ Ａ＝１
３０，４５°，６０°
正弦、余弦值的分母都是２；
分子分别是∶五、，；、５，、Ｅ，、．
记忆方法
正弦、余弦的互换关系记错
（没考虑到互余关系）．
公式记忆
应用
基本类型
心 应用
。 边角关系的应用 六 。 ５９ Ｃ 已知两边，求另一边∶ａ＋ｂ２＝ｃ２． 已知一角，求另一角∶Ｌ４＋ＬＢ＝９０．
仰角、俯角
坡度与
坡角
坡角∶坡面与水平面的夹角α．
人教版九年级数学下册解直角三角形知识点总结与例题
知识点总结：一、锐角三角函数的定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边；余切（cot）等于邻边比对边正切与余切互为倒数，互余角的三角函数间的关系。
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.同角三角函数间的关系平方关系：tanα=sinα/cosα，sin2α+cos2α=1·积的关系：·倒数关系： t anα·cotα=1 ；sinα·cscα=1；cosα·secα=1 直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。
（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时，0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,当角度在0°<α<90°间变化时，tanα>0, cotα>0.特殊的三角函数值二、解直角三角形勾股定理，只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边，c为斜边。
初中解直角三角形的常见知识点和解法
初中解直角三角形的常见知识点和解法直角三角形是几何初学者们必须掌握的重要部分。
它的定义是两个角是直角，其余一角是钝角，而三边的长度可以唯一确定。
直角三角形在初中数学课上是一个重要的基础，大家都需要掌握它的解法，以及如何利用它来解决其他几何问题。
一、直角三角形的性质1、直角三角形的三边长度称为腰长、斜边、与斜边平分的边，分别称作a、b、c，其中a、b腰长，它们最短，c为斜边，它最长。
2、直角三角形内角和外角总和都等于180°，其中内角有一个是90°，另求内角中一个夹角。
3、直角三角形满足勾股定理，即：腰长的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。
4、直角三角形有平行四边形相似定理，即：若一个直角三角形的腰长和一个平行四边形的边长相等，则它们之间相似。
二、直角三角形的解法1、又知其三边的长度来求知其内角当已经知道直角三角形的三边长度时，可以利用勾股定理来求得它的直角a2+b2=c2，直角三角形内角总和是180°，由已知条件推出相应的内角即可计算得出，又称为直角三角形的顶角等于腰角的和的反余弦定理。
2、将已知的内角及其中一边长度求外角当已知一个直角三角形的一个内角和它与这个内角相邻的一边之间的距离时，可以利用正弦定理来求解其另外一腰角的大小。
正弦定理：sinα/a=sinβ/(b/2)=sinγ/b，其中a、b、c是直角三角形的三边，α、β、γ是它们之间的夹角。
3、用三角函数求知夹角当已知两腰角和一斜边长度时，可以利用余弦定理来求得两腰角所在平面的夹角。
余弦定理：cosα=(a2+b2-c2)/2ab=cosβ=(b2+c2-a2)/2bc=cos γ=(c2+a2-b2)/2ca，其中a、b、c是直角三角形的三边，α、β、γ是它们之间的夹角。
三、直角三角形的应用1、求圆周上某一点到圆心的距离当用直角三角形来表示圆周上某一点到圆心的距离时，其中一个腰长就是圆周上从圆心到某一点的弧长，另一个腰长则是一条直线，而第三边便是圆心到某一点的半径长度，用余弦定理求解即可。
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
上海数学中考知识点必看
上海数学中考知识点必看中考数学知识点：直角三角形一、三角函数1.定义：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA= ;cosA= ;tgA= ;ctgA= .2. 特殊角的三角函数值：0° 30° 45° 60° 90°sinαcosαtgα /ctgα /3. 互余两角的三角函数关系：sin(90°-α)=cosα;…4. 三角函数值随角度变化的关系5.查三角函数表二、解直角三角形1. 定义：已知边和角(两个，其中必有一边)→所有未知的边和角。
2. 依据：①边的关系：②角的关系：A+B=90°③边角关系：三角函数的定义。
注意：尽量避免使用中间数据和除法。
三、对实际问题的处理1. 俯、仰角：2.方位角、象限角：3.坡度：4.在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。
中考数学知识点复习：正负数1、正数：像小学学过的大于0的数叫做正数。
2、负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3、正数负数的判断方法：⑴具体的数：看是否有负号“-”，如果有“-”就是负数，否则是正数。
⑵含字母的数：如-a要看a本身的符号，如a是负的，则-a是正数，如a是正的则-a是负数，如a是0则-a是0。
4、 0的含义：①0表示起点。
②0表示没有。
③0表示一种温度。
④0表示编号的位数。
⑤0表示精确度。
⑥0表示正负数的分界。
⑦0表示海拔平均高度。
5、具有相反意义的量;6、正负数的作用：在同一问题中，用正负数表示的量具有相反的意义。
中考数学《整式》知识点总结单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
苏教版九年级下册数学[解直角三角形及其应用--知识点整理及重点题型梳理]
苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，b =【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan 60b a B ==⨯=° 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°．(2)由tan bB a==B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2c ==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值． 举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用 395952 ：例1（1）-（3）】【变式】（1）已知∠C=90°，，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=2．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin ∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△ABC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【课程名称：解直角三角形及其应用395952：例2】【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为i =i ＝铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==．(2)在Rt △DEC 中，∵ tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=55FB =+，解得5 3.66(m)FB ==． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.11.73)．【答案与解析】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5． 在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52，CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°，∴ 551)22AB AE BE =+=+=≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．。
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 利用解直角三角形解含方位角、坡角(坡度)的应用
感悟新知
知1－练
1. 如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏
东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30° 方向上.如果渔船不改 变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
感悟新知
解：如图，过点A作AC⊥直线BD，垂足为点C.
C．200D3．300
3
感悟新知
知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
探究
B
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 比是α的什么三角函数？
Aα
E
知2－练
C
D
tan
BE 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.
AE
感悟新知
坡度的定义：
知2－练
坡面的垂直高度与水平宽度之比
B
叫做坡度，记作i.
感悟新知
例1 如图, 一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔 80nmile的A处，它沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东34°方向上的B处. 这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数)？
北 65°
P 34°
知1－练
A
C
B
感悟新知
解：如图，在Rt△APC中， PC=PA•cos(90°-65°) =80×cos25° ≈72. 505. 在Rt△BPC中，∠B=34°，
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用
第6课时利用解直角三 角形解含方位角、坡角 （坡度）的应用
学习目标
1 课时讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角（或坡度） 问题
初中数学知识归纳解直角三角形的三角函数关系
初中数学知识归纳解直角三角形的三角函数关系直角三角形是初中数学中的重要概念，它在解决各种几何问题中起到了关键作用。
在学习初中数学知识时，了解直角三角形的三角函数关系是非常重要的一步。
本文将对直角三角形的三角函数关系进行归纳解析，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
在解直角三角形的问题时，我们常常会遇到涉及三角函数的计算。
而直角三角形的三角函数关系主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
下面将对这三个函数在直角三角形中的定义和计算方式进行介绍。
正弦函数（Sine）是直角三角形中的一种三角函数，表示对边与斜边的比值。
它的定义如下：sinθ = 对边 / 斜边其中，θ代表直角三角形中的一个角。
将这个关系式应用到实际问题中，就可以通过已知一边长度和角度的情况下，计算另外两个未知量。
余弦函数（Cosine）也是直角三角形中的一个三角函数，表示邻边与斜边的比值。
它的定义如下：cosθ = 邻边 / 斜边正切函数（Tangent）是直角三角形中的第三种三角函数，表示对边与邻边的比值。
它的定义如下：tanθ = 对边 / 邻边这三个函数的值可以通过查表或使用计算器得到。
在实际问题中，我们可以通过已知两边长度的情况下，计算角度的值，也可以通过已知一边长度和角度的情况下，计算另外一边的长度。
除了三角函数的定义和计算方式，直角三角形还有一些重要的性质和定理。
其中，最为著名的是勾股定理。
勾股定理是直角三角形中一个基本的几何定理，描述了直角三角形中三条边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
a² + b² = c²其中，a和b代表直角三角形的两条直角边的长度，c代表斜边的长度。
勾股定理为解决各类与直角三角形相关的问题提供了基本的计算依据。
除了勾股定理，直角三角形还有诸多重要的性质和定理，如正弦定理、余弦定理等。
这些定理在解决实际问题时，经常会与三角函数关系一起应用，以求解出未知量。